曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}2B x xx =-=，且B A ⊆，则a 的值为（ ）．A. 1B. 1- C. 1± D. 2【答案】B 【解析】【分析】解二次方程化简集合B ，再由集合的包含关系求得a ，进而利用元素的互异性即可得解.【详解】因为{}{}200,1B x x x =-==且BA ⊆，则集合A 中必含元素0，1，所以21a =或1a =，得1a =±，根据集合中元素的互异性可知：1a =-．故选：B ．2. 已知221813iiz +=，则z 虚部为（ ）．A. 13- B. 13i- C. 13D. 18-【答案】C 【解析】【分析】应用复数运算法则化简式子求z ，根据i z a b =+求出i z a b =-即可知z 的共轭复数，求出z 的虚部即可.【详解】4i 1n =，所以224522i i i i 1⨯===⋅-，1813i z =--，1813i z =-+，所以z 的虚部为13.故选：C .3.πcos()3αα=-，则tan 2α=（ ）．A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.的πcos()3αα=-1cos2αα=+1cos2αα=，可得tanα=，由正切的倍角公式可得tan2α==故选：D．4. 已知F是双曲线2213xy-=的左焦点，()1,3M，P是双曲线右支上的一动点，则PF PM+的最小值为（）．A.B.C. +D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线定义得到2PF PF a'-=，进而根据PM PF MF'+≥'，即可求解【详解】设双曲线的右焦点为F'，由2213xy-=可知a=2c=，则()2,0F'，因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：2PF PF a'-==所以PF PM PF PM+=++'，因为PF PM MF+'≥'，当且仅当F'，P，M三点共线时，达到最小值MF'，因为()1,3M，()2,0F'，所以MF'=，即PF PM+的最小值为MF+='故选：C．5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．A.37B.47C.15D.45【答案】A 【解析】【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．6. 过点()0,2P 作圆22:430C x x y-++=的两条切线，设切点为A ，B，则切点弦AB 的长度为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先求PC 以及切线长，再根据等面积法即可得结果.【详解】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知PC =C 的半径1r =，所以切线长PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为1212PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：12PACB S PC AB ==⨯⨯，所以AB =故选：B ．7. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C A =，a ，b ，c 成等差数列，则cos C =（ ）．A.18B.34C. 12-D.45【答案】A【解析】【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.【详解】因为2C A =，所以π3B A =-．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b a c =+．根据正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即()2sin 3sin sin A A C =+，展开得：2sin 2cos 2cos 2sin sin sin A A A A A C +=+，进一步得：()()sin 22cos 1sin 12cos 2A A A A -=-，因为sin 0A ≠，可得28cos 2cos 30A A --=，又易知A 为锐角，所以3cos 4A =，则231cos 2148C ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A ．8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，及()()g x f x '=，若()12f x -，()2g x +均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．A. ()10f = B. ()g x 的周期为2C. ()()13f f -= D. ()()02g g =【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】因为()12f x -是偶函数，则()()1212f x f x -=+，即()f x 关于1x =对称，对()()1212f x f x -=+两边同时求导可得：()()212212f x f x --=+''，即()()12120g x g x -++=，所以()g x 关于()1,0对称，又因为()2g x +是偶函数可得()()22g x g x +=-，即()g x 关于2x =对称．从而得()g x 的周期为4．所以()f x 的周期也为4．对于选项A ，因为若()f x 满足题意，则()f x c +也满足题意．故()f x 的值不确定，所以A 错；对于选项B ， ()g x 的周期为4，所以B 错；对于选项C ， ()f x 的周期也为4，所以()()13f f -=，所以C 对；对于选项D ，()g x 关于()1,0对称，所以()()02g g =-，所以D 错．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知x ，y 都是正数，且22x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A. xy 的最大值为12B.12x y +的最小值为92C. 224x y +的最小值为4D.+的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式可对A ，C 、D 判断；利用基本不等式“1”的应用可对B 判断；【详解】对A ：22x y +=≥可得12xy ≤，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故A 选项正确；对B ：由22x y +=，得12xy +=，所以()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，故1292x y +≥，当且仅当23x y ==时成立，故B 选项正确；对C ：()2222444x y x xy y +=++=，由A 知12xy ≤，所以2214444422x y xy +=-≥-⨯=，仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故C 选项错误；对D ：由A 知12xy ≤，所以22224x y +=++=+≤+=，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故D 选项正确．故选：ABD ．10. 已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线C 的准线与x 轴的交点为G ．则下列说法正确的是（ ）A. 124x x = B. 当8AB =时，直线l 的斜率为1±C. GF 始终平分AGB ∠D. ()min 8AGB S = 【答案】BC 【解析】【分析】设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A ，通过弦长公式可判断B ，通过0AG BG k k =+可判断C ，由三角形面积公式可判断D.【详解】显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线得2440y ny --=，则124y y =-，所以221212116y y x x ==，所以A 选项错误；又因为()212124448AB x x p n y y n =++=++=+=，可得21n =，即11n k==±，所以1k =±，所以B 选项正确；即证0AG BG k k =+，即()()()12121212221212121212122288011222424ny y y y y y y y n nx x ny ny n y y n y y n y y n y y ++-++=+===++++++++++，所以C 选项正确；由上述知：12AGB S AB d =⋅ ，已知直线方程为：10x ny --=，则d =，所以()214442AGB S n =+=≥ ，当且仅当0n =时成立，所以()min 4AGB S = ，所以D 选项错误．故选：BC ．11. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π3AB =，则下列说法正确的是（ ）．A.2ω=，π3ϕ=-B. ()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 5π12x =-是()f x 的一条对称轴 D. y x =-是曲线()f x 的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】由函数的图象可确定ω，ϕ的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.【详解】设11,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,2B x ⎛⎫⎪⎝⎭，则21π3x x -=．因为()112sin x ωϕ+=，()212sin x ωϕ+=,所以1π2π6x k ωϕ+=+，25π2π6x k ωϕ+=+，Z k ∈，所以()212π3x x ωϕωϕ+-+=，即()212π3x x ω-=，即2ω=．又因为2π2πsin 033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为下降零点，所以2ππ2π3k ωϕ+=+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，故取π3ϕ=-．故()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以A 选项正确；当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2π2,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，显然不是单调增区间，所以B 选项错误；将5π12x =-代入方程得()5ππ7πsin 2sin 11236f x -⎛⎫⎛⎫=⨯-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不是对称轴，所以C 选项错误；令()π2cos 213f x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭得ππ3x k =+或πx k =，取点0,⎛ ⎝得其中一条切线为y x =-，所以D 选项正确．故选:AD ．12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台ABCD A B C D -''''．如图所示，过B '作底面ABCD 的垂线，垂足为G ．记B BG α'∠=，B BC γ∠'=，GBC θ∠=，面BB C C ''与面ABCD 所成角为β，面BB C C ''与面BB G'所成角为x ，B C a ''=，BC b =，B G h '=，则（ ）A. 正四棱台ABCD A B C D -''''体积为()2213h a b ab ++B. tan 2tan βα=C. sin sin sin αβγ=D cos cos cos cos sin sin x θαγαγ-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A 选项；作出面BB C C ''与面ABCD 的二面角β，分别写出tan ,tan βα的表达式，即可判断B 选项；根据B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．得到sin sin sin BB B H BB αγβ'''==，即可判断C 选项；作出面BB C C ''与面BB G '的二面角，通过余弦定理即可判断D 选项.【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：(()221133V h S S h a b ab =+=++下上台，所以A 正确；对于B ，过G 点作BC 边的垂线交BC 于H点，的.因为GH BC ⊥，B G '⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以B G BC '⊥，又,HG B G '⊂面B HG '，所以BC⊥面B HG '，所以B HG '∠就为面BB C C ''与面ABCD 所成角的二面角β，则tan B H BB α'='，tan B G HG β'==tan tan βα=．所以B 错误；对于C ，因为B G '⊥面ABCD ，BC ⊥面B HG '，所以B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．所以sin sin sin BB B H BB αγβ'''==,即sin sin sin αβγ=．所以C 正确；对于D ，过H 点作BB '的垂线，交BB '于I ，再在平面BB G '内过I 作BB '的垂线交BG 于J ．易知此时面BB C C ''与面BB G '所成角的二面角就为HIJ x ∠=．设BJ m =，则sin IJ m α=，cos sin cos m IH αγγ=．cos sin cos IH m BH αγγ==，22222222cos cos cos 2cos 2cos cos m m JH BJ BH BJ BH m ααθθγγ=+-⋅=+-，由余弦定理可知：222cos 2IJ IH JH x IJ IH+-=⋅，222222222222cos sin cos 2cos cos sin cos cos cos 2sin cos sin cos m m m m m m αγααθαγγγααγγ+--+=，222222sin cos cos sin cos cos 2cos cos cos 2sin cos sin cos αγαγγααθγααγγ+--+=，2cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin sin αθαγθαγααγαγ--==，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量()2,2a b += ，()1,3a b -= ，则22a b -= __________．【答案】8【解析】【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.【详解】()()2221238a b a b a b -=+⋅-=⨯+⨯=．故答案为：8.14. 已知等差数列{}n a 中，19a =-，33a =-．记()121,2,3,n n T a a a n == ，则数列{}n T 中的最小项为__________．【答案】162-【解析】【分析】先求出数列的通项公式，求出n T ，观察可得答案.【详解】因为等差数列{}n a ，所以公差3132a a d -==，即()913312n a n n =-+-⨯=-．由于19a =-，26a =-，33a =-，40a =，所以19T =-，254T =，3162T =-，450n T T T ==== ，所以()3min 162n T T ==-．故答案为：162-15. 若函数()πsin 3y x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，则实数ω的值可以是__________（写出一个满足题意的ω即可）．【答案】3或4（只写一个即可）【解析】【分析】根据π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 求得ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合已知条件图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，求得关于ω的不等式解出ω范围，因ω*∈N 确定ω的值.【详解】因为π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，则ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为需要包含两条相邻的对称轴，因为π3在区间内，则有3πππ5π2232ω≤+<，即71333ω≤<，所以3ω=或4．故答案为：3或4（只写一个即可）16. 已知函数()22e 18xf x a x =-+，其中0a >且1a ≠．若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()1,11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，()0f x '=即ln e x a a x =，令()ln x h x a a =，()e g x x =，分1a >和01a <<两种情况讨论，根据()h x 与()g x 有两个交点，求出()h x 过原点的切线，比较()h x 过原点的切线的斜率与()g x 斜率，得出关于两斜率的不等式求解a 即可.【详解】对函数()22e 18xf x a x =-+求导得：()()2ln 2e 2ln e xxf x a a x a a x =-=-'，因为()f x 存在两个极值点，所以()f x '有两个不同的变号零点．令()0f x '=，有 ln e x a a x =，令()ln xh x a a =，()e g x x =，所以()h x 与()g x 有两个交点；当1a >时，()ln xh x a a =，()2ln xh x a a '=，设过原点的直线与()ln xh x a a =的切点坐标为()00,ln xx a a ，切线斜率为02ln x k a a =，所以切线方程为：()0020ln ln xxy a a a a x x -=-，将原点坐标带入切线方程得01ln x a=．此时切线的斜率为：122ln ln eln ak aa a ==，现在需要ln e xa a x =有两个交点，即2eln e k a =<，因为1a >，有ln 0a >，所以0ln 1a <<，所以1e a <<；同理知当01a <<时，ln 0a <， 2eln e k a =<， 即1ln 0a -<<，所以11ea <<．综上知：a 的取值范围为()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，5A B C +=，()3sin sin B C A -=，2AB =．（1）求ABC 的外接圆半径R ；（2）求sin A ．【答案】（1）2R =（2【解析】【分析】（1）根据内角和求出C ，由正弦定理即可得结果；（2）通过两角和与差的正弦公式可得tan B ，即得sin B ，cos B ，最后根据()sin sin A B C =+即可得结果.【小问1详解】因为5A B C +=，πA B C ++=，所以π6C =．又因为2AB c ==，所以根据正弦定理得：24sin cR C==，所以2R =．【小问2详解】因为()()3sin sin sin B C A B C -==+，展开可得：sin cos 2cos sin B C B C =，即tan B =，所以sin B =cos B =因为πA B C ++=，所以()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，且//AD BC ，AB AD ⊥，22PA AB BC AD ====，E 为PB 边上的一点，满足2BE EP =．（1）求证：直线//PD 面ACE ；（2）F 为线段BC 的中点，求直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于G ，再连接EG ，证明出AGD CGB △∽△，可得出BG BEDG EP=，可证明出//PD AG ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于G ，再连接EG ．因为//AD BC ，则DAG BCG ∠=∠，ADG CBG ∠=∠，则AGD CGB △∽△，所以，2BG BCDG AD ==，又因为2BE EP = ，则2BEEP =，所以，BG BE DG EP=，所以，//PD AG ，因为PD ⊄平面ACE ，AG ⊂平面ACE ，因此，//PD 平面ACE .【小问2详解】解：由题可得：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()0,0,2P ，24,0,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2,0C ，因为F 为线段BC 的中点，则()2,1,0F ，所以，24,0,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,2,0AC =．设面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则2202433m AC x y m AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，可得()2,2,1m =--，又因为()2,1,2PF =-，设直线PF 与平面ACE 所成角为θ，则44sin cos ,339PF m PF m PF m θ⋅====⨯⋅，则cos θ===，因此，直线PF 与平面ACE19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<∈N 条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．【答案】19. 分布列见解析，()65E X = 20. 07a =【解析】【分析】（1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率，23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的公式可以求出分布列期望.（2）根据已知条件求出()P A 的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合010a <<且a *∈N ，比较()6P ，()7P 大小确定a 值.【小问1详解】由题可得：X 0=，1，2，3，可得：每次捉到红鲤鱼的概率为42105p ==．易知23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．分布列如表所示：X123()P X 2712554125361258125所以()26355E X np ==⨯=．【小问2详解】每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为10a，则捉到黑鲤鱼的概率为110a -．所以()()223233C 11010101000a a P A a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中010a <<且a *∈N ，令()3210h a a a =-+，则()2320h a a a '=-+，()0h a '=解得0a =或203a =，故在200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0h a '>，()h a 为增函数，在20,103⎛⎫⎪⎝⎭上()0h a '<，()h a 为减函数，所以()max 203h a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又因为010a <<且a *∈N ，所以验证()546125P =，()44171000P =，所以()()max 7P A P =，所以07a =，综上所述：事件A 发生的概率最大时07a =.20. 已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．（1）若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．【答案】（1）n a n =； （2）5353T =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差d 即可求出通项公式.（2）利用等差数列通项列式，求出1,n n b b +的关系，利用构造法求出数列{}n b 的通项，再借助分组求和即得.【小问1详解】由数列{}n a 是等差数列，22n n a a =，得()()()()1112121221a n d a n d a n d +-=+-=+-，则11d a ==，所以数列{}n a 的通项公式为：()11n a n n =+-=．【小问2详解】因为数列{}n a 是等差数列，且满足13n n b b a a +=，则()()()()1111131331n n n a b d a b d a b d ++-=+-=+-，又13a d =，则化简得：134n n b b +=+，于是()1232n n b b ++=+，由11b a a =，得11b =，因此数列{}2n b +是以3为首项，3为公比的等比数列，则23nn b +=，即32nn b =-，所以()553131035313T -=-=-.21. 已知抛物线(2:20O x py p =>，其顶点在坐标原点，直线1y =与抛物线交于M ，N 两点，且OM ON ⊥．（1）求抛物线O 的方程．（2）已知()22:21C x y +-= ，1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中12A A ，13A A 均与C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）2x y = （2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）先由题意求得,M N 的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得p ，由此得解；（2）充分利用()21,2,3i i x y i ==，得到直线12A A 与13A A 的方程，利用与圆相切的性质同构出直线23A A 的方程，从而得解.【小问1详解】因为1y =与抛物线相交，联立212y x py =⎧⎨=⎩，解得1y x =⎧⎪⎨=⎪⎩()M，)N．因为OM ON ⊥，所以210OM ON p ⋅=-+= ，所以21p =，则抛物线的方程为2x y =．【小问2详解】由题易知直线12A A ，13A A ，23A A 斜率一定存在，设()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，则()21,2,3i i x y i ==，则直线12A A 的方程为：()211121y y y y x x x x --=--，即()()1211y y x x x x -=+-，即()21120x x x y x x +--=，因为()22:21C x y +-= 的圆心为()0,2C ，半径为1r =，因为直线12A A 与圆C1=，平方化简得：2222121212230x x x x x x --++=，看成关于2x ，2y 为变量的式子得：()121211230y y x x y -++-=，同理得直线13A A 与圆C 相切，化简式子后得：()131311230y y x x y -++-=，所以可以同构出直线23A A 的方程为：()1111230y y x x y -++-=，则所以圆心()0,2C 到直线23A A 的距离为：11111y d y +==+，此时圆心C 到直线23A A 的距离为定值，定值为1.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线23A A 的方程，从而得解.22. 已知函数()e x ax f x =和ln ()x g x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【答案】（1）1a = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；（2）设()()h x f x b =-，由（1）确定10eb <<，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得y b =与()y f x =的图象有两个交点，同理得y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合()(ln )g x f x =可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.【小问1详解】()f x 定义域是(,)-∞+∞，()g x 的定义域是(0,)+∞，因为()()()211ln ,e xa x xf xg x ax''--==，当a<0时，()01f x x '<⇒<,()01f x x '>⇒>,()00e g x x '<⇒<<,()0e g x x '>⇒>,则()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞单调递增，不存在最大值，()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞单调递增，也不存在最大值；同理知当0a >时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，所以()f x 有极大值()1eaf =，即()f x 的最大值，()g x 有极大值()1e eg a =，即()g x 最大值，所以1e ea a =，即1a =；【小问2详解】由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0g x >，因此只有10eb <<才可能满足题意，记()exx h x b =-，且10e b <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00eh b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=，设()()m x x ϕ'=，则()e 2x m x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增，所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211(e 0bb bϕ=->，11e bb b <又1110ebb h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，的第21页/共21页其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内，同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x x x x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e x x =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，324,,x x x 成等比数列.【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系()(ln )g x f x =找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.的。
