2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积

2020 年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结一、二次函数的概念一般地，形如 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x ）（x –x ），其中 x ，x 是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a ≠0 ．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴顶点（–b 2abx =–2a4ac b 2 ， ）4aa 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下当 x =–b 2a时，当 x =–b 2a时， 最值y最小值=4ac b 4a2y=最大值 4ac b 4a21 2 1 2最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性b当x<–时，y 随x 的增大而减小；2ab当x>–时，y随x 的增大而增大2a当x<–当x>–b2ab2a时，y随x的增大而增大；时，y 随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号a>0aa<0b=0b ab>0（a与b同号）ab<0（a 与b异号）c=0c c>0c<0b2–4ac=0b2–4ac b2–4ac>0b2–4ac<0图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点（顶点）与x轴有两个交点与x轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考点一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典型例题典例1 ）如果y=（m–2）x m 2m是关于x的二次函数，则m=A．–1【答案】AB．2C．–1或2D．m不存在【解析】依题意m²m 2m 20，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a典例2 下列函数是二次函数的是0.A．y=2x+2B．y=﹣2x C．y=x2+2D．y=x﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选C．考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典型例题典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是A．B．C．D．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y 轴交点为（0，1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1 可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0 与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0B．b<0 C．ac<0D．bc<0【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典型例题典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下C．其顶点坐标为（4，2）【答案】B B．其图象的对称轴为直线x=4 D．当x>3时，y随x的增大而增大【解析】Q y 3(x 4)22，a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x 4，故B正确；顶点坐标为（4，–2），故C不正确；当x 4时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选B．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h．a决定了开口方向.典例6 （2019·福建厦门外国语学校初三期中）在函数y (x 1)23中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是A．x 1B．x 0C．x 3D．x 1【答案】D【解析】二次函数y (x 1)23的对称轴为直线x 1，∵a 0，∴x 1时，y随x的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴左侧y 随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小考点4 二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax20），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2 的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．典例8如图，如果把抛物线y=x2 沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+2C．y=（x–22）2+22）2+222B．y=（x+2）2+2D．y=（x–2）2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=22，∴OB=AB=2 2×22=2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）．典型例题典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程a x2+bx+c=0的一个解的范围是A．–0.03<x<–0.01 C．6.18<x<6.19xy6.17–0.036.18 6.19–0.010.02B．–0.01<x<0.02D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10 如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2C．–3<x<1B．x>–3D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x 轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x 的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典型例题典例11 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣A．1032t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．B．20C．30D．10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时 t =20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．因此 t 的取值范围是 0≤t ≤20；即当 y =600﹣150=450 时，即 60t ﹣3 2t 2=450，解得：t =10，t =30（不合题意舍去），∴滑行最后的 150m 所用的时间是 20﹣10=10，故选 A ．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程. 典例 12如图，一段抛物线：y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；…如 此变换进行下去，若点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A ．2C ．﹣3B ．﹣2D ．3【答案】D【解析】∵y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ，∴点 A （4，0），∴OA =4， ∵OA =A A =A A =A A ......，∴OA =A A =A A =A A (4)∵点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点 P （17，m ）在 C 上，∴x =17 和 x =1 时的函数值相等，∴m =﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选 D ．1 1 1 12 2 2 23 3 1 11 11 12 23 34 1 1 2 2 3 3 45【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.。

二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

2020年中考数学一轮复习培优训练：《二次函数》1．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．2．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．5．如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△P AM≌△PDM，求点P的坐标；（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB 的面积为2d，求点P的坐标．6．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF ：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．（1）如图1，当值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M 在N上方），且MN＝1，求PM+MN+NE﹣BE的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B＝O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x＝上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．12．综合与探究：如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x 轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H．（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F （点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．①点G的纵坐标用含m的代数式表示为；②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．13．如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．15．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣10a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴正半轴于C 点，连AC，tan∠CAB＝，（1）求抛物线解析式；（2）点P是第三象限内抛物线上一点，过C作x轴平行线交抛物线于D，连DP、BP，分别交y轴于E、F，设P点横坐标为p，线段EF长为m，求出m与自变量p之间的函数关系式；（3）在（2）条件下，当tan∠DPB＝时，求P点坐标．参考答案1．解：（1）直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则点A 、B 的坐标分别为：（1，0）、（0，3），抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B （0，3），则a +4＝3，解得：a ＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3； （2）过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，设点M （m ，﹣m 2+2m +3），则S ＝S 梯形BOHM ﹣S △OAB ﹣S △AMH ＝（﹣m 2+2m +3+3）×m ﹣ [3×1+（m ﹣1）（﹣m 2+2m +3）]＝﹣m 2+m ， ∵0，故S 有最大值，当m ＝时，S 的最大值为：；（3）当S 取得最大值时，此时，m ＝， 则y ＝﹣m 2+2m +3＝， 故点M ′的坐标为：（，）．2．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）由题，∠AOC ＝90°，AC ＝，AB ＝4，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则，解得：，∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2； 当△AOC ∽△AEB 时＝（）2＝（）2＝，∵S △AOC ＝1，∴S △AEB ＝，∴AB ×|y E |＝，AB ＝4，则y E ＝﹣，则点E （﹣，﹣）； 由△AOC ∽△AEB 得：∴；（3）如图2，连接BF ，过点F 作FG ⊥AC 于G ，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．3．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S △BCD ＝2S △AOC 得：∴，整理得：m 2﹣3m +2＝0 解得：m 1＝1，m 2＝2 ∵0＜m ＜3 ∴m 的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M 的坐标为：（m ，n ），n ＝﹣x 2+x +2，点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2）， ①当BC 是平行四边形的边时，当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ， 同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ）， 故：m +3＝1，n ﹣2＝s 或m ﹣3＝1，n +2＝s ， 解得：m ＝﹣2或4， 故点M 坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝3，n +3＝2， 解得：m ＝2，故点M （2，2）； 综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．4．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）， 故﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），①将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC 的表达式为：y ＝﹣3x ﹣3，则点Q （m ，﹣3m ﹣3）， n ＝PQ ＝m 2﹣2m ﹣3+3m +3＝m 2+m ；②连接AP交y轴于点H，同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，则OH＝3﹣m，则CH＝m，△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，解得：m＝（不合题意的值已舍去），故点P（，﹣）；（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），①当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即m±3＝1，n±3＝s，解得：m＝﹣2或4，s＝8或2，故点N（1，2）或（1，8），则BN＝2或2；②当BC是对角线时，由中点公式得：3＝m+1，﹣3＝s+n，解得：s＝0，故点N（1，0），则BN＝2，综上，BN＝2或2或2．5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，∴OC＝2，∴点C（0，2），点D（﹣2，2），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+＝，（2）∵M为AC中点，∴MA＝MD，∵△P AM≌△PDM，∴P A＝PD，∴点P在AD的垂直平分线上∴点P纵坐标为，∴∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣∴点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）（3）如图2，∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，∴△ACB是等边三角形，由题意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．∵四边形AEMF是矩形，∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，∴△CMH是等边三角形，∴CM＝MH＝2t﹣4，∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+当t＝时，S最大＝，（4）∵S△ABP＝4×d＝2d，又S△BPQ＝2d∴S△ABP ＝S△BPQ，∴AQ∥BP设直线AC解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得∴∴直线AC解析式为：y＝x+2，设直线BP的解析式为y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得0＝2+n，∴b＝﹣2∴直线BP解析式为：y＝x﹣2，∴＝x﹣2，∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，∴P（﹣8，）．6．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3）∴，解得，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1∵点B在x轴负方向，∴点B坐标为（﹣1，0）；（2）作AM⊥x轴于M，∴点M（2，0），AM＝3，∴AM＝BM＝3，∴∠ABM＝45°∴AB＝当BA＝BD时，若点D在B点左侧，此时点D，若点D在B点右侧，此时点D，当AD＝BD时，显然点D即为点M，坐标（2，0），当AB＝AD时，DM＝BM＝3，此时点D（5，0），综上所述：点D坐标为，，（2，0），（5，0）；（3）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，∴对称轴为x＝1，即点N横坐标为1，∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，∴x B﹣x M＝x A﹣x N或x B﹣x N＝x A﹣x M，∴﹣1﹣x M＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣x M，∴x M＝﹣2或4，∴M（4，5）或（﹣2，5）．7．解：（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，S△COF ：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，解得：x＝1或2，故点D（1，4）或（2，3）；（3）①当点P在x轴上方时，取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，设MH＝x，则MG＝，则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，故MG＝＝，则点M（0，4），将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，联立①②并解得：x＝3（舍去）或，故点P（，）；②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（﹣，﹣）；综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．8．解：（1）将A（3，0），B（0，3）分别代入抛物线解析式，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+t（k≠0），把A（3，0），B（0，3）分别代入，得．解得k＝﹣1，t＝3．则该直线方程为：y＝﹣x+3．故设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．则BP＝m，PQ＝﹣m2+3m．∵OB＝OA＝3，∴∠BAO＝45°．∵QM⊥OA，∴∠PMA＝90°．∴∠AMP＝45°．∴∠BPQ＝∠AMP＝∠BAO＝45°．又∵∠BOP＝∠QBP，∴△POB∽△QBP．于是＝，即＝．解得m1＝，m2＝0（舍去）．∴PQ＝﹣m2+3m＝；（3）由两点间的距离公式知，BP2＝2m2，PQ2＝（﹣m2+3m）2，BQ2＝m2+（﹣m2+2m）2．①若BP＝BQ，2m2＝m2+（﹣m2+2m）2，解得m1＝1，m2＝3（舍去）．即m＝1符合题意．②若BP＝PQ，2m2＝（﹣m2+3m）2，解得m1＝3﹣，m2＝3+（舍去）．即m＝3﹣符合题意．③若PQ＝BQ，（﹣m2+3m）2＝m2+（﹣m2+2m）2，解得m＝2．综上所述，m的值为1或3﹣或2．9．解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC ＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．11．解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3）；令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0）设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，3）；代入并解得：k＝，b＝3 ∴直线BC解析式为y＝x+3；过P作PT∥y轴交BC于T，设P（t，++3），则T（t，+3）∴PT＝（++3）﹣（+3）＝+3t，OC＝3；∵PT∥y轴∴△PTQ∽△ACQ∴＝＝+t＝∴当t＝2时，值最大；此时，P（2，），PT＝3；在Rt△BOC中，BC＝＝5，∴当NE⊥BC时，NE＝BE，此时，NE﹣BE＝0最小，∵MN＝1，∴PM+MN的最小值即PM最小值∴PM⊥BC时，PM最小过P作PM⊥BC于M，∴∠PMT＝∠BOC＝90°∵∠PTM＝∠BCO∴＝∴PM＝PT＝，故PM+MN+NE﹣BE的最小值＝；（2）存在．在△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝1，OC＝3，∴AC＝如图2，由平移得：C1O1＝OC＝3，A1O1＝OA＝1，A1C1＝AC＝，∵C1B＝O1B，C1O1⊥OB∴C1G＝C1O1＝∴BG＝2，OG＝2∴C1（2，），O1（2，），A1（1，）；∴C1B＝O1B＝，A1B＝＝；∵△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1，∴A2O1＝1，O1B1＝，A2B1＝；∴A2（2，），B1（，）∵△A2B1K为等腰三角形，∴A2K＝B1K或A2B1＝B1K或A2K＝A2B1，设K（，m）①当A2K＝B1K时，则：+＝+，解得：m＝﹣，∴K1（，），②当A2B1＝B1K时，则：+＝，解得：m1＝﹣2，m2＝﹣5，∴K2（，﹣2），K3（，﹣5），③当A2K＝A2B1时，则：+＝，解得：m1＝（舍），m2＝，∴K4（，）；综上所述，点K的坐标为：K1（，），K2（，﹣2），K3（，﹣5），K4（，）．12．解：（1）∵OA＝4，OB＝2∴A（0，4），B（2，0）∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC∴AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°∴∠DBC＝∠OAB∵CD⊥x轴于点D∴∠BDC＝∠AOB＝90°在△BDC与△AOB中∴△BDC≌△AOB（AAS）∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2∴OD＝OB+BD＝6∴C（6，2）∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E（0，2）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2（2）①∵A（0，4）∴设直线AC解析式为y＝kx+4把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣∴直线AC：y＝﹣x+4∵点G在直线AC上，横坐标为m∴y G＝﹣m+4故答案为：﹣m+4．②∵AB＝BC，BG⊥AC∴AG＝CG，即G为AC中点∴G（3，3）设直线BG解析式为y＝gx+b∴解得：∴直线BG：y＝3x﹣6∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限∴解得：（舍去）∴F（4，6）判断四边形ABCF是正方形，理由如下：如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4 ∴AF＝，FC＝∵BC＝AB＝∴AB＝BC＝CF＝AF∴四边形ABCF是菱形∵∠ABC＝90°∴菱形ABCF是正方形③∵直线AC：y＝﹣x+4与x轴交于点H∴﹣x+4＝0，解得：x＝12∴H（12，0）∴FC2＝（6﹣4）2+（2﹣6）2＝20，CH2＝（12﹣6）2+（0﹣2）2＝40设点N坐标为（s，t）∴FN2＝（s﹣4）2+（t﹣6）2，NH2＝（s﹣12）2+（t﹣0）2i）如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH∴解得：（即点C）∴N（，）ii）如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC∴解得：∴N（，）或（10，4）综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为（，）或（，）或（10，4）．13．解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐标是（3，0）．∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），∴P（，）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴＝，即＝，∴DQ1＝，∴OQ1＝，即Q1（0，）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴＝，即＝，∴OQ2＝，即Q2（0，）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴＝，即＝，∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．14．解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，∴，，（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．15．解：（1）∵y＝ax2﹣3ax﹣10a＝a（x﹣5）（x+2），令y＝0，即a（x﹣5）（x+2）＝0，解得x＝﹣2，x＝5，∴A（﹣2，0），B（5，0），∴OA＝2，OB＝5，令x＝0，则y＝﹣10a，∴C（0，﹣10a），∵tan∠CAB＝＝，∴OC＝2×tan∠CAB＝5，∴﹣10a＝5，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+5；（2）∵点P是第三象限内抛物线上一点，P点横坐标为p，∴P（p，﹣p2+p+5），∵CD∥x轴，∴D（3，5），如图3，过P作PK⊥y轴于K，过D作DL⊥PK交PK的延长线于L，过B作BH⊥PK 交PK的延长线于H，∴tan∠DPL＝＝＝﹣p，tan∠BPH＝＝＝﹣p﹣1，∴EK＝PK•tan∠DPL＝﹣p•（﹣p）＝p2，FK＝PK•tan∠BPH＝（﹣p﹣1）（﹣p）＝p+p2，∴EF＝EK﹣FK＝p2﹣p2﹣p＝﹣p，∴m与自变量p之间的函数关系式为：m＝﹣p；（3）∵P（p，﹣p2+p+5），如图3，过F作PD的垂线，垂足为N，交PK于T，则∠PEK＝∠FTK，∴tan∠PEK＝tan∠FTK，∴，∴TK＝＝＝﹣（p+p2），∴PT＝﹣p+[﹣（p+p2）]＝﹣p（1+p+p2），∵sin∠PEK＝sin∠NTP，∴，∴，∵tan∠DPB＝＝，∴＝，即＝，解得：p＝﹣3，p＝1（舍去），∴P（﹣3，﹣4）．。

二次函数与面积求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；如图：抛物线与x 轴交于A 、B 两点，P 是抛物线上一点。

则S △ABP=21AB •PE（2）割补法；如图：直线MN 与抛物线交于M 、N ，与y 轴交于E ， 则S △MON=S △OEM+S △OEN（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

BC铅垂高水平宽 haA1、如图，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）三点，点P在第二象限的抛物线上，S△POB=S△PCO，求P点的坐标。

2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，- 3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB。

3、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B 重合），连接PA、PB，S△PAB=6，求P点的坐标。

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。

（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使△ABC面积有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；7、如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．。

2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义【知识梳理】（一）本节课知识点 1.二次函数解析式的三种形式一般式:2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，顶点式:2()(0)y a x h k a h k a =−+≠，，是常数，双根式:若抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标分别为1(,0)x ，2(,0)x 则12()()(0)y a x x x x a =−−≠2.二次函数的图象①二次函数图象关于一条平行y 轴的直线对称的抛物线②抛物线2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，与y 轴必有一个交点，坐标为（0，c ）；与x 轴交点的个数则是由△=ac b 42−决定的。

（二）本节课的重、难点1．重点：能通过观察函数图象读取相关信息解决问题．2．难点：用函数观点看方程（组）与不等式（组）.【典例剖析】例 已知二次函数x x y 22−=.(1) 把它配成k h x a y +−=2)(的形式.(2) 写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.(3) x 取何值时，函数有最值？是最大值还是最小值？求出最大值或最小值.(4) 求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标.(5) 用五点法画出函数图象,并回答:当x 取何值时，y ＞0？y ＜0？(6) 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？例 已知直线721−=x y 与抛物线c bx ax y ++=22，抛物线2y 与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点B （1，0），C （5，0）两点.（1）求抛物线的解析式并在同一坐标系中画出直线和抛物线的示意图.（2）结合图象回答:①02≥y 时,x 的取值范围；②50<<x 时，2y 的取值范围；③12y y ≥时，x 的取值范围；④关于x 的方程k c bx ax =++2有两个不等实根，k 的取值范围是什么？例 （1）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且P=b a c b a +++−2， Q=b a c b a −+++2，则P ，Q 的大小关系是_______________（2）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有下列五个结论：①abc >0；②b <a +c ；③4a +2b +c >0；④2c <3b ；⑤)1)((≠+>+m b am m b a ，其中正确的结论有 。

第二十二章 二次函数1．二次函数的概念及解析式(1)概念：形如y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c表示成y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)；②交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a≠0)(x 1，0)、(x 2，0)是函数与x 轴的交点坐标；③顶点式y ＝a(x ＋h)2＋k(a ，h ，k 是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ． ④三种解析式之间的关系： 顶点式――→配方一般式――→因式分解交点式 ⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(或a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a ．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式． b ．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．c ．已知抛物线与x 轴两个交点的坐标(或横坐标x 1，x 2)时，选用交点式． 2．二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0)的图象是抛物线． (1)当a ＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x ＝－b2a ； 当x ＝－b2a 时，y 有最小值，为4ac －b 24a；在对称轴左边(即x ＜－b2a )时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右边(即x>－b2a )时，y 随x 的增大而增大；顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)是抛物线上位置最低的点；(2)当a ＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x ＝－b2a；当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，为4ac －b 24a ，在对称轴左边(即x<－b2a)时，y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－b2a)时，y随x的增大而减小；顶点(－b2a，4ac－b24a)是抛物线上位置最高的点．4．二次函数函数的变换(1)二次函数图象的平移：①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)2＋k；向右平移m 个单位得y＝a(x－h－m)2＋k；向上平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k＋m；向下平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k－m．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．(2)二次函数图象的对称：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．5．二次函数与一元二次方程之间的关系方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．(1)当b2＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．6．二次函数与一元二次不等式之间的关系“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围【例题1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是 （填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：0a <，0c >， 对称轴：12bx a=-=， 2b a ∴=-， 0a <Q ， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；把1x =-代入函数关系式2y ax bx c =++中得：y a b c =-+，由抛物线的对称轴是直线1x =，且过点(3,0)，可得当1x =-时，0y =， 0a b c ∴-+=，故②错误； 2b a =-Q ，(2)0a a c ∴--+=，即：30a c +=，故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为：①③④．【例题3】某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元） 15 20 30 … y （袋）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 【答案】见解析。

2020届中考数学压轴题专题专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．【答案】（1）y＝﹣34x2+94x+3；（2）最大值是125．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：（1）由题意得，0 16403a b ca b cc＝＝＝-+⎧⎪++⎨⎪⎩，解得，3 4 9 43abc＝＝＝⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，抛物线的函数表达式为y＝﹣34x2+94x+3；（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，由勾股定理得，BC22OC OB+5，设直线BC的解析是为y＝kx+b，则403k bb+⎧⎨⎩＝＝，解得343kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析是为y＝﹣34x+3，设点M的坐标为（a，﹣34a+3），DM＝（﹣34a2+94a+3）﹣（﹣34a+3）＝﹣34a2+3a，∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴DE BODM BC，即DEDM＝45，解得，DE＝45 DM∴DE＝﹣35a2+125a＝﹣35（a﹣2）2+125，当a＝2时，DE取最大值，最大值是125．【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.【解析】【分析】（1）化为顶点式即可求顶点坐标;（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．【详解】解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m -1）两点，点P 的坐标为（t ，mt 2+2mt +m -1），点Q 的坐标为（t ，mt +m -1）．①如图1，当-1≤t ≤0时，PQ =2Q P y y mt mt -=--=211()24m t m -++． ∵m ＞0，当12t =-时，PQ 有最大值，且最大值为14m ． ∵0＜m ≤3，∴14m ≤34，即PQ 的最大值为34．②如图2，当0＜t ≤1时，PQ =2P Q y y mt mt -=+=211()24m t m +-． ∵m ＞0，∴当t =1时，PQ 有最大值，且最大值为2m ． ∵0＜m ≤3，∴0＜2m ≤6，即PQ 的最大值为6． 综上所述，PQ 的最大值为6． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x 2+mx+m ﹣2的顶点为A ，且经过点B （3，﹣3）． （1）求顶点A 的坐标（2）若P 是抛物线上且位于直线OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点P 的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【详解】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.∵直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，当n=时，S△OPB的最大值为．此时y=﹣n2+2n=，∴P（，）；（3）∵直线OA 的解析式为y=x ，∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x ﹣a ）2+a ， 联立，∴﹣（x ﹣a ）2+a=x ， ∴x 1=a ，x 2=a ﹣1，即C 、D 两点间的横坐标的差为1， ∴CD=．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数2248y x mx m =-+-．（1）图象经过点1,1（）时，则m =_________；（2）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）AMN ∆的面积是与m 无关的定值，S △AMN ＝33【解析】 【分析】（1）将点1,1（）代入二次函数解析式即可求出m ；（2）求出二次函数的对称轴为x ＝m ，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，可求出m 的取值范围；（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN 的面积是与m 无关的定值． 【详解】解：（1）将点1,1（）代入2248y x mx m =-+-可得：11248m m =-+-，解得：m=4；（2）二次函数2248y x mx m =-+-的对称轴是：x ＝m ， ∵当x≤2时，函数值y 随x 的增大而减小， ∴m≥2；（3）AMN ∆的面积是与m 无关的定值；如图：顶点A 的坐标为（m ，−m 2＋4m −8），△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点B ， ∵tan∠AMB＝tan60°＝3ABBM，3BM 3， 设BM ＝BN ＝a ，则AB 3，∴点M 的坐标为（m ＋a 3a −m 2＋4m −8），∵点M在抛物线上，∴3a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，整理得：230a a，解得：a＝3或a＝0（舍去），∴△AMN是边长为23的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝1233332⨯⨯=，与m无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．【变式2-1】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．【答案】（1）y=﹣23x2+43x+2；(2)见解析；（3）见解析.【解析】【详解】分析：（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M 坐标，且求出定值S的值即可．详解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣23，则抛物线解析式为y=﹣23（x+1）（x﹣3）=﹣23x2+43x+2；（2）抛物线y=﹣23（x+1）（x﹣3）=﹣23x2+43x+2=﹣23（x﹣1）2+83，∴D（1，83），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，23）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣23）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，143）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：302k bb+=⎧⎨=⎩，解得：232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣23x+2，设与直线BC 平行的解析式为y=﹣23x+b ， 联立得：22324233yx b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，消去y 得：2x 2﹣6x+3b ﹣6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b ﹣6）=0，解得：b=72，即y=﹣23x+72， 此时交点M 1坐标为（32，52）；可得出两平行线间的距离为913， 同理可得另一条与BC 平行且平行线间的距离为91326的直线方程为y=﹣23x+12，联立解得：M 2（332-，122-），M 3（3+32，122--），此时S=1．点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式2-2】如图：已知抛物线()()13(0)2y x m x m m m=-+->与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 交于点C ，抛物线对称轴与x 轴交于点D ，932E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为x 轴上一点．（1）写出点A 、B 、C 的坐标（用m 表示）；（2）若以DE 为直径的圆经过点C 且与抛物线交于另一点F ， ①求抛物线解析式；②P 为线段DE 上一动（不与D 、E 重合），过P 作PQ EC ⊥作PH DF ⊥，判断PQ PHDC EF+是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；（3）如图②，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，与y 相交于点M ，连接BM .点S 是线段AM 的中点，连接OS .若点N 是线段BM 上一个动点，连接SN ，将△SMN 绕点S 逆时针旋转60得到△SOT ，延长TO 交BM 于点K ．若△KTN 的面积等于△ABM 的面积的112，求线段MN 的长．【答案】（1）A(-3m ，0)，B(m ，0)，C(0，32m )（2）①2333y x x =-++1PQ PH DC EF =，理由见解析； （3）线段MN 的长为2或5【解析】（1）A （-3m ，0），B （m ，0），C （0，32m ） （2）△DCE 为直角三角形． ①OC 2=OD ·OE ，m =32333y x x =-+②∵DE 为直径，∴∠DCE =∠DFE =90°，∵PQ ⊥EC ，PH⊥DF ，∴PQ ∥DC ，PH∥EF PQ PE DC DE ∴=，，PH DPEF DE=，∴+1PQ PH PE DP DEDC EF DE DE+===（3）A （63-0），B （30），又∠OAM =60° ，∴cos30°=OMOA，∴OM =6，M （0，6） 又tan∠ABM =OMOB3OBM =60° ，∠AMB =90° ， S 是线段AM 的中点，∴∠OSM =60° ，∴∠AOS =30° ，又∠SOT =90° ，∠AOT =60° ，∴直线TK ：y 3x ；BM ：y 3x -6，联立两个方程，解得：K 3-3）设MN =a ，TK =TO +OK =a 3KTN 的高h =TK 33+ NK =23a ，∵S △KTN =112S △ABM 1232NK h ⋅⋅=， ∴13233232a （）⨯+= a =2或a =5点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转化，属于中考压轴题．【考点3】二次函数的面积最值问题 【例3】已知抛物线22y x x m m =---． （1）求证：抛物线与x 轴必定有公共点；（2）若P （a ，y 1），Q （－2，y 2）是抛物线上的两点，且y 1>y 2，求a 的取值范围；（3）设抛物线与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，点A 在点B 的左侧，与y 轴负半轴交于点C ，且123x x +=，若点D 是直线BC 下方抛物线上一点，连接AD 交BC 于点E ，记△ACE 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，求21S S 是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2a <-或3a >，（3）21S S 没有最小值；21S S 有最大值是13【解析】分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都大于零，再判断出物线与x 轴总有交点． （2）分两种情况：当点P 在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小，得2a <-；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，3a >，故得解.详解：（1）令0y = 得220x x m m ---=∴224441b ac m m ∆=-=++ ∴()221m ∆=+无论m 取何值，()2210m ∆=+≥ ∴ 抛物线与x 轴必定有公共点（2）∵22y x x m m =---，抛物线的对称轴是12x = 当点P 在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小， ∵y 1>y 2， 2a <-当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大， Q （－2，y 2）关于对称轴的对称点是（3，y 2） ∵y 1>y 2， 3a > 综上所述：2a <-或3a > （3）11x m =+，2x m =-∵123x x += 、∴ 13m m ++-=，解得1m =或2m =- ∴ 22y x x =--∴ ()1,0A -、()2,0B ，()0,2C - ∴ 直线BC 的解析式是2y x =-设点A 到直线BC 的距离是1h ，点D 到直线BC 的距离是2h ， △ACE 的面积S 1112CE h =⨯，△DCE 的面积S 2212CE h =⨯ ∴ 1322h =，2221123S h h S h == ∴ 求21S S 的最值转化为求2h 的最值 设过点D 与直线BC 平行的直线解析式为y x b =+当点D 在直线BC 下方的抛物线上运动时，2h 无最小值，仅当直线y x b =+与抛物线22y x x =--只有一个公共点时，2h 有最大值即方程组22y x x y x b⎧=--⎨=+⎩有两个相等的实数根∴2220x x b ---=， 4840b ∆=++=， ∴3b =-，此时222h =∴21S S 没有最小值；21S S 有最大值是13∴()1,0A -、()2,0B点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．【变式3-1】如图，直线334x y =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点.①求点C 的坐标； ②求抛物线的解析式；③如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当BEC ∆面积最大时，请求出点E 的坐标和BEC ∆面积的最大值.【答案】①()4,0C ；②233384y x x =-++；③点E 的坐标是()2,3时，BEC ∆的面积最大，最大面积是3.【解析】 【分析】①利用利用x 轴上点的坐标特点代入一次函数即可.②根据抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点，先求出B 点坐标，再用待定系数法求解析式即可. ③根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ，EF 交x 轴于点F ，利用E 、M 横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出EM 的长，再利用BEC BEM MEC S S S ∆∆∆=+，把EM 看作△BEM 和△MEC 的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可. 【详解】解：①∵直线334xy =-+与x 轴交于点C ， ∴当y=0时，解得x=4 ∴C 点坐标为：()4,0 ②直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴当x=0时，解得y=3∴点B 的坐标是()0,3，点C 的坐标是()4,0， 抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点， 3164043a c c ⎧+⨯+=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为233384y x x =-++.③如图，过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ，EF 交x 轴于点F ，已知点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，则可设点E 的坐标是233,384x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴点M 的坐标是3,34x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22333333384482EM x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭.BEC BEM MEC S S S ∆∆∆=+，22113334(2)322824BEC S ME OC x x x ∆⎛⎫∴=⋅=⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭. 即当2x =时，即点E 的坐标是()2,3时，BEC ∆的面积最大，最大面积是3. 【点睛】此题考查的是①一次函数的与坐标轴的交点坐标；②待定系数法求二次函数解析式；③用“铅垂高，水平宽”求面积最值问题.【变式3-2】如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,和点()10B ,，交y 轴于点C .(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值.【答案】(1)224233y x x =--+；(2)S 的最大值为174.【解析】 【分析】（1）根据A,B 两点坐标可得出函数表达式； （2）设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，根据+APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形列出S 关于x 的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值. 【详解】解：（1）将A,B 两点的坐标代入解析式得，9320,20,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为：224233y x x =--+； （2）连接OP ，设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 由（1）中表达式可得点()0,2C ， 则 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形111222p P AO y OC x CO OD =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 222411221()213=3323222x x x x x ⎛⎫--++⨯⨯--⨯⨯=--+ ⎪⎝⎭⨯⨯， ∵10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174.【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”. 【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A C 两点，抛物线2y x bx c =++经过,A C 两点，与x 轴交于另一点B .（1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）连接BC ，求ABC ∆的面积；（3）若点M 为抛物线上一动点，连接,MA MB ，当点M 运动到某一位置时，ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求此时点M 的坐标.【答案】（1）265y x x =-+，()5,0B ；（2）10ABC S ∆=；（3）M 点的坐标为1M ，2M 3-22（，），3M ，见解析. 【解析】 【分析】（1）利用,A C 两点是一次函数上的点求出,A C 两点，再代入二次函数求解即可. （2）根据()1,0A ，()5,0B ，求出4AB =，求出△ABC. （3）根据ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求出4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯=，得出1644M y =÷=，求出此时M 的坐标即可. 【详解】（1）解：∵直线55y x =-+∴令0y =，则055x =-+，解得1x = ∴()1,0A令0x =，则5y =，∴()0,5C将点()1,0A ，()0,5C 代入2y x bx c =++中得，105b c c ++=⎧⎨=⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+； 令0y =，则2650x x -+=，解得121,5x x == ∴()5,0B .（2）解：∵()1,0A ，()5,0B ∴4AB = ∴11451022ABC S AB OC ∆=⨯=⨯⨯=（3）∵ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍， ∴4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯= ∵AB=4 ,∴1644M y =÷=， ∵()226534y x x x =-+=--∴抛物线的顶点坐标为()13,4M -符合条件，当4M y =时，2654x x -+=，解的，x 1=3-22，x 2=322+，∴M 点的坐标为1M （3，-4），2M ()3-224，，3M ()3224+，. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.【变式4-1】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．1. 求直线与抛物线的解析式．2.若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P(x ，y)，设∠PON＝，求当△PON 的面积最大时tan的值．3. 若动点P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) 所求的抛物线为． (2)(3) 存在点，其坐标为（1，3）【解析】 【分析】（1）根据C 点的坐标可确定直线AD 的解析式，进而可求出B 点坐标，将B 、C 、O 三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；（2）此题的关键是求出P 点的坐标；△PON 中，ON 的长为定值，若△PON 的面积最大，那么P 点离ON 的距离最远，即P 点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P 点的坐标，进而可求出α的正切值；（3）设出点P 的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P 点的纵坐标；根据直线AD 和抛物线的解析式可求出A 、N 的坐标；以ON 为底，P 点纵坐标为高可得到△OPN 的面积，以OA 为底，P 点横坐标为高可得到△OAP 的面积，根据题目给出的△POA 和△PON 的面积关系即可求出P 点的横坐标，进而可求出P 点的坐标．【详解】（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（，此时tan∠α=（3）存在；把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=-2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=-2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=ו（-2x2+5x）=（-2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=•（-2x2+5x）解得x=0（舍去）或x=1，得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）．【点睛】此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．【变式4-2】如图1，抛物线23y x x =--与直线22y x =--交于A 、B 两点，过A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，直线AB 交x 轴于点D ．()1求A 、B 、C 三点的坐标；()2若点H 是线段BD 上的一个动点，过H 作//HE y 轴交抛物线于E 点，连接OE 、OH ，当310HE AC =时，求OEHS的值；()3如图2，连接BO ，CO 及BC ，设点F 是BC 的中点，点P 是线段CO 上任意一点，将BFP 沿边PF翻折得到GPF ，求当PC 为何值时，GPF 与CFP 重叠部分的面积是BCP 面积的14．【答案】（1）点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-，点C 坐标()4,4--；（2）333OEHS+=；（3）当2PC =10时，GPF 与CFO 重叠部分的面积是BCP 面积的14． 【解析】 【分析】（1）列方程组可知A 、B 两点坐标，根据点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，列方程可求得点C 坐标． （2）如图1中，设(),22H m m --，(21)m -<<-，则()2,3E m m m --，根据310HE AC =， 列出方程求出点H 的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．（3）分两种情形①若翻折后，点G 在直线OC 下方时，连接CG ．如图2，可证四边形PFCG 是平行四边形，得10PB PG CF ===Rt△PBO 中，根据22OP PB BO -，即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC 上方时，连接CG ．如图3，可证四边形PFGC 是平行四边形，得12PC FG BF BC ===即可解决问题． 【详解】解：()1由2322y x x y x ⎧=--⎨=--⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=-⎩，∴点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-， ∵//AC x 轴， ∴点C 纵坐标为4-，由234x x --=-，解得4x =-或1， ∴点C 坐标()4,4--．()2如图1中，设(),22H m m --，(21)m -<<-，则()2,3E m m m --，由题意()23322510m m m -----=⨯， 解得13m --=13-+（舍弃）， ∴131333322OEHS++=⨯=． ()3∵()2,2B -，()4,4C --，∴2226210BC =+=，2OB =2OC = ∵222OB OC BC +=， ∴90BOC ∠=．①若翻折后，点G 在直线OC 下方时，连接CG ．如图2，∵111422PFLPBCPFCPFGS S S S ===，∴PFLFCLPLGSSS==，∴FL LG =．CL LP =， ∴四边形PFCG 是平行四边形， ∴10PB PG CF ===， 在Rt PBO 中，222OP PB BO =-=，∴42232PC OC OP =-=-=．②若翻折后，点G 在直线OC 上方时，连接CG ．如图3，∵111422PFLPBCPFCPFGS S S S ===，∴PFLFCLPLGSSS==，∴FL LG =．CL LP =， ∴四边形PFGC 是平行四边形， ∴1102PC FG BF BC ==== 综上所述:当2PC =10时，GPF 与CFO 重叠部分的面积是BCP 面积的14．【点睛】属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.一、解答题1．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为()1,0，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；（3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-（2）939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）DM DN +为定值 【解析】 【分析】（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即求得b 、c 的值．（2）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AHAB =构造等腰ABH ∆，作BH 中点G ，即有22PAB BAG ACO ∠=∠=∠，利用ACO ∠的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点'H ，求得直线'AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．（3）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把1x =-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM DN +为定值． 【详解】（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点1,0A ，()0,3C-.∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩.∴抛物线的函数表达式为223y x x =+-. （2）①若点P 在x 轴下方，如图1， 延长AP 到H ，使AH AB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HIBI ⊥于点I .∵当2230x x +-=，解得：13x =-，21x =. ∴()3,0B -. ∵1,0A ，()0,3C-，∴1OA =，3OC =，221310AC =+4AB =，∴Rt AOC ∆中，10sin OA ACO AC ∠==310cos OC ACO AC ∠==， ∵AB AH =，G 为BH 中点， ∴AG BH ⊥，BG GH =，∴BAG HAG ∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠， ∵2PAB ACO ∠=∠， ∴BAG ACO ∠=∠，∴Rt ABG ∆中，90AGB ∠=︒，10sin BG BAG AB ∠==， ∴10210105BG AB ==， ∴4102BH BG ==. ∵90HBI ABG ABG BAG ∠+∠=∠+∠=︒，∴HBI BAG ACO ∠=∠=∠，∴Rt BHI ∆中，90BIH ∠=︒，10sin HI HBI BH ∠==310cos BI HBI BH ∠==∴104105HI BH ==，31012105BI BH ==， ∴411355H x =-+=-，125H y =-，即1112,55H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设直线AH 解析式为y kx a =+，∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AH ：33y x 44=-. ∵2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点A ），22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴939,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取'AH AH =，则'H 与H 关于x 轴对称， ∴1112',55H ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设直线'AH 解析式为''y k x a =+，∴''01112''55k a k a +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：3'43'4k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线'AH ：3344y x =-+.∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点A ），221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1557,416P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 综上所述，点P 的坐标为939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）DM DN +为定值.∵抛物线223y x x =+-的对称轴为：直线1x =-， ∴()1,0D -，1M N x x ==-， 设()()2,2331Q t t t t +--<<，设直线AQ 解析式为y dx e =+，∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩，解得：33d t e t =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AQ ：()33y t x t =+--，当1x =-时，3326M y t t t =----=--， ∴()02626DM t t =---=+， 设直线BQ 解析式为y mx n =+，∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩，解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BQ ：()133y t x t =-+-， 当1x =-时，13322N y t t t =-++-=-， ∴()02222DN t t =--=-+，∴()26228DM DN t t +=++-+=，为定值．【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．【答案】（1）y＝﹣18x2+8；（2）正确，d＝|PD﹣PF|为定值2；理由见解析；（3）△PDE周长的最大值是13，最小值是213+10．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小；当P与A重合时，PE＋PF最大；即可解答．【详解】（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y＝ax2+c，则8640 ca c=⎧⎨+=⎩，解得：188ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线解析式为y＝﹣18x2+8．（2）设P（x，﹣18x2+8），则F（x，8），则PF＝8﹣（﹣18x2+8）＝18x2．PD2＝x2+[6﹣（﹣18x2+8）]2＝164x4+12x2+4＝（18x2+2）2∴PD＝18x2+2，∴d＝|PD﹣PF|＝|18x2+2﹣18x2|＝2∴d＝|PD﹣PF|为定值2；（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，由d＝|PD﹣PF|为定值2，得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），又∵D（0，6），E（﹣4，0）∴DE＝22+==．6452213∴C△PDE＝213+2+（PE+PF），当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，得C△PDE最小值＝213+2+8＝2 13+10．设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，所以PE≤AE+AM．所以当P与A重合时，PE+PF最大，AE＝8﹣4＝4，PD2222++10．86AO DO得C△PDE最大值＝13＝13．综上所述，△PDE周长的最大值是13，最小值是13．【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO 方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝x2+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9【解析】试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，∴OQ=8-t，=128-64+8t-8t=64，∴四边形OPBQ 的面积为一个定值，且等于64； （3）当△OPQ ∽△ABP 时，./解得：t 1=2，t 2=8（舍去）， 此时P （4，0）， ∵B （16，8），∴抛物线解析式是；（4）设直线BP 的解析式为y=kx+b∴直线BP 的解析式是∵M 在BP 上运动， ∴4≤m≤16，∴当时，MN 有最大值是9．考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型． 4．如图1所示，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点()A 4,0-和点()B 1,0，交y 轴于点()C 0,4．()1求抛物线的函数表达式；()2如图2所示，若点M 是抛物线上一动点，且AOM S BOC S 3=，求点M 的坐标；()3如图3所示，设点N 是线段AC 上的一动点，作PN x ⊥轴，交抛物线于点P ，求线段PN 长度的最大值．【答案】（1）2y x 3x 4=--+；（2）点P 坐标为3372⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或337,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或313,32⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或3133⎫---⎪⎪⎝⎭；()3 线段PN 长度最大值为4． 【解析】 【分析】（1）把函数设为交点式，代入C 点坐标，进而求出a 的值即可； （2）设M 点坐标为（x ，-x 2-3x+4），根据S △AOM =3S △BOC列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y=x+4，再设N 点坐标为（x ，x+4），则P 点坐标为（x ，-x 2-3x+4），然后用含x 的代数式表示PN ，根据二次函数的性质即可求出线段PN 长度的最大值． 【详解】解：（1）把函数设为交点式()()12y a x x x x =--，由()A 4,0-，()B 1,0得()()y a x 4x 1=+-，把()C 0,4代入，得a 1=-， 故抛物线的解析式为2y x 3x 4=--+； （2）设M 点坐标为()2x,x 3x 4--+，AOMSBOCS3=，2114x 3x 431422∴⨯⨯--+=⨯⨯⨯，整理得2x 3x 43+-=或2x 3x 43+-=-， 解得337x -±=或313x -±=，则符合条件的点P 坐标为337,3⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭或337,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或313,3⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或313,3⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）设直线AC 的解析式为y kx b =+，将()A 4,0-，()C 0,4代入，4k b 0b 4-+=⎧⎨=⎩， 解得k 1b 4=⎧⎨=⎩，即直线AC 的解析式为y x 4=+，设点N 坐标为()x,x 4+，()4x 0-≤≤，则P 点坐标为()2x,x 3x 4--+，设PN y =，则()()222y x 3x 4x 4x 4x (x 2)4=--+-+=--=-++，即当x 2=-时，y 有最大值4， 故线段PN 长度最大值为4． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0） （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）该抛物线有一点D （x ，y ），使得S △ABC ＝S △DBC ，求点D 的坐标．【答案】（1）y ＝2424455x x -+，x ＝3；（2）P （3，85）；（3）D 的坐标为（6，4）． 【解析】 【分析】（1）因为抛物线经过点B （1，0），C （5，0），可以假设抛物解析式为y=a （x-1）（x-5），把A （0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P ，此时△PAB 周长最小．求出直线AC 的解析式即可解决问题； （3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D 的纵坐标为±4，代入抛物线的解析式即可求得． 【详解】（1）∵抛物线经过点B （1，0），C （5，0），∴可以假设抛物解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），把A （0，4）代入得4＝5a ， ∴a ＝45， ∴抛物线解析式为y ＝45（x ﹣1）（x ﹣5）＝45x 2﹣245x +4． 抛物线对称轴x ＝1+52＝3． （2）连接AC 与对称轴的交点即为点P ，此时△PAB 周长最小．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∵A （0，4），C （5，0）， ∴450b k b =⎧⎨+=⎩，解得454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，。

2020年中考数学专题培优 二次函数图像和性质（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。

4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．21(8)52＝－＋y x B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）CA B -1x=1xy O -11-4xyO①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 ……则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴顶点坐标yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAx y O B xyO C x yODxyO()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。

2020中考专题22——二次函数与面积班级姓名.【方法解读】解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.【坐标平面内三角形面积公式】三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．模型解析竖切：面积公式均为1=2S dh横切：面积公式均为1=2S dh【总结】这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.【例题分析】例1.如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答问题：如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2备用图例2．（2019·衡阳）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P 作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.例3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2.（1）求抛物线解析式；（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.例4.（2019·毕节）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ：S △BPD ＝1：2时，请求出点D 的坐标；（3）如图2，点E 的坐标为（0，﹣1），点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE ，若∠PEG ＝2∠OGE ，请求出点P 的坐标；（4）如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝－12x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；2．如图，已知抛物线y ＝－x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （－1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax ²－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；4.已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²－4x－12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．5．一次函数y＝－3x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax²＋4ax＋c的图象交于A、B两点（其4中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标．（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于现在x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．6.已知：在直角坐标系中，点C 的坐标为（0，－2），点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程x ²－3x －4＝0的两个根，点A 在点B 的左侧.（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式.（2）点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0）连接CD 、CP ，设△CDP 的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？7.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y ＝mx ²＋nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMNS △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MN NC的值，并求出此时点M 的坐标.2020中考专题22——二次函数与面积参考答案例1.（1）设抛物线的解析式为：1y ＝a （x －1）²＋4把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1，所以1y ＝－（x －1）²＋4＝－x ²＋2x ＋3，设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b由1y ＝－x ²＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3）把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中解得：k ＝－1，b ＝3所以2y ＝－x ＋3；（2）①因为C 点坐标为（1,4）所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2所以CD ＝4－2＝2CAB S △＝12×3×2＝3（平方单位）；②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x ²＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x ²＋3x由PAB S △＝CAB S △得：12×3×（－x ²＋3x ）＝3化简得：x ²－3x ＋2＝0，解得：1x ＝1，2x ＝2，将1x ＝1代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中，解得P 点坐标为（1，4）．将2x ＝2代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中，解得P 点坐标为（2，3）．∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）．例2．解：（1）把A （－1，0），B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得01,093,b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩∴该抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x －3；（2）∵CP ⊥EB ，∴∠OPE ＋∠BCP ＝90°，∵∠OPE ＋∠OEP ＝90°，∴∠OEP ＝∠BPC ，∴tan ∠OEP ＝tan ∠BPC ．∴OP OE ＝BC PB ．设OE ＝y ，OP ＝x ，∴y x ＝43x -．整理，得y ＝－14x 2＋x＝－14（x －32）2＋916．∴当OP ＝32时，OE 有最大值，最大值为916，此时点P 在（32，0）处.（3）过点M 作MF ⊥x 轴交BN 于点F ，∵N （0，－3），B （3，0），∴直线的解析式为y ＝－3m.设M （m ,m 2－2m －3）,则MF ＝m 2－3m ，∴△MBN 的面积＝12OB·MF ＝32(m 2－3m )＝32(m －32)2－278.点M 的坐标为（32，－278）时，△MBN 的面积存在最大值.例3.【解析】（1）x ²－10x ＋16＝0，解得1x ＝2，2x ＝8．∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ），∴点B 的坐标为（2,0），点C 的坐标为（0,8）．又由抛物线的对称轴是直线x ＝－2，得A 点坐标为（－6,0），把A ，B ，C 点坐标代入表达式y ＝ax²＋bx ＋c ，得36604208a b c a b c c ⎧⎪⎨⎪⎩－＋＝＋＋＝＝，解得23838a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝－＝－＝．∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x ²－83＋8．（2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，∵OA ＝6，OC ＝8,∴AC ＝10.∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，EF AC ＝BE AB ，即10EF ＝88m －，∴EF ＝4054m －．过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45，∴FG EF ＝45，FG ＝45·4054m －＝8－m ，∴S ＝BCE S △－BFE S △＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝－12m ²＋4m （0＜m ＜8）.例4.解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x +3）＝a （x 2+2x ﹣3），即：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝45°，∵S △CPD ：S △BPD ＝1：2，∴BD ＝BC ＝×＝2，y D ＝BD sin ∠CBO ＝2，则点D （﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE 交x 轴于点H ，∵∠OGE ＝15°，∠PEG ＝2∠OGE ＝30°，∴∠OHE ＝45°，∴OH ＝OE ＝1，则直线HE 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…②，联立①②并解得：x ＝（舍去正值），故点P （，）；（4）不存在，理由：连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，直线BC 的表达式为：y ＝x +3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），点H （x ，x +3），则S 四边形BOCP ＝S △OBC +S △PBC ＝×3×3+（﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3）×3＝8，整理得：3x 2+9x +7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P ．【巩固训练】参考答案1.【解析】（1）令y ＝0，则2x ＋4＝0，解得x ＝－2，令x ＝0，则y ＝4，所以，点A （－2,0）、D （0,4）；代入抛物线y ＝12x ²＋bx ＋c 中，得：142024b c c ⎧⨯⎪⎨⎪⎩－－＋＝＝，解得14b c ⎧⎨⎩＝＝∴抛物线的解析式：y ＝12x ²＋x ＋4；令y ＝0，得：0＝12x ²＋x ＋4，解得1x ＝－2、2x ＝4．∴点B （4,0）．（2）∵AOM S △:OMD S △＝1:3，∴AM :MD ＝1:3；过点M 作MN ⊥x 轴于N ，如图；①当点M 在线段AD 上时，AM :AD ＝1:4；∵MN ∥OD ，∴△AMN ∽△ADO∴MN ＝14OD ＝1、AN ＝14OA ＝12、ON ＝OA －AN ＝2―12＝32；∴M （－32，1）；②当点M 在线段DA 的延长线上时，AM :AD ＝1:2；∵MN ∥OD ，∴△AMN ∽△ADO ，∴MN ＝12OD ＝2、AN ＝12OA ＝1、ON ＝OA ＋AN ＝3；∴M （－3，－2）；综上，符合条件的点M 有两个，坐标为：（－32，1）、（－3，－2）．2.【解析】（1）y ＝x ＋1；（2）点P 的坐标为（12，154）.（1）将A （－1,0），C （2,3）代入y ＝－x ²＋bx ＋c ，得：10423b c b c ⎧⎨⎩－－＋＝－＋＋＝，解得：3b c ⎧⎨⎩＝2＝，∴抛物线的函数关系式为y ＝－x ²＋2x ＋3．设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋a （k ≠0），将A （－1,0），C （2,3）代入y ＝kx ＋a ，得：023k a k a ⎧⎨⎩－＋＝＋＝，解得：11k a ⎧⎨⎩＝＝，∴直线AC 的函数关系式为y ＝x ＋1．（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，过点C 作CN ⊥x 轴，垂足为N ，如图所示．设点P 的坐标为（x ，－x ²＋2x ＋3）（－1＜x ＜2），则点M 的坐标为（x ,0）．∵点A 的坐标为（－1,0），点C 的坐标为（2,3），∴AM ＝x ＋1，MN ＝2－x ，PM ＝－x ²＋2x ＋3，CN ＝3，AN ＝3，∴APC S △＝APM S △＋PMNC S 梯形－ACN S △，＝12AM ·PM ＋12（PM ＋CN ）·MN －12AN ·CN ，＝12（x ＋1）（－x ²＋2x ＋3）＋12（－x ²＋2x ＋3＋3）（2－x ）－12×3×3，＝－32x ²＋32x ＋3．∵APC S △＝－32x ²＋32x ＋3＝－32（x －12）²＋278，－32＜0，∴当x ＝12时，APC S △取得最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（12，154）． 3.【解析】（1）令y ＝0，则ax ²－2ax －3a ＝0，解得1x ＝－1，2x ＝3∵点A 在点B 的左侧，∴A （－1,0）如图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC，∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC＝4，∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax ²－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D （4,5a ）把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得045a k b k b ⎧⎨⎩－＋＝＋＝，解得ak a b ⎧⎨⎩＝＝，∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ．（2）如图1，过点E 作EN ⊥y 轴于点N设点E （m ，a （m ＋1）（m －3）），11AE y k x b ＝＋，则()()111113a m m mk b k b ⎧⎪⎨⎪⎩＋－＝＋0＝－＋，解得：()()133k a m b a m ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝－，∴AE y ＝a （m －3）x ＋a （m －3），M （0，a （m －3）），∵MC ＝a （m －3）－a ，NE ＝m ，∴ACE S △＝ACM S △＋CEM S △＝12[a （m －3）]＋12[a （m －3）－a ]m ＝12（m －1）[a （m －3）－a ]＝2a（m －32）²－258a ，∴有最大值－258a ＝54，∴a ＝－25.4.【解析】（1）由x ²－4x －12＝0，解得：1x ＝－2，2x ＝6，点A 、点B 的横坐标是方程x ²－4x －12＝0的两个根，故A （－2,0）、B （6,0），则426036660a b a b ⎧⎨⎩－＋＝＋＋＝，解得122a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝．故二次函数y ＝－12x ²＋2x ＋6，顶点坐标（2,8）；（2）设点P 的横坐标为m ，则0＜m ＜6，连接AQ ，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋6，直线AC 的解析式为y ＝3x ＋6，设Q 点坐标为（a ，6－a ），由PQ ∥AC ，可知6a a m －－＝3，解得a ＝634m ＋，6－a ＝34（6－m ），CPQ S △＝APQ S △＝12（m ＋2）·34（6－m ）＝－38（m ²－4m －12）＝－38（m －2）²＋6，当m ＝2时，S 最大＝6，所以，当△CPQ 的面积最大时，点P 的坐标是（2,0）．5.【解析】（1）∵抛物线的对称轴方程为x ＝－2b a，∴抛物线的对称轴为x ＝－42a a ＝－2．∵将x ＝－2代入y ＝－34x 得：y ＝－34×（－2）＝32，∴点C 的坐标为（－2，32）．（2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（－2，32）．∴CD ＝3．设点A 的横坐标为x ，则点A 到CD 的距离＝（x ＋2）．∵△ACD 的面积等于3，∴12×CD ×（x ＋2）＝3 ．解得：x ＝0．将x ＝0代入y ＝－34x 得：y ＝0．∴点A 的坐标为（0,0）．设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）²－32，将（0,0）代入得；4a－32＝0，解得：a＝38．∴抛物线的解析式为y＝38（x＋2）²－32．②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．设点D的坐标为（－2，m），则CD＝32m－．∵DC＝AC，∴AC＝32m－，∵EA∥x轴，∴∠COF＝∠CAE.∴AE＝45AC＝4352m⎛⎫⎪⎝⎭－∵△ACD的面积为10，∴12CD·AE＝10，即12×（m－32）×45（m－32）＝10.解得：m＝6.5或m＝－3.5．当m＝6.5时，点D的坐标为（－2,6.5）．AE＝45×（6.5－1.5）．∴点A的横坐标为－2＋4＝2．将x＝2代入y＝－34x得；y＝－34×2＝－32．∴点A 的坐标为（2，－32）．设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋2）²＋6.5，将点A 的坐标代入得：16a ＋6.5＝－1.5．解得：a ＝－12．∴抛物线的解析式为y ＝－12（x ＋2）²＋6.5．当m ＝－3.5时，点D 的坐标为（－2，－3.5）．AE ＝45×[1.5－（－3.5）]＝4．∴点A 的坐标为（2，－32）．设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋2）²－3.5，将点A 的坐标代入得：16a －3.5＝－1.5．解得：a ＝18．∴抛物线的解析式为y ＝18（x ＋2）²－3.5．6.【解析】（1）解方程x ²－3x －4＝0，得：1x ＝－1、2x ＝4，则A （－1,0）、B （4,0）；依题意，设抛物线的解析式：y ＝a （x ＋1）（x －4），代入C （0，－2），得：a （0＋1）（0－4）＝－2，解得：a ＝12故抛物线的解析式：y ＝12（x ＋1）（x －4）＝12x ²－32x －2．（2）由C （0，－2）、D （2,0）得，直线CD ：y ＝x －2；作直线l ∥CD ，且直线l 与抛物线有且只有一个交点P ，设直线l ：y ＝x ＋b ，联立抛物线的解析式：x ＋b ＝12x ²－32x －2，即：12x ²－52x －2－b ＝0△＝254－4×12×（－2－b ）＝0，解得b ＝－418即，直线l ：y ＝x －418；联立直线l 和抛物线的解析式，得：241813222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则P （52，－218）；过P 作PM ⊥x 轴于M ，如图（2）②△CDP 的最大面积：max S ＝12151152125(2)22(2)28222288⨯+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=；∴当P （52，218）时，△CDP 的面积有最大值，且最大面积为258．连接BC 则BCD S △＝12BD ×OC ＝12（4－2）×2＝2∴S 的取值范围是2≤S ＜258.7.【解析】（1）∵A （1,3），B （4,0）在抛物线y ＝mx ²＋nx 的图象上，∴31640m n m n ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得4m n ⎧⎨⎩＝－1＝，∴抛物线解析式为y ＝－x ²＋4x ；（3）如图，过P 作PF ⊥CM 于点F ，∵PM ∥OA ，∴Rt △ADC ∽Rt △MFP ，∴MF PF ＝AD OD＝3，∴MF ＝3PF ，在Rt △ABD 中，BD ＝3，AD ＝3，∴tan ∠ABD ＝1，∴∠ABD ＝45°，设BC ＝a ，则CN ＝a ，在Rt S △PFN 中，∠PNF ＝∠BNC ＝45°，∴tan ∠PNF ＝PF FN＝1，∴FN ＝PF ，∴MN ＝MF ＋FN ＝4PF ，∵BCN S △＝2PMN S △，∴12a ²＝2×12×4PF ² ，∴a ＝PF ，∴NC ＝a ＝，∴MNNC ，∴MN NC ＝a ，∴MC ＝MN ＋NC ＋1）a ，∴M 点坐标为（4－a ，1）a ），又M 点在抛物线上，代入可得－（4－a ）²＋4（4－a 1）a ，解得a ＝3a ＝0（舍去），OC ＝4－a ＝3＋∴点M ＋1，3＋．。

二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。

二、二次函数与面积依据三角形的面积公式，利用“等底、等高、就等积”的原理，结合平行线的有关性质来解题.模型： S△ABC=S△DBC.丢分题精析例1 如图(a)，已知直线y=−12x与抛物线y=−14x2+6交于A,B两点.(1)求A,B两点的坐标.(2)P 为抛物线在直线AB 上方的一点，当△PAB 的面积最大时求 P 点坐标，并求出这个最大值.解:(1)联立{y=−12x,y=−14x2+6,化简得∴A(6, -3) B(-4,2).(2)如图(b)，将直线AB向上平移，交y轴于C 点与抛物线相切于P 点.设直线CP: y=−12x+b,联立{y=−12x+b,y=−14x2+6,化简得x²−2x+4b−24=0,∵直线CP 相切于抛物线,∴只有一个交点,故Δ=4-4(4b-24)=0,∴b=254,代入方程得x2−2x+1=0,(x−1)2=0,x=1,∴P(1,234);乂∵C(0,254),∴S ABC=S AOC+S u×c=12×254(4−6)=1253.∵CPAB,∴S PAB=S ABC=1253.提示：求面积最大值时，往往利用直线与曲线的相切，来找出最远距离，再利用一个交点则根的判别式为零可求出相关值来.一次函数中平行线的k值相等.例 2 已知抛物线y=−ax²+2ax+m与x轴交于A(-1,0),B(x,0)两点.与y轴的负半轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式.(2)在x轴上方的抛物线上找出点 P，使得S PBC=2S OBC.解：(1)对称轴方程x=−b2a代入得x=1,∵A(-1,0),∴B(3,0),又∵OB=OC,∴C(0,-3),分别将 B(3,0)和C(0,-3)代入得解析式为y=x²−2x−3.(2)如图,将直线 BC 向上平移至 y 轴的D 点,使OC=OD交抛物线于P₁,P₂,则直线 P₁P₂的解析式为y=x+3,联立{y=x+3,y=x2−2x−3,化简得x²−3x−6=0.∴P1(3−√332,9−√332),P2(3+√332,9+√332).提示：利用平行线k值相等以及三角形面积在平行线中的“等底、等高、等积”的性质可解得此题.例3 如图(a)，抛物线y=ax²+bx+c与x 轴负半轴交于A(−1,0),B两点，与y轴负半轴交于C点,且OB=O C=3AO.(1)求抛物线的解析式.(2)如图(b)，D点在y轴的正半轴上，OD=OC，F点是x轴正半轴上的一动点，FE⊥DF交线段 BC 于E,设线段OF 的长度为x, S DEF=12y.当F点运动时，求y与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.解:(1)∵OB=OC=3AO,A(-1,0),∴B(-3,0),C(0,-3),代入解析式得y=−x²−4x−3.(2)如图(b),在y轴上截取OH=OF,在△DFH和△FEB中, {DH=BF,∠FDH=∠EFB,∠DHF=∠EBF,∴△DFH≌△EFB(ASA),∴DF=EF,∴DF2=x2+9,∴S DEF=12y=12(x2+9),∴y=x²+9(0≤x≤3).提示：构造全等三角形、利用勾股定理即可得解.去分题精练1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−2x−3交坐标轴分别为A,B,C三点,过点 D(0,3)的直线 l交抛物线于M，N，当S△AMN=2SBMN时，求直线 l的解析式.2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−2x−3交坐标轴分别为A，B，C三点，点M在第四象限的抛物线上，且使得S ACM=54S BAM.求M点坐标.3.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+2x+3交坐标轴分别为A，B，C三点.(1)请在 x轴下方的图象上找出一点 P，使S ACP=S BCP.(2)请在x轴下方的图象上找出一点Q，使S QAC=S BAC.4.已知抛物线y=ax²+bx−8a与x 轴交于A(-2,0),B(x,0)两点,与y轴正半轴交于C点,且S∧BOC−S AOC=4.(1)求抛物线的解析式.(2)若P 为x 轴下方抛物线上一点，直线PC交x轴于Q点，且S ACQ>S APQ.求 P 点横坐标的取值范围.5.已知抛物线y=x²−2x+a与直线. y=x+1有两个交点A，B(A在B的左边)，且均在x轴的上方.(1)试求a的取值范围.时，求a的值.(2)若AE⊥x轴,. BF⊥x轴，E，F为垂足.当四边形ABFE的面积为1526.抛物线y=ax²+mx+a+2m经过点A(-1,0),B(x,0),交y轴负半轴且S ABC=6.(1)求抛物线的解析式.(2)过D(0,−1)作直线l交抛物线于M，N两点，若S NDC=8S MIDC.求直线 l的解析式.7.已知抛物线y=ax²−(a+m−2)x−a−2m+44 与x轴交于A(--1,0),B(x,0)两点,与 y轴负半轴交于点C，且( OA+OB=OC+1.(1)求抛物线的解析式.(2)过点D(0,2)作直线l交抛物线于M,N两点,且S OMN=2√6.求直线l的解析式.8.如图(a)四边形OABC是矩形, OA=4,OC=8,,将矩形OABC沿直线AC 折叠,使点 B 落在D 处,AD交OC于E.(1)求E点坐标.(2)求经过O，D，C三点抛物线的解析式.(3)如图(b)，若F为(2)中抛物线的顶点，一动点 P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒一个单位长度的速度匀速前行.当运动时间为t(秒)时，直线 PF 把△FAC分成面积之比为1：3的两部分.求t的值.x+(2+√3)分别交坐标轴于A，C两点，点 B 为线段AC 的中点，连接OB,将△BOC9.如图(a),直线y=√33折叠，折痕. EF‖x轴,点 B落在OC 线段的点 F 处.(1)求点 E 和点 F 的坐标.(2)若经过点E，F的抛物线与x轴交于点G，H 两点，且G的坐标为( (√3,0).求抛物线的解析式.S GFP.求 P 点横坐标的(3)如图(b)，若点 P是该抛物线图象在x 轴下方上一点，边 PF交x轴于N，且S GFN≥13取值范围.),抛物线与x轴交于另一点A.10.已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点，顶点(1,13(1)求抛物线的解析式.(2)点 E(3,m)在抛物线上,连OE,作∠OEF=45°交抛物线于 F，求直线 EF的解析式.(3)在(2)的条件下,点P(x,y)是线段EF上一动点,EF 交y轴于H,连OP.设△POE的面积为S，求S与x的函数关系，并求x的取值范围.。