2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜37．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）9．已知，则＝．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有个白球．11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣117．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB 于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P 作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．故选：C．2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不符合题意；D、有一组邻边线段的菱形不是正方形，故D选项符合题意；故选：D．3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，所以可配成紫色的概率＝＝．故选：A．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形中OA＝OB，∴△ABO是等边三角形，∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，＝60°+75°，＝135°．故选：B．6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3解：由表格可知：当x＝2时，ax2+bx+c＝4，当x＝3时，ax2+bx+c＝﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是2＜x＜3，故选：D．7．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵DG∥AB，∴＝，故本选项不符合题意；B、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝≠，故本选项不符合题意；C、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝，∵DG∥AB，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；D、∵DF∥CE，∴＝，∵DG∥AB，∴△DGE∽△ABE，∴＝，∴≠，故本选项不符合题意；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∵将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，∴AB＝AG＝AD，BE＝EG＝1，DF＝GF，∠BAE＝∠GAE，∠DAF＝∠GAF，∵∠BAE+∠GAE+∠DAF+∠GAF＝90°，∴∠EAG+∠GAF＝45°，即∠EAF＝45°，∵EH⊥AE，∴∠EAH＝∠H＝45°，∴AE＝EH，且EH⊥AE，∴△AEH是等腰直角三角形，故②符合题意，设DF＝FG＝x，在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得x＝，∴DF＝，∴DF＝CF＝DC，∴点F是CD中点，故③符合题意，由勾股定理可得：AF＝＝＝，AE＝＝＝，∴EH＝AE＝，∴AH＝＝＝2，∴FH＝AH﹣AF＝，故④符合题意，∵＝2，，∴∴△ADF与△ECF不相似，故①不合题意，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．已知，则＝．解：∵，∴y＝x，∴＝＝＝，故答案为：．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有10 个白球．解：设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意得：，解得：x＝10，经检验：x＝10是原分式方程的解；∴盒子中原有的白球的个数为10个．故答案为：10；11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为20（1+x）+20（1+x）2＝75 ．解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，依题意，得：20（1+x）+20（1+x）2＝75．故答案为：20（1+x）+20（1+x）2＝75．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用8 张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．解：如图所示：根据图形的相似拼一个与它形状相同但比它大的长方形，相似比为1：2，所以至少要用8张正方形纸片．故答案为8．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．OB＝OD，AO＝CO，∵AB＝2，∴OB＝1，AO＝OC＝，∴DB＝2，∵CE∥DB，∴四边形DBEC是平行四边形．∴CE＝DB＝2，∠ACE＝90°，∴OE＝＝＝，故答案为：．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为0 ．解：∵i4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n+4＝1，∴i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+i+（﹣1）+（﹣i）+1+…+i+（﹣1）+（﹣i）+1＝0．故答案为0．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．解：如图，四边形ABCD为所作．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣1解：（1），则，∴．（2）3（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝0，3（x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+1）＝0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x﹣1）＝0，（x﹣1）（2x﹣4）＝0，∴x1＝1，x2＝2．17．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．解：四边形AECD是菱形，理由：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECD是菱形．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．解：不公平，列表如下：4 5 64 8 9 105 9 10 116 10 11 12由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，由≠知这个游戏不公平；19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？解：设仓库的边AB为x米，由题意得：x（32﹣2x+2）＝140，整理，得x2﹣17x+70＝0，解，得x1＝10，x2＝7，当x＝10时，BC＝14＜18；当x＝7 时，BC＝20＞18，∴x＝7不合题意，应舍去．答：仓库的边AB为10米，BC为14米．20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝8，∴BE＝EC＝BC＝4，∵∠B═90°，AB＝3，∴AE＝＝＝5，∵△ABE∽△ECF，∴，即∴EF＝．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB 于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠GAB＝∠B＝∠BCH，∵AD∥BC，EF∥AC，∴四边形AGEC是平行四边形，∴AG＝EC，∵AB∥CD，EF∥AC∴四边形AFHC是平行四边形，∴AF＝CH，∴△AFG≌△CHE（SAS）．（2）四边形ABCD是正方形理由：∵EF∥AC，∴∠G＝∠CAD，∵∠G＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD是正方形．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解：设该设备的销售单价为x万元．由题意列方程，得，整理，得x2﹣115x+3250＝0解这个方程，得x1＝50，x2＝65，∵获利不高于30%∴∴x≤52∴x＝65不合题意，舍去．∴x＝50答：该设备的销售单价为50万元．23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有 4 种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有m﹣1 种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有98 种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有97 种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有93 种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m ﹣n+1）种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有 6 种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有11 种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有35 种不同的放置方法．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P 作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝6，若△BPQ为直角三角形，根据题意只能∠BPQ＝90°，则∠ADB＝90°＝∠BPQ，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△QBP，∴，即，解得，答：当t为s时，△BPQ为直角三角形．（2）在Rt△ABD中，，过点P作PM⊥BC于点M，如图2所示：∴∠PMB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠PMB＝∠ADB，∵∠C＝∠C，∴△ABD∽△BPM，∴，即，∴，∵PE∥BC，∴∠C＝∠AEP，∠B＝∠APE，∴△ABC∽△APE，∴，即，∴，∵四边形CQFE是平行四边形，∴EF＝t，∴y＝S梯形BPFQ＝，＝＝答：y与t的函数关系式是y＝．（3）存在，理由如下：若S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6，则y＝S△ABC∵S△ABC＝∴＝解得t1＝5，答：t的值为5s或s时，S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6；（4）存在，理由如下：连接BF，如图3所示：若点F在∠ABC的平分线上，∴BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBQ，∵PF∥BC，∴∠PFB＝∠FBQ，∴∠ABF＝∠PFB，∴PB＝PF，即：，∴，答：当s时，点F在∠ABC的平分线上．。

2019~2020学年⼭东⻘岛初三上学期期中数学试卷（局⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）2. A.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】如图，在平⾏四边形，添加下列条件不能判定四边形是菱形的只有（ ）．C根据对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，可知不能判定其为菱形，故正确；∵⼜∵A.，【答案】【解析】⽅程的解是（ ）．D ，移项得提公因式得解得，故选．∴，∴，根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误．故选 C .3. A.B.C.D.【答案】【解析】随着居⺠经济收⼊的不断提⾼以及汽⻋业的快速发展，家⽤汽⻋已越来越多地进⼊普通家庭，抽样调查显⽰，截⽌年底某市汽⻋拥有量为万辆．⼰知年底该市汽⻋拥有量为万辆，设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意列⽅程得（）．A 设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意，可列⽅程：．4. A.B.C.D.【答案】【解析】在数字，，，中任选两个组成⼀个两位数，这个两位数能被整除的概率为（ ）．A从个数中任意抽取两个组成两位数的所有可能有、、、、、、、、、、、共种，其中能被整除的数分别为、、、共种，所以根据概率的计算公式，可得．故选．事件可能出现的次数所有可能出现的次数5. A.B. C. D.【答案】如图，在中，，，，则的⻓是（ ）．A【解析】∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．故选．6. A. B. C. D.【答案】【解析】如图，把沿着的⽅向平移到的位置，它们重叠部分的⾯积是⾯积的⼀半，若，则移动的距离是（ ）．D ∵沿边平移到的位置，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．7. A.B.C.D.【答案】⼀个菱形的边⻓为，⾯积为，则该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为（ ）．C【解析】如图所⽰：∵四边形是菱形，∴，，，∵⾯积为，∴①，∵菱形的边⻓为，∴②，由①②两式可得：．∴，∴，即该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为．故选．8. A.B. C. D.【答案】【解析】如图，点为正⽅形的中⼼，，平分交于点，延⻓到点，使，连结交的延⻓线于点，连结交于点，连结．则以下四个结论中，①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ）．D①∵，，，∴≌，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴≌，∴，∵，∴是的中位线，∴，故①正确；②③∵点为正⽅形的中⼼，，，∴．由三⾓形中位线定理知，，，∴，故②错误，③正确；④∵四边形是正⽅形，是的平分线，∴，，，∵，∴≌，∴，∴，∵是的中位线，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴⑤正确．∴①③④⑤正确．故选．⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）9.【答案】【解析】若⼀元⼆次⽅程 ．∵⼀元⼆次⽅程，∴把，∴故答案为：10.【答案】【解析】∵，是⼀个直⾓三⾓形两条直⾓边的⻓，设斜边为∴即∵∴解得则直⾓三⾓形的斜边⻓为 故答案为：11.【答案】【解析】若点是线段的⻩⾦分割点（ ．∵点是线段∴∴设∴∴∴∴∴12.【答案】【解析】⼀个不透明的⼝袋⾥装有除颜⾊外都相同的个⽩球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，⼩亮为估计⼝袋中红球的个数，采⽤了如下的⽅法：先把⼝袋中的球摇勻，再从⼝袋⾥随机摸出⼀球，记下颜⾊，然后把它放回⼝袋中，不断重复上述过程，⼩亮共摸了次，其中有次摸到⽩球，因此⼩亮估计⼝袋中的红球⼤约为 ．∵⼩亮共摸了次，其中次摸到⽩球，则有次摸到红球，∴⽩球与红球的数量之⽐为，∵⽩球有个，∴红球有（个）．13.【答案】【解析】经过三边都不相等的三⾓形的⼀个顶点的线段把三⾓形分成两个⼩三⾓形，如果其中⼀个是等腰三⾓形，另外⼀个三⾓形和原三⾓形相似，那么把这条线段定义为原三⾓形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三⾓形，和相似，，则的度数为 ．或∵，∴，∵是等腰三⾓形，∵，∴，即，①当时，，∴，②当时，，∴．14.如图，为了测量⼀棵树的⾼度，测量者在处⽴了⼀根⾼为的标杆，观测者从处可以看到杆顶，树顶在同⼀条直线上，若测得，，，则树⾼为．【答案】【解析】如图，过点作交于，交于，则，∴，∵，，∴，∵、都与底⾯垂直，∴．∴，∴，即，解得：，所以⼤树⾼：．15.如图，将⼀张⻓⽅形纸板的四个⾓上分别剪掉个⼩正⽅形和个⼩⻓⽅形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成⼀个有盖的⻓⽅体盒⼦（纸板的厚度忽略不计）．若⻓⽅形纸板边⻓分别为和，且折成的⻓⽅体盒⼦表⾯积是，此时⻓⽅体盒⼦的体积为 ．【答案】【解析】设剪掉的⼩正⽅形的边⻓为，根据题意得：，整理得：，解这个⽅程得：，（不合题意，应舍去），当时，⻓⽅体盒⼦的体积为：．故此时⻓⽅体盒⼦的体积．16.【答案】【解析】如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴上，且，．在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形，以此类推，得到的矩形的对⾓线交点的坐标为 ．xyO∵在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，∵，．∵点的坐标为，∴点的坐标为，∵将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形…，∴，∴，∵矩形的对⾓线交点，即．三、作图题（本⼤题共1⼩题，共4分）17.【答案】【解析】⽤圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段和．求作：菱形，使菱形的边⻓为，其中⼀个内⾓等于．画图⻅解析．四、解答题（本⼤题共8⼩题，共68分）18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】⽤指定⽅法解⽅程：（配⽅法解）．（公式法解）．，．，．（2）或，．．∵，∴⽅程有两个不相等的实根，∴，．即，．19.【答案】【解析】第⼀盒中有个⽩球、个红球，第⼆盒中有个⽩球、个红球，这些球除颜⾊外⽆其他差别．分别从每个盒中随机取出个球，求取出的个球中有个⽩球、个红球的概率．请通过列表格或画树状图说明理由．，画图⻅解析．列表法①②⽩⽩红⽩⽩⽩⽩⽩⽩红红红⽩红⽩红红红红⽩红⽩红红∴取出个⽩球，个红球概率为．20.如图，梯形中．．且，，分别是，的中点．与相交于点．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：．若，求．证明⻅解析．．∵点、分别是、的中点且，∴．∵，∴四边形是平⾏四边形．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．21.（1）（2）（1）（2）【答案】⽅法⼀：（1）【解析】已知关于的⼀元⼆次⽅程有实数根．求的取值范围．如果⽅程的两个实数根为，，且，求的取值范围．．．根据题意得，解得．⽅法⼆：⽅法⼀：⽅法⼆：（2）根据题意得，，，．根据题意得，，⽽，所以，解得，⽽，所以的范围为．根据题意，，，，，，，，⼜∵，∴．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】如图，四边形是正⽅形，点是边上⼀点，延⻓⾄使，连接．求证：．过点作，过点作，问四边形是什么特殊的四边形，并证明．证明⻅解析．四边形是正⽅形；证明⻅解析．∵四边形是正⽅形，（2）∴，，∴，在与中，∴≌∴．四边形是正⽅形，理由：∵，，∴四边形是平⾏四边形，∵≌，∴，∴四边形是菱形，∵，∴，∴四边形是正⽅形．23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某商店经销⼀种销售成本为每千克元的⽔产品，据市场分析，若每千克元销售，⼀个⽉能售出，销售单价每涨元，⽉销售量就减少，针对这种⽔产品情况，请解答以下问题：当销售单价定为每千克元时，计算销售量和⽉销售利润．商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为多少.千克，元．元．当销售单价定为每千克元时，⽉销量为（千克），所以⽉销售利润为：元．由于⽔产品不超过，定价为元，则，解得：，，当时，进货，符合题意，当时，进货，舍去．答：商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为元．24.（1）（2）【阅读资料】同学们，我们学过⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程，也可⽤配⽅法求代数式的最值．（）求的最⼩值．解：，因⼤于等于，所以⼤于等于，即的最⼩值是，此时．（）求的最⼤值．解：，因⼤于等于，所以⼩于等于，所以⼩于等于，即的最⼤值是，此时，．【探索发现】如图①，是⼀张直⾓三⾓形纸⽚，，，，⼩明想从中剪出⼀个以为内⾓且⾯积最⼤的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的⾯积最⼤．下⾯给出了未写完的证明，请你阅读下⾯的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值．图解：在上任取点，作，，得到矩形．设，易证，则，，，，请你写出剩余部分．【拓展应⽤】矩形（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）【解析】如图②，在中，，边上的⾼，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形⾯积的最⼤值为 ．（⽤含，的代数式表⽰）图【灵活应⽤】如图③，有⼀块“缺⾓矩形”，，，，，⼩明从中剪出了⼀个⾯积最⼤的矩形（为所剪出矩形的内⾓），该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图【实际应⽤】如图④，现有⼀块四边形的⽊块余料，经测量，，，且，⽊匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且⾯积最⼤的矩形，该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图证明⻅解析；矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为．【探索发现】，矩形（2）（3）∵，∴，∴矩形的⾯积的最⼤值为．∵原三⾓形⾯积，故矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为：．【拓展应⽤】设，∵，∴，∴，∵，边上的⾼，∴，，∴，∴的最⼤值为：．则矩形⾯积的最⼤值为．故答案为：．【灵活应⽤】如图③，延⻓、交于点，延⻓、交于点，延⻓、交于点，取中点，的中点，图由题意知四边形是矩形，∵，，，，∴，，∴，，在和中，矩形（4）∵，∴≌，∴，同理≌，∴，∴，∵，∴中位线的两端点在线段和上，过点作于点．由【探索发现】知矩形的最⼤⾯积为．故答案为：．【实际应⽤】如图④，延⻓、交于点，过点作于点．图∵，∴，∵，∴，∵，设，则，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴的中点在线段上，∵，∴的中点在线段上，∴中位线的两端点在线段、上，由【拓展应⽤】知，矩形的最⼤⾯积为，故答案为：．25.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）【解析】如图，在矩形中，，，为对⾓线．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒个单位⻓度，当点运动到时，两点都停⽌．设运动时间为秒．（备⽤图）是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．设四边形的⾯积为，求与之间的函数关系式．是否存在某⼀时刻，使得？若存在．求出的值；若不存在，则说明理由．是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．存在，．．存在，．存在，．，．∵，∴∴．．，，四边形矩形四边形。

2019-2020学年上学期期中原创卷A卷九年级数学·全解全析123456789101112C A BD A B A C C D B C 1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．2．【答案】A【解析】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.故选A．3．【答案】B【解析】A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．故选B．4．【答案】D【解析】（x+4）（x–3）=0，x+4=0或x–3=0，所以x1=–4，x2=3．故选D．5．【答案】A【解析】把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD．故选A．6．【答案】B【解析】∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=40°，∴∠O=180°–40°–40°=100°，∴111005022C O∠=∠=⨯= .故选B．7．【答案】A【解析】仰卧起坐次数在15～20次的频率为：301012530---=0.1，故选A．8．【答案】C【解析】所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，积123411234224683369124481216所以在该游戏中甲获胜的概率是416=14．乙获胜的概率为1216=34．故选C ．9．【答案】C【解析】由图象可知，0,0,0a b c <<>，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限．故选C ．10．【答案】D【解析】当y =5时，则21520x =，解之得10x =（负值舍去），故选D ．11．【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵BC 为⊙A 的切线，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×2=4，∵∠EAF =80°，∴S 扇形AEF =2802360π⨯=89π，∴S 阴影=S △ABC –S 扇形AEF =4–89π，故选B ．12．【答案】C【解析】∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象与x 轴交于点A （–1，0），与y 轴交于点B ，且对称轴为x =1，∴图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），故当–1<x <3时，y >0；故①错误；一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=–1，x 2=3，②正确；当y <0时，x <–1或x >3；故③错误；抛物线上两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）．当x 1>x 2>2时，两点都在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，故y 1<y 2，故④错误．故选C ．13．【答案】（–1，–2）【解析】点M （1，2）关于原点的对称点的坐标为（–1，–2）．故答案为：（–1，–2）．14．【答案】1【解析】∵方程x 2–x –2=0的两根分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2=1．故答案为：1．15．【答案】y =x 2–2【解析】抛物线y =x 2+1向下平移3个单位得到的解析式为y =x 2+1–3，即y =x 2–2．故答案为：y =x 2–2．16．【答案】25【解析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P =25．故答案为：25．17．【答案】132y y y >>【解析】26y x x c =-+可整理为()239y x c =-+-，根据函数解析式的特点可知当x =3时y 最小，函数图象关于x =3对称，图象开口向上，当x <3时，y 随x 的增大而减小，对比A 、B 横坐标都比3小，且–1<2，则12y y >，根据图象的对称性，横坐标距离对称轴x =3越远的点其y 值越大，则A 、B 、C 点横坐标离x =3的距离分别为：134-+=、231-=、33+-=41>>，则132y y y >>.故答案为：132y y y >>.18．【答案】2【解析】M （p ，q ）在抛物线y =x 2–1上，故有q =p 2–1，即p 2–q =1；设A ，B 两点的横坐标分别为m 、n ；因为A 、B 两点的横坐标是关于x 的方程x 2–2px ＋q =0的两根，所以m +n =2p ，mn =q ；而弦AB 的长的等于|m –n |，故|m –n |2=（m +n ）2–4mn =4p 2–4q =4（p 2–q ）=4．∴|m –n |=2，故答案为：2．19．【解析】1（）方程整理，得23110x x x ---=（）（），因式分解，得[]1310x x x ---=（）（），于是，得10x -=或230x -=，解得11x =，232x =；（3分）2（）方程整理，得2310x x -+=，1a = ，3b =-，1c =，224341150b ac ∴=-=--⨯⨯=>（），43522b b ac x a -±∴==，即1352x +=，2352x =．（6分）20．【解析】（1）根据题意得：△=（–2）2–4（m –2）≥0，解得m ≤3；（3分）（2）根据题意得：x 1+x 2=2，x 1x 2=m –2，∴3x 1+3x 2–x 1x 2=6–（m –2）=–m +8，而m ≤3，所以当m =3时，3x 1+3x 2–x 1x 2的值最小，最小值为：–3+8=5．（6分）21．【解析】∵AB AC =，∴AB =AC ，∴△ABC 为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等），（3分）∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =CA ，∴∠AOB =∠BOC =∠COA （相等的弦所对的圆心角相等）．（6分）22．【解析】（1）设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意得：500（1+x ）2=720，（4分）解得x 1=0.2=20%，x 2=–2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该校植树棵数的年平均增长率为20%．（6分）（2）720×（1+20%）=864（棵）．答：该校第四年植树864棵．（8分）23．【解析】（1）黄球个数：100.44⨯=（个），白球个数：()4232+÷=（个），红球个数：10424--=（个），即袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；（3分）（2）设放入红球x 个，则()4100.7x x +=+⨯，解得10x =，即向袋中放入10个红球；（6分）（3）()20.11010P ==+摸出一个球是白球，即摸出一个球是白球的概率是0.1.（8分）24．【解析】（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（4分）（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（–3，1）；（7分）（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（–n，m）．故答案为：（–3，1），（–n，m）．（10分）25．【解析】（1）根据题意得，y=200+（80–x）×20=–20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=–20x+1800（60≤x≤80）；（3分）（2）W=（x–60）y=（x–60）（–20x+1800）=–20x2+3000x–108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：W=–20x2+3000x–108000；（5分）（3）根据题意得，–20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，W=–20x2+3000x–108000，对称轴为x=–30002(20)⨯-=75，∵a=–20<0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x=76时，W有最大值，最大值=（76–60）（–20×76+1800）=4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．（10分）26．【解析】（1）如图，连接OA，由题意得：AD=12AB=30，OD=r–18，（3分）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r–18）2，解得r=34；（5分）（2）如图，连接OA ′，∵OE =OP –PE =30，（6分）在Rt △A ′EO 中，由勾股定理得：A ′E 2=A ′O 2–OE 2，即：A ′E 2=342–302，（8分）解得A ′E =16．∴A ′B ′=32．∵A ′B ′=32>30，∴不需要采取紧急措施．（12分）27．【解析】（1）∵抛物线与x 轴的交点A （–3，0），对称轴为直线x =–1，∴抛物线与x 的轴交点B 的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y =a （x +3）（x –1），将点C （0，–3）代入，得：–3a =–3，解得a =1，则抛物线解析式为y =（x +3）（x –1）=x 2+2x –3；（4分）（2）设点P 的坐标为（a ，a 2+2a –3），则点P 到OC 的距离为|a |．∵S △POC =4S △BOC ，∴12•OC •|a |=12OC •OB ，即12×3×|a |=4×12×3×1，解得a =±4．当a =4时，点P 的坐标为（4，21）；当a =–4时，点P 的坐标为（–4，5）．∴点P 的坐标为（4，21）或（–4，5）．（8分）（3）如图所示：设AC 的解析式为y =kx –3，将点A 的坐标代入得：–3k –3=0，解得k =–1，∴直线AC 的解析式为y =–x –3．设点D 的坐标为（x ，x 2+2x –3），则点Q 的坐标为（x ，–x –3）．∴QD =–x –3–（x 2+2x –3）=–x –3–x 2–2x +3=–x 2–3x =–（x 2+3x +94–94）=–（x +32）2+94，∴当x =–32时，QD 有最大值，QD 的最大值为94．（12分）。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠23．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2＝16.9 B．10（1+2x）＝16.9C．10（1﹣x）2＝16.9 D．10（1﹣2x）＝16.94．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．328．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝．10．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．11．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝．12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为．13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．14．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为m．15．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为cm3．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n O∁n B n的对角线交点的坐标为．三．解答题（共72分）17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．18．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）19．第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．20．如图梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出50kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求4x2+16x+19的最小值．解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2（2）求﹣m2﹣m+2的最大值解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣+小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x易证△AEF∽△ACB，则，，，…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为．（直接写出答案）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为．（直接写出答案）25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．。

青岛版2019初三数学上学期期中测试卷(含答案解析)青岛版2019初三数学上学期期中测试卷(含答案解析) 一、选择题(每小题3分，共60分)1．方程的解是( ).A．2 B．-2或1 C．－1 D．2或－12. 用配方法解方程 ,则配方正确的是（）A． B． C． D．3、在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）(A) (B) (C) (D)(第3题） (第4题）4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5.如图在Rt ABC中， C=90o，AC=BC,点D在AC上， CBD=30o，则的值是（）（A）（B）（C） -1 （D）不能确定6.在 ABC中， B=45o， C=60o，BC边上的高AD=3，则BC的长为（）（A）3+3 （B）3+ （C）2+ （D） +7．如图，用高为6cm，底面直径为4cm的圆柱A的侧面积展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（）A.24πcm3B. 36πcm3C. 36cm3D. 40cm38.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A．17cm B．4cm C．15cm D．3cm9．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为和，则与的函数图象大致是（）10.下列语句中不正确的有：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．（）A．1个Ｂ．2个 C．3个Ｄ．4个11．如图4，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E等于（）A．42 ° B．28° C．21° D．20°12．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A、 B、 C、 D、13. 根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x －2 0 1y 3 p 0A．1 B．－1 C．3 D．－314.把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜415 . 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A． y3＜y1＜y2 B． y1＜y2＜y3 C． y2＜y1＜y3 D． y3＜y2＜y116. 若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣217.有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）18．已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数的图象可能是（）A． B C D ．19. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大20. 若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=．A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9青岛版201初三数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案：一．选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案二．填空题（每小题3分）21．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．22.函数y= 与y=x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为_______________．23.同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x 上的概率为。

九年级数学青岛版期中试卷（时间120分钟，满分120分）一．选择题（共15小题）1．（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：2．（2014•安徽名校一模）如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对（2）（3）（4）（5）3．（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC 相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1B．2C．3D．44．（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m 5．（2014•武汉）已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．2，﹣1）或（﹣2，1）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）6．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）2-1-c-n-j-yA．B．C．D．（6）（8）（9）（10）7．（2014•天津）cos60°的值等于（）A．B．C．D．8．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米9．（2014•兰州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．A E=BE B．=C．O E=DE D．∠DBC=90°10．（2014•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．（2014•高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．（11）（13）（14）（17）12．（2014•白银）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断13．（2013•保定）如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．60°14．（2014•泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C．1cm2D．cm2 15．（2014•天津）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．2二．填空题（共8小题）16．（2014•阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF 的周长是_________．17．（2014•黔南州）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为_________．2·1·c·n·j·y18．（2014•海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= _________．(18) (20) (21) (23) 19．（2014•太原二模）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，0），（4，﹣6），△A′B′O△ABO是以原点O为位似中心的位似图形，且△A′B′O与△ABO 的位似比为1：2，则B′的坐标为_________．20．（2014•攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C= _________．21．（2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________．22．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_________．23．（2014•成都）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= _________度．三．解答题（共5小题）24．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．25．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．26．（2014•天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．27．（2014•内江）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）28．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．参考答案一．选择题（共15小题）1．D．2．C．3．B．4．B．5．C．6．D．7．A．8．D．9．C．10．C．11．B．12．A．13．C．14．A．15．B．二．填空题（共8小题）16．12 ．17．．18．5．19．（2，﹣3）或（﹣2，3）．20．75°．21．3+．22．10或8 ．23．40三．解答题（共5小题）24．证明：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AD•AC．25．证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE=∠CAD，∵∠B=∠D，∴△ABE∽△ADC；（2）∵∠BAD=∠CAD，∴=，∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB=BD，OC=CD，∵OB=OC，∴OB=BD=CD=OC，∴四边形OBDC是菱形．26．解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN•tan∠AMN=30．在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．∴AB=AN+BN=（30+30）米；（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速．27．解：∵∠BCF=90°，∠CBF=45°，∴BC=CF，∵∠CAF=30°，∴tan30°====，解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）．答：竖直高度CF约为1080米．28．（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．。

山东省青岛市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题。

(共9题；共9分)1. （1分） (2019九上·凤翔期中) 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为________.2. （1分） (2018九上·绍兴月考) 已知二次函数y=x2-2x+3,若x=m和x=n(m n)时,它们的函数值相等,则x=m+n时,该函数的值为________3. （1分） (2016九上·仙游期末) 已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是________．4. （1分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣2）关于原点（0，0）的对称点的坐标是________ ．5. （1分） (2016九上·莒县期中) 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是________ cm．6. （1分） (2017九上·萧山月考) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c ＞0；②a－b＋c＞1；③abc＞0；④4a－2b＋c＜1；⑤b＋2a＝0．其中所有正确的结论是________．(填序号)7. （1分）(2012·阜新) 如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为________ cm 的圆形纸片所覆盖．8. （1分） (2016九上·蕲春期中) 如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．其中AD=4，AE=5，则BF=________9. （1分） (2019九下·深圳月考) 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB=5 ，AB=5，AC是⊙O的弦，圆心到弦AC的距离为3，则弦AC的长为________．二、选择题 (共9题；共18分)10. （2分）关于x的一元二次方程x2＋（m－2）x＋m＋1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A . 0B . 8C . 4±D . 0或811. （2分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A . ①B . ②C . ③D . ④12. （2分）⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A . 点P在⊙A上B . 点P在⊙A内C . 点P在⊙A外D . 点P在⊙A上或外13. （2分） (2018九上·阆中期中) 一元二次方程的解是（）A . ，B . ，C .D .14. （2分）抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A .B .C .D .15. （2分）若4x2－mxy＋9y2是一个完全平方式，则m的值为（）A . 6B . ±6C . 12D . ±1216. （2分）已知点A( ，），B（，），C（2，）在抛物线上，则、、的大小关系是（）A .B .C .D .17. （2分）下列命题的逆命题不正确的是（）A . 同旁内角互补，两直线平行B . 如果两个角是直角，那么它们相等C . 两个全等三角形的对应边相等D . 如果两个实数的平方相等，那么它们相等18. （2分）已知点A（2，3）在函数y=ax2－x＋1的图象上，则a等于A . －1B . 1C . 2D . －2三、解答题 (共8题；共80分)19. （10分） (2019九上·泗阳期末) 解下列一元二次方程：（1） x2﹣4x+3＝0（2）（2x﹣1）2﹣x2＝020. （15分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．21. （5分）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB=2，PA切⊙O于A点，PA=4．求⊙O的半径．22. （10分） (2017九上·澄海期末) 如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．23. （10分）(2018·福建) 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．24. （10分）如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象上的点A（1,0）及B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≤（x-2）2+m的x的取值范围.25. （5分） (2017九上·铁岭期末) 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米．26. （15分）已知：抛物线．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．参考答案一、填空题。

山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共30分）1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或22．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥43．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形4．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．频率等于概率；B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；D．实验得到的频率与概率不可能相等5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（）A．2B．4 C．4D．86．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=37．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0 B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=08．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为（）A．B．C．D．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD的面积是（）A．8 B．C．2D．410．用配方法解方程3x2﹣4x﹣2=0时，配方正确的是（）A．B．C．D．11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”，我县决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%12．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm13．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.215．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°二、填空题（每小题3分，共24分）16．如图，菱形ABCD中，BD=24，AC=10，则该菱形的周长为．17．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=．19．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程．20．代数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1 1﹣x2+bx+c﹣14 ﹣7 ﹣2 2根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的一个解的范围在与之间．21．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是．22．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．三、解答题（66分）24．（12分）解下列方程：（1）2（x+1）2﹣8=0；（2）x2﹣3x﹣1=0（配方法）；（3）3x2﹣5x+1=0（公式法）．25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？26．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DA C．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与P A相等的线段．并说明理由．28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．29．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．30．（12分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共30分）1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0，x﹣1=0，x1=2，x2=1，即方程x2﹣3x+2=0的解是1或2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴△=42﹣4k=0，解得：k=4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．4．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．频率等于概率；B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；D．实验得到的频率与概率不可能相等【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．【解答】解：A、频率只能估计概率；B、正确；C、概率是定值；D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．故选：B．【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（）A．2B．4 C．4D．8【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．6．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b 及c的值代入计算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故选：C．【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．7．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0 B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=0【分析】先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程．【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣7）=0，∴x﹣3=0或x﹣7=0，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为（）A．B．C．D．【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2，∴AB2+BE2=CF2+CE2，∴x2+1=2（1﹣x）2，∴x2﹣4x+1=0，∴x=2±，而x＜1，∴x=2﹣，即BE的长为=2﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD的面积是（）A．8 B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．10．用配方法解方程3x2﹣4x﹣2=0时，配方正确的是（）A．B．C．D．【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：x2﹣x=，配方得：x2﹣x+=+，即（x﹣）2=，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”，我县决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%【分析】设两年平均每年绿地面积的增长率是x，原来的景区绿地面积为1，那么经过第一年景区绿地面积为（1+x），再过一年景区绿地面积为（1+x）（1+x），然后根据风景区绿地面积增加44%，即可列出方程解决问题．【解答】解：设两年平均每年绿地面积的增长率是x，依题意得（1+x）2=1+44%，∴1+x=±1.2，∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用﹣．12．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解．【解答】解：设BP的长为x，则PC=CQ=10﹣x在Rt△ABP中，AP==在Rt△PCQ中，PQ=（10﹣x）∵AP=PQ，∴=（10﹣x）解得：x1=，x2=＞10（舍去）∴BP的边长是；故选C．【点评】本题主要考查正方形和等边三角形的性质及应用．13．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：2 3 43 （2，3）（3，3）（4，3）4 （2，4）（3，4）（4，4）5 （2，5）（3，5）（4，5）所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，∴差为负数的概率为=，故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴S矩形ABCD∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．15．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．二、填空题（每小题3分，共24分）16．如图，菱形ABCD中，BD=24，AC=10，则该菱形的周长为52．【分析】先根据菱形的性质得AB=CD=AD=BC，AC⊥BD，OA=OC=5，BO=DO=12，再在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB的长，然后求菱形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD=AD=BC，AC⊥BD，OA=OC=5，BO=DO=12，在Rt△AOB中，AB==13，∴该菱形的周长=4×13=52．故答案为52．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．17．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为15．【分析】由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，∴口袋中球的总个数为：3÷=15．故答案为：15．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=13．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．故答案为13．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．19．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程x2﹣7x+12=0．【分析】如果设其中一个数为x，那么另一个数为（6﹣x），根据乘积等于5，那么可列出方程．【解答】解：设其中一个数为x，那么另一个数为（7﹣x），∵两个数的积为12，∴x（7﹣x）=12，整理得：x2﹣7x+12=0．故答案为：x2﹣7x+12=0．【点评】此题考查一元二次方程的运用，题目不难，重在看准题．20．代数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1 1﹣x2+bx+c﹣14 ﹣7 ﹣2 2根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的一个解的范围在﹣1与1之间．【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，﹣x2+bx+c的值在﹣1～1之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间．【解答】解：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间．故答案为：﹣1，1．【点评】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．21．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，∴取出的两个球都是红的概率为：．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵A′H∥CD，AC∥CA′，∴四边形A′HCD是平行四边形，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x∴x•（12﹣x）=32∴x=4或8，即AA′=4或8cm．故答案为：4或8．【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．23．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°．【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【解答】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠F AD=30°，∴∠BAE=∠F AD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×+60°=165°，∴∠BAE=∠F AD=165°故答案为：15°或165°．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．三、解答题（66分）24．（12分）解下列方程：（1）2（x+1）2﹣8=0；（2）x2﹣3x﹣1=0（配方法）；（3）3x2﹣5x+1=0（公式法）．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）配方法求解可得；（3）公式法求解可得．【解答】解：（1）2（x+1）2﹣8=0，（x+1）2﹣8=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3；（2）x2﹣3x﹣1=0，x2﹣3x+=1+，即（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴x1=，x2=；（3）3x2﹣5x+1=0，∵a=3，b=﹣5，c=1，△=25﹣4×3×1=13，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【分析】利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．【解答】解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．26．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DA C．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC；（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，∴OB===1，∴BD=2OB=2，∴▱ABCD的面积=AC•BD=×2×2=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与P A相等的线段．并说明理由．【分析】可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以P A=PE．【解答】解：图中与P A相等的线段是PE．理由如下：∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDC=45°，又∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠PDC=∠DPC，所以PC=D C．∵AB=DC，∴AB=P C．∵直角三角板的直角顶点放在点P处，∴∠APE=90°．∵∠APB+∠EPC=90°．∵∠EPC+∠PEC=90°．∴∠APB=∠PE C．在△P AB和△EPC中，∵∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，∴△P AB≌△EPC（AAS），∴PE=P A．【点评】本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目．28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）树状图如下；列表如下白红黑甲乙白白，白红，白黑，白红白，红红，红黑，红黑白，黑红，黑黑，黑（2）乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况，∴乙能取胜的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．29．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．【解答】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∵OD=AC，∴OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD=AC，∴平行四边形ABCD为矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．30．（12分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=1，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1，E′O，E′N，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．【解答】解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，在△AED和△DGC中，，∴△AED≌△DGC（AAS），∴AE=GD=1，又∵DE=1+2=3，∴正方形ABCD的边长==，故答案为：1，；（2）①∠B′AD′=90°﹣α；理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中，，。

-b 3 ± 5 x 2019-2020 学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学·参考答案13．（–1，–2） 14．1 15．y =x 2–216．517． y 1 > y 3 > y 218．219．【解析】（1）方程整理，得（3 x -1）2- （x x -1）= 0 ，因式分解，得（x -1）[（3 x -1）- x ] = 0 ，于是，得 x -1 = 0 或2x - 3 = 0 ， 解得 x = 1， x = 3；（3 分）122（2）方程整理，得 x 2 - 3x +1 = 0 ， a = 1， b = -3 ， c = 1，∴ = b 2 - 4ac =（- 3）2- 4 ⨯1⨯1 = 5 > 0 ，∴ x == ，即 x 1=3 + 22a 5 ， = 3 - 2 2 25．（6 分）20．【解析】（1）根据题意得：△=（–2）2–4（m –2）≥0，解得 m ≤3；（3 分）（2）根据题意得：x 1+x 2=2，x 1x 2=m –2，∴3x 1+3x 2–x 1x 2=6–（m –2）=–m +8，而 m ≤3，所以当 m =3 时，3x 1+3x 2–x 1x 2 的值最小， 最小值为：–3+8=5．（6 分）21. 【解析】∵ AB = AC ，∴AB =AC ，∴△ABC 为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等），（3 分）∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =CA ，∴∠AOB =∠BOC =∠COA （相等的弦所对的圆心角相等）．（6 分）22.【解析】（1）设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：500（1+x）2=720，（4 分）解得x1=0.2=20%，x2=–2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该校植树棵数的年平均增长率为20%．（6 分）（2）720×（1+20%）=864（棵）．答：该校第四年植树864棵．（8 分）23．【解析】（1）黄球个数：10⨯ 0.4 = 4 （个），白球个数：(4 + 2)÷3= 2 （个），红球个数：10 - 4 - 2 = 4 （个），即袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4 个、4 个、2 个；（3 分）（2）设放入红球x 个，则4 +x =(10 +x)⨯0.7 ，解得x =10 ，即向袋中放入10 个红球；（6 分）（3）P (摸出一个球是白球)=210 +10= 0.1 ，即摸出一个球是白球的概率是0.1 .（8 分）24．【解析】（1）如图，△A1B1C1 为所作；（4 分）（2）如图，△A2B2C2 为所作，点C2 的坐标为（–3，1）；（7 分）（3）若△ABC 内一点P（m，n）绕原点O 逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q 的坐标为（–n，m）．故答案为：（–3，1），（–n，m）．（10 分）25．【解析】（1）根据题意得，y=200+（80–x）×20=–20x+1800，所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y=–20x+1800（60≤x≤80）；（3 分）（2）W=（x–60）y=（x–60）（–20x+1800）=–20x2+3000x–108000，所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式为：W =–20x 2+3000x –108000；（5 分）（3）根据题意得，–20x +1800≥240，解得 x ≤78，∴76≤x ≤78，3000W =–20x 2+3000x –108000，对称轴为 x =–2 ⨯(-20)=75，∵a =–20<0，∴抛物线开口向下，∴当 76≤x ≤78 时，W 随 x 的增大而减小，∴x =76 时，W 有最大值，最大值=（76–60）（–20×76+1800）=4480（元）． 所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元．（10 分）26. 【解析】（1）如图，连接 OA ，1 由题意得：AD = 2AB =30，OD =r –18，（3 分）在 Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2=302+（r –18）2，解得 r =34；（5 分） （2）如图，连接 OA ′，∵OE =OP –PE =30，（6 分）在 Rt △A ′EO 中，由勾股定理得：A ′E 2=A ′O 2–OE 2， 即：A ′E 2=342–302，（8 分） 解得 A ′E =16．∴A ′B ′=32．∵A ′B ′=32>30，∴不需要采取紧急措施．（12 分）27. 【解析】（1）∵抛物线与 x 轴的交点 A （–3，0），对称轴为直线 x =–1，∴抛物线与 x 的轴交点 B 的坐标为（1，0）， 设抛物线解析式为 y =a （x +3）（x –1），将点 C （0，–3）代入，得：–3a =–3，解得 a =1，则抛物线解析式为 y =（x +3）（x –1）=x 2+2x –3；（4 分）（2） 设点 P 的坐标为（a ，a 2+2a –3），则点 P 到 OC 的距离为|a |．1 ∵S △POC =4S △BOC ，∴2 1 •OC •|a |= 21 OC •OB ，即 21 ×3×|a |=4× 2×3×1，解得 a =±4．当a=4 时，点P 的坐标为（4，21）；当a=–4 时，点P 的坐标为（–4，5）．∴点P 的坐标为（4，21）或（–4，5）．（8 分）（3）如图所示：设AC 的解析式为y=kx–3，将点A 的坐标代入得：–3k–3=0，解得k=–1，∴直线AC 的解析式为y=–x–3．设点D 的坐标为（x，x2+2x–3），则点Q 的坐标为（x，–x–3）．9 9 ∴QD=–x–3–（x2+2x–3）=–x–3–x2–2x+3=–x2–3x=–（x2+3x+ –4 43）=–（x+29）2+ ，43∴当x=–29时，QD 有最大值，QD 的最大值为4．（12 分）。

2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜37．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF 分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）9．已知，则＝．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有个白球．11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣117．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F （1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．故选：C．2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不符合题意；D、有一组邻边线段的菱形不是正方形，故D选项符合题意；故选：D．3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，所以可配成紫色的概率＝＝．故选：A．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形中OA＝OB，∴△ABO是等边三角形，∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，＝60°+75°，＝135°．故选：B．6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3解：由表格可知：当x＝2时，ax2+bx+c＝4，当x＝3时，ax2+bx+c＝﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是2＜x＜3，故选：D．7．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵DG∥AB，∴＝，故本选项不符合题意；B、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝≠，故本选项不符合题意；C、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝，∵DG∥AB，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；D、∵DF∥CE，∴＝，∵DG∥AB，∴△DGE∽△ABE，∴＝，∴≠，故本选项不符合题意；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF 分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∵将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，∴AB＝AG＝AD，BE＝EG＝1，DF＝GF，∠BAE＝∠GAE，∠DAF＝∠GAF，∵∠BAE+∠GAE+∠DAF+∠GAF＝90°，∴∠EAG+∠GAF＝45°，即∠EAF＝45°，∵EH⊥AE，∴∠EAH＝∠H＝45°，∴AE＝EH，且EH⊥AE，∴△AEH是等腰直角三角形，故②符合题意，设DF＝FG＝x，在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得x＝，∴DF＝，∴DF＝CF＝DC，∴点F是CD中点，故③符合题意，由勾股定理可得：AF＝＝＝，AE＝＝＝，∴EH＝AE＝，∴AH＝＝＝2，∴FH＝AH﹣AF＝，故④符合题意，∵＝2，，∴∴△ADF与△ECF不相似，故①不合题意，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．已知，则＝．解：∵，∴y＝x，∴＝＝＝，故答案为：．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有10个白球．解：设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意得：，解得：x＝10，经检验：x＝10是原分式方程的解；∴盒子中原有的白球的个数为10个．故答案为：10；11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为20（1+x）+20（1+x）2＝75．解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，依题意，得：20（1+x）+20（1+x）2＝75．故答案为：20（1+x）+20（1+x）2＝75．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用8张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．解：如图所示：根据图形的相似拼一个与它形状相同但比它大的长方形，相似比为1：2，所以至少要用8张正方形纸片．故答案为8．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．OB＝OD，AO＝CO，∵AB＝2，∴OB＝1，AO＝OC＝，∴DB＝2，∵CE∥DB，∴四边形DBEC是平行四边形．∴CE＝DB＝2，∠ACE＝90°，∴OE＝＝＝，故答案为：．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为0．解：∵i4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n+4＝1，∴i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+i+（﹣1）+（﹣i）+1+…+i+（﹣1）+（﹣i）+1＝0．故答案为0．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．解：如图，四边形ABCD为所作．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣1解：（1），则，∴．（2）3（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝0，3（x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+1）＝0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x﹣1）＝0，（x﹣1）（2x﹣4）＝0，∴x1＝1，x2＝2．17．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．解：四边形AECD是菱形，理由：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECD是菱形．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．解：不公平，列表如下：4 5 64 8 9 105 9 10 116 10 11 12由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，由≠知这个游戏不公平；19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？解：设仓库的边AB为x米，由题意得：x（32﹣2x+2）＝140，整理，得x2﹣17x+70＝0，解，得x1＝10，x2＝7，当x＝10时，BC＝14＜18；当x＝7 时，BC＝20＞18，∴x＝7不合题意，应舍去．答：仓库的边AB为10米，BC为14米．20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F （1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝8，∴BE＝EC＝BC＝4，∵∠B═90°，AB＝3，∴AE＝＝＝5，∵△ABE∽△ECF，∴，即∴EF＝．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠GAB＝∠B＝∠BCH，∵AD∥BC，EF∥AC，∴四边形AGEC是平行四边形，∴AG＝EC，∵AB∥CD，EF∥AC∴四边形AFHC是平行四边形，∴AF＝CH，∴△AFG≌△CHE（SAS）．（2）四边形ABCD是正方形理由：∵EF∥AC，∴∠G＝∠CAD，∵∠G＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD是正方形．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解：设该设备的销售单价为x万元．由题意列方程，得，整理，得x2﹣115x+3250＝0解这个方程，得x1＝50，x2＝65，∵获利不高于30%∴∴x≤52∴x＝65不合题意，舍去．∴x＝50答：该设备的销售单价为50万元．23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有4种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有m﹣1种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m ﹣n+1）种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有6种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有11种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有35种不同的放置方法．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝6，若△BPQ为直角三角形，根据题意只能∠BPQ＝90°，则∠ADB＝90°＝∠BPQ，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△QBP，∴，即，解得，答：当t为s时，△BPQ为直角三角形．（2）在Rt△ABD中，，过点P作PM⊥BC于点M，如图2所示：∴∠PMB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠PMB＝∠ADB，∵∠C＝∠C，∴△ABD∽△BPM，∴，即，∴，∵PE∥BC，∴∠C＝∠AEP，∠B＝∠APE，∴△ABC∽△APE，∴，即，∴，∵四边形CQFE是平行四边形，∴EF＝t，∴y＝S梯形BPFQ＝，＝＝答：y与t的函数关系式是y＝．（3）存在，理由如下：若S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6，则y＝S△ABC∵S△ABC＝∴＝解得t1＝5，答：t的值为5s或s时，S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6；（4）存在，理由如下：连接BF，如图3所示：若点F在∠ABC的平分线上，∴BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBQ，∵PF∥BC，∴∠PFB＝∠FBQ，∴∠ABF＝∠PFB，∴PB＝PF，即：，∴，答：当s时，点F在∠ABC的平分线上．。

山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得3；选、选错或选出的标号超过一个的不得分）1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．一元二次方程1﹣x2+x＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．两个不相等的实数根C．两个相等的实数根D．只有一个实数根3．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．4．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）5．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（）A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C 距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF 交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．8．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是m2．10．如图，菱形ABCD中，∠ADB＝45°，BD＝1，则菱形ABCD的周长为．11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．12．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．13．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们要登部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是．14．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S正方形ABCD＝2+．其中正确答案的序号是（把你认为正确的都填上）．三、作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为a、b，求作：菱形ABCD．四、解答题（本题共有9道题，满分74分）16．（8分）解方程（1）x（x﹣1）＝﹣x（2）17．（6分）某冬令营今年计划招四个班的学生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红都报名参加了该冬令营，求小明和小红分在同一个班概率．18．（6分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？19．（6分）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D 处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．20．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和等于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于13，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据統计，2015年利润为2亿元，2017年利润为3.38亿元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过4.3亿元？23．（10分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC 的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC．F交AD于E，交DC于点F；同时，点P 从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．（1）当t＝1时，求EF长；（2）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；（3）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝3：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得3；选、选错或选出的标号超过一个的不得分）1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．2．一元二次方程1﹣x2+x＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．两个不相等的实数根C．两个相等的实数根D．只有一个实数根【分析】确定a、b、c计算根的判别式，利用根的判别式直接得结论．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0∵△＝1+4＝5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，△＝b2﹣4ac．3．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为，故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．4．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】依据题意画出图形，然后依据旋转的性质确定出点B′的坐标即可．【解答】解：如图所示：过点B′作B′E⊥x轴，垂足为E．由旋转的性质可知：OA＝AE＝1，OB＝BE′＝1，∴点B′的租表为（2，﹣1）．∴旋转后B点的坐标是（2，﹣1）．故选：C．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（）A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：A、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；B、若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；D、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C 距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得：DE＝12，故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF 交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】依据相似三角形的性质和判断定理以及平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．∴＝，＝＝，＝，∴A错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型．8．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A．B．C．1 D．2【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA′和DC′的长度，进而求出线段DG的长度．【解答】解：∵AB＝3，AD＝2，∴DA′＝2，CA′＝1，∴DC′＝1，∵∠D＝45°，∴DG＝DC′＝，故选：A．【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC′的长度．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是1m2．【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【解答】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，∵正方形的边长为2m，∴面积为4m2，设不规则部分的面积为s，则＝0.25，解得：s＝1，故答案为：1．【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．10．如图，菱形ABCD中，∠ADB＝45°，BD＝1，则菱形ABCD的周长为2．【分析】首先证明四边形ABCD是正方形，求出正方形的边长即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∵BD＝1，∴AB＝AD＝CD＝BC＝，∴四边形ABCD的周长＝2，故答案为2．【点评】本题考查菱形的性质、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．13．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们要登部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是﹣．【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC＝1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴＝（）2＝，∴EC：BC＝1：，∵BC＝，∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．14．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S正方形ABCD＝2+．其中正确答案的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；由△CEF为等腰直角三角形可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，∵△CEF为等腰直角三角形，EF＝2，∴CE＝．∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为a、b，求作：菱形ABCD．【分析】此题应利用菱形对角线互相垂直平分的特点来作图；首先作AC＝a，然后作AC的垂直平分线，交AB于O，然后以O为圆心，b长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的菱形．【解答】解：如图所示作法：1．作AC＝a，2．作AC的垂直平分线，交AB于O，3．以O为圆心，b长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的菱形．【点评】此题主要利用了菱形的性质来作图，要求熟练掌握尺规作图的基本方法．四、解答题（本题共有9道题，满分74分）16．（8分）解方程（1）x（x﹣1）＝﹣x（2）【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）整理得：4x2﹣1＝0，（2x+1）（2x﹣1）＝0，2x+1＝0，2x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝；（2）两边开方得：y+＝±（2y+），解得：y1＝0，y2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17．（6分）某冬令营今年计划招四个班的学生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红都报名参加了该冬令营，求小明和小红分在同一个班概率．【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中小明和小红分在同一个班的结果有4种，所以小明和小红分在同一个班的概率为＝．【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键．18．（6分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【分析】由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案【解答】解：设裁掉的正方形的边长为xdm由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12即x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6（舍去）答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．19．（6分）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D 处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．【分析】只要证明AB＝BM＝MD＝DA，即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，∴四边形ABMD是菱形．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．20．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和等于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于13，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和为12的情况、和为13的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意列表如下：6 7 8 93 9 10 11 124 10 11 12 135 11 12 13 14可见，两数和共有12种等可能结果；（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和为12的情况有3种，和为13的情况有2种，所以李燕获胜的概率为＝，刘凯获胜的概率为＝，∵＞，∴此游戏对双方不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝2，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝3﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝＝，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝＝，∴EF＝2EO＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据統计，2015年利润为2亿元，2017年利润为3.38亿元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过4.3亿元？【分析】（1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该企业2018年的利润＝该企业2017年的利润×（1+增长率），可求出该企业2018年的利润，将其与4.3亿元进行比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝3.38，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为30%．（2）3.38×（1+30%）＝4.394（亿元），∵4.394亿元＞4.3亿元，∴该企业2018年的利润能超过4.3亿元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据该企业2018年的利润＝该企业2017年的利润×（1+增长率），求出该企业2018年的利润．23．（10分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC 的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？【分析】（1）利用“等邻边四边形”的定义直接判断即可，（2）利用平行四边形的判定和“等邻边四边形”的定义直接判断即可，（3）利用“等邻边四边形”的定义和平移的性质（对应线段平行且相等），分四种情况（AA′＝AB，AA′＝A′C′，A′C′＝BC′，BC′＝AB）进行讨论计算即可．【解答】（1）解：AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB（2）解：小红的结论正确．理由如下：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形，（3）解：由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得：AC＝，∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BA′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，（I）如图1，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝2，（II）如图2，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝AC′＝，（III）当AC′＝BC′＝时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB ∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′＝∠ABC＝45°∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°，∴B′D＝BD，设B′D＝BD＝x，则C′D＝x+1，BB′＝x∵根据在Rt△BC′D中，BC′2＝C′D2+BD2即x2+（x+1）2＝5解得：x＝1或x＝﹣2（不合题意，舍去）∴BB′＝，（IV）当BC′＝AB＝2时，如图4，与（III）方法同理可得：x＝或x＝，x＝或x＝（舍去）∴BB′＝x＝．故应平移2或或或．【点评】本题是四边形的综合题，利用“等邻边四边形”的定义这个信息解决问题，涉及到了图形的平移的性质，得出BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC，角的平分线的性质，由BB′平分∠ABC得到∠ABB′＝∠ABC＝45°，勾股定理，解题的关键是理解“等邻边四边形”的定义的前提下，结合已学知识会用它．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC．F交AD于E，交DC于点F；同时，点P 从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．（1）当t＝1时，求EF长；（2）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；（3）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝3：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由勾股定理知AC＝10，由题意得AE＝2，DE＝6，根据EF∥AC知△DEF∽△DAC，据此得＝，代入计算即可；（2）由DE∥CP且∠D＝∠C知DE＝CP时，四边形EPCD为矩形，据此求解可得；（3）证△DEF∽△DAC得＝，据此求得DF＝6﹣t，CF＝t，根据S＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF可得函数解析式；（4）由S矩形ABCD＝AB×AD＝48，且S△PCF：S矩形ABCD＝3：16知S△PCF＝9，再根据S△PCF＝t2可得关于t的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，当t＝1时，AE＝2，则DE＝6，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴＝，即＝，解得：EF＝；（2）由题意知AE＝2t，CP＝t，则DE＝8﹣2t，∵四边形EPCD是矩形，∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，解得t＝，故当t＝时，四边形EPCD为矩形；（3）∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴＝，即＝，解得：DF＝6﹣t，则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6﹣t）＝t，则S＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF＝×（8﹣2t+t）×6﹣×（8﹣2t）×（6﹣t）﹣×t×t ＝﹣t2+9t，即S＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；。

九年级上学期数学期中模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共120分．考试时间120分钟．注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上.2. 第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案，不能答在试卷上.3. 第II 卷（非选择题），请用黑色中性笔直接答在试卷上。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：（每小题3分，共36分。

每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项序号填在右边的括号内。

）1. 用配方法解关于x 的一元二次方程2230x x --=，配方后的方程可以是（ ）A ．()214x -= B ．()214x +=C ．()2116x -= D ．()2116x +=2.下列四个命题：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等（2）经过三个点一定可以作圆，（3）相等的圆周角所对的弧相等，（4）三角形的内心到三角形各定点的距离相等。

真命题有（） A.4个B.3个C.2个D.1个3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB=,6则⊙O 的半径为（ ） A.2 B.22 C.22 D.264. Rt △ABC 中，∠C=90°，a=2，cosB=31，则b 的长为（） A.3102 B.102 C.24 D.2345. 以3、4为两边的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ）A.15或12B.12C.15D.以上都不对6. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙0上，顶点C 在⊙0的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，，则∠ADC 的度数是( ) A.44° B ．54° C ．72° D ．53°7. 关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 8. 等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） A. 600 B. 900 C. 1200. D. 15009. 在Rt △ABC 中，90,3,5,C AC AB ∠=︒==则它的内切圆和外接圆的半径分别是（ ）A.1.5,2.5B.2,5C.1,2.5D.2,2.5 10. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝( )A ．1010B ．32C ．43D ．1010311. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则n m +的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-212. 如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（本题共6小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上. 每小题3分，满分18分）13. 如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α=．14. 方程20x mx n --=的两根分别为1、2，那么二次三项式2x mx n -++可以分解为________________________.15. 一水库的迎水坡AB 的坡度1:3i =，则该坡的坡角α=.16. 已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为。

青岛版2019--2020学年度第一学期期中考试九年级数学考试时间：100分钟；满分120分一、单选题1．（3分）在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin ∠A=135,则cos ∠A 的值为 A ．1312 B ．138 C ．32 D ． 125 2．（3分）如图，已知∠1=∠2，若添一个条件就能使△ADE ∽△ABC 成立，则条件不能是（ ）A 、AD:AB=DE:BCB 、∠AED =∠CC 、∠D =∠B D 、AD: AB = AE: AC3．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，则sin ∠ACB 的值为（ ）A ．4B ．13C ．10D ．10 4．（3分）如图，⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，BE ＝2，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．25．（3分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，7AB =，2AD =，3BC =，如果AB 上的点P 使PAD PBC ∽，那么这样的点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6．（3分）如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°7．（3分）如图，在ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE 交对角线BD 于F ，BF=2，则FD 等于( )A.2B.3C.4D.68．（3分）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( )A.π ＋1B.π＋2C.π－1D.π－29．（3分）已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为240cm ，那么它们的面积之和为( )A.2108cmB.2104cmC.2100cmD.280cm10．（3分）如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，CD 是⊙O 的切线，交PA 、PB 于C 、D 两点，△PCD 的周长是36，则AP 的长为（ ）A.12B.18C.24D.9二、填空题11．（4分）在Rt ABC 中，90C ∠=，13AB =，12AC =，则cos B =________，tan B =________．12．（4分）如图，在⊙O 中弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为_____.13．（4分）如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1．5米，则这棵槟榔树的高是 米．14．（4分）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则.15．（4分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度比为 ．16．（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC 的内切圆半径r=_____．17．（4分）如图，在矩形ABCD 中，把∠A 沿DF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处， 则sin ∠ADF 的值为___________18．（4分）如图，P A ，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为A 、B ，∠P ＝70°，则∠C ＝_____．三、解答题19．（8分）计算：（每小题4分，共8分） （1）18)21(|322|2+---- （2） 45cos 45sin 130sin 360cos +-20．（8分）如图，△ABC 中，∠A =30°，tan B =，AC =BC 的长.21．（8分）如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ． 求证：OD ：OA=OE ：OB ．22．（8分）如图，点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点，C 在⊙O 上，AC=BC ，AD=CD ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，求△ABC 的面积．23．（8分）如图，⊙O 的直径AB=6，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，AD=2，BC=29．（1）求OD 、OC 的长；（2）求证：△DOC ∽△OBC ；（3）求证：CD 是⊙O 切线．24．（9分）在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E 分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．25．（9分）如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE 的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)参考答案1．A.【解析】试题分析：∵sin ∠A=135,∴cos ∠1213== . 故选：A ．考点：三角函数．2．A【解析】试题分析：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，∴∠DAE=∠BAC ， A 、若AD:AB=DE:BC ，但两线段的夹角∠D 和∠B 不知道相等，∴不能说△ADE 和△ABC 相似，故本选项错误，即不正确； B 、∵∠DAE=∠BAC ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确； C 、∵∠DAE=∠BAC ，∠D=∠B ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确； D 、∵AD: AB = AE: AC ，∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确；故选A ．考点：相似三角形的判定.3．C【解析】【分析】构造直角三角形利用正弦函数的定义直接求解即可．【详解】解：如图：，所以sin∠ACB=BDBC .故选：C ．本题考查解直角三角形及勾股定理的知识，解题关键是根据图形构造直角三角形并利用勾股定理求得BC边的长．4．C【解析】【分析】连接OC，∠BAC=30°，由圆周角定理可得∠COB=60°，∠OCE=30°，设半径为r，则OE=r-2，由锐角三角函数得OE=12r，建立等量关系可得答案．【详解】连接OC，设半径为r，则OE=r-2，∵∠BAC=30°，∴∠COB=60°，∴∠OCE=30°，∴OE＝12r，∴12r=r-2，解得：r=4，故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，利用特殊角的三角函数是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长，即可得到满足题意的点P的个数．分两种情况：①如果△P AD ∽△PBC ，则P A :PB =AD :BC =2:3，又P A +PB =AB =7，∴AP =7×2÷5=2.8； ②如果△P AD ∽△CBP ，则P A :BC =AD :BP ，即P A ⋅PB =2×3=6， 又∵P A +PB =AB =7，∴P A 、PB 是一元二次方程x 2−7x +6=0的两根，解得121,6x x ==，∴AP =1或6.综上，可知AP =2.8或1或6.∴满足题意的点P 的个数为3个，故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键。

2019-2020学年上学期期中原创卷A卷九年级数学·全解全析123456789101112C A BD A B A C C D B C 1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．2．【答案】A【解析】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.故选A．3．【答案】B【解析】A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．故选B．4．【答案】D【解析】（x+4）（x–3）=0，x+4=0或x–3=0，所以x1=–4，x2=3．故选D．5．【答案】A【解析】把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD．故选A．6．【答案】B【解析】∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=40°，∴∠O=180°–40°–40°=100°，∴111005022C O∠=∠=⨯= .故选B．7．【答案】A【解析】仰卧起坐次数在15～20次的频率为：301012530---=0.1，故选A．8．【答案】C【解析】所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，积123411234224683369124481216所以在该游戏中甲获胜的概率是416=14．乙获胜的概率为1216=34．故选C ．9．【答案】C【解析】由图象可知，0,0,0a b c <<>，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限．故选C ．10．【答案】D【解析】当y =5时，则21520x =，解之得10x =（负值舍去），故选D ．11．【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵BC 为⊙A 的切线，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×2=4，∵∠EAF =80°，∴S 扇形AEF =2802360π⨯=89π，∴S 阴影=S △ABC –S 扇形AEF =4–89π，故选B ．12．【答案】C【解析】∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象与x 轴交于点A （–1，0），与y 轴交于点B ，且对称轴为x =1，∴图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），故当–1<x <3时，y >0；故①错误；一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=–1，x 2=3，②正确；当y <0时，x <–1或x >3；故③错误；抛物线上两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）．当x 1>x 2>2时，两点都在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，故y 1<y 2，故④错误．故选C ．13．【答案】（–1，–2）【解析】点M （1，2）关于原点的对称点的坐标为（–1，–2）．故答案为：（–1，–2）．14．【答案】1【解析】∵方程x 2–x –2=0的两根分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2=1．故答案为：1．15．【答案】y =x 2–2【解析】抛物线y =x 2+1向下平移3个单位得到的解析式为y =x 2+1–3，即y =x 2–2．故答案为：y =x 2–2．16．【答案】25【解析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P =25．故答案为：25．17．【答案】132y y y >>【解析】26y x x c =-+可整理为()239y x c =-+-，根据函数解析式的特点可知当x =3时y 最小，函数图象关于x =3对称，图象开口向上，当x <3时，y 随x 的增大而减小，对比A 、B 横坐标都比3小，且–1<2，则12y y >，根据图象的对称性，横坐标距离对称轴x =3越远的点其y 值越大，则A 、B 、C 点横坐标离x =3的距离分别为：134-+=、231-=、33+-=41>>，则132y y y >>.故答案为：132y y y >>.18．【答案】2【解析】M （p ，q ）在抛物线y =x 2–1上，故有q =p 2–1，即p 2–q =1；设A ，B 两点的横坐标分别为m 、n ；因为A 、B 两点的横坐标是关于x 的方程x 2–2px ＋q =0的两根，所以m +n =2p ，mn =q ；而弦AB 的长的等于|m –n |，故|m –n |2=（m +n ）2–4mn =4p 2–4q =4（p 2–q ）=4．∴|m –n |=2，故答案为：2．19．【解析】1（）方程整理，得23110x x x ---=（）（），因式分解，得[]1310x x x ---=（）（），于是，得10x -=或230x -=，解得11x =，232x =；（3分）2（）方程整理，得2310x x -+=，1a = ，3b =-，1c =，224341150b ac ∴=-=--⨯⨯=>（），43522b b ac x a -±∴==，即1352x +=，2352x =．（6分）20．【解析】（1）根据题意得：△=（–2）2–4（m –2）≥0，解得m ≤3；（3分）（2）根据题意得：x 1+x 2=2，x 1x 2=m –2，∴3x 1+3x 2–x 1x 2=6–（m –2）=–m +8，而m ≤3，所以当m =3时，3x 1+3x 2–x 1x 2的值最小，最小值为：–3+8=5．（6分）21．【解析】∵AB AC =，∴AB =AC ，∴△ABC 为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等），（3分）∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =CA ，∴∠AOB =∠BOC =∠COA （相等的弦所对的圆心角相等）．（6分）22．【解析】（1）设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意得：500（1+x ）2=720，（4分）解得x 1=0.2=20%，x 2=–2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该校植树棵数的年平均增长率为20%．（6分）（2）720×（1+20%）=864（棵）．答：该校第四年植树864棵．（8分）23．【解析】（1）黄球个数：100.44⨯=（个），白球个数：()4232+÷=（个），红球个数：10424--=（个），即袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；（3分）（2）设放入红球x 个，则()4100.7x x +=+⨯，解得10x =，即向袋中放入10个红球；（6分）（3）()20.11010P ==+摸出一个球是白球，即摸出一个球是白球的概率是0.1.（8分）24．【解析】（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（4分）（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（–3，1）；（7分）（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（–n，m）．故答案为：（–3，1），（–n，m）．（10分）25．【解析】（1）根据题意得，y=200+（80–x）×20=–20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=–20x+1800（60≤x≤80）；（3分）（2）W=（x–60）y=（x–60）（–20x+1800）=–20x2+3000x–108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：W=–20x2+3000x–108000；（5分）（3）根据题意得，–20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，W=–20x2+3000x–108000，对称轴为x=–30002(20)⨯-=75，∵a=–20<0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x=76时，W有最大值，最大值=（76–60）（–20×76+1800）=4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．（10分）26．【解析】（1）如图，连接OA，由题意得：AD=12AB=30，OD=r–18，（3分）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r–18）2，解得r=34；（5分）（2）如图，连接OA ′，∵OE =OP –PE =30，（6分）在Rt △A ′EO 中，由勾股定理得：A ′E 2=A ′O 2–OE 2，即：A ′E 2=342–302，（8分）解得A ′E =16．∴A ′B ′=32．∵A ′B ′=32>30，∴不需要采取紧急措施．（12分）27．【解析】（1）∵抛物线与x 轴的交点A （–3，0），对称轴为直线x =–1，∴抛物线与x 的轴交点B 的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y =a （x +3）（x –1），将点C （0，–3）代入，得：–3a =–3，解得a =1，则抛物线解析式为y =（x +3）（x –1）=x 2+2x –3；（4分）（2）设点P 的坐标为（a ，a 2+2a –3），则点P 到OC 的距离为|a |．∵S △POC =4S △BOC ，∴12•OC •|a |=12OC •OB ，即12×3×|a |=4×12×3×1，解得a =±4．当a =4时，点P 的坐标为（4，21）；当a =–4时，点P 的坐标为（–4，5）．∴点P 的坐标为（4，21）或（–4，5）．（8分）（3）如图所示：设AC 的解析式为y =kx –3，将点A 的坐标代入得：–3k –3=0，解得k =–1，∴直线AC 的解析式为y =–x –3．设点D 的坐标为（x ，x 2+2x –3），则点Q 的坐标为（x ，–x –3）．∴QD =–x –3–（x 2+2x –3）=–x –3–x 2–2x +3=–x 2–3x =–（x 2+3x +94–94）=–（x +32）2+94，∴当x =–32时，QD 有最大值，QD 的最大值为94．（12分）。