下载文档原格式
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性?二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。
在下面9个方框中各填一个数，使这9个数从左到右构成等差数列，其中4、20已经填好，这个等差数列的公差是几？请你填好这个等差数列。
【答案】公差是2。
【解析】相差：9-1=8(个)公差，公差(d)：(20-4)÷(9-1)=2⑴有一个等差数列，第1项是3，第10项是39，公差是多少？⑵已知一个等差数列第7项等于43，第9项等于57。
请问这个数列的公差是多少？【答案】（1）4；（2）7。
【解析】（1）公差(d)：(39-3)÷(10-1)=4（2）公差(d)：(57-43)÷(9-7)=7等差数列（二）知识纵横等差数列中求公差的公式：公差=(末项-首项)÷(项数-1)字母公式：d=(a n - a1)÷(n -1)等差数列中末项的公式：末项=首项+(项数-1)×公差字母公式：a n= a1+ （n -1）⨯d等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半。
即中间项=和÷项数=(首项+末项)÷2。
或者换句话说，各项的和等于中间项乘项数，即和=中间项×项数。
例 1试一试 1等差数列：1，3，5，7，9，11，……，第20项是多少？【答案】第20项是39。
【解析】末项=首项+(项数-1)×公差公差d=2第20项：1+(20-1)×2=39在等差数列8、11、14、17、20、……中，第10项是多少？第14项是多少？第31项呢？【答案】第10项是35；第14项是47；第31项是98。
【解析】末项=首项+(项数-1)×公差公差d=3第10项(a 10)：8+(10-1)×3=35第14项(a 14)：8+(14-1)×3=47第31项(a 31)：8+(31-1)×3=98等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示.要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算.一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如:2、5、8、11、14、17、20、从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项:一个数列的第一项,通常用1a 表示末项:一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项.项数:一个数列全部项的个数,通常用n 来表示;公差:等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示;和 :一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式:递增数列:末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d=+-⨯（）递减数列:末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d=--⨯（）知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式:n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到:11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >);11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、13、 、40、43、46 ,分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项,每组3个数,所以共45315÷=组,原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式:和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手:(思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++ 共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目,还可以这样理解:23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++ 和=1+和倍和即,和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如:① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯= （）,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯;② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯= （）,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列?若是,请指明公差,若不是,则说明理由.①6,10,14,18,22,…,98;②1,2,1,2,3,4,5,6;③ 1,2,4,8,16,32,64;④ 9,8,7,6,5,4,3,2;⑤3,3,3,3,3,3,3,3;⑥1,0,1,0,l ,0,1,0;【例 2】小朋友们,你知道每一行数列各有多少个数字吗?（1）3、4、5、6、……、76、77、78（2）2、4、6、8、……、96、98、100（3）1、3、5、7、……、87、89、91（4）4、7、10、13、……、40、43、46【巩固】1,3,5,7,……是从1开始的奇数,其中第2005个奇数是________.【例 3】312+、610+、128+、246+、484+、……是按一定规律排列的一串算式,其中第六个算式的计算结果是 .【例 4】把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少?【巩固】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少?【例 5】已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少?第19项是多少? 【巩固】一个数列共有13项,每一项都比它的前一项多7,并且末项为125,求首项是多少?例题精讲【巩固】在下面12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16已经填好,这12个数的和为. 16 10 【例6】从1开始的奇数:1,3,5,7,……其中第100个奇数是_____.【例7】观察右面的五个数:19、37、55、a、91排列的规律,推知a =________ .等差数列公式的简单运用【例8】2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个．【巩固】1、3、5、7、9、11、 是个奇数列,如果其中8个连续奇数的和是256,那么这8个奇数中最大的数是多少?【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列中,有6个连续数字的和是159,那么这6个数中最小的是几? 【例9】在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第_______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、 ,这个数列有多少项?它的第201项是多少?65是其中的第几项?【巩固】对于数列4、7、10、13、16、19……,第10项是多少?49是这个数列的第几项?第100项与第50项的差是多少?【巩固】已知数列0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项是多少?【巩固】聪明的小朋友们,PK一下吧．⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ,这个数列有多少项?它的第102项是多少?⑵0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项是多少?⑶已知等差数列2、5、8、11、14 …… ,问47是其中第几项?⑷已知等差数列9、13、17、21、25、…… ,问93是其中第几项?【例10】⑴如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.【巩固】已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少? 【巩固】如果一等差数列的第4项为21,第10项为57,求它的第16项．等差数列的求和【例11】一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少?【巩固】有20个数,第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加,和是多少?【巩固】求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和．【例12】15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少?【巩固】把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?【例13】小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数.在求这2006个数的和时,他少算了其中的一个数,但他仍按2006个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小1.小马虎求和时漏掉的数是.模块二、等差数列的运用（提高篇）【例14】已知数列:2,1,4,3,6,5,8,7, ,问2009是这个数列的第多少项?【巩固】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、 ,问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?【例15】已知有一个数列:1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、 ,试问:⑴ 15是这样的数列中的第几个到第几个数?⑵这个数列中第100个数是几?⑶这个数列前100个数的和是多少?【例16】有一列数:l,2,4,7,1l,16,22,29,37, ,问这列数第1001个数是多少?【例17】已知等差数列15,19,23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少?【巩固】求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.【例18】100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个…第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?【巩固】有20个数,第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加,和是多少?【例19】把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少?【巩固】把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?【例20】在1~100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少?【巩固】在1~100这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?【巩固】在1~200这二百个自然数中,所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?【巩固】在11～45这35个数中,所有不被3整除的数的和是多少?【例21】求100以内除以3余2的所有数的和．【巩固】从401到1000的所有整数中,被8除余数为1的数有_____个?【例22】从正整数1～N中去掉一个数,剩下的(N一1)个数的平均值是15.9,去掉的数是_____.等差数列找规律找规律计算【例23】1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿;2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿;……只青蛙张嘴,32只眼睛条腿.【例24】如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5时,按这种方式摆下去,当N=5时,共需要火柴棍根.【例25】观察下面的序号和等式,填括号．序号 等式11236++=335715++=5581124++=77111533++= （） 7983++=（）（）（）【巩固】有许多等式: 【巩固】 2461353++=+++;【巩固】 81012147911134+++=++++;【巩固】161820222415171921235++++=+++++;⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第10个等式的和是_______【巩固】观察下列算式:2＋4＝6＝2×3, 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……然后计算:2＋4＋6＋ (100).【例 26】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放:第1个图形中有6个小圈,第2个图形中有10个小圈,第3个图形中有16个小圈,第4个图形中有24个小圈,…,依此规律,第6个图形有___________个小圈.【例 27】观察下列四个算式:=20,=10,=,=.从中找出规律,写出第五个算式:.20120210452516规律计数【例 28】从1到50这50个连续自然数中,去两数相加,使其和大于50．有多少种不同的取法?【巩固】从1到100的100个数中,每次取出两个不同的自然数相加,使它们的和超过100．有几种不同的取法?【例 29】有多少组正整数a 、b 、c 满足2009a b c ++=．数阵中的等差数列【例 30】如下图所示的表中有55个数,那么它们的和等于多少?171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【巩固】下列数阵中有100个数,它们的和是多少?1112131920121314202113141521222021222829【巩固】下面方阵中所有数的和是多少?1901190219031904195019021903190419051951190319041905190619521948194919501951199719491950195119521998【例 31】把自然数从1开始,排列成如下的三角阵:第1列为1;第2列为2,3,4;第3列为5,6,7,8,9,…,每一列比前一列多排两个数,依次排下去,“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴,如图．则在以1开头的行中,第2008个数是多少．526 137489【巩固】将自然数按下图的方式排列,求第10行的第一个数字是几?136101521 2591420 48131971218111716【巩固】自然数按一定规律排成下表,问第60行第5个数是几?135791113151719212325272931333537394143454749............【例32】把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,请指出: 197排在第几行的第几个数?13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49… …【巩固】将自然数按下面的形式排列12345678910111213141516171819202122232425问:第10行最左边的数是几?第10行所有数的和是多少?【例 33】将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”,其中2在第1个拐角处,3在第2个拐角处,5在第3个拐角处,7在第4个拐角处,……．那么在第100个拐角处的数是 ．22202119181716141513121110987654321【巩固】一列自然数:0,1,2,3,……,2024,第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列,则2005在数表中位于第________行第________列.【例 34】下表一共有六行七列,第一行与第一列上的数都已填好,其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积,如A 格应填的数是1013130⨯=,求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和?【例 35】如图的数阵是由77个偶数排成的,其中20,22,24,36,38,40这六个数由一个平行四边形围住,它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后,又围住了右边数阵中的另外六个数,如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是? 142144146148150152154…………………30323436384042282624222018168141210642【例 36】若干个硬币排成左下图,每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数）,如对于a ,差为7-5=2,所有差的总和为.。
等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。
等差数列的公式的推导：累加法3。
等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。
若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。
如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。
等差数列许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和．大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢?当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法．通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题．什么叫等差数列呢?我们先来看个例子：①1，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13…③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21…⑤100，95，90，85，80，75，70…上面五组数都是数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项,第二个数叫第二项……以此类推,最后一个数叫做这个数列的末项。
项的个数叫做项数。
这五个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，象这样的数列就称为等差数列．一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前面一项的差都相等,这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。
如等差数列：4,7,10,13,16,19,22,25,28。
首项是4,末项是28,公差是3。
下面我们就来学习有关等差数列的知识。
【例1】 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=?[分析]我们通过观察,发现数列中的数有这样的关系：l+100=101,2+99=101,3+98=101,……一共有多少个10l呢?因为一共有100个数,每两个数一组,所以,一共有100÷2=50(组)。
也就是说有50个101。
[解]原式=(1+100)×(100÷2)=5050答：和是5050。
点评从1开始的连续自然数列求和，而且个数正好可以两两配对，这类题目的解题方法就同高斯的做法相同。
《等差数列》说课稿一、教材分析1.教材的地位和作用：《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方式——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深切和拓展。
同时等差数列也为尔后学习等比数列提供了学习对照的依据。
另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着普遍的实际应用。
2.教学目标：a.在知识上，要求学生明白得并把握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方式并能简单运用。
b.在能力上，注重培育学生观看、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方式迁移到研究数列上来，培育学生的知识、方式迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。
c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一样，又到特殊的熟悉事物的规律，培育学生勇于创新的科学精神。
3.教学重、难点：重点：①等差数列的概念。
②等差数列通项公式的推导进程及应用。
难点：①等差数列的通项公式的推导。
②用数学思想解决实际问题。
二、学情分析关于高二的学生，知识体会已经比较丰硕，他们的智力进展已经到了形式运演时期，具有了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。
三、教法、学法分析教法：本节课我采纳启发式、讨论式和讲练结合的教学方式，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立试探和彼此交流的形式，在教师的指导下发觉、分析并解决问题。
学法：在引导学生分析问题时，留出学生试探的余地，让学生去联想、探讨，鼓舞学生斗胆质疑，围绕等差数列那个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。
四、教学进程我把本节课的教学进程分为六个环节：（一）创设情境，提出问题1.咱们常常如此数数，从0开始，每隔5数一次，能够取得数列：0， 5 ，10 ，15 ，20 ，…①年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为竞赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48 ，53 ，58 ，63 ②3.水库的治理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用按期放水清库的方法清理水库中的杂鱼。
专题六 数列第十五讲 等差数列（A 组）答案部分2019年1.解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4505S a ==，， 得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩， 所以2542n n a n S n n =--=，，故选A ．2.解析 设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，1011011151511110()2(29)2(218)45()2428S a a a d a a S a a a d a a +++====+++. 2010-2018年一、选择题1．B 【解析】通解 设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3243=+S S S ． ∴11132433(3)2422⨯⨯+=+++a d a d a d ，解得132=-d a ， ∵12=a ，∴3=-d ，∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d ．故选B ．优解 设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3243=+S S S ，∴333343=-++S S a S a ， ∴343=-S a a ，∴13232⨯+=a d d ， ∵12=a ，∴3=-d ，∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d ．故选B ．2．C 【解析】解法一 由616343()3()48S a a a a =+=+=，得3416a a +=， 由4534()()8a a a a +-+=，得538a a -=，设公差为d ，即28d =，所以4d =．选C ．解法二 设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ．3．A 【解析】设{}n a 的公差为d （0d ≠），由2326a a a =，得2(12)(1)(15)d d d +=++，所以2d =-，66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-．选A ． 4．C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为等差数列，且95927S a ==，所以53a =．又108a =，解得10555d a a =-=，所以1d =，所以10059598a a d =+=，选C ．5．C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =-m a =-（m S -1m S -）=-2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=-2m +， ∴m =5，故选C.二、填空题1．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111n k kn S n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑． 2．－49【解析】设{}n a 的首项为1a ，公差d ，由100S =，1525S =，得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123,3a d =-=，∴()321103n nS n n =-， 设()()321103f n n n =-，()220,3f n n n '=- 当2003n <<时()0f n '<，当203n >，()0f n '>，由*n N ∈， 当6n =时，()()31661036483f =-⨯=- 当7n =时，()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时，n nS 取得最小值49-．三、解答题1．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为−16．2．【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+． （Ⅱ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为,n s 由（I ）知12,22n n n a n ++=则 2313412...,2222n n n n n s +++=++++ 341213412 (22222)n n n n n s ++++=++++ 两式相减得31213112(...)24222n n n n s +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+-- 所以1422n n n s ++=-． 3．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-=由于10n a +≠，所以 2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=- 由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ=故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．4．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)2n n na d -+． 由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得{}=2.n n a a n -故的通项公式为（2）由（Ⅰ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==----- 从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111+++)21113232112n n n n ---=----（. 5．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由题意，211113a a a =即()()21111012a d a a d +=+于是()12250d a d +=所以0d =（舍去），2d =-故227n a n =-+（Ⅱ）令14732n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+．由（Ⅰ）知32631n a n -=-+，所以{}32n a -是首项为25，公差为6-的等差数列，从而 ()21323282n n n S a a n n -=+=-+．。
等差数列（一）教材：高中数学必修5 1.2等差数列任教老师：肖美燕学习目标：1．明确等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；3．通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学方法：探究、交流、实验、观察、分析内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式法、递推公式法、图象法和前n 项和公式……这些方法从不同的角度反映了数列的特点。
现在我们先看下面这些问题：1．回忆数列的概念，数列有哪几种表示方法？2.（1）小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有 yes 、no 、you 、me 、he 5个，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…问：多少天后他的单词量达到3000？（2）小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…问：多少天后她那3000个单词全部忘光？从上面两例中，我们分别得到两个数列：① 5，15，25，35，…② 3000，2995，2990，2985，…观察以上两个数列，看看它们有什么共同特征？3.根据以上两个数列，每人能举出2个与其特征相同的数列吗？4.什么是等差数列？这样理解等差数列？其中的关键字词是什么？5.以上两个数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？6.怎样推导等差数列的通项公式？学生讨论、分析以上几个问题引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于_ 10_ ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -5 ；·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（PS.每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）注意：⑴．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d ,若0=d 则该数列为常数列⑵．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;(3)．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差那么对于以上两组等差数列，它们的首相分别是5和3000，公差分别是10和-10。
专题六 数列第十五讲 等差数列一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．122．（2017新课标Ⅰ）记n S 错误！未找到引用源。
为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 错误！未找到引用源。
的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．84．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是 “465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．976．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．67．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．1410．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．1411．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．612．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p13．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．414．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=SA ．58B ．88C ．143D ．17615．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2416．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则A ．15B ．12C ．-12D ．-15 17．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11018．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64二、填空题19．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．20．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 21．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前错误！未找到引用源。
n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 22．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．23．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时 {}n a 的前n 项和最大．24．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．25．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.26．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____．27．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =， 则2a = ；n S = .28．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________．29．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．30．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题31．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且 1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 34．（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列； (Ⅱ)设 ()22*11,1,N n k n k k a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk k T d =<∑ 35．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。
36．(2015湖北)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}nb 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(Ⅱ)当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 37．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 38．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．39．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=．（Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=．40．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和． 41．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ；（Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．42．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．43．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n n a T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．44．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．45．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围．。
