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§5 用样本估计总体 5.1 估计总体的分布学习 目标1.理解什么是频率分布表、频率分布直方图、频率折线图．(数学抽象)2.会列频率分布表，会画频率分布直方图和频率折线图，能根据频率分布直方图解决问题．(数据分析、直观想象)3.了解用样本估计总体的意义．(数学抽象)导思 1.频率分布直方图纵轴的含义是什么？2.频率分布直方图的制作步骤是什么？3.如何画频率折线图？1．频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤：(2)频率分布表与频率分布直方图有什么不同？提示：频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．2．频率折线图(1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．频率分布表、频率分布直方图与频率折线图各有什么优缺点？提示：①频率分布表：优点：频率分布表在数量表示上比较确切；缺点：不够直观、形象，分析数据分布的总体趋势不太方便；②频率分布直方图：优点：频率分布直方图能非常直观地表明数据分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式；缺点：从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了；③频率折线图：优点是它反映了数据的变化趋势．缺点：由图本身得不到原始的数据信息．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)频率分布直方图中的纵坐标指的是频率的值．()(2)频率分布直方图的宽度没有实际意义．()(3)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.()(4)在画频率折线图时，可以画成与横轴相连．()提示：(1)×.纵坐标指的是频率与组距的比值．(2) ×.频率分布直方图的宽度表示组距．(3)×.各小矩形的面积之和一定为1.(4) √.为了方便看图，一般习惯把频率折线图画成与横轴相连，所以横轴上左右两端点没有实际的意义．2．已知一个容量为40的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________. 【解析】第五组的频数为0.2×40＝8.所以第六组的频数为40－5－6－7－10－8＝4.频率为440＝0.1.答案：40.13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60)内的汽车有________.【解析】因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆).答案：60辆4．(教材例题改编)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________．【解析】由题意得50n＝0.25，所以n＝200.答案：200类型一频率分布直方图的绘制(数据分析、直观想象)【典例】1.频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A．组距B．频率C．组数D．频数2．调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．【思路导引】1.根据频率直方图中小矩形的几何意义，即可求解． 2．极差＝180－151＝29，组距为3，可分为10组．【解析】1.选B.根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．2．(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.②确定组距与组数：取3为组距，则极差组距 ＝293 ＝923 ，故可将样本数据分成10组．③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10组：[150.5，153.5)，[153.5，156.5)，[156.5，159．5)，[159.5，162.5)，[162.5，165.5)，[165.5，168.5)，[168.5，171.5)，[171.5，174.5)，[174.5，177.5)，[177.5，180.5]. ④列频率分布表174.5～177.510.025177.5～180.510.025(2)画频率分布直方图如图所示：绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的()A．91% B．92% C．95% D．30%【解析】选A.不大于27.5的样本数为：3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体百分比为4145×100%≈91%.2．某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：千克)：616059595958585757575756 565656565656555555555454 54545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图． 【解析】①计算极差：61－48＝13(千克)； ②决定组距与组数，取组距为2，因为132 ＝612 ，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数．并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：47．5～49.5，49.5～51.5，51.5～53.5，53.5～55.5，55.5～57.5，57.5～59.5，59.5～61.5.④列出频率分布表如下：分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) 47.5～49.5 2 0.05 49.5～51.5 5 0.125 51.5～53.5 7 0.175 53.5～55.5 8 0.20 55.5～57.5 11 0.275 57.5～59.5 5 0.125 59.5～61.5 2 0.05 合计401.00⑤作出频率分布直方图如下：3．某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：107～109，3株；109～111，9株；111～113，13株；113～115，16株；115～117，26株；117～119，20株；119～121，7株；121～123，4株；123～125，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在109～121范围内的可能性是百分之几．【解析】(1)频率分布表如下：分组频数频率累积频率107～10930.030.03109～11190.090.12111～113130.130.25113～115160.160.41115～117260.260.67117～119200.200.87119～12170.070.94121～12340.040.98123～12520.02 1.00合计100 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在109～121范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在109～121范围内的可能性是91%.类型二频率折线图的画法及应用【典例】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：40～50，2；50～60，3；60～70，10；70～80，15；80～90，12；90～100，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图； (3)估计成绩在60～90分的学生比例．【思路导引】画频率分布直方图和折线图⇒制作好频率分布表⇒纵坐标表示频率与组距的比值．【解析】(1)样本的频率分布表如下：成绩分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i 40～50 2 0.04 0.004 50～60 3 0.06 0.006 60～70 10 0.2 0.02 70～80 15 0.3 0.03 80～90 12 0.24 0.024 90～10080.160.016(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：(3)成绩在60～90的频率为1－0.04－0.06－0.16＝0.74， 所以可估计成绩在60～90分的学生比例为74%.本例条件不变，估计成绩在50～80分的学生的比例．【解析】成绩在50～60分的学生的频数为3，在60～70的学生的频数为10，在70～80分的学生的频数为15，所以成绩在50～80分的学生的频数为28，占总体的2850 ＝1425 .频率折线图的作法及应用(1)作法：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)应用：频率折线图也是用一个单位长度表示一定的数量，但是，它是根据数量的多少在图中描出各个点，然后把各个点用线段顺次连接成的折线，因此，它不但可以表现出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清楚而直观地表示出数量的增减变化的情况．提醒：画图时，横轴和纵轴的单位可不一致．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪(百元)[13，14)[14，15)[15，16)[16，17) 频数7112623起始月薪(百元)[17，18)[18，19)[19，20)[20，21]频数1584 6(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率折线图；(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2 000元的频率．【解析】(1)样本的频率分布表为起始月薪(百元)频数频率[13，14)70.07[14，15)110.11[15，16)260.26[16，17)230.23[17，18)150.15[18，19)80.08[19，20)40.04[20，21]60.06总计100 1.00(2)频率分布直方图和频率折线图如图．(3)起始月薪低于2 000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2 000元的频率的估计值是0.94.【补偿训练】某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80), [80，100].(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1 000名新生中有多少名学生可以申请住宿．【解析】(1)由(x＋0.012 5＋0.006 5＋0.003×2)×20＝1，解得x＝0.025.(2)上学所需时间不少于40分钟的学生的频率为：(0.006 5＋0.003×2)×20＝0.25，估计学校1 000名新生中有1 000×0.25＝250名学生可以申请住宿．答：估计学校1 000名新生中有250名学生可以申请住宿．类型三用样本分布估计总体分布【典例】1.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．【思路导引】1．利用频率分布直方图，计算出低于60分的人数的频率p，利用频数除以相应的频率p 得总人数．2．利用110次以上(含110次)的矩形面积除以所有的矩形面积之和，即可估计高一学生的达标率．【解析】1.选C. 低于4.5万元的比率估计为0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%，故A 正确；不低于10.5万元的比率估计为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故B 正确；平均值为：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68万元，故C 不正确；4.5万元到8.5万元的比率为：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64＝64%，故D 正确．2．(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此，第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08. 又因为第二小组频率＝第二小组频数样本容量， 所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08 ＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．用样本估计总体的常用方法(1)用频率分布表估计总体分布．根据样本数据可以制作频率分布表，利用频率分布表中的数据，如各小组的频数、频率，可以对总体中的有关量进行估计．(2)用频率分布直方图估计总体分布．根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点，可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律，并由此对总体进行估计．(3)用频率折线图估计总体分布．由样本频率分布直方图可以绘制出频率折线图，且样本容量越大，分组的组距不断缩小，那么折线图就越接近于总体分布，从而由频率折线图对总体估计就越精确．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本容量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．【解析】(1)由题意可知：(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得：x ＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，所以，p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p 1＝36N ，所以N ＝36p 1＝360.30 ＝120. (3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数n ＝p 2N ＝120×0.75＝90.。
5．1 估计总体的分布整体设计教学分析教科书通过问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率分布折线图．教科书在本节主要介绍了有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间．教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想．由于可以用样本频率分布直方图估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估计总体的分布特征．三维目标1．通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法．2．在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地作出总体估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：会列频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图．教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在美国男子篮球职业联赛的2011～2012赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33.请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员在2011～2012赛季中，哪一位发挥比较稳定吗？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布(板书课题)．课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布．思路3.讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况，应该怎样进行抽样？提问：我们学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢？讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？(从中寻找所包含的信息，用样本去估计总体)指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征(平均数、标准差等)估计总体的数字特征．这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布．推进新课新知探究提出问题1．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？(让学生展开讨论)2．什么是频率分布？3．频率分布直方图的特征是什么？4．什么是频率分布折线图？讨论结果：1．为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况．分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格来改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．下面我们学习的频率分布表和频率分布直方图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况．2．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布．3．频率分布直方图的特征：(1)通过频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．(2)通过频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同．不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．4．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．应用示例思路1例1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土．经考证，头盖骨的主人死于1665～1666年之间的大瘟疫．人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下所示(单位：mm)：146 138 134 141 142 148 158 149 138141139146143146152135146145139147134143140143132141145140139142141148140148142142145141133138140141142144143141137149136140145145137143142141140138139148145153148131132140144139139121148141142140143136144136129144145140140143145138141143138141144141149143146140148150140143136137153139138148请你估计在1665～1666年之间，英国男性头盖骨宽度的分布情况．解：这里，如果把总体看作是1665～1666年之间的英国男性头盖骨的宽度，那么我们就是要通过上面挖掘出土得到的样本信息，来估计总体的分布情况．但从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况，为此，我们可以先将以上数据按每个数据出现的频数和频率汇成下表：性头盖骨宽度主要在140～150 mm 之间，130 mm 以下以及150 mm 以上所占的比率相对较小等．但是，这些关于分布情况的描述仍不够形象，为了得到更为直观的信息，我们可以再将1中纵坐标的频数换成f iΔx i ，便可以得到图2.图1图2点评：当样本量较大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率．因此，我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率，也即总体的分布情况.变式训练1．有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人．(1)列出学生参加运动队的频率分布表．(2)画出频率分布条形图．解：(1)参加足球队记为1，参加篮球队记为2，参加排球队记为3，参加乒乓球队记为4图32.为了了解中学生的身体发育情况，对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量，结果如下(单位cm)：154 159 166 169 159 156 166 162 158156 166 160 164 160 157 151 157 161158 153 158 164 158 163 158 153 157162 159 154 165 166 157 151 146 151160 165 158 163 163 162 161 154 165162 159 157 159 149 164 168 159 153列出样本的频率分布表，并绘出频率分布直方图.图4点评：以上两种情况的不同之处在于，前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法，这是因为，频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线．这条曲线是客观存在的，但是我们却很难将它准确地画出，我们只能用样本的频率分布去对它进行估计．基于频率分布与相应的总体分布有这种关系，再加上我们通常并不知道一个总体的分布，我们往往是从一个总体中抽取一个样本，用样本的频率去估计相应的总体分布．一般说来，样本的容量越大，这种估计就越精确.思路2(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题．解：(1)(2)图5(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.变式训练从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170 cm 的同学所占的百分率．⎝ ⎛⎭⎪⎫0.14×171.5－170171.5－168.5＋0.07＋0.04＋0.03×100%＝21%.例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图6)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．图6分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08； 又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114.故跳绳次数的中位数落在第四小组．知能训练1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5]，3；(15.5,18.5]，8；(18.5,21.5]，9；(21.5,24.5]，11；(24.5,27.5]，10；(27.5,30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的( )．A ．91%B ．92%C ．95%D ．30%答案：A2．有一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：(10,20)，2；(20,30)，3；(30,40)，4；(40,50)，5；(50,60)，4；(60,70)，2.则样本在区间(－∞，50)上的频率为( )．A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.05 答案：B3．一个高中研究性学习小组对本地区2010年至2012年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图7)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭______万盒．快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图图7答案：85拓展提升为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量了其中的100株的底部周长，得到如下数cm的树木约占多少？周长不小于120 cm的树木约占多少？解：(1)这组数据的最大值为135，最小值为80, 极差为55，可将其分为11组，组距为5.图8(3)从频率分布表可知，样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，据此可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，周长不小于120 cm的树木约占19%.课堂小结总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．作业习题1—5 1,2.设计感想本节课是高一新课程必修3第一章《统计》中的第五节《用样本估计总体》的第一节课，尽管用样本估计总体是一种实用性很强，操作烦琐、麻烦的工作，但却是统计学中常用的方法，在生产、生活中应用非常广泛．用样本估计总体，其实就是一种“以偏概全”“以部分代替全部”的思想．虽然有贬义的成分，但我们还是要认真去教好学好，而且，这也是平时考试和高考中的重点内容之一．本节要解决的问题就是：为何要用样本估计总体——社会生产、生活的实际需要(必要性)，如比赛、竞技中预测结果，评判质量谁好谁差，水平谁高谁低经常要用到．如何去用样本估计总体——用样本的频率分布去估计总体的频率分布；怎样用样本估计总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图，懂得用“数据”语言说话．另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心，使学生养成良好的学习态度．备课资料备用习题下表是1 002名学生身高的频率分布表，根据数据画出：(1)频率分布直方图；①根据频率分布表，作直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示f iΔx i(如图9)．图9②在横轴上标上表示的点．③在上面各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的频率组距. 一般地，作频率分布直方图的方法为：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，以此线段为底作矩形，高等于该组的频率组距，这样得到一系列矩形，每一个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形构成了频率分布直方图．(2)频率分布折线图在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图(简称频率折线图)如图10.图10。
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一1、集合的基本关系ﻫ·２、集合·第一章集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ·的含义与表示ﻫ·３、集合的基本运算（重点)（2课时）1、生活中的变量关系··第二章函数ﻫ·4、二次函数性质的再研究（重点)3、函数的单调性(重点)ﻫ· 2、对函数的进一步认识ﻫ··５、简单的幂函数(５课时）ﻫ·第三章指数函数和对数函数·2、指数概念的扩充·１、正整数指数函数ﻫ· 3、指数函数（重点)· 4、对数· 5、对数函数（重点)· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）（3课时）ﻫ·第四章函数应用ﻫ·１、函数与方程ﻫ·2、实际问题的函数建模（２课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步ﻫ·1、简单几何体ﻫ2、三视图(重点)·· 3、直观图(１课时)ﻫ·４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ·５、平行关系（重点)ﻫ·６、7、简单几何体的面积和体积(重点)·垂直关系(重点)ﻫ· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时)·第二章解析几何初步·3、空间直角坐标系· 1、直线与直线的方程ﻫ·２、圆与圆的方程ﻫ（4课时）北师大版高中数学必修三1、统计活动：随机选取数字··第一章统计ﻫ· 2、从普查到抽样ﻫ·3、抽样方法6、用样本估计总体·4、统计图表ﻫ·5、数据的数字特征（重点）ﻫ·· 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性ﻫ·９、最小二乘法（３课时)ﻫ·第二章算法初步· 1、算法的基本思想·3、排序问题（重点)· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ·4、几种基本语句(2课时）1、随机事件的概率(重点)··第三章概率ﻫ· 2、古典概型(重点)·３、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（４课时）ﻫ北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·１、周期现象与周期函数ﻫ·2、角的概念的推广ﻫ·3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数(重点)· 6、正切函数(重点)·７、函数的图像(重点）·８、同角三角函数的基本关系(重点、难点)(５课时）1、从位移、速度、力到向量ﻫ·２、从位移的合成到向量的加法（重ﻫ·第二章平面向量ﻫ·3、从速度的倍数到数乘向量（重点)·点）ﻫ· 4、平面向量的坐标(重点)·５、从力做的功到向量的数量积（重点）ﻫ·6、平面向量数量积的坐标表示(重点)·７、向量应用举例（难点）(5课时）ﻫ·第三章三角恒等变形(重点）·2、二倍角的正弦、余弦和正切·１、两角和与差的三角函数ﻫ·3、半角的三角函数·４、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用(难点）（4课时）北师大版高中数学必修五·第一章数列ﻫ·1、数列的概念· 2、数列的函数特性4、等差数列的前n项和（重点）· 3、等差数列（重点）ﻫ·· 5、等比数列(重点)·６、等比数列的前n项和(重点）ﻫ·7、数列在日常经济生活中的应用·3、2、正弦定理ﻫ1、正弦定理与余弦定理正弦定理ﻫ（6课时)ﻫ·第二章解三角形(重点）ﻫ··4、三角形中的几何计算（难点)ﻫ·５、解三角形的实际应用举例·余弦定理ﻫ(6课时）ﻫ·第三章不等式·1、不等关系ﻫ· 1.1、不等式关系· 1.2、比较大小（重点)ﻫ2，一元二次不等式（重点)ﻫ·２．1、一元二次不等式的解法（重点）ﻫ·２.２、一元二次不等式的应用【4课时】· 3、基本不等式（重点）3.1 基本不等式· 3.2、基本不等式与最大（小）值４线性规划（重点）·４.1、二元一次不等式(组）与平面区（重点)ﻫ·４.2、简单线性规划（重点）· 4.3、简单线性规划的应用(重点、难点) 【3课时】选修1-1第一章常用逻辑用语１命题2.2必要条件2充分条件与必要条件（重点）ﻫ2.1充分条件ﻫ2.３充要条件3全称量词与存在量词ﻫ3．１全称量词与全称命题ﻫ3．2存在量词与特称命题ﻫ3．3全称命题与特称命题的否定ﻫ4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非(重点)４．1逻辑联结词“且ﻫ4.２逻辑联结词“或4.3逻辑联结词‘‘非【1．5课时】ﻫ第二章圆锥曲线与方程（重点）ﻫ1椭圆ﻫ1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质ﻫ２抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3 曲线3.2双曲线的简单性质3．1双曲线及其标准方程ﻫ【８课时】第三章变化率与导数（重点)ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念ﻫ2.2导数的几何意义３计算导数(重点）ﻫ4导数的四则运算法则(重点）ﻫ4．１导数的加法与减法法则4.2导数的4.2导数的乘法与除法法则ﻫ第四章导数应用(重点)ﻫ4．１导数的加法与减法法则ﻫ乘法与除法法则【6课时】ﻫ选修１－2第一章统计案例1 回归分析ﻫ1．1 回归分析ﻫ１.2相关系数ﻫ1.３可线性化的回归分析ﻫ2独立性检验(重点、重点）2．１条件概率与独立事件２．2独立性检验2.３独立性检验的基本思想ﻫ２.4独立性检验的应用（重点、难点）【４课时】第二章框图（重点，高考必考点)1 流程图ﻫ2结构图【1．5课时】第三章推理与证明１归纳与类比ﻫ１．１归纳推理１.2类比推理ﻫ２数学证明3综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法【２课时】1.2复1.1数的概念的扩充ﻫﻫ第四章数系的扩充与复数的引入ﻫ1数系的扩充与复数的引入ﻫ数的有关概念（重点)ﻫ2复数的四则运算(重点、高考必考点)2.1复数的加法与减法ﻫ2．2复数的乘法与除法【1．5课时】ﻫ选修2－1ﻫ第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件ﻫ３全称量词与存在量词４逻辑联结词“且”“或”“非”&…&…（重点）【1.5课时】第二章空间向量与立体几何(重点,在解决立体几何方面有很大的帮助）1 从平面向量到空间向量2 空间向量的运算ﻫ3向量的坐标表示和空间向量基本定理４用向量讨论垂直与平行ﻫ5夹角的计算ﻫ６距离的计算【６课时】ﻫ第三章圆锥曲线与方程(重点、高考大题必考知识点）1 椭圆ﻫ１．１椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质2 抛物线2.1抛物线及其标准方程3.1双曲线及其标准方程ﻫ３．２双曲线的简单性质2.2抛物线的简单性质ﻫ３双曲线ﻫﻫ4 曲线与方程４．1 曲线与方程４.2 圆锥曲线的共同特征ﻫ4．3 直线与圆锥曲线的交点【8课时】选修2-２第一章推理与证明(重点）ﻫ1归纳与类比ﻫ2综合法与分析法ﻫ3反证法4数学归纳法【2课时】ﻫ第二章变化率与导数（重点）ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ２导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2．2导数的几何意义ﻫ3计算导数ﻫ4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则ﻫ4.２导数的乘法与除法法则5简单复合函数的求导法则【２课时】第三章导数应用（重点)１函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性ﻫ１.2函数的极值（重、难点)ﻫ2导数在实际问题中的应用ﻫ2．1实际问题中导数的意义２.2最大、最小值问题（重、难点）【5课时】第四章定积分１定积分的概念1.１定积分背景-面积和路程问题（重点)ﻫ1.2定积分２微积分基本定理3定积分的简单应用(重点)３.１平面图形的面积3.２简单几何体的体积【4课时】ﻫ第五章数系的扩充与复数的引入（重点)1 数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展１.2复数的有关概念2复数的四则运算ﻫ2.１复数的加法与减法2．2复数的乘法与除法【2课时】选修２-3第一章计数原理(重点）1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理ﻫ2．排列（重点、难点)ﻫ2.1排列的原理2.２排列数公式3．组合3.1 组合及组合数公式3.2 组合数的两个性质ﻫ４.简单计数问题ﻫ5.二项式定理(重、难点）5.2二项式系数的性质5.1二项式定理ﻫ【8课时】第二章概率（重点)ﻫ1．离散型随机变量及其分布列２.超几何分布ﻫ３.条件概率与独立事件４．二项分布５.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差（一）5．2离散型随机变量均值与方差（二)6．正态分布6．1 连续型随机变量6.2正态分布【4课时】ﻫ第三章统计案例1.1回归分析1.回归分析ﻫ1.2 相关系数1．3 可线性化的回归分析2.1独立性检验2.独立性检验（重点）ﻫ2．2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用【2课时】选修3－1ﻫ第一章数学发展概述第二章数与符号ﻫ第三章几何学发展史ﻫ第四章数学史上的丰碑－－-－微积分第五章无限第六章数学名题赏析ﻫ选修3-2选修3-3ﻫ第一章球面的基本性质１.直线、平面与球面的我诶制关系ﻫ2．球面直线与球面距离ﻫ第二章球面上的三角形1.球面三角形2.球面直线与球面距离ﻫ3.球面三角形的边角关系4.球面三角形的面积【2课时】ﻫ第三章欧拉公式与非欧几何1.球面上的欧拉公式2.简单多面体的欧拉公式3．欧氏几何与球面几何的比较ﻫ选修4-1第一章直线、多边形、圆(重点）1.全等与相似ﻫ2.圆与直线ﻫ３.圆与四边形【2课时】第二章圆锥曲线ﻫ1．截面欣赏ﻫ2．直线与球、平面与球的位置关系3．柱面与平面的截面ﻫ4.平面截圆锥面5．圆锥曲线的几何性质【3课时】ﻫ选修4－２ﻫ第一章平面向量与二阶方阵ﻫ1平面向量及向量的运算２向量的坐标表示及直线的向量方程ﻫ3二阶方阵与平面向量的乘法ﻫ第二章几何变换与矩阵１几种特殊的矩阵变换2 矩阵变换的性质ﻫ第三章变换的合成与矩阵乘法ﻫ1变换的合成与矩阵乘法２矩阵乘法的性质ﻫ第四章逆变换与逆矩阵1 逆变换与逆矩阵2 初等变换与逆矩阵ﻫ3二阶行列式与逆矩阵4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量ﻫ1矩阵变换的特征值与特征向量ﻫ2特征向量在生态模型中的简单应用ﻫ选修4－4ﻫ第一章坐标系1 平面直角坐标系2 极坐标系ﻫ３柱坐标系和球坐标系ﻫ第二章参数方程ﻫ1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程ﻫ３参数方程化成普通方程4平摆线和渐开线ﻫ选修4-5第一章不等关系与基本不等式（重点）l不等式的性质ﻫ2含有绝对值的不等式（难点)3平均值不等式ﻫ４不等式的证明５不等式的应用第二章几个重妻的不等式1柯西不等式ﻫ2排序不等式ﻫ３数学归纳法与贝努利不等式选修4-6第一章带余除法与书的进位制１、整除与带余除法ﻫ2、二进制ﻫ第二章可约性１、素数与合数2、最大公因数与辗转相除法ﻫ３、算术基本定理及其应用ﻫ4、不定方程第三章同余ﻫ1、同余及其应用ﻫ2、欧拉定理还在更新。
北师大版（2019）高中数学必修第一册课
程目录与教学计划表
教学计划、进度、课时安排
教材课本目录是一本书的纲领, 是
教与学的路线图。
不管是做教学计
划、实施教学活动, 还是做学习计
划、复习安排、工作总结, 都离不
开目录。
目录是一本书的知识框
架, 要做到心中有书、胸有成竹,
就从目录开始吧！
课程目录
必修第一册
第一章预备知识
1 集合
1.1 集合的概念与表示
1.2 集合的基本关系
1.3 集合的基本运算
本节综合与测试
2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
2.2 全称量词与存在量词
本节综合与测试
本节综合与测试
本章综合与测试
第七章概率
1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
1.4 随机事件的运算
本节综合与测试
2 古典概型
2.1 古典概型
2.2 古典概型的应用
本节综合与测试
3 频率与概率
4 事件的独立性
本章综合与测试
第八章数学建模活动（一）
1 走进数学建模
2 数学建模的主要步骤
3 数学建模活动的主要过程本章综合与测试
本册综合。
第一章统计5.1 估计总体的分布一用样本的频率分布估计1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．2．频数分布直方图是以频数为纵坐标，数据观测值为横坐标，以组距为底边，落入组入的数据频数同为高，画出一系列矩形，这样得到的图形为频数直方图，简称直方图．3．频率分布直方图是利用直方图反映样本的频率分布规律，它比频率分布表更直观地反映样本的分布规律，简称频率直方图．4．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．例1 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．解： (1)求数据最大值和最小值：已知数据的最大值是67，最小值是28∴最大值与最小值之差为67-28=39(2)求组距与组数：组距为5(岁)，分为8组．(3)决定分点．(4)列频分布表：(5)绘频率分布直方图如图所示：例2分组频数累计频数频率[150.5,153.5) 4 4 0．04[153.5,156.5)12 8 0．08[156.5,159.5)20 8 0．08[159.5,162.5)31 11 0．11[162.5,165.5)53 22 0．22[165.5,168.5)72 19 0．19[168.5,171.5)86 14 0．14[171.5,174.5)93 7 0．07[174.5,177.5)97 4 0．04[177.5,180.5]100 3 0．03 合计100 1 （1）根据数据画出频率分布直方图；（2）画出频率分布折线图．解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）频率折线图如图所示：例3下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人数5810223320区间界限[146,150)[150,154)[154,158)人数1165(1)列出样本频率分布表﹔(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比．．规范解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如图所示：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0．04+0．07+0．08=0．19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%．例4（2006年全国II 卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图1—6—10）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．图1—6—10解：由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有2500)]25003000(0005.0[10000=-⨯⨯，则在这段人中按分层抽样应抽出25100001002500=⨯人．练习1． 频率分布直方图的重心是（ ）A ．众数B ．中位数C ．标准差D ．平均数2．（2007年天津文13）（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）分组 [)90100， [)100110， [)110120， [)120130， [)130140， [)140150， 频数123101则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．3．在举国上下众志成城抗击“非典”的斗争中，疫情变化牵动着全国人民的心．请根据下面的疫情统计图表1—6—11回答问题．图1—6—11(1)图1—6—11是5月11日至5月29日全国疫情每天新增数据统计走势图，观察后回答：①每天新增确诊病例与新增疑似病例人数之和超过100人的天数共有__________天； ②在本题的统计中，新增确诊病例的人数的中位数是___________；③本题在对新增确诊病例的统计中，样本是_____________，样本容量是__________． (2)下表是我国一段时间内全国确诊病例每天新增的人数与天数的频率统计表．(按人数分组)分组 0~9 10~19 20~29 30~39 40~49 50~59 频数 4 5 1 0 2 频率 0．275 0．1 0．025 0 0．05 分组 60~69 70~79 80~89 90~99 100以上 合计 频数 1 1 2 0 13 频率0．0250．0251．00①100人以下的分组组距是________； ②填写本统计表中未完成的空格；③在统计的这段时期中，每天新增确诊病例人数在80人以下的天数共有_________天．4．某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．5．为了了解一大片经济林生长情况，随机测量其中的100株的底部周长，得到如下数据表（单位：cm）135 98 102 110 99 121 110 96 100 103125 97 117 113 110 92 102 109 104 112109 124 87 131 97 102 123 104 104 128105 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108（1（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少．。
