A 试证：试证：x x 4+y 4=z 4在xy xy≠
≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有：
z 4-x 4=(z -x)(z 3+z 2x+z
x 2+x 3)=(z -x)(z +x)(z 2+x 2)=y 4由x 、y 、z 都是大于0的正整数，所以有z ＞x 得：得：z z -x -x＜＜z +x +x＜
＜z 2+x 2（其中若z +x +x≥≥z 2+x 2，则x(1-x)x(1-x)≥
≥z (z -1)负数大于正数，不成立。）分两种情形讨论：
①y 是质数，得：是质数，得：y=z
y=z -x y=z +x y 2=z 2+x 2由前两式得x ＝0（不成立）②y 是合数，得：是合数，得：(z
(z -x)a=y (z -x)b=y z 2+x 2=aby 2稍微变换一下就可以得到：（（a a 2b 2-1-1）
）z 2=(a 2b 2+1)x 2即：即：a
a 2
b 2-1=k 12a 2b 2+1=k 22但是在整数里，但是在整数里，m
m 2-n 2≠1。故这种情形不成立。∴x 4+y 4=z 4在xy xy≠
≠0时无整数解。B 试证：试证：x x 3+y 3=z 3在xy xy≠
≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有：
z 3-x 3=(z -x)-x)（
（z 2+xz +x 2）=y 3＞0则有：则有：z
z ＞x z 2+xz +x 2＞z -x 分两种情形讨论：
①y 是质数，得：是质数，得：y=z y=z -x y 2＝z 2+xz +x 2即：即：z
z 2+xz +x 2＝y 2=(z -x)2整理得到：整理得到：xz xz =-2xz (不成立不成立)
)②y 是合数，则有：是合数，则有：(z
(z -x)a=y z 2+xz +x 2＝ay 2整理得到：（（a a 3-1-1）
）z 2-(a 3+1)xz +(a 3-1)x 2=0若z 有解，需有解，需△≥△≥△≥00即：即：a
a 3≤3由于a 是大于0的正整数，故a ＝1即：即：z z -x=y 回到第回到第①
①种情形，结果仍是不成立。
∴x 3+y 3=z 3在xy xy≠
≠0时无整数解。另外根据我的推到出勾股方程的满足条件或生成方法是：
((e 2-f 2)/2)2+(ef)2=((e 2+f 2)/2)2
其中e 、f 取大于0的同时为奇或偶的正整数（的同时为奇或偶的正整数（e
e ≠
f ）但是我在一本介绍数论的书上看到已经被人家找出来，只是形式和我的有点差异。故我通过上述方法找到了勾股方程成立的充足理由，及同样找到了其满足条件。乐哉！
