杆件的扭转理论41页PPT

也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩

§3.1扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算、扭转和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t

1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：



'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d

2π( 4
)
d/2

πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp

Ip d /2

πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d

2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp

Ip D/2

π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G


G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式

y
3、斜截面上的 应力分析


x

n

x

z

t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：



外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形


Mnl GI p
强度条件 max

Mn Wp

刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转

11
三、扭矩图:
T
1
3T 2
T
3T
1
2
A T1
B
C
Mx1
1
T
1
3T 2
1
T
1
Mx2
2
3T 2 T
1
2
A
B
C
3
D Mx1 = T
Mx2 =T-3T= -2T
3T
Mx3
3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
Mx3
3
或Mx3=-T
12
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3T
1
A
B
2
C
D 4 1 4 32
( d )
D
dρ ρ
d D
Wp
Ip
D
2
D 3 1 4 16
24
3、薄壁圆环截面 r0>>δ
D=2r0 + d=2r0 -
δ r0
I p 2 r03
d
D
Wp 2 r02
Wp 2A0
A0——中线包围的面积 25
推广：任意形状的薄壁截面
Wp 2A0
φ
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形 平行四边形
（2）假 设
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
15
（3）应变分布规律
O1 a
γ
b
Mx
O2 c
c′
dφ
d d′
dx
周线
T

dA
T

O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：

G



G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me

P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)

200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

②两端施加一对外力偶 m。
× 第12页/共49页
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、 形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4–1 扭转的概念
× 第1页/共49页
扭转：
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生 的变形为扭转变形。
B
A
O
A
m ——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
× 第2页/共49页
O
B
m
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合 力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用 T 表示之。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
× 第24页/共49页
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
I 令：
W , t
P
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
max
T Wt
Wt
1 6
D3
16 D3 (1
d4 D4
)
× 第25页/共49页
实心圆截面 空心圆截面
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转 数来换算。
若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟
功率作功： 力偶作功：

对于承受几个外力偶矩作用的轴，其不同横截面上的扭 矩不尽一样。为了表示扭矩的大小和正负随截面位置的变化， 可用扭矩图来形象描述之。
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件

扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中，扭转力用 于传递扭矩，实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中，扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩，保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中，扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢，变形量较 小；动态扭转力作用迅速，变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步，工程力学 （扭转）的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合，探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现，扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL，其中M为力矩，F 为力，L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零，即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0，其中∑表示求和符号， M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系

j AC
=
M x2lAC GIP
=
320 0.5
80109 0.054
= 0.0033rad
第30页/3共259页
T
2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN·m Mx2 =0.32kN·m
lAB=300mm
B
A
lAB
T
T1
2
φAB
B
A
lAB
C
lAC
d
T3
φAC
C
lAC
G=80GPa
d=50mm
j AB
单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。
解：（1）轴的扭矩图
7
Mx (kN·m)
+
第43页/共59页
3.5
+
（2）求直径
max
=
M xmax Wp
[ ]
Mx (kN·m)
7
+
3.5
+
Wp
M xmax
[ ]
=
7103 N m 40106 Pa
=
0.175106 mm 3
d 3 16WP = 3 16 0.175106 mm 3 = 96mm
= 51.0MPa
第22页/共59页
（2）空心圆截面
T
由面积相等，且内、外直径比
α =0.5
1 d 2 = D2 (1 2 )
4
4
D
D/2
T
D =115mm
WP
=
πD3 16
(1 4 )
=
3.14 (115)3 16
109 m3
[1 (0.5)4 ]