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2015年中考数学复习培优第五讲：相似三角形一、相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab ===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似；④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比； ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方6.相似基本图形：平行，不平行；变换对应关系作出正确的分类：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
2015年中考数学复习培优第一讲：一元二次方程及应用【知识回顾】1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：12,x x = (24b ac -≥0)注意：（1）一定要注意0a ≠，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.2．根的判别式及应用(24b ac ∆=-)：(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根；③当0∆<时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。
3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12bx x a +=-，12cx x a ⋅=适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -= （3）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩； ②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于 ，则120(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
2015年北京市中考数学复习试题第二讲【知识提要】平移、旋转、轴对称合称图形变换。
【作用】添加辅助线。
课堂讲解一、平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。
1、直线的平移1、如图，直线43y x =与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k = ．2、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．提示：第（2）问，按MN 分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论；第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。
O xyABC EA B GN D MC（第3题图）AE D Q P B FC3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．提示：第（2）问，t=5时，点P 、Q 相遇；若没有05t <<，则按P 、Q 相遇时间分段分类，分别画出图形，再根据图形性质写出面积函数关系式，此时，第（3）问要对第（2）问中分类情形，分别解方程求解。
![最新2015年 《南方新中考》 数学 第二部分 专题七 函数与图象[配套课件]](https://img.taocdn.com/s1/m/c938b2e4172ded630a1cb60b.png)
2015年中考数学复习培优第二讲：二次函数性质及应用
★考点一：二次函数的有关概念
二次函数的概念：一般地，我们把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ，，是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
x 称为自变量，y 称为因变量。
★考点二：二次函数的基本性质 1、二次函数的图像：抛物线。
2、二次函数的常见的几种表达式
①、一般式：c bx ax y ++=2
②、顶点式：()k h x a y +-=2
（a b h 2-=，a
b a
c k 442-=）
③、交点式：12()()y a x x x x =--
3、抛物线的三要素：开口方向（与a 有关系）、对称轴（与a 、b 有关系）、顶点()k h ,。
4、二次函数的基本性质
5、二次函数c bx ax y ++=2
与()k h x a y +-=2
之间的转化
6、二次函数的平移
7、二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 正负的判定
a ：看开口方向 0>a 开口向上；0<a 开口向下。
b ：看对称轴 对称轴在y 轴左边，则与a 正负相同，对称轴在y 轴右边，则与a 正负相反。
c ：看于y 轴的交点 0>c 于y 轴交于正半轴； 0<c 于y 轴交于负半轴。
★考点三：二次函数解析式的求法 1、设一般式：c bx ax y ++=2
一般题目提供已知三个点坐标，则设所求抛物线解析式一般式，将已知条件带入解析式，得到关于a 、b 、
c 的三元一次方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值即可得到解析式。
2、设顶点式：()k h x a y +-=2
一般题目提供已知一个点和顶点坐标，则设所求抛物线解析式顶点式，将已知条件带入解析式，得到一个关于a 的一元一次方程，求出a 即可得到解析式。
3、设交点式：12()()y a x x x x =--
一般题目提供函数图像与x 轴交点坐标，则设所求抛物线解析式交点式，将已知条件带入解析式，得到一个关于a 的一元一次方程，求出a 即可得到解析式。
★考点四：二次函数的实际问题
★考点五：二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
24b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；
24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
★考点六：二次函数与不等式的关系
①、使得二次函数c bx ax y ++=2的函数值0<y 的自变量x 的取值范围，即求02<++c bx ax 的解集；反之，求02<++c bx ax 的解集，即求二次函数c bx ax y ++=2的函数值0<y 的自变量x 的取值范围。
（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）
②、用图像法求一元二次不等式02<++c bx ax ()
04,02>->ac b a （例子）的解集步骤：
a 、设：设c bx ax y ++=2，则求02<++c bx ax ，即求二次函数c bx ax y ++=2的函数值0<y 的自
变量x 的取值范围。
b 、作：根据五点作图法，作出一次函数
c bx ax y ++=2的图像
c 、求：求出二次函数与x 轴的交点坐标
d 、解：根据直角坐标系特点，x 轴上方，0>y 恒成立；反之，x 轴下方，0<y 恒成立，
故求02<++c bx ax ，即看图像在x 轴下方部分时，x 的取值范围即可。
★典型例题：
例1：若函数y ＝(m －3)2213
m m x
＋－是二次函数，则m ＝______.
例2：将抛物线y ＝3x 2
向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )
A ．y ＝3(x －2)2
－1 B ．y ＝3(x －2)2
＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2
－1 D ．y ＝3(x ＋2)2
＋1 例3：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图11-1，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0； ②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ． 4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
例4：二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
下列结论：
（1）ac ＜0； （2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．
（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x +c =0的一个根； （4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x +c ＞0． 其中正确的个数为（ ） A ．4个 B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
例5：当﹣2≤x ≤1时，二次函数y =﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）
A.
B.
或
C.2或
D.2或﹣
或
例6：如图11-2是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是（ ） A.1x 3-≤≤ B ．x 1≤- C ．x 1≥ D ．x 1≤-或x 3≥
例7：已知函数y =（x ﹣m ）（x ﹣n ）（其中m ＜n ）的图象如图11-3所示，则一次函数y =mx +n 与反比例函数y =的图象可能是（ ）
例8：二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，1
4
）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
例9：某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
例10：如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？。
