平面立体的投影

平面与立体的投影投影是一个我们在日常生活中经常接触到的现象。

当我们将一个三维物体放置在一个平面上时，我们可以看到它在平面上的投影。

这篇文章将探讨平面与立体的投影，讨论其原理和应用。

一、平面的投影当一个平面被光线照射时，它会在另一个平面上产生影子，这就是平面的投影。

平面的投影可以是实心的，也可以是透明的，具体取决于光线的情况和投影面的材质。

1. 平行投影平行投影是一种常见且简单的投影方式。

在平行投影中，光线以平行于投影面的方式照射物体，并在投影面上形成与物体相似的图形。

平行投影常用于地图制作、建筑设计等领域。

2. 透视投影透视投影是一种更接近人眼实际观察的投影方式。

在透视投影中，光线以不同的角度和强度照射物体，使观察者可以看到物体的立体感。

透视投影常用于绘画、电影、游戏设计等领域。

二、立体的投影立体物体的投影相对于平面物体的投影更为复杂。

由于立体物体具有三个维度，我们需要使用不同的投影方式来表示其形状和结构。

1. 正交投影正交投影是一种通过将立体物体的边缘和角落垂直投影到一个平面上来表示立体物体的投影方式。

在正交投影中，保持物体的原始比例和形状，但失去了透视感。

正交投影常用于工程图纸、建筑设计等领域。

2. 斜投影斜投影是通过将立体物体的边缘和角落倾斜投影到一个平面上来表示立体物体的投影方式。

在斜投影中，保持物体的原始比例，但加入了透视感。

斜投影常用于绘画、建筑设计等领域。

三、投影的应用投影在我们的日常生活中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 地图制作地图常使用平行投影来表示地球的表面。

通过将地球的经纬线投影到地图上，我们可以更清晰地了解地球的形状和地理信息。

2. 建筑与室内设计在建筑与室内设计中，平行投影和透视投影常用于绘制平面图、规划房间布局和展示建筑效果图。

投影可以帮助设计师更好地理解和传达设计意图。

3. 工程图纸工程图纸使用正交投影来表示建筑、机械等物体的三维结构。

正交投影可以准确、清晰地表达物体的尺寸和比例，使工程师能够实施具体的施工和生产。

棱柱表面上取点——利用积聚性取点 利用积聚性取点 棱柱表面上取点
a′ c' b' c” b” a″ •找出点在积 找出点在积 聚面上的投影. 聚面上的投影. •根据点的投 根据点的投 A 影规律， 影规律，作出 其它投影。 其它投影。 C •不可见的点 不可见的点 (B) （）” 加“（）”
c a
Ⅰ C
完成三棱锥被截切后的水平和侧面投影
正垂面
c' b' a' a” C A a c B c” b”
b
完成三棱锥被截切后的水平和正面投影
侧垂面
a' a”
水平面
整理轮廓线 取点 分析
d' b' c'
b”(C”)
d” A C
b a d
c
B D
补充题 ５-３
补充题 ８-4
２．棱锥
其棱线汇交于一点。 其棱线汇交于一点。
－－－由底面和三个棱面所围成 由底面和三个棱面所围成。 正三棱锥－－－由底面和三个棱面所围成
棱锥的投影 （以三棱锥为例）
三棱锥相对于投 影面的位置： 影面的位置：底面为 水平面， 水平面，后侧棱面为 侧垂面。 侧垂面。
三棱锥的投影
s′ s″
三棱锥相对于投影面 的位置： 的位置： 底面ABC为水平面； 底面ABC为水平面； ABC为水平面 侧棱面SBC为侧垂面。 侧棱面SBC为侧垂面。 SBC为侧垂面
二.求法
确定截平面与平面立体棱线或表 面的交点，按顺序连接各交点 按顺序连接各交点， 面的交点 按顺序连接各交点，完成 封闭的平面多边形。 封闭的平面多边形。
截交线
完成六棱柱截切后的侧面投影
虚线
注意平面图形投影的类似形和 注意平面图形投影的类似形和积聚性 平面图形投影的类似形

投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能

侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。

截交线的性质
立体的形状不同，截平面与立体的相对
位置不同，截交线的形状均不同。
截交线性质：
截面
截平面
1、截交线是截平面与立 体表面的共有线，截交线上 的点是两者的共有点；
2、立体表面占有一定的
空间范围，所以截交线是封
闭的平面图形。
截交线
二、平面立体的截交线
由于平面立体的截交线是一个平面多边 形，多边形的顶点是截平面与平面立体棱 线或底边的交点，多边形的每一条边是截 平面和立体表面的交线，因此，求平面立 体的截交线，只需求出棱线或底边与截平 面的交点，然后依次连接各交点。
4.左边正垂面的截 交线
5.加粗、补全棱线 的投影。
5
42
S
3
1
S”
2”
1” 3”
4”
5”
基本体的投影 §1 平面立体的投影
一.平面立体的投影
1.平面立体的投影
2.画图方法
摆正 分析
表面组成 投影特性
画各表面投影
3.表面上的点 4.去轴 5.表面取线（自学） 二.带切口平面立体的投影 1.截交线的定义 2.带切口平面立体的投影
一、平面立体的投影
1.平面立体的投影 正面投影
2.画图方法 摆正 分析
画各表面投影 3.表面上的点 4.去轴
水平投影 侧面投影
主视图 俯视图 左视图
主、左高平齐 主、俯长对正 俯、左宽相等
方位关系？ 主视图：反映上 下、左右 俯视图：反映左 右、前后 左视图：反映上 下、前后 注意：前后的度 量关系
60
(k’) a’
b’ c’
(k”)
a” b”
(c”)
k
c a
b

建筑设计
在建筑设计中，通过正投 影法绘制建筑立面图、平 面图和剖面图等。
动画制作
在动画制作中，通过中心 投影法制作立体感强的动 画效果。
PART 02
平面投影
平面投影的原理
平行投影
光线与投影面平行时，物体在投 影面上形成的影子。
中心投影
光线通过一点与投影面垂直时， 物体在投影面上形成的影子。
斜投影
全息投影
全息投影技术利用光的干涉和衍射原理，将三维物体以全息图像的形式 呈现出来，具有极高的真实感和立体感。这种技术需要使用特殊的全息 投影设备和材料。
立体投影的应用
立体投影在娱乐产业中应用广泛，如电影、电视、游戏等。通过立体投 影技术，观众可以获得更加沉浸式的观影和游戏体验。
立体投影在建筑和工业设计中也得到了广泛应用，设计师可以利用立体 投影技术将设计方案以更加直观和真实的方式呈现出来，方便客户理解
和评估。
立体投影在教育和科学演示中也有着重要的应用价值，通过立体投影技 术，可以将复杂的科学现象和概念以更加生动和易懂的方式呈现出来， 帮助学生和观众更好地理解和学习。
PART 04
投影变换
投影变换的原理
投影变换是指将三维物体通过某种方式投影到二维平面上，以实现三维到二维的转 换。
投影变换的原理基于几何学和线性代数的相关知识，通过矩阵变换和线性变换实现 三维到二维的映射。
投影变换可以分为正交投影、透视投影和斜投影等不同类型，每种类型都有其特定 的应用场景。
投影变换的方法
正交投影
正交投影是将物体按照平行投影的方式投影到二维平面上 ，不考虑视觉角度，只考虑物体的几何形状和大小。
透视投影
透视投影是根据人的视觉习惯，将物体按照透视关系好地模拟人眼的视觉效果。

一、 圆柱体 二、 圆锥体 三、 圆球 四、 圆环 五、 回转体的尺寸 标注
4.2 曲面立体的投影
一、圆柱
1、圆柱的投影分析 一直线（母 从前往后看在VW 从左向右看在 从上往下看在 线）绕与其平行的 面的投影是一个矩形： 轴线⊥H 面，所 面的投影是一个矩形： H 面上的投影为一 轴线 轴线旋转一周，形 上下两条水平线分别 以在H 面上的投影积 上下两条水平线分别 个圆周：它既是圆 成圆柱面。 是顶圆和底圆的投影， 聚为一点，用两条互 是顶圆和底圆的投影， 柱面的顶圆和底圆 长度为圆周的直径。 相垂直的点画线的交 长度为圆周的直径。 的重合投影，反映 左右两条直线为圆柱 点来表示；轴线//V 左右两条直线为圆柱 顶圆和底圆的实形， 面VW面投影的外形线V 面和W 面，所以在 面 面投影的外形线 又是圆柱面的积聚 （最左和最右素线）， 面与W 面的投影反映 （最前和最后素线）， 素线 投影。 也是前半圆柱面和后 实长。 也是左半圆柱面和右 半圆柱面的分界线。 半圆柱面的分界线。
4.1 平面立体的投影
二、棱锥
Z
s'
(1) 棱锥的投影分析
V
a'
b ' A a
X
H
棱锥的投影特性： 其底面为水平 图示为一正三棱 棱面△SAC为 s” 面，它的水平投影反 锥，它由底面△ABC 侧垂面，因此侧面投 在底面所平行的 S 映实形，正面和侧面 和三个棱面△SAB、 影积聚成一直线，水 W 投影面上的投影轮廓 投影分别积聚成一直 △SBC、 △SAC所组 平投影和正面投影都 为反映棱锥底面实形 线。 成。 是类似形。棱面 C a” 的多边形，其余两投 (c”) △SAB和△SBC为一般 b” 影由三角形线框组成。 B c 位置平面，它的三面 s 投影均为类似形。 Y b

平面立体图形的投影与展开在我们的日常生活和学习中，平面立体图形无处不在。

从简单的正方体、长方体，到复杂的棱柱、棱锥，这些图形的投影与展开是理解其结构和性质的重要途径。

首先，让我们来了解一下什么是平面立体图形的投影。

投影可以简单地理解为光线照射在物体上，在某个平面上所形成的影子。

在数学中，我们通常考虑正投影，也就是光线垂直于投影面的情况。

比如说，一个正方体，当光线从它的正前方垂直照射时，在后面的平面上形成的投影就是一个正方形。

但如果光线从上方垂直照射，投影就变成了一个正方形的框。

不同的平面立体图形，其投影的形状和大小会有所不同。

对于长方体来说，如果它的长、宽、高各不相同，那么从不同的方向进行正投影，可能会得到长方形或者正方形。

而对于三棱柱，如果它的底面是等边三角形，且侧棱与底面垂直，那么从侧面投影就是一个长方形，从上下底面投影就是等边三角形。

接下来，我们说一说平面立体图形的展开。

展开图就像是把一个立体图形的表面“拆开”，平铺在一个平面上所得到的图形。

通过研究展开图，我们可以更直观地看到立体图形的各个面之间的关系。

以正方体为例，它有 11 种不同的展开图。

常见的有“1-4-1”型，就像“一”字排开；“2-3-1”型，像楼梯一样；还有“2-2-2”型，三个“2”并排。

通过观察这些展开图，我们可以清晰地看到正方体的 6 个面是如何相互连接的。

再比如长方体，它的展开图相对来说要复杂一些，因为长方体的长、宽、高可能不同。

但总的来说，也是由 6 个长方形（特殊情况下可能有两个正方形）组成，并且相对的面在展开图中是相同的。

平面立体图形的投影和展开在实际生活中有很多应用。

比如在制造业中，工程师们需要根据零件的投影图来设计和制造产品；在包装设计中，要考虑如何将立体的物品展开成平面，以节省材料和方便包装。

在学习数学的过程中，理解平面立体图形的投影和展开对于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力非常重要。

当我们能够在脑海中想象出一个立体图形的投影和展开图时，就能够更好地解决与立体几何相关的问题。

（6）根据三等关系作立体的其他两面投影。
第一节 平面立体的投影
例4-1 作四棱台的正投影图，如图4-5所示。
图4-5
四棱台的投影
第一节 平面立体的投影
解：(1)分析 1)四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、
右两棱面为正垂面。 2)上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投 影积聚为直线。 4)左、右两棱面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾 斜，投影为缩小的类似形。 5)四根斜棱线都是一般位臵直线，其投影都不反映实长。 (2)作图
方法来帮助求解。这种方法是先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出 辅助直线的另两面投影，再依据点的“从属性”，求出点的各面投影。
例：在三棱锥的SAB棱面上给出了点M的正面投影m’，又在SBC棱面上给
出了点N的水平投影n。求点M的水平投影和N点的正面投影。
第一节 平面立体的投影
例：如图，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线 段的其他投影。
当点位于立体表面的某条 棱线上时，那么点的投影 必定在棱线的投影上。即 可利用线上点的“从属性” 求解。
图4-6 三棱柱表面上定点
第一节 平面立体的投影
2.积聚性法：当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时， 那么点的投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 例：如图，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M，N的正面投 影 ，求出另外两面投影。
(1) 圆锥的投影特点
轮廓线的投影
(2) 圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
(3) 圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
右半面 不可见 左半面 可见

Z
V
a‟
b‟
c‟
a‟
Z
a‟‟ c‟‟
A
b‟ X
a‟‟ a
c
c‟
c‟‟ b‟ X a
B b
o
C b‟‟
o
b‟‟ YW
Y
b c YH
§3-4 立体上各种位置平面的投影
三、一般位置平面
例 包含A（a，a‟）作一般位置平面。 任作两相交直线决定一平面.
a‟ b‟ x b a c o c‟
无数解!
§3-4 立体上各种位置平面的投影
积聚性
Y
§3-4 立体上各种位置平面的投影
一、投影面垂直面
2.正垂面 V 投影积聚为-倾斜线； 空间分析： 投影特点：反映α和γ；
H 投影和W 投影为类似形。
V
Z
积聚性 γ
A D
类似形
d‟ (a‟ )
Z
a”
d”
c‟ (b‟ ) α
γ
b” c” O a d
X
α
B
C
O
Xb
YW
Y
类似形
§3-4 立体上各种位置平面的投影

§3-4 立体上各种位置平面的投影
一、投影面垂直面
1.铅垂面 H 投影积聚为-倾斜线； 空间分析：投影特点： 反映β和γ
V 投影和 W 投影为类似形。
类似性 V
b' B c' O a a' A b” a”
Z
类似性
a' b'
Z b” c' O
a” c”
X
β b
C cγ
c”
X
b
a
β
YW

第三章立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。

表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。

§3.1 平面立体一、平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。

常见的平面立体是棱柱和棱锥。

1．棱柱（1）棱柱的投影（a）（b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六棱柱的立体图和投影图。

从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。

图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。

作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。

再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。

最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。

要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系，作图时可直接用分规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45°辅助线的方法作图，如图3-2b。

（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。

如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m＇和N点的水平投影n，求作其它两个投影。

因为m＇可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m＇和m可求得m＂, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m＂可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n＇、n＂必在顶面的同面投影上。

【例4-1】 作四棱台的正投影图 1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂 面，左、右两棱面为正垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、 侧面投影积聚为直线。
3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、 V面倾斜，投影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、 W面倾斜，投影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示，不可见棱 线用虚线表示，以区分可见表面和不可见表面。
（一）棱柱体
（1）形体特征: 棱柱 的各棱线互相平行，底 面、顶面为多边形。棱 线垂直顶面时称直棱柱， 棱线倾斜顶面时称斜棱 柱。
【例4-2】已知三棱柱的三面 投影及其表面上的点M和N的 正面投影m‘和n’，求作它们的 另两个投影 。
平面多边形，多 边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点， 多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交 线。
求作平面立体截交线的方法有两种方法：
交点法：求出平面立体的棱线和截平面的交点。 交线法：求出平面立体的棱面和截平面的交线。
在实际作图时，常采用交点法。交点求出后的连 接原则是：位于同一棱面上的两个交点才能连接。 同时还要注意可见性：可见棱面上的两点用实线 连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。
作图：利用棱柱各棱面的水平投 影有积聚性，可向下引投影连接， 直接找到两点的水平投影m和n，然 后即可按投影规律求出这两点的侧 面投影m"和n"。
（二）棱锥体
（1）形体特征: 底面是多边形，棱线交于一点，侧棱 面均为三角形。
【例4-4】已知三棱锥的三面投影及其表面上点K 的正面投影k‘和点L的水平投影l,求出它们的别两 个投影。

第2章立体的投影2.1 立体及其表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。

一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。

多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。

当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线相重合时，应画粗实线。

常见的平面立体有棱柱和棱锥。

1、棱柱2、棱锥平面立体的投影的外围轮廓总是可见的，应画粗实线；而在投影的外围轮廓内部的图线，则应根据线、面的投影分析，按前遮后、上遮下、左遮右直接判断投影的可见性，决定画粗实线或虚线，必要时还可利用交叉两直线的重影点的可见性进行判断。

二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面与平面所围成。

有的曲面立体有轮廓线，即表面之间的交线，如圆柱；有的曲面立体有尖点，如圆锥；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如圆球。

在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲面投影的转向轮廓线。

曲面立体的转向轮廓线是切于曲面的诸投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的平面或柱面与曲面的切线的投影，常常是曲面的可见投影和不可见投影的分界线。

曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。

常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球，圆环。

1、圆柱圆柱由圆柱面、顶面和底面所围成。

圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。

因此，画圆柱的投影就是画顶面和底面及轮廓线、圆柱面投影的转向轮廓线、轴线。

当圆柱的轴线与投影面垂直时，圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性。

因此，作圆柱表面2、 圆锥圆锥由圆锥面和底面所围成。

圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。

因此，画圆锥的投影就是画尖点（即锥顶）、底面及轮廓线、圆锥面投影的转向轮廓线、轴线。

其实质是求其公共点。
求平面与回转体截交线的一般步骤：
⒈ 空间及投影分析
分析回转体的形状以及截平面与回转体轴 线的相对位置，以便确定截交线的形状。
分析截平面与投影面的相对位置，明确截 交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
判断可见性
［例2］求铅垂线AB与圆锥的贯穿点 。
判断可见性
3.2 利用辅助平面法பைடு நூலகம்贯穿点
［例1］直线AB 与三棱锥相交， 试求其贯穿点。
判断可见性
［例2］直线AB与圆球相交，试求贯穿点。
判断可见性
[例3］直线AB与圆锥相交，求其贯穿点。
判断可见性
［例4］直线AB与斜椭圆柱相交，求其贯穿点。
［例３］已知斜三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ投影。
［例４］已知正三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ、Ｗ投影 。
1.2 立体表面上的点、线
［例５］试求三棱
锥ＳＡＢＣ所属点 Ｋ（ｋ′已知）的
水平投影 。
已知：立体表面上的点A（a′已知）、B（b′已知）
求：其余两投影。
［例６］已知位于三棱锥表面上的线的水平投影为
直线段ｍｎ，试求其正面投影。
* 先找特殊点，补充中间点。
* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。
2.2.1 利用积聚性求截交线
［例１］试求平面λ与圆柱的截交线。
截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线的 W投影为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而
变化。
［例２］圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ投 影，试求Ｈ、Ｗ投影 。
［
例
２
］
圆若试
解题步骤

1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。