微积分复习重点

《一元微积分》期末复习提纲一、 高阶导数，包括简单有n 阶导数；求导思路：逐次求导法 例：（1）()()()n x x xe x n e =+； （2）()()()()()11!ln 111n n n n x x --+=-⎡⎤⎣⎦+； （3）()()()11!111n nn n x x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+；（4）()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭；()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭例题：11016P -例、119:1,2P A二、 曲线的凹凸性及拐点；凹凸性与拐点的判别步骤：（1） 求出一、二阶导数y '和y ''；（2） 令0y ''=，解出0y ''=的点与y ''不存在的点0x ； （3） 利用（2）解出的点划分函数的定义域； （4） 画表分析、判别；（5） 代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。

例题：11311P -例8、119:46P A -三、 相关变化率利用复合函数的求导法则：dy dy dxdt dx dt=⋅， 解题步骤：（1） 利用题设条件，写出函数关系式()y f x =或(),0F x y =；（2） 求出dydx； （3） 利用已知条件求出变化率：dy dy dxdt dx dt =⋅或dy dx dt dydt dx=。

例题：1322P -例1、134:45P A -四、 微分的计算；微分的计算公式：dy y dx '=或()()df x f x dx '=。

例题：13814123,4P P A -例五、 微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式：由()00x x dy f x x ='=∆一阶近似计算公式得：（1）()()()000y f x x f x f x x '∆=+∆-≈∆； （2）()()()000f x x f x f x x '+∆≈+∆。

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：微积分考点总结一、历年微积分考试命题特点微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。

以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。

微积分一共74分，填空、选择占32分。

第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。

几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。

当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。

二重积分就是要分成两个累次积分。

三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

二、微积分中三大主要函数微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。

在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。

还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。

这是我们经常遇到的三大基本函数。

三、微积分复习方法微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。

怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。

老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。

从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。

应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。

在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。

还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。

还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。

应用部分包括证明推断的内容。

总的来说，学好微积分，就是要掌握三个基本函数、三大运算，所以广大研友们要在这些方面多下功夫！凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

微积分复习资料常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式常数项级数一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。

∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。

S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。

发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4） 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→nn u3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）∑∞=0n nar ()0≠a ：当1<r 时，∑∞=0n nar r a-=1收敛；当1≥r 时，∑∞=0n n ar 发散。

（2）p 一级数 ∑∞=11n p n ：当p>1时，∑∞=11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞=11n p n发散二、正项级数敛散性的判别法() ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞=1n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以,3,2,11=≥+是单调 增加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此∑∞=1n n n S u ⇔收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

导数知识点复习导数是微积分中的重要概念，在数学和科学的众多领域都有着广泛的应用。

为了更好地掌握导数，让我们来系统地复习一下相关的知识点。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的变化率。

对于函数＼（y ＝f(x)＼），在点＼（x_0\）处的导数定义为：＼f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x)f(x_0)｝｛＼Delta x}＼通俗地说，导数就是当自变量＼（x\）的变化量＼（＼Delta x\）趋近于零时，函数值＼（y\）的变化量与＼（x\）的变化量之比的极限。

例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^2\），在＼（x ＝ 1\）处的导数为：＼f'（1) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（1 ＋＼Delta x)＾2 1^2}｛＼Delta x} ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{1 ＋ 2\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 1}｛＼Delta x} ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} （2 ＋＼Delta x) ＝ 2\二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。

如果函数＼（y ＝f(x)＼）在点＼（x_0\）处可导，那么＼（f'（x_0)＼）就是曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（（x_0, f(x_0)）＼）处切线的斜率。

以函数＼（f(x) ＝ x^2\）为例，在点＼（x ＝ 1\）处，导数＼（f'（1) ＝ 2\），所以曲线＼（y ＝ x^2\）在点＼（（1, 1)＼）处的切线斜率为＼（2\），切线方程为＼（y 1 ＝ 2(x 1)＼），即＼（y ＝2x 1\）。

三、基本初等函数的导数公式1、＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）2、＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n\）为实数）3、＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）4、＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）5、＼（（e^x)＇＝ e^x\）6、＼（（a^x)＇＝ a^x ＼ln a\）（＼（a ＞ 0, a ＼neq 1\））7、＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）8、＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）（＼（a ＞ 0, a ＼neq 1\））这些公式是求导的基础，必须牢记。

高三微积分专题复习(题型全面)一、导数与微分1. 导数的定义- 利用极限的概念，导数可以定义为函数在某一点的切线斜率。

- 导数可以表示函数的变化率和速度。

2. 导数的性质- 导数具有线性性质，即导数的和、差、常数倍可以通过对应函数的导数求得。

- 乘积法则和商规则为求导提供了相应的计算规则。

3. 微分的概念- 微分可以视为函数在某一点附近的线性近似。

- 微分与导数之间存在着密切的关系。

二、微分的应用1. 最值问题- 利用导数来求解最值问题可以简化计算过程。

- 极值点是函数最值问题中的关键点。

2. 斜率问题- 斜率表示函数在某点的变化趋势和速度。

- 导数可以表示函数斜率，从而解决斜率相关的问题。

3. 函数的图像与曲线- 通过对函数及其导函数的分析，可以绘制出函数的简单图像。

- 曲线的凹凸性与函数的二阶导数密切相关。

三、定积分与不定积分1. 定积分的概念- 定积分可以看作是函数在某一区间上的累积和。

- 定积分可以表示曲线下的面积。

2. 定积分的性质- 定积分具有线性性质，即定积分的和、差、常数倍可以通过对应函数的定积分求得。

- 积分中值定理为计算定积分提供了一种有效的方法。

3. 不定积分与原函数- 不定积分是定积分的逆运算。

- 不定积分可以用来寻找函数的原函数。

- 积分常规则和积分换元法为求不定积分提供了常用的技巧。

以上是高三微积分专题复习的题型全面的内容概要。

希望这份文档能帮助你更好地复习和理解微积分的知识。

复习1：微积分基本公式重点：公式的应用难点：公式的应用一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所有的位置)(t s ，速度)0)()((≥t v t v 不防设。

物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即⎰21)(T T dx t v另一方面，这段路程可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 的增量来表示，即)()(12T S T S -故⎰21)(T T dx t v =)()(12T S T S -注意到)()`(t v t S =，即)(t s 是)(t v 的原函数。

二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，设⎰=Φxa dt t f x )()( 函数)(x Φ具有如下性质：定理1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数⎰=Φxa dt t f x )()( 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是⎰=Φ'x adt t f dx d x )()( =)(x f （b x a ≤≤）证明：（1）),(b a x ∈时，)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ=-⎰+x x a dt t f 4)(⎰x a dt t f )( =x f dt t f x x x ∆=⎰+)()(4ξξ在x x ∆与之间)()(ξf xx =∆∆Φ 0→∆x 时，有=Φ')(x )(x f（2）时考虑或b a x =其单侧导数，可得=Φ')(a )(a f ，=Φ')(b )(b f由定理1可得下面结论定理2 如果函数)(x f 在区间[a,b]上连续，则函数=Φ)(x ⎰xa dt t f )(是)(x f 的一个原函数。

大一微积分基础考试必背知识点微积分是数学的一门重要分支，也是大学数学教学中的一门必修课程。

在大一微积分基础考试中，掌握一些必备的知识点能够帮助学生更好地应对考试，提高成绩。

本文将介绍大一微积分基础考试中的一些必背知识点，以供参考。

一、函数与极限1. 函数的定义与分类：函数的定义，常见函数的分类（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。

2. 函数的极限：极限的定义，极限的运算法则，常用极限公式（如sin x/x的极限等），函数的左右极限与无穷远处的极限。

3. 无穷小与无穷大：无穷小的定义与性质，无穷大的定义与性质，无穷小的比较、运算法则。

二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法（基本初等函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘积法则、商法则等）。

2. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的概念与计算，高阶微分的概念与计算。

3. 微分与线性近似：微分的几何意义，微分的应用（线性近似、误差估计等）。

三、微分中值定理1. 罗尔定理：罗尔定理的条件和结论，罗尔定理的几何解释。

2. 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的条件和结论，拉格朗日中值定理的几何解释。

3. 柯西中值定理：柯西中值定理的条件和结论，柯西中值定理的几何解释。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义，常用不定积分公式（如基本初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等），定积分与不定积分的关系。

2. 定积分的定义与性质：定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的性质（线性性、可加性、保号性等）。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式的表述与应用。

以上是大一微积分基础考试中的一些必背知识点，希望对你的备考有所帮助。

在复习中，要结合教材和课堂笔记进行系统学习，多做一些相关的例题和习题，加强对概念的理解和运用能力。

同时，也要注重对公式和性质的记忆，以便在考试中能够熟练运用。

加油，祝你考试顺利！。

微积分学习复习计划一、学习目标1.掌握微积分基础知识：导数、积分、微分方程等；2.了解微积分的应用：极限、微分和积分的应用、微积分定理等；3.能够熟练解决微积分相关的具体问题；4.理解微积分的意义和核心概念。

二、学习内容1.导数2.积分3.微分方程4.极限5.微分和积分的应用6.微积分定理7.微积分的意义和核心概念三、学习方法1. 多练习，多实践：通过做大量的微积分练习题，熟悉相关知识点，提高解题能力；2. 结合实际问题：尝试将微积分知识应用到实际问题中，加深对知识点的理解；3. 注重思维拓展：尝试从多个角度思考微积分问题，丰富自己的解题思路；4. 合理安排时间：制定学习计划，每天保证一定的学习时间，保持持续性学习。

四、学习步骤1. 复习基础知识：首先要对微积分的基础知识进行复习，包括导数、积分等，确保对这些知识点有深入的理解；2. 深入学习应用知识：学习极限、微分和积分的应用，通过大量实例加深对这些知识点的理解；3. 掌握微分方程：学习微分方程的基本概念和解题方法；4. 温习微积分定理：对微积分定理进行温习，并复习相关的例题；5. 总结复习：进行一次全面的复习，整理知识点，确保能够熟练掌握微积分的相关知识。

五、学习资源1.教材：选择一本权威的微积分教材进行学习，如《微积分》、《微积分辅导教程》等；2. 网络资源：利用网络资源，如视频教程、微积分学习网站等，进行学习和辅助理解；3. 参考书籍：查阅相关的微积分参考书籍，如《微积分原理》、《微积分分析》等，进行拓展学习。

六、学习计划1. 第一周：复习导数和积分的基本知识，做相关练习题，加深对这些知识点的理解；2. 第二周：学习微分方程和极限的相关知识，做相关练习，加深对这些知识点的理解；3. 第三周：学习微分和积分的应用知识，进行实例练习，提高解题能力；4. 第四周：温习微积分定理和相关知识，进行总结复习。

七、学习心态1. 积极乐观：保持积极的学习态度，相信自己能够掌握微积分知识；2. 耐心坚持：微积分是一门需要持续学习的学科，要有足够的耐心和坚持力；3. 多沟通交流：和同学、老师多交流，相互学习，共同进步。

1、函数①定义：已知两个集合A,B；从A到B的一个函数是一个规则，它对集合A中每个元素指定了集合B中一个唯一的元素，记作：F:A→B；若x∈A,F(x)∈B则可表示为：x⟼F(x)；②复合：f(g(x))=f∘g；③函数代数的单位元：f∘f−1=I；其中f−1表示反函数，即某函数的逆；⑴并非所有函数都存在逆函数的；只有定义了F:A→B是一对一的映射；⑵只有定义了F:A→B的才是一对一的映射关系，才存在函数的逆元；④函数极限性质：limx→a [f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)；lim x→a [f(x)∙g(x)]=[limx→af(x)]∙[limx→ag(x)] ; limx→a[f(x)g(x)]=limx→af(x)limx→ag(x),limx→ag(x)≠0⑤渐近线方程：⑴limx→x0f(x)=∞，其中x0为一个奇点，此时存在垂直渐近线：x=x0；⑵limx→∞f(x)=c，则存在水平渐近线：y=c；⑶limx→∞f(x)x=a ; limx→∞[f(x)−ax]=b ⇒ y=ax+b；此为一般渐近线；⑥f(x)+f(−x)一定为偶函数；而f(x)−f(−x)则一定为奇函数；⑦奇函数证明：⑴定义域关于0对称；⑵f(x)+f(−x)=0；2、连续性、可导性问题①函数连续性，在几何上呈现为不间断的连续曲线，包括角点；满足以下条件：⑴x0必须在函数定义域内，即f(x0)必须有定义；⑵limx→x0f(x)必须存在；⑶limx→x0f(x)=f(x0)；②性质：⑴任何多项式函数在其定义域内都是连续的；⑵在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商，在定义域内也分别是连续的；⑶函数连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件；即可导必连续，反之未必；⑷可导性要求函数在几何上不存在角点，即原函数的平滑性，即导函数的连续性；⑸导数的几何意义为曲线的斜率；③间断点的定义：⑴第一类间断点：左右极限都存在；可去间断点：左右极限相等；跳跃间断点：左右极限不相等；⑵第二类间断点：左右极限至少有一个不存在；无穷间断点：该极限趋于无穷大；④尖点问题：⑴如果一个函数在一点x=c的一个邻域中除去点x=c自身以外均可微，而limx→cf′(x)=±∞，并且f′(x)在x通过c时改变符号，则我们称点x=c是个尖点；⑵由于当我们趋向x =c 时导数变为无穷，故而我们推断出切线在我们趋向尖点时 它变为竖直； ⑤两个重要极限：limx→0sin x x=1；lim x→∞(1+1x )x=e ；⑥求f (x,y )在(0,0)点上的连续性，以及可导性：⑴先令x =y ≠0，求出f (x,y )的值；若是常数，则表明在任意小的邻域内总是有 f (x,y )=c ，若 f (0,0)≠c ，则可以判定(0,0)必为一个间断点； ⑵再令f (x,0)={a 1x ≠0a 2x =0⇒ 若a 1=a 2，则必有f x ′(x,0)=f x ′(0,0)=0；同理 可判断f y ′(0,0)的情况； 3、导数①定义：f ′(x 0)=lim∆x→0f (x 0+∆x )−f (x 0)∆x=lim∆x→0∆y∆x=lim x→x 0f (x )−f (x 0)x−x 0；② 两个基本公式：⑴ddx [f (x )+g (x )]=f ′+g ′；⑵ddx [f (x )∙g (x )]=f ′g +fg ′； ③易忘公式1： ⑴[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )−f (x )g ′(x )g 2(x )；⑵(arcsinx )′=√1−x 2；⑶(a x )′=a x lna ；⑷(tanx )′=sec 2x ；⑸|x |′=x|x|；⑹(x x )′=(1+lnx )∙x x ；⑺(sinh x )′=cosh x ；⑻(cosh x )′=sinh x ；⑼(tanh x )′=1(cosh x )2；④性质：⑴f (x )>g (x )≠f ′(x )>g ′(x )；⑵F (x )=g (x )φ(x )2；φ(x )在x =ξ3处连续但不可导，而g ′(x )却是存在的， 则g (ξ)=0是F (x )在x =ξ处可导的充分必要条件； ⑶如果y =f (x )在(0,∞)内有界且可导，则当lim x→+∞f ′(x )存在时，lim x→+∞f ′(x )=0；⑷f (x )处处可导，则当lim x→+∞f ′(x )=+∞时，则必有lim x→+∞f (x )=+∞；⑤ 链式微分法：d (f∘g )dx=df dg (x )∙dgdx ；⑥反函数微分4法则：⑴反函数性质：f [f −1(x )]=f −1[f (x )]=x ； ⑵dx dy=1dy dx⁄；偏导数则不具有该性质； ⑶df −1(x )dx=1f ′[f −1(x )]；1其他基本的常用公式请参考教材； 2 φ(=∅)念pℎi →/fаi/ 3 ξ念xi →/ksai /4 一般情况下，我们总是约定反函数形式若存在平方根函数时取其正值；在隐函数中亦是如此；4、全微分及偏导数①全微分定义：U =U (x 1,x 2,⋯,x n ) Differential⇒ dU =ðU ðx 1dx 1+ðU ðx 2dx 2+⋯+ðU ðx ndx n ；②全导数：y =f (x,w,z );w =g (x );z =ℎ(x )； ⑴先对x,w,z 求全微分：dy =ðyðx dx +ðyðw dw +ðy ðz dz ； ⑵ 再对x 求微商：dydx =ðyðx +ðy ðw dwdx +ðy ðz dzdx ；③偏全导数：y =f (x,w,z,q );w =g (x,q );z =ℎ(x,q )；方法同上得：dy dx=ðy ðx dx dx+ðy ðw dw dx+ðy ðz dz dx+ðy ðq dq dx; ( dx dx=1; dq dx=0 )⇒dy dx=ðy ðx+ðy ðw dw dx+ðy ðz dz dx；④ 一般隐函数法则：F (y,x 1,x 2,⋯,x m )=0，若隐函数y =f (x 1,x 2,⋯,x m )存在，则有偏导数：ðyðx i=−F xi′F y′,(i =1,2,⋯,m )；⑤ 联立方程组的隐函数法则： ⑴F 1(y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0F 2(y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0⋯F n (y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0⑵雅可比行列式|J |≡|ð(F 1,F 2,⋯,F n )ð(y 1,y 2,⋯,y n)|≡|ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋯⋯⋯ðF n ðy 1⋯ðF n ðy n|≠0则说明，该方程组均具有连续偏导数；⑶使用全微分法则可推导出如下偏导数方程组：[ ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋮⋱⋮ðF n ðy 1⋯ðF n ðy n ] [ ðy 1ðx 1⋮ðy n ðx 1]=[ −ðF 1ðx 1⋮−ðF n ðx 1]Cramer ⇒ðy jðx 1=|J j ||J |⋯[ ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋮⋱⋮ðF ðy 1⋯ðF n ðy n ] [ ðy 1ðx n ⋮ðy n ðx n ] =[ −ðF 1ðx n ⋮−ðF n ðx n ]Cramer ⇒ðy jðx n =|J j ||J | 5、一元函数①麦克劳林级数（Maclaurin series ）：多项式函数f (x )围绕x =0展开f (x )=f (0)0!+f ′(0)1!x +f ′′(0)2!x 2+⋯+f (n )(0)n!x n②泰勒级数（Taylor series ）：多项式函数f (x )围绕x =x 0+δ展开，δ5为偏差值；然后按g (δ)作为麦克劳林级数展开，然后将δ代换掉，推出P n =f (x )=f (x 0)0!+f ′(x 0)1!(x −x 0)+5δ念delta →/′deltð/f′′(x0)2!x(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n③任意函数的泰勒级数展开，φ(x)=P n+R n；R n称为余项；④余项的拉格朗日（Lagrange）型：R n=φ(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1；⑤拉格朗日（Lagrange）中值定理：⑴f(x)在[a,b]处连续，在(a,b)处可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)；⇒f(b)−f(a)= f′(ξ)(b−a)⑵几何意义：f(b)−f(a)=BC=BCAC∙AC=f′(ξ)(b−a)⑥柯西定理：f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ); g′(ξ)≠0；⑦极值的导数验证：⑴极值的定义：x0最近邻域内的x值，如果f(x)−f(x0)恒为负（正），则f(x)达到极大（小）值；⑵f′(x0)≠0；选择n=0；⇒f(x)−f(x0)=P0+R0=f′(ξ)1!(x−x0)=f′(ξ)(x−x0)因为ξ是x0最近邻域内的值，所以f′(ξ)≠0；因此f(x)−f(x0)正负不确定，故无极值；⇒若f′(ξ)>0，则为单调递增函数；⇒若f′(ξ)<0，则为单调递减函数；单调函数所特有的性质是一对一映射的关系。