同济微积分上册复习整理

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242n nn x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

大一高等数学同济版知识点1.极限与连续：-数列极限的定义与性质-函数极限的定义与性质-连续函数的概念与性质-间断点与间断类别的划分-极大值与极小值2.导数与微分：-导数的定义与性质-高阶导数-隐函数与参数方程求导-微分的概念及其应用-柯西中值定理与拉格朗日中值定理3.微分中值定理与导数的应用：-罗尔中值定理-拉格朗日中值定理-柯西中值定理-泰勒公式与泰勒展开-极值与最值问题4.不定积分：-基本积分表-积分法与换元法-部分分式分解-定积分与可积函数-牛顿—莱布尼茨公式5.定积分与定积分的应用：-定积分的定义与性质-牛顿—莱布尼茨公式-平均值定理与均值不等式-广义积分的收敛性与计算6.微分方程：-微分方程的基本概念-可分离变量型微分方程-一阶线性微分方程-高阶线性微分方程-欧拉—柯西方程与常系数线性方程7.空间解析几何：-空间坐标系与向量的表示-点、直线及平面的方程-曲面的方程与切平面-直线和平面的位置关系-空间曲线的参数方程与切向量8.多元函数微分学：-多元函数的极限与连续性-偏导数和全微分-隐函数与函数极值-多元函数的泰勒公式-多元函数的极值与最值9.二重积分与三重积分：-二重积分的概念与性质-二重积分的计算方法-三重积分的概念与性质-三重积分的计算方法-应用：质心、质量和转动惯量10.曲线积分与曲面积分：-第一类曲线积分-第二类曲线积分-变量替换与格林公式-第二类曲面积分-斯托克斯公式与高斯公式除了以上列举的知识点之外，还涉及到一些高维空间的数学知识、无穷级数等内容。

本文只是对大一高等数学同济版的知识点进行了概览，具体的内容还需要细致学习教材。

希望对你的学习有所帮助！。

（1）1，补集的记号2，什么是笛卡尔乘积3，什么是邻域，记号，中心，半径4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域5，两个闭区间的直积6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数8，逆映射，复合映射9，多值函数，单值分支10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义12，奇偶性、周期性13，初等函数，基本初等函数（2）1，数列极限的定义，用符号语言2，收敛数列的四个性质3(3)1,函数在某点的极限定义，符号语言2，函数在无穷大处的极限，符号语言3，函数极限的性质（4）1，无穷小的定义2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大4，无穷大和无穷小的定义（5）1，有限个无穷小的和2，有界函数与无穷小的乘积3，极限的四则运算4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是（6）1，极限存在的夹逼准则2，单调有界的数列是否存在极限3，（1+1/x）^x的极限4，柯西审敛准则1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小2，等价无穷小的充要条件3，两组等价无穷小之间的比例关系（8）1，函数连续性的定义，左连续，右连续2，什么是连续函数3，间断点的三种情况4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点（9）1，连续函数的四则运算后的连续性2，反函数和复合函数的连续性3，初等函数的连续性（10）1，有界性与最大最小值定理2，零点定理3，介值定理和推论第二章（1）1，导数的定义2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示3，可导和连续的关系（2）1，函数的和差积商如何求导2，tanx、secx的导数，cscx和cotx3，反函数的求导法则是什么4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数5，复合函数求导法则（3）1，二阶导数的微分表示法2，莱布尼兹公式3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导4，隐函数的求导5，对数求导法的应用6，参数所表示的函数怎样求导7，什么是相关变化率1，可微的充分必要条件2，⊿y与dy的关系3，什么是线性主部4，什么是函数的微分，什么是自变量的微分5，函数的和差积商的微分6，复合函数的微分法则是什么、7，如何利用微分进行近似计算8，利用0点处的微分可以导出什么近似计算公式9，误差估计（星号）第三章（1）1，什么是费马引理2，什么是罗尔定理3，什么是拉格朗日中值定理4，什是有限增量公式5，什么是柯西中值定理（2）1，什么是罗比达法则（3）1，什么泰勒中值定理2，什么是泰勒多项式，什么是拉格朗日余型3，什么是皮亚诺余型4，什么是迈克劳林公式5，e^x\sinx\cosx\ln(1+x)\(1+x)^a的带有拉格朗日余项的麦克莱林公式（4）1，凹凸性的定义，导数如何判定凹凸性2，什么是拐点以及如何寻找拐点（5）1，极大值的定义2，什么是驻点，怎样利用导数判断极大值极小值3，如何利用二阶导数判断极大值极小值4，怎样判断最大值，最小值（6）函数图形描绘的步骤(7)1,弧微分公式2，什么是弧段的平均曲率，什么是曲率3，曲率的公式4，参数方程的曲率公式5，什么是曲率圆，曲率中心，曲率半径（8）1，什么是二分法2，什么是切线法第四章（1）1,什么是原函数2，原函数存在定理3，什么事不定积分4，1/x\1/(1+x^2)\1/sqr(1-x^2)\cosx\sinx\1/cosx^2\1/sinx^2\secxtanx\cscxcotx\e^x\a^x的原函数5，什么是第一类换元法6，cscx、secx的不定积分7，cos3x*cos2x的不定积分8，什么是第二类换元法9，tanx\cotx\secx\cscx\1/(a^2+x^2)\ 1/(x^2-a^2)\1/sqr(a^2-x^2)\1/sqr(x^2+a^2)\1/sqr(x^2-a^2)积分10，什么是分部积分法11，分部积分法，分部积分法的优先法则12，有理函数的积分怎样积，带根号的函数怎样积分（根号中x的次数是1）（5）积分表第五章（1）1，定积分的定义2，可积的2个充分条件是什么3，怎样利用积分的定义求定积分4，怎样利用定积分进行近似计算5，积分外面的绝对值和积分里面的绝对值之间的大小关系6，定积分与被积函数最大值最小值之间的关系7，什么是积分中值公式8，积分上限函数可导的充分条件，导数是9，什么是牛顿莱布尼兹公式10，定积分的换元法有什么条件，怎样换12，sinx^n从0积分到pi/2的结果13，什么是反常积分14，正负无穷的反常积分是怎样定义的15，如何利用牛顿莱布尼兹公式判定反常积分是存在还是发散16，瑕积分的定义，存在和发散的一般规则17，反常积分的比较审敛法13，绝对收敛的反常积分14，Γ函数的定义和重要性质第六章（1）1，什么是元素法2，怎样用定积分求面积，体积，弧长第七章（1）1，什么事微分方程呢，什么是微分方程的阶，什么事微分方程的通解，微分方程的特解，什么是初始条件2，什么是可分离变量的微分方程，怎样求解3，什么是其次方程，怎样求解4，什么事可以化为齐次的方程，怎样求解5，什么是齐次一阶线性微分方程和非齐次一阶线性微分方程，怎样求解6，什么是常数变易法，怎样求非齐次一阶线性微分方程7，什么是伯努利方程，怎样求解8，y^(n)=f(x)、y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)的形式怎样求解9，二阶齐次线性方程的性质，通解的结构10，n阶齐次线性方程通解11，二阶非齐次线性方程解的结构12，什么事线性微分方程的解的叠加原理13，怎样利用常数变异法求二阶非齐次线性方程的通解14，二阶线性常系数齐次方程的通解15，n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式16，y’’+py’+qy=f(x),如果f(x)=e^(λx)p(x)怎样求解，如果f(x)= e^(λx)(p1(x)coswx+p2(x)sinwx)第八章（1）1,向量b平行于a的充要条件是2，有向线段AB的λ分点坐标3，怎样求向量的模4，怎样求方向角和方向余弦5,3个方向余弦之间有什么关系6，向量投影的记号（2）1，什么是向量的数量积2，两向量夹角余弦的坐标表示3，什么是向量积，怎样确定方向4，向量积的运算规律，向量积的坐标表示5，什么是向量的混合积怎样计算，几何意义是什么6，三向量共面的充分必要条件是7，球面方程8，围绕z轴的旋转曲面方程9，圆锥面方程，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，抛物柱面，柱面的方程10，椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面11，什么是空间曲线的一般方程12，什么是空间曲线的参数方程13，什么是螺旋线14，球面的参数方程15，如何求投影16，什么是平面的点法式方程17，什么是平面的一般方程18，什么是平面的截距式方程19，什么是两平面的夹角20，两平面互相平行和重合的条件21，点到平面的距离公式22，什么是对称式方程，怎样求平面的参数方程23，两直线的夹角是什么，怎样求24，直线与平面的夹角有什么25，直线与平面的夹角怎样求，直线与平面垂直或平行的条件是什么26，什么是平面束第九章（1）1，平面的邻域和去心邻域怎样表示2，什么是内点、外点、边界点、聚点3，什么是开集，闭集、连通集、闭区域、有界集、无界集4，什么是二元函数5，多元函数的极限6，利用多元函数的定义怎样判定极限不存在7，什么是多元函数的连续性、8，多元函数的有界性和最大最小值定理9，介值定理（2）1，偏导数的定义2，什么是混合偏导数3，二阶混合偏导数相等的充要条件4，什么是偏微分5，什么是全微分，什么是可微6，可微和连续的关系式7，可微分的充分条件是8，什么是多元函数微分的叠加原理（4）1，什么是全导数2，多元函数和多元函数复合时怎样求偏导数3，什么是隐函数的求导公式，4，什么是隐函数的偏导公式5，两个方程组所确定的函数如何求偏导(6)1，什么是一元向量值函数2，什么是向量函数的极限3，向量值函数的导数运算法则4，向量值函数的法平面方程5，曲线在点m处的切线方程6，空间曲线以F(x,y,z)=1,G(x,y,z)=0给出时，怎样求切线方程和法平面方程7，怎样求曲面的切面和法向量8，什么是方向导数，与偏导数的关系是什么9，什么是梯度，与方向导数的关系式什么10，梯度的意义（疑问）（8）1，什么是多元函数的极大值和极小值2，多元函数有极值的必要条件3，多元函数有极值的充分条件4，怎样运用拉格朗日乘数法第十章（1）1，什么是二重积分2，什么是二重积分的可加性3，什么是二重积分的中值定理（2）1，怎样利用极坐标求二重积分2，什么是二重积分的换元法（3）1，什么是三重积分2，三重积分在直角坐标下有哪些方法3，怎样利用柱面坐标三重积分4，怎样利用球坐标进行三重积分5，怎样积分曲面面积6，怎样利用曲面的参数方程积分7，怎样求质心和转动惯量（5）第十一章（1）1，什么是第一类曲线积分，怎样计算2，什么是第二类曲线积分，怎样计算3，两类曲线积分之间是什么关系（3）1，什么是格林公式2，曲线积分与路径无关的充分必要条件是什么（3个第十二章（1）1，什么是级数的部分和2，什么是级数的和3，收敛级数的5个性质4，什么是柯西审敛原理（2）1，正项级数收敛的充分必要条件2，什么是比较审敛法，有什么推论3，什么是比较审敛法的极限形式4，什么是大朗贝尔判别法5，什么是根值判别法6，什么是极限审敛法7，什么是莱布尼兹定理8，什么是绝对收敛和条件收敛（3）1，什么是函数项无穷级数2，什么是幂级数3，什么是阿贝尔定理，推论是什么4，怎样求收敛半径5，幂级数的和函数在收敛域上的积分和微分，怎样利用（4）1，什么是泰勒级数2，函数能展开成泰勒级数的充分必要条件3，函数展开成幂级数的步骤（5）1，微分方程的幂级数解法是什么2，什么是幂级数3，傅里叶级数。

...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）4、空间平面5、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1 则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2 称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1… 中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

大一同济高数知识点总结高等数学作为大一的重要课程，是理工科学生必修的一门基础学科。

同济大学的高等数学课程内容丰富，知识点繁多。

下面将对大一同济高数的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握该科目。

一、极限与连续1. 极限的定义与性质- 数列极限的定义与运算法则- 函数极限的定义与运算法则2. 无穷大与无穷小- 无穷大与无穷小的定义- 无穷小的比较3. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定二、导数与微分1. 导数的定义与计算- 导数的定义与几何意义- 基本求导公式与运算法则2. 微分与微分形式不定积分- 微分的定义与计算- 微分形式不定积分的概念与求法三、一元函数积分学1. 不定积分- 不定积分的定义与性质- 基本积分公式与运算法则2. 定积分- 定积分的定义与性质- 定积分的计算与应用四、一元函数微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程与方程的关系- 微分方程的分类2. 一阶常微分方程- 一阶线性微分方程的求解方法- 可分离变量型微分方程的求解方法五、多元函数微分学1. 偏导数与全微分- 偏导数的定义与计算- 多元函数的全微分与偏导数的关系2. 方向导数与梯度- 方向导数的定义与计算- 多元函数的梯度与方向导数的关系六、多元函数积分学1. 重积分- 二重积分的定义与性质- 二重积分的计算与应用2. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义与计算- 曲面积分的定义与计算七、无穷级数1. 数项级数- 数项级数的概念与性质- 收敛级数与发散级数的判定2. 幂级数- 幂级数的定义与收敛域- 幂级数的求和与收敛半径以上是大一同济高数的主要知识点总结，希望同学们能够通过学习掌握这些知识，建立起扎实的高等数学基础，为将来的学习与研究打下坚实的基础。

祝愿大家在学业上取得优异的成绩！。

同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第七章是关于常微分方程的内容。

常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济等领域。

掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。

本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。

例如，dy/dx = f(x)。

常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。

其中分离变量法是常用的解法之一。

分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来，从而达到求解的目的。

二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。

例如，d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。

高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。

常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。

例如，dy/dx + p(x) y = q(x)。

一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。

积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的形式。

四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。

例如，dy/dx = f(x)/g(y)。

可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然后进行适当的积分得到。

这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。

五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)优选版同济上册高数总结微分公式与积分公式三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　两个重要极限：公式11sin lim0=→xxx 公式2e x x x =+→/10)1(lim有关三角函数的常用公式和差角公式： 和差化积公式：三倍角公式: 半角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) sin(α/2)=±√(1-cosα)/2 cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα Cos(α/2)=±√(1+cosα)/2降幂公式: 万能公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]推导公式tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= 反三角函数性质：22arccos arcsin ππ=+=+arcctgx arctgx x x2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin((特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。