八年级数学下册19.1.1变量与函数第1课时常量与变量导学案

这里有变化的量吗？如 果有,是什么？它们之 间有什么关系？
讲授新课
一 函数的相关概念
情景一
想一想，如果你坐 在摩天轮上，随着 时间的变化，你离 开地面的高度是如 何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据左图填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 3 10 37 45 37 11 … (2)对于给定的时间t ，相 应的高度h能确定吗？
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该 量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
二 确定两个变量之间的关系
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm， 每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量 1 2 3 4 5 (kg)
弹簧长度 (cm)
10.5 11
11.5 12 12.5
4x 8 0 x 2
(3) y x 3
x 3 0 x 3
(4) y x 1 1 1 x
x 1且 x 1
x 1 0
1 x 0
即 xx
1 1
... -1 0 1
5.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公 里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里 加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数）， 相对应的收费为y（元）.
4.收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和 千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率 1000 600 500 300 200 f(khz)
你能发现每一组l，f 的值之间的关系吗？并指出变量与 常量.

19.1.1变量与函数导学案（1）学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律了解常量、变量的意义.2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.学习重点：教学重点：了解常量与变量的意义；学习难点：较复杂问题中常量与变量的识别学习过程:活动一:情境创设，引出新知(5分钟)根据题意填写下表,并回答问题汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．1、在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2、试用含t的式子表示s=________,t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．活动二：观察分析，探究新知问题二:每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•1、在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2、试用含x的式子表示y，y=______ ,x的取值范围是 .这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：当圆的半径r分别是10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别是多少？1．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2．试用含S的式子表示r，S=___ ,r的取值范围是 .这个问题反映了____随____的变化过程．问题四：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。

设矩形的长为xm，面积为Ｓm2 .1、在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2、试用含x的式子表示s． S=__________________,x的取值范围是 . 这个问题反映了矩形的___ _ 随_ __的变化过程．师生小结：在一个变化过程中，我们称数值发生变化．．．．的量为________；在一个变化过程中，我们称数值始终不变．．．．的量为________；活动三：师生互动，运用新知1、一支圆珠笔的单价为2元，设圆珠笔的数量为x支，总价为y元。

第十九章一次函数灵师不挂怀,冒涉道转延。

——韩愈《送灵师》汪村学校钱少华19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时变量一、导学1.导入课题汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？这些量之间有什么关系？这就是我们今天要学习的“变量”(板书课题).2.学习目标（1）知道常量、变量，会用式子表示两个变量之间的变化关系.（2）通过分析探索生活实例理解常量、变量之间的关系，理解它们的相对性.3.学习重、难点重点：理解变量的实际意义.难点：能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.4.自学指导（1）自学内容：P71的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：仔细阅读教材内容，关键词语、重点内容做上记号.（4）自学参考提纲：①指出教材四个问题中的变量和常量.②在同一个问题中，如果存在两个变量，那么这两个变量之间应存在什么关系？③完成P71练习.④上面这些问题中的两个变量都有什么样的关系？⑤在圆的面积S和半径r中，r每取一个值，S都有唯一值与它对应吗？二、自学学生可参考自学参考提纲进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：关注学生对同一个问题中的两个变量的相关联系和一一对应关系的理解.（2）差异指导：对个性和共性问题进行分类指导.2.生助生：小组研讨，帮助解决疑难问题.四、强化1.强调常量与变量的意义.2.组织学生交流练习中的问题的答案.3.强调同一问题中的两个变量之间的对应关系.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己本节课的学习收获和存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时内容是学生的认知由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率p与时间t之间的关系，下列说法正的是(C)A.数100和p，t都是变量B.数100和p都是常量C.p和t是变量D.数100和t都是常量2.（10分）圆的周长公式为C=2πr，下列说法正确的是（C）A.常量是2B.变量是C，π，rC.变量是C,rD.常量是2，r3.(15分)在下表中，设x表示乘公共汽车的站数（站），y表示应付的票价(元).上表中的变量(C)A.仅有一个，是站数B.仅有一个，是票价C.有两个，一个是站数，一个是票价D.一个也没有4.(10分)多边形内角和α与边数n之间的关系式是α=180(n-2).5.（10分）小明带着10元钱去文具商店买日记本.已知每本日记本售价2元，则小明剩余的钱数y（元）与所买日记本的本数x（本）之间的关系可表示为y=10-2x.在这个关系式中，x、y是变量，0,-2是常量.二、综合运用(15分)6.(15分)根据条件写出下列关系式：（1）购买50个羽毛球，羽毛球的价y（元）与单价x（元）之间的关系；（2）周长为60cm的等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的关系；（3）矩形的面积为36，矩形的长y与宽x之间的关系.解：（1）y=50x；（2）y=30-12x；（3）y=36x.7.如图，在一个半径为18 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量、函数各是什么？答案：小圆半、圆环面积.（2）如果挖去的圆半径为x(cm)，那么圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2；（3）当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时，圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.三、拓展延伸(15分)8.从甲地到乙地的路程为300km.一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶50km.回答下列问题：（1）汽车行驶1h后，距离乙地 250 km,距离甲地 50 km.(2)设汽车行驶时间为t(h),与乙地的距离为s(km).用含t的式子表示s;其中哪些是变量?哪些是常量?(3)这辆汽车行驶多长时间可到达乙地?解:(2)s=300-50t.其中s,t是变量,300,-50是常量.(3)300÷50=6(h)【素材积累】1、冬天是纯洁的。

第十四章一次函数§14．1 变量与函数课时安排 4课时设计意图“万物皆变”──行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；树高随树龄而变化；汽车行驶里程随行驶时间而变化……这种一个量随另一个量的变化而变化的现象在现实世界中大量存在．为了深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要数学工具──函数．用它描述变化中的数量关系，它的应用是极其广泛的．本章将通过具体问题引导你认识它，并且讨论一类最基本的函数──一次函数及其简单应用，•最后用函数的观点再认识方程（组）与不等式．本节课我们就具体实例来逐步认识变量与函数，了解函数中变量与变量的关系，学会用不同的方式表达函数等有关函数的知识．本节的重点是准确理解函数意义，学会函数的三种表达方式．本节的难点是正确理解函数意义．学会用函数的思维方法解决实际问题．所以教学中必须从实际出发，创设现实情景，引出函数，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地表达和思考，关注对函数的理解与认识．第一课时《常量与变量》教学设计课题内容§19．1．1 变量与函数教学目标（一）教学知识点１．认识变量、常量．２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．（二）能力训练要求１．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．２．逐步感知变量间的关系．（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．２．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．教学重点１．认识变量、常量．２．用式子表示变量间关系．教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．教法引导法，探索法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境1、同学们，我们生活在美丽的世界里，万物都在变化，万物因变化而美丽，事物因变化而神奇。

2、展示章前图情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t小时．２．__________．３．试用含t的式子表示s．通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．二．导入新课[师]我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．[生]从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60•千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t．其中里程s与时间t是变化的量，速度60•千米／小时是不变的量．[师]很好！谢谢你正确的阐述．这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．[活动一]活动内容设计：１．电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?2．你见过水中的涟漪吗？如右图，圆形水波慢慢地扩大。

2、每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元．
售出票数x
100
120
140
160
180
……
票房收入y
①找一名学生填表，让学生一起分析y与x是不是单值对应关系;
②描述y与x的单值对应关系.
【设计意图】通过模仿训练，尝试初步理解单值对应的含义.
3、圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中,圆的半径r 厘米 ,圆的面积为S 平方厘米，圆周率（圆周长与直径之比)为π.
（4）思考问题4中，矩形的宽y为自变量，矩形的长x是y的函数是否正确
①强调辨别函数的关键是：是否有两个变量，并且变量是否是单值对应关系；
②补充说明：一般地，主动变化的量是自变量,随之变化的量是函数。
【设计意图】借此例，将自变量与函数互换，说明只要满足单值对应,就可以用函数来表示这种关系，灵活理解函数的定义。
【设计意图】通过这三道例题，使学生学会根据定义判断函数关系，经过反复训练，突破难点.
4、P是数轴上的一个动点,它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 是 x 的函数吗？为什么？
【设计意图】通过这道题,说明点的坐标y与绝对值x不是单值对应关系，所以不是函数；但反过来，x却是y的函数，采用小组讨论的方式，升华对函数定义的理解.
练习1:指出下列变化过程中的变量和常量:
1、某市的自来水价为4元/吨,现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x 吨,月应交水费为 y 元；
2、某地手机通话费为0.2元/分，李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分，话费卡中的余额为w 元;
3、水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π；

19.1.1变量与函数-----第一课时变量与常量学习目标:1.能够让学生说出变量与常量的概念2.学生能够自己会用一个变量表示出另一个变量.教学重难点重点：变量与常量的概念，用一个变量表示出另一个变量.难点：用一个变量表示出另一个变量.教学过程一．情镜引入大千世界时时刻刻处在不停的运动变化之中，比如公路上奔跑的汽车，它跑的路程随时间的变化而变化.山顶与山脚的气温随着海拔高度的变化而变化.水中的涟漪随着时间的推移慢慢的扩大.如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？从今天开始我们将学习函数的相关知识，本节课将要学习的是变量与常量.（同时展示本节课的教学目标）二．新知探究，合作交流（自学研讨后以小组学习的方式进行）1.探究变量与常量阅读教材P71内容（1）---(4)题，指出那些数值是变化的？那些是不变的？（学生自己做完四道题之后，小组内共同探讨共同统一答案，然后由小组宣布答案并说明原因）学生回答：（1）t,s的值是变化的，60是不变的.（2）x,y的值是变化的，10是不变的. （3）r,s的值是变化的，π值是不变的. （4）x,y的值是变化的，10是不变的.归纳：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量.在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.例题讲解例1.分别指出下列变化中的常量与变量（1）、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为n=50/a 其中的变量是，常量是_____.(2)、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是y=4n，其中的变量是_____ ,常量是_______.学生回答：（1）其中变量是n、a，常量是50 （2）其中变量是y、n，常量是4（单独叫个别学生回答问题，如果出现问题再加以纠正）2.探究用一个变量表示出另一个变量归纳：在实际问题中，通常根据等量关系表示出变量与变量之间的一个变量关系式.下面让学生根据自己以前所列的等量关系式，列出变量关系式，体会用一个变量表示出另一个变量. 例2.指出下列问题中的关系式和变量与常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x升，车主加油付油费 y 元；（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；（让学生先做，然后单独叫个别学生回答问题，如果出现问题再加以纠正）学生回答：（1）y=7.4x 变量是x、y 常量是7.4（2） t=200/n 变量是t、n 常量是200三．巩固练习指出下列问题中的关系式和变量与常量：（1）三角形的一边长为5cm，它的面积S（c㎡）与这条边上的高h（cm）.（2）、正方形的周长C（cm）.与边长为x（cm）.学生回答：（1）s=2.5h 变量是s、h 常量是2.5（2）c=4x 变量是c、x 常量是4四．总结拓展1.课堂小结变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量.2.拓展延伸（1）正方形的周长C与边长为x的关系式为变量是: 常量是: ; （2）.正方体的棱长为a,表面积S= ，体积V=3.作业布置P71---P72页1---4题五．课堂效果测评1．指出下列关系式中的变量与常量：(1) y = 5x －6； (2) y= 6/x ；(3) y= 4x2＋5x－7； (4) S = πr2 .2. 填空：（1）、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为_________,其中的变量是 _____，常量是_____.(2)、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是1元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是_________,其中的变量是_____,常是_______.3、指出下列问题中的关系式和变量与常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x升，车主加油付油费 y 元；（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；（3）三角形的一边长为5cm，它的面积S（c㎡）与这条边上的高h（cm）六．评价与反思（引导学生自己总结）1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书2.教学反思本节课是以学生熟悉的生活为例，抽象出函数中的两个概念：变量与常量，然后通过练习进一步掌握.。

19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100 价钱/元0.40.81.21.62.02.42.840x 与y 之间的关系是y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 函 数教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数． 2．进一步掌握确定函数关系式的方法． 3．会确定自变量的取值范围． 【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯． 二、重难点目标 【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法． 2．确定自变量的取值范围． 【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式． 3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x ＝a 时，y ＝b ，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b 叫做x ＝a 时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表： 时间 (秒) 012345678910速度 (米/秒)0.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？ (4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是v 随着t 的增大而增大．(3)当t 每增加1秒，v 的变化情况不相同，在第9秒时，v 的增加量最大． (4)120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t 分钟时，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围； (2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)当7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水， ∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0， 解得t ≤100， ∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)． (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)， ∴7：55时，水箱内还有水150升． (3)令y ＝0，即200－2t ＝0，解得t ＝100. 100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分， 故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x 的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x 的值，实际上就是解方程．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！。

变量与函数（第1课时）说课尊敬的各位领导和同仁们：大家好，今天我说课的内容是《变量与函数》第二课时。

下面我从教材分析、教法学法、学情分析、教学流程、板书设计、课后反思六个方面进行设计说明。

第一部分：教材分析（一）说教材地位和作用本节课是义务教育课程标准人教版数学八年级下册第十九章一次函数《变量与函数》中第二节课的内容。

变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一次飞跃。

遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则这一部分对于初中生来说是一块新的领域，但涉及的内容又与生活的实际联系非常密切，可以补充大量的实例来充实本课，进而吸引学生的学习兴趣，让学生感受数学在生活中可以广泛的应用到。

所举的实例也都能在认识函数的时候用到，有助于教师帮助学生在现实情境中，感受函数作为刻画现实世界的模型的意义，为下一节课奠定重要基础。

（二）说教学目标综上分析，本课时教学目标制定如下：教学目标：1.了解函数的概念。

2.能结合具体实例概括函数概念。

3.在函数概念形成的过程中体会运动变化与对应的思想。

（三）教学重点和难点【学习重点】概括并理解函数概念中的单值对应关系。

【学习难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．以及结合实际问题表示自变量的取值范围。

第二部分：教法与学法分析：1.说教法方法与手段：本节课从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，有利于学生体会与实验，思考与探索。

在概念教学设计中，注意遵循人们认识事物的规律，从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深。

采用教师引导，学生自主探索、合作交流的教学方式，让学生充分发挥聪明才智，去发现问题，提出问题，进而分析、解决问题，充分调动学生的积极性，培养学生的应用意识。

2.说学法根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。

通过对学生原有知识水平的分析，创设情境，使数学回到生活，鼓励学生思考问题、发现问题，充分发挥学生的主体作用，让学生成为学习的主人。

19.1.1变量与函数一、学习目标1.认识变量、常量2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量重点：了解常量与变量的关系难点：较复杂问题中常量与变量的识别.二．自主学习一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．１．根据题意填写下表：２．在以上这个过程中，变化的量是____ __．不变的量是__________．３．试用含t的式子表示s = 。

三．合作探究1、每张电影票售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张．三场电影的票房收入分别为元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•用含x的式子表示y为。

y随x的变化（填“要”或“不”）变化。

2、当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S为；S随r的变化（填“要”或“不”）变化。

3、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值时计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xm，面积为Ｓm2．怎样用含有x的式子表示S?因矩形对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10m的一半，即 m．若长为1m，则宽为 =4（m）据矩形面积公式：Ｓ＝ =4（m2）若长为2m，则宽为（m）面积Ｓ＝若长为xm，则宽为5 （m）面积Ｓ＝从以上三个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．结论：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为。

注意：常量与变量必须存在于一个变化过程中。

判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：四、达标测试１．若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43Ｒ3．其中变量是_____、•_____，常量是________．2．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________．3．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．。

人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，属于初中数学的函数单元。

本节内容主要介绍了变量的概念，函数的定义及其表示方法，旨在让学生理解变量之间的关系，掌握函数的基本概念和表示方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数基础知识，对代数表达式有一定的理解，但对于变量的概念和函数的定义可能还比较陌生。

因此，在教学过程中需要引导学生理解变量之间的关系，逐步引入函数的概念，并通过实例让学生掌握函数的表示方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解变量之间的关系，掌握函数的定义及其表示方法，能够识别和表示简单的函数关系。

2.过程与方法目标：通过观察、分析实例，培养学生的抽象思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：函数的定义及其表示方法。

2.教学难点：理解变量之间的关系，掌握函数的表示方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的实例，引导学生观察和分析变量之间的关系，引出函数的概念。

2.探究新知：让学生通过小组合作，探讨函数的定义及其表示方法，教师进行引导和讲解。

3.巩固新知：通过练习题让学生巩固函数的概念和表示方法，教师进行点评和指导。

4.应用拓展：让学生运用函数的知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数的概念和表示方法。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出函数的概念和表示方法。

主要包括以下几个部分：1.变量与函数的定义2.函数的表示方法3.函数的性质八. 说教学评价教学评价主要包括学生的学习效果评价和教师的教学评价两个方面。

19.1 函数19.1.1 变量与函数【知识与技能】运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.【过程与方法】通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.【情感态度】引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【教学重点】理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.【教学难点】确定函数关系式及自变量的取值范围.一、情境导入,初步认识【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐领悟知识.情境1 汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为s km,行驶时间为t h.填写下列表格,再试着用含t的式子表示s.情境2 已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y？情境3 要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?二、思考探究，获取新知问题1 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）?问题2 用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设长方形的长为xcm,面积为Scm2,怎样用含x的式子表示S?将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总交流.【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结.上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间t,里程s;出售票数x,票房收入y;……)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(km/h),票价10(元)等,即为常量.一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a 时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.提出自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律：(1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数.(2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为0的数.(3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立方根形式出现,取值为全体实数.(4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为0的数.(5)自变量取值范围还应考虑实际意义.三、典例精析，掌握新知例1 根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量.(1)多边形的内角和W 与边数n 的关系.(2)甲、乙两地相距y km,一自行车以10km/h 的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离 s(km).【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中的y.解:根据题意列表为:例2 求下列函数中自变量的取值范围.(1)y=x 2-2x-1; (2)24y x =-; (3)24y x =- (4)3y x =+; (5)1362y x x =-- (6)y=(x-1)0. 【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围.【答案】(1)一切实数; (2)x≠4; (3)x≥2; (4)x>-3; (5)1≤x≤3; (6)x≠1.【归纳总结】含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),这时要综合考虑各种要求,准确界定范围.例3 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量x 要使腰、底为正数,即x>0,y>0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解.解：由题意,得2x+y=80,所以y=80-2x.由解析式本身有意义,得x 为全体实数. 又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有0,0,2.x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩.即0,2800,2280.x x x x >-⎧+>>-+⎪⎨⎪⎩ 解得20<x<40.故y=80-2x(20<x<40).四、运用新知，深化理解1.分别指出下列关系式中的变量与常量：（1）一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为212h gt =（其中g≈9.8m/s 2）； （2）等腰三角形的顶角y 与底角x 存在关系y=180°-2x ；（3）长方体的体积V(cm 3)与长a （cm ），宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V=abh.2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a 表示一个人的年龄，b 表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).（1）上述关系中的常量和变量各是什么？（2）一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？3.(1)齿轮每分钟转120转,如果用n 表示总转数,t(分)表示时间,那么n 关于t 的函数关系式是_____________.(2)火车离开A 站10km 后,以55km/h 的平均速度前进了t(h)小时,那么火车离开A 站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_____________________.4.某水果店卖苹果,其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表:(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；(2)计算当x=6时，y 的值；(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量.【教学说明】用字母表示的量不一定是变量，如π、g 等表示的是常量，要从变与不变的实质出发来分辨变量和常量.【答案】1.（1）时间t 可以取不同值，随t 的变化，h 值也改变，因此时间t 、距离h 是变量，12、g 的值始终不变，是常量.（2）底角x 可以取不同值，y 随x 的改变而改变，因此x、y是变量，而180°与2是常量.（3）长a，宽b，高h都可以取不同的值，V的对应值也是变化的，故a、b、h、V都是变量.2.（1）变量是b、a，常量是0.8、220.（2）把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164.3.(1)n=120t;(2)s=10+55t.4.(1)根据信息:售出质量每增加1千克,售价则增加2.4元,售价中另一部分0.2元不变,可求出y与x之间的函数关系式.(2)把x=6代入函数关系式可求出y值;(3)实际上是求当y=19.4时,它所对应的x的值.解:(1)从表中提供的信息看,质量每增加1千克,售价增加2.4元,所以y=2.4x+0.2.(2)当x=6时,y=2.4×6+0.2=14.6.(3)当y=19.4时,2.4x+0.2=19.4,解得x=8.即售价为19.4元时售出苹果的质量为8kg.五、师生互动，课堂小结由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等.教师根据学生的发言,予以点评总结.1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时内容是学生的认识，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研究与应用能力.。

人教版八年级数学下册变量与函数教案2023年4月第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数课时1 变量与常量教学目标【知识与技能】借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

【过程与方法】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

【情感态度与价值观】从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定的灵活运用..教学准备多媒体课件一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。

例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。

再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

教学过程：二、合作交流、解读探究1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。

A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）气温随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

同学们，今天我们将要学习的是《变量与函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个量相互依赖的情况？”比如，自行车的速度和行驶时间的关系。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索变量与函数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.在小组讨论中，要注意问题的设置，引导学生正确地思考和解决问题。
4.课后要加强作业和练习的布置，帮助学生巩固所学知识。
在今后的教学中，我会根据这节课的反思，不断调整和优化教学方法，以提高学生的学习效果。
在总结回顾环节，我强调了对函数概念和三要素的掌握，希望学生们能够在日常生活中运用所学知识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，还需要在课后布置一些相关的作业和练习，以巩固所学知识。
1.在理论讲解时，要尽量用简单明了的语言，结合实际案例，让学生更好地理解抽象的概念。
2.在实践活动前，要进行充分的讲解和演示，确保学生能够顺利地进行实验操作。
-举例：在函数y = 2x + 3中，2和3是常量，x和y是变量。
2.教学难点
-函数关系式的建立：学生需要学会从实际问题中பைடு நூலகம்象出函数关系，并用数学符号进行表达。

19．1 函 数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量1．了解常量、变量的概念；2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)一、情境导入大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．二、合作探究探究点一：常量与变量【类型一】 指出关系式中的常量与变量设路程为s km ，速度为v km/h ，时间为t h ，指出下列各式中的常量与变量：(1)v ＝s 8；(2)s ＝45t －2t 2； (3)v t ＝100.解析：根据变量和常量的定义即可解答． 解：(1)常量是8，变量是v ，s ； (2)常量是45，2，变量是s ，t ； (3)常量是100，变量是v ，t .方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．解：由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2，0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．探究点二：确定两个变量之间的关系【类型一】区分实际问题中的常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝12gt2(其中g取9.8m/s2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)h＝12gt2(其中g取9.8m/s2)，常量是12g，变量是h，t；(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．【类型二】探索规律性问题中的常量与变量按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．(1)题中有几个变量？(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－1)＝4x＋2.解：(1)有2个变量；(2)能，关系式为y＝4x＋2.方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．三、板书设计1．常量与变量数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．2．常量与变量的区分整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．。

19.1.1变量与函数（第1课时）教案【教材分析】教学目标知识技能1.理解变量、常量的概念以及相互之间的关系，能指出一个变化过程中的变量与常量.2.能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式.过程方法经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．逐步感知变量间的关系．情感态度1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．重点１.常量和变量的概念；２.用式子表示变量间关系．难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入思考：一辆长途客车在行驶过程中，那些量不变？那些量发生了变化？教师出示问题，学生思考教师点拨：(1)若汽车的速度不变，则汽车所用的时间和汽车走过的路程发生了变化。

(2)若总路程不变，则汽车所需时间和行驶速度发生了变化。

自主探究合作【问题1】一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，•行驶时间为t小时．（1）请同学们根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米（2）在以上这个过程中，变化的量是_ __,不变化的量是________．（3）试用含t的式子表示s．____ .学生在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．（1）分析：这是一个路程、速度与时间的问题，他们三者之间的关系是路程＝速度×时间。

教师点名学生回答，（2）变化的量：行驶里程s千米，行驶时间t小时不变的量：60千米／小时交流自主探究合作交流【问题2】每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?（1）早场票房收入：_____（元）（2）午场票房收入：_____（元）（3）晚场票房收入：_____（元）（4）用含x的式子表示y的关系式：____________【问题3】用10m长的绳子围成一个长方形，当长方形的一边长x分别为3m、4m、4.5m，它的邻边长y分别为多少？写出y与x的关系式.【思考】上述各个问题中，数值发生变化的量有，数值不变的量有.归纳：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），数值始终不变的量称之为常量（constant）．xy（3）s＝60t教师结合学生身边的实例让学生初步了解实际问题中的变量、常量.（1）早场电影票房收入：150×10=1500（元）（2）午场电影票房收入：205×10=2050（元）（3）晚场电影票房收入：310×10=3100（元）（4）y=10x教师出示问题，学生计算填表，感受变化规律：关系式：y=5-x尝试应用1．某种报纸每份a元，购买x份此种报纸共需y元，则axy=中的常量是___________，变量是______________．2．假设钟点工的工作标准为6元/时，设工作时数为t，应得工资额为m，则tm6=，其中常量是______________，变量是______________．3．若球体体积为V，半径为R，则334RVπ=．其中变量是_______、•_______，常量是________．4.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价答案：1．a，x、y．2．6，t、m．3．R、V，43π．4．挂1kg重物时弹簧长度：1×0．5+10=10．5（cm）挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位:cm）？（1）挂1kg重物时弹簧长度：l= 1×0．5+10=10．5（cm）（2）挂2kg重物时弹簧长度：l=___×0．5+10=_ _（cm）（3）挂3kg重物时弹簧长度：l=_ _×0．5+10= __（cm）（4）挂xkg重物时弹簧长度：l =_______ _______.5．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（c m2）的关系．（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t•（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）．挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）关系式：L=0．5m+10 5．（1）S=x（10-x），S和x 是变量，10是常量；（2）α=90°－β，α和β是变量，90是常量；（3）y=30-0.5t，y和t 是变量，30和0.5是常量成果展示欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.补偿提高6.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价()1xx21y+=作业设计作业：课本P72练习题教师布置作业，提出具体要求学生认定作业，课下独立完成。

第十九章 函数19.1 函数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.重点：能够区分同一个问题中的常量与变量. 难点：用式子表示变量间的关系.一、知识链接1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.2.写出路程（s ）、速度（v ）、时间（t ）之间的关系： . 二、新知预习1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价y 元随铅笔支数x 的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.2.圆的面积S 随着半径r 的变化而变化，已知它们的关系为:2r S π=,在这个问题中，常量是 ，变量是 .3.自主归纳：变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值________的量为常量. 三、自学自测1.指出下列关系式中的常量和变量.（1）长方形的长为2，长方形面积S 与宽x 之间的关系S=2x ； （2）一批香蕉每千克6元，则总金额y （元）与销售量x （千克）之间的关系式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s （米）与时间t （秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.四、我的疑惑____________________________________________________________ ____________________________________________________________一、要点探究探究点1问题1：小时．（1（2）试用含t（3问题2：售出310（1（2（3）试用含x张数_____问题3：r分别为（1）填空：当圆的半径为当圆的半径为当圆的半径为当圆的半径为（2要点归纳：例1(1)变量是________；(2)周长C________；(3)中，其中常量是变式题阅读并完成下面一段叙述：1.若球体体积为V ，半径为R ，则343V R π=，其中变量是________、________，常量是________.2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a （元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q （升）与5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.。

19．1 函 数变量与函数第 1 课时 常量与变量(3) 常量是 100，变量是 v ， t .方法总结： 常量就是在变化过程中不变1．认识常量、变量的观点；的量，变量就是能够取到不一样数值的量．2．掌握在简单的过程中鉴别常量和变【种类二】几何图形中动点问题中的量的方法， 感觉在一个过程中常量和变量是 常量与变量相对存在的． ( 要点 )一、情境导入如图，等腰直角三角形ABC 的直大千世界处在不断的运动变化之中，如角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10cm ， AC何来研究这些运动变化并找寻规律呢？与 MN 在同向来线上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ 向右运动，最后A 点与 点重ABCN 合．试写出重叠部分的面积 y cm 2 与 MA 的长度 x cm 之间的关系式， 并指出此中的常量与 变量．分析：依据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，进而依据的长MA数学上常用常量与变量来刻画各样运度可得出 y 与 x 的关系． 再依据变量和常量动变化．的定义得出常量与变量．二、合作研究解：由题意知， 开始时 A 点与 M 点重合，研究点一：常量与变量让△ ABC 向右运动， 两图形重合的长度为AM【种类一】 指出关系式中的常量与变1 量＝ x cm.∵∠ BAC ＝45°，∴ S 暗影 ＝ 2 · AM · h 设行程为 s km ，速度为 v km/h ，时＝1 2＝ 1 2，则＝ 12，0≤≤10. 此中的间为 t h ，指出以下各式中的常量与变量：2AM2xy2xxs12(1) v ＝ ；常量为 ，变量为重叠部分的面积y cm 与 MA82(2) s ＝45t － 2t 2； 的长度 x cm.(3) vt ＝ 100.方法总结： 经过剖析题干中的信息获得分析：依据变量和常量的定义即可解等量关系并用字母表示是解题的要点， 划分答．此中常量与变量可依据其定义鉴别．解： (1) 常量是 8，变量是 v ， s ；研究点二：确立两个变量之间的关系(2) 常量是 45，2，变量是 s ， t ；【种类一】划分实质问题中的常量与1变量剖析并指出以下关系中的变量与常量：(1) 球的表面积 S cm 2 与球的半径 R cm 的关系式是 S ＝ 4π R 2；(2) 以固定的速度v 0 米 / 秒向上抛一个小球，小球的高度 h 米与小球运动的时间 t秒之间的关系式是h ＝ v 0t － 4.9 t 2；(3) 一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离 h m 与它着落的时间 t s 的关系式122是 h ＝ gt ( 此中 g 取 9.8m/s ) ；(4) 已知橙子每千克的售价是1.8 元，则购置数目 x 千克与所付款 W 元之间的关系式是 W ＝ 1.8 x .分析：依据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量； 数值一直不变的量称为常量可得答案．解： (1) S ＝4π R 2，常量是 4π ，变量是S ， R ；(2) h ＝v 0t － 4.9 t 2，常量是 v 0，4.9 ，变量是 h ， t ；(3) h ＝1gt 2( 此中 g 取 9.8m/s 2) ，常量是 212g ，变量是 h ， t ；(4) W ＝1.8 x ，常量是 1.8 ，变量是 x ，W .方法总结： 常量与变量一定存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量仍是变量，需要看两个方面：一是它能否在一个变化过程中； 二是看它在这个变化过程中的取值状况能否发生变化．【种类二】 研究规律性问题中的常量与变量按如图方式摆放餐桌和椅子． 用 x来表示餐桌的张数，用 y 来表示可坐人数．(1) 题中有几个变量？(2) 你能写出两个变量之间的关系式 吗？分析：由图形可知， 第一张餐桌上能够摆放 6 把椅子， 进一步察看发现：多一张餐桌，多放 4 把椅子． x 张餐桌共有 6＋ 4( x －1) ＝ 4x ＋ 2.解： (1) 有 2 个变量；(2) 能，关系式为 y ＝ 4x ＋ 2.方法总结： 解答此题要点是依照图形得出变量 x 的变化规律．三、板书设计 1．常量与变量数值发生变化的量称为变量， 数值一直不变的量为常量．2．常量与变量的划分整个教课过程中， 作为教课主导的老师需特别着重对学生感觉知识与办理问题的能力与结果的即兴评论． 应指引学生在学习中多举例，多类比，多思虑，多体会，以此激发和培育学生的学习兴趣， 理解和接受常量与变量的观点， 改变对观点下程式化的定义，确实提升学生的学习兴趣， 降低函数学习入门的难度．2。