2019年数学同步优化指导练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第一课时) 活页作业10 Word版含解析

3．3.1 函数的单调性与导数[提出问题]已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x的图象如图所示．问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y 1′＝1，在R 上为正；y 2′＝2x ，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y 3′＝－1x2，在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？ 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数；当f ′(x )<0时，f (x )为减函数． [导入新知]一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与其导函数有如下关系：[化解疑难]在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如，函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )>0.[例1] 已知函数y ＝xf )，下列四个图象中为y ＝f (x )的大致图象的是( )[解] 选C 由题图知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．[类题通法]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[活学活用]函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )解析：选D 从原函数y ＝f (x )的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f ′(x )＜0；在区间(0，x 1)上是增函数，f ′(x )＞0；在区间(x 1，x 2)上是减函数，f ′(x )＜0；在区间(x 2，＋∞)上是增函数，f ′(x )＞0.结合选项可知，只有D 项满足．[例2] 证明函数f (x )＝x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π上单调递减． 证明：∵f (x )＝sin xx ，∴f ′(x )＝xx －sin xxx 2＝x cos x －sin xx 2.由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos x ＜0, sin x ＞0. 因此x cos x －sin x ＜0， 故f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． [类题通法]利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)在给定区间上恒成立，一般步骤为：①求导数f ′(x )；②判断f ′(x )的符号；③给出单调性结论．[注意] 如果出现个别点使f ′(x )＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性． [活学活用]试证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0,2)上是增函数．证明：由于f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2， 由于0＜x ＜2，所以ln x ＜ln 2＜1，故f ′(x )＝1－ln xx2＞0， 所以函数f (x )＝ln x x在区间(0,2)上是增函数．[例3] (1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈(0,2π)；(2)f (x )＝2x －ln x .[解] (1)∵f ′(x )＝12＋cos x ，∴令f ′(x )>0，得12＋cos x >0，即cos x >－12.又∵x ∈(0,2π)，∴0<x <23π或43π<x <2π.同理，令f ′(x )<0，得23π<x <43π.∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π，⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，2π；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，43π.(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为f ′(x )＝2－1x.令2－1x >0，解得x >12；令2－1x <0，解得0<x <12，∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[类题通法]求函数y ＝f (x )单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间． [注意] 当单调区间有多个时，不要写成并集． [活学活用]求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)y ＝x e x.解：(1)函数的定义域为{x ∈R|x ≠0}．f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2.由f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞1； 由f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1，且x ≠0.∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1,0)，(0,1)． (2)y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )．令y ′>0，得x >－1；令y ′<0，得x <－1. 因此，y ＝x e x 的单调递增区间为(－1，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，－1)．5.与参数有关的函数单调性问题[典例] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.讨论f (x )的单调性． [解] f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a3； 当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f ′(x )＞0； 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． [多维探究]1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：(1)f (x )不变，若f (x )为增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]． (2)f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(3)f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围． 解：由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立． 因为－1＜x ＜1， 所以3x 2＜3， 所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数．(4)f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1) ，求a 的值． 解：由例题可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.(5)f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3， 即a 的取值范围为(0,3)．[随堂即时演练]1．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(3,9) B ．(－∞，－1)，(3，＋∞) C ．(－1,3)D ．(－∞，3)，(9，＋∞)解析：选B ∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ， ∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)． 令f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1.2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值D ．有最小值解析：选A ∵cos x ≤1， ∴f ′(x )＝2－cos x ＞0恒成立， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．3．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解， 即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根， 把－1,2分别代入方程， 解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－64．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0， 则cos x ＜12，又x ∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，π5．讨论下列函数的单调性： (1)y ＝x 3－x ；(2)y ＝e x ＋e －x(x ∈[0，＋∞))． 解：(1)y ＝x 3－x ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33. ∵当x ＜－33或x ＞33时，y ′＞0， 当－33＜x ＜33时，y ′＜0， ∴y ＝x 3－x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上是减函数． (2)f ′(x )＝(e x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e x ＝e x －e －x＝x2－1ex，∵当x ∈[0，＋∞)时，e x≥1， ∴f ′(x )≥0.∴f (x )＝e x ＋e －x在[0，＋∞)上为增函数．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若a 2－3b ＜0，则f (x )是( ) A ．减函数 B ．增函数 C ．常数函数D ．既不是减函数也不是增函数解析：选B 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝4a 2－12b ＝4(a 2－3b )＜0，故f ′(x )＞0在实数集R 上恒成立，即f (x )在R 上为增函数．2．函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)解析：选D y ′＝－2x e x＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，由于e x ＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．3．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)解析：选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )解析：选C 由图可知函数应在区间(0,2)上单调递减，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，只有选项C 符合题意．5．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是( )A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C．f(x)≥g(x)D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)解析：选B 据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．二、填空题6．设函数f(x)＝x(e x－1)－12x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：∵f(x)＝x(e x－1)－12x2，∴f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)7．设函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ， ∵f (x )在(1，＋∞)内是增函数， ∴3x 2＋a ≥0对x ∈(1，＋∞)恒成立， 即a ≥－3x 2对x ∈(1，＋∞)恒成立． 又－3x 2<－3，∴a ≥－3. 答案：[－3，＋∞)8．在下列命题中，真命题是________(填序号)．①若f (x ) 在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )>0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )<0，则在(a ，b )内有f (x )<0.解析：对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′(x )<0只能得到f (x )单调递减．答案：③ 三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ； (2)f (x )＝ex x －2.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝2x －2x ＋x.因为x ＞0，所以2x ＋1＞0， 由f ′(x )＞0，解得x ＞22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )＜0，解得x ＜22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x＞0，(x －2)2＞0.※精品试卷※推 荐 下 载 由f ′(x )＞0，解得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0，解得x ＜3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．10．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0，求a 的取值范围． 解：由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x .依题意需对于任意x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以需f ′(1)＝(a －1)e≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对于任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x ＜0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．故a 的取值范围为[0,1]．。

3.1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明,培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.1．增函数与减函数的定义条件一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为A,且M ⊆A ：如果对任意x 1,x 2∈M ,当x 1＞x 2时都有f(x 1)＞f(x 2)都有f(x 1)＜f(x 2)结论y ＝f(x)在M 上是增函数(也称在M 上单调递增)y ＝f(x)在M 上是减函数(也称在M 上单调递减)图示12提示：定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小,通常规定x 1＞x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在M 上单调递增或单调递减,那么就说函数y ＝f(x)在M 上具有单调性(当M 为区间时,称M 为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上也递减,但不能说y ＝1x 在(－∞,0)∪(0,＋∞)上递减．3．函数的最值 最大值最小值条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D ：且x 0∈D ,如果对任意x∈D都有f(x)≤f(x 0) 都有f(x)≥f(x 0)结论 称f(x)的最大值为f(x 0),记作f ma x ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最大值点 称f(x)的最小值为f(x 0),记作f min ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最小值点统称 最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点1．函数y ＝f(x)的图像如图所示,其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4,－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由题图可知,函数y ＝f(x)的单调递增区间为[－3,1],选C.] 2．下列函数中,在区间(0,＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0,＋∞)上是减函数,其余函数在(0,＋∞)上均为增函数,故选D.] 3．函数y ＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ) A ．－1,0 B ．0,2 C ．－1,2D.12,2C [由题图可知,f(x)的最大值为f(1)＝2,f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] 4．函数f(x)＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞,1] [因为f(x)＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数,其对称轴为x ＝1,所以函数f(x)的单调减区间是(－∞,1]．]定义法证明(判断)函数的单调性【例1】 证明：函数f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元任取x 1，x 2∈(0，1)且x 1＞x 2―→ 作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 2)>f (x 1)――→结论减函数[证明] 设x 1,x 2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x 1＞x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2, ∵0<x 2<x 1<1,∴x 1－x 2＞0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2＜0,即f(x 1)＜f(x 2),∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1,x 2是该区间内的任意两个值,且x 1＞x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.1．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1>x 2>－1,则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2>－1,∴x 1－x 2>0,x 1＋1>0,x 2＋1>0, ∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0,即y 1－y 2>0,y 1>y 2,∴y＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．求函数的单调区间【例2】(1)f(x)＝－1x ；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≥1，5－x ，x<1；(3)f(x)＝－x 2＋2|x|＋3.[解] (1)函数f(x)＝－1x 的单调区间为(－∞,0),(0,＋∞),其在(－∞,0),(0,＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(－∞,1),[1,＋∞),并且函数f(x)在(－∞,1)上是减函数,在[1,＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间. (2)利用函数图像求函数的单调区间.提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开. (2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.2．根据如图所示,写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．[解] 函数在[－1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． [解] 先画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x<－1或x>3，－(x 2－2x －3)，－1≤x≤3的图像,如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为(－∞,－1],[1,3]；单调增区间为[－1,1],[3,＋∞)．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b 满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b ；若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.2．决定二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置,即字母a 的符号及－b2a的大小． 【例3】 (1)若函数f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞,3]上是增函数,则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x －3)>f(5x －6),则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系数形结合,建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1) [(1)∵f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的图像开口向下,要使f(x)在(－∞,3]上是增函数,只需－(a ＋1)≥3,即a≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,且f(2x －3)>f(5x －6), ∴2x－3>5x －6,即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)．]1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a≤－3或a≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的取值范围． [解] 由题意可知, ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x>32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.求函数的最值(值域)【例4】 已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1,＋∞)上为增函数,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1),因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(－1,＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53, 最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x≤1，1x，x>1，求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知,当x ＝1时,f(x)取最大值为f(1)＝1.当x ＝0时,f(x)取最小值f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x 0＝1,最小值点为x 0＝0.1．定义单调性时应强调x 1,x 2在其定义域内的任意性,其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤,特别在变形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的运用,直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是：(1)图像法,即画出函数的图像,根据图像的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值； 4．通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)若函数y ＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y ＝f(x)是增函数．( )(2)若函数y ＝f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y ＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( ) (3)任何函数都有最大(小)值．( )(4)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A,y ＝1x 在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减；对于B,y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C,y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D,y ＝(2x －1)2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]3．函数y ＝x 2－2x,x∈[0,3]的值域为________．[－1,3] [∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x∈[0,3],∴当x ＝1时,函数y 取得最小值为－1, 当x ＝3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[－1,3]．]4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx －1在(1,＋∞)上是减函数．[证明] f(x)＝2＋2x －1,设x 1>x 2>1,则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).因为x 1>x 2>1,所以x 2－x 1<0,x 1－1>0,x 2－1>0, 所以f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数．。

第三章 §1 1.1 第1课时1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增加的( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．()π，2πC ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，－x sin x >0.即函数在(π，2π)上是增加的．答案：B2.f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图像如右图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，但始终大于0，则f (x )的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D 符合．答案：D3．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x(x >0)， (3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2.答案：A4．函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的递增区间为____________，递减区间为____________．解析：由已知得y ′＝－x 2＋2x .令y ′>0，得0<x <2.令y ′<0，得x <0或x >2. 答案：(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞)5．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的递减区间． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x 2－1x， 令4x 2－1x <0，得x <－12或0<x <12. 又∵x >0，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。

活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。

第3章 §1 第1课时 导数与函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增． 又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]． 三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级 素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)． 故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)． 二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}． 三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级 能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。

活页作业(十) 导数与函数的单调性(第一课时)1．当x >0时，f (x )＝x ＋2x，则f (x )的递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：由已知得f ′(x )＝1－2x2.令f ′(x )＝1－2x2<0，得－2<x <2且x ≠0.又x >0，∴0<x < 2.∴函数f (x )的递减区间为(0，2)． 答案：D2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( ) A ．sin 2x B ．x e xC ．x 3－xD ．－x ＋ln(1＋x )解析：选项B 中，y ＝x e x，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )>0. ∴函数y ＝x e x在(0，＋∞)内递增． 答案：B3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．大小关系不能确定解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0.即[f(x)－g(x)]′>0，∴f(x)－g(x)在(a，b)上是增加的．∴f(x)－g(x)>f(a)－g(a)．∴f(x)－g(x)>0.∴f(x)>g(x)．答案：A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )解析：函数f(x)在(－∞，0)上是增加的，则f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A，C；函数f(x)在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f′(x)在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f(x)＝x ln x的递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增加的．答案：D6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________． 解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)． 令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 解析：由已知得f ′(x )＝2x －1x 2－x －2.令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________． 解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12. 令y ′<0，得x <－2或x >2.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2. ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0. ∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b －c ＋2＝1，3－2b ＋c ＝6.即⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝0，2b －c ＝－3，解得b ＝c ＝－3.∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0， 解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0； 当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.∴f (x )的递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，递减区间为(1－2，1＋2)． 10．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －12x 2.证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2(x >0)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x21＋x .当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0. ∴当x >0时，ln(1＋x )>x －12x 2.11．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π B ．(π，2π) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52πD ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52π时，y ′＝x cos x >0.答案：C12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，(2,3)， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) 14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件． 解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0.证明：设f (x )＝x －12sin x ，x ∈()－∞，＋∞，则f ′(x )＝1－12cos x >0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一根x ＝0.16．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ， 求证：(1＋m )n>(1＋n )m. 证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋， ∴2≤m <n ，(1＋m )n>(1＋n )mln1＋m m >ln1＋nn.∴构造函数f (x )＝ln1＋xx(x ≥2)，得f ′(x )＝x1＋x－ln1＋xx2. 由x ≥2，得0<x1＋x <1，ln(1＋x )≥ln 3>1.∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数． 又2≤m <n ， ∴ln1＋m m >ln1＋nn.∴(1＋m )n >(1＋n )m.。

《利用导数判断函数的单调性》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！我说课的内容选自：普通高中课程标准实验教科书—人教B版—数学《选修2-2》第一章第三节“1.3.1利用导数判断函数的单调性”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学模式、教学设计、板书设计、教学评价、资源开发这七个方面对本节课进行说明。

一.【教材分析】1.教材所处的地位与作用：教材背景：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广发应用，开创了近代数学过度的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数是微积分的核心概念之一，是高中数学新教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.地位与作用：本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打好基础.教材的这种设计独具匠心，起到了承前启后的作用。

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。

根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：2、教学目标：知识与技能目标：借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.过程与方法目标：会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间情感态度价值观目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.3、教学重难点：通过求函数的导数，找出函数的单调区间，判断函数的大体走向，了解函数的大致图像，可以增强对函数直观认识.同时导数也蕴涵着丰富的数学思想方法，是培养学生辨证思维和逻辑思维的重要载体.也是高考命题的生长点和热点.导数又提供了研究函数单调性的一种有效的方法和手段.鉴于此，本节重点难点确定如下：重点：利用导数判断函数单调性；难点：1、判断导数在给定区间上的符号；2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力.二、【学情分析】“函数单调性”，“导数”这两个概念学生并不陌生，因为学生已经系统的研究了一些基本初等函数的图象和性质。

第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0， 知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0. 答案：D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥16B ．a >16C ．a ＝16D ．0<a <16解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >12x －13x在(0,1)内恒成立．∵函数g (x )＝12x －13x 在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝12－13＝16，∴a ≥16.答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0. 即a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0， f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x .∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。

函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义介绍函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。

通过具体例子解释函数单调性的含义，让学生能够判断简单函数的单调性。

1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的性质，包括单调性的继承性和局部性。

通过示例说明函数单调性的一些基本性质，让学生能够运用这些性质解决问题。

第二章：函数单调性的判定方法2.1 导数法判定单调性介绍导数法判定函数单调性的基本思路，让学生理解导数与函数单调性的关系。

通过具体例子讲解如何利用导数判断函数的单调性，让学生能够运用导数法解决问题。

2.2 图像法判定单调性介绍图像法判定函数单调性的方法，让学生能够通过观察函数图像来判断单调性。

通过绘制不同函数的图像，让学生理解图像法判定单调性的原理。

第三章：函数单调性的应用3.1 函数单调性在函数值估计中的应用介绍如何利用函数单调性来估计函数值的大小，让学生掌握这一方法。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性来估计函数值，让学生能够运用这一方法解决问题。

3.2 函数单调性在最大值和最小值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决最大值和最小值问题，让学生掌握这一方法。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性来求解最大值和最小值问题，让学生能够运用这一方法解决问题。

第四章：函数单调性的进一步研究4.1 函数的单调区间介绍如何确定函数的单调区间，让学生能够判断函数在不同区间的单调性。

通过具体例子讲解如何确定函数的单调区间，让学生能够运用这一方法解决问题。

4.2 函数的单调性变化介绍函数单调性的变化规律，包括单调递增变为单调递减和单调递减变为单调递增的情况。

通过具体例子讲解函数单调性的变化规律，让学生能够判断函数单调性的变化。

第五章：函数单调性的综合应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用介绍如何将函数单调性应用到实际问题中，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性解决实际问题，让学生能够运用这一方法解决问题。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝x ln x ＋m 的单调递增区间是( ) A ．(1e ，＋∞)B ．(0，e)C ．(0，1e )D ．(1e，e)[答案] A[解析] 定义域为{x |x >0}， 由y ′＝ln x ＋1>0，得x >1e.2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立． 3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：D. 4．函数f (x )＝(x ＋3)e －x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x ＋3)e －x，∴f ′(x )＝e －x－(x ＋3)e －x＝e －x(－x －2)， 由f ′(x )>0得x <－2，∴选A ．5．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． [答案] (－1,11)[解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11.所以单调减区间为(－1,11)．7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92.8．(2014·扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] [13，＋∞)[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.三、解答题9．求函数y ＝2x 3－3x 的单调区间．[解析] 由题意得y ′＝6x 2－3.令y ′＝6x 2－3>0，解得x <－22或x >22. 当x ∈(－∞，－22)时，函数为增函数；当x ∈(22，＋∞)时，函数也为增函数．令y ′＝6x 2－3<0，解得－22<x <22，当x ∈(－22，22)时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)． 10.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围．[解析] 解法一：(区间法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，所以x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 解法二：(数形结合)如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．若在(1,4)内f ′(x )≤0，(6，＋∞)内f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ，－a，所以5≤a ≤7.解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.因为f (x )在(1,4)内单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立．即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1，因为2<x ＋1<5，所以当a ≥5时，f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，又因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立， 所以a ≤x ＋1，因为x ＋1>7，所以a ≤7时，f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a ≤7.[点评] 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想.一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)[答案] B[解析] y ′＝－x sin x .当x ∈(π，2π)时，y ′>0，则函数y ＝x cos x －sin x 在区间(π，2π)内是增函数．2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上的函数值为正，排除A 、C ；原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上的函数值先正、再负、再正，排除B.故选D.3.(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)[答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f x x －f xxx2＝f x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即fe2<fe，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2012)<e 2012f (0)．故选C ．4.(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] [答案] C[解析] 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x3恒成立．令1x＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2对称轴t ＝－818＝－49，∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6. 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x3恒成立∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0，∴t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2， ∴－6≤a ≤－2. 二、填空题5．(2014·郑州网校期中联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．[答案] b ≤－1[解析] f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1.6．下图为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为__________________．[答案] (－∞，－3)∪(0，3)[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，－3)和(3，＋∞)上为增函数，在(－3，3)上为减函数，∴当x ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－3，3)时，f ′(x )<0.∴x ·f ′(x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)． 三、解答题7．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)． 8.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．。

导数与函数的单调性(word解析版) x在区间[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，则函数f(x)在区间[0,2]上的单调递增区间为（）.A。

[0,1] B。

[1,2] C。

[0,2] D。

[0,1]∪[1,2]答案】B解析】根据题意，f(x)在[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f'(x)=1+cosx，当x∈[0,2]时，cosx的取值范围是[-1,1]，因此f'(x)的取值范围是[0,2].因此函数f(x)在[0,2]上单调递增，单调递增区间为[1,2]，故选B选项.方法技巧归纳】1.求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.2.对于多项式函数一般不超过三次的情况，可以直接利用导数求解其单调性和极值.3.对于含参数的函数，可以先求导数，然后根据参数的取值范围来判断函数的单调性和极值.变式1】【2018江苏高考】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为常数，且f(x)在[0,1]上单调递增，则（）.A。

a>0，b>0，c>0 B。

a>0，b0 C。

a0，c>0 D。

a0答案】C解析】根据题意，f(x)在[0,1]上单调递增，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+2ax+b，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f(x)在[0,1]上单调递增，因此f'(x)在[0,1]上恒大于等于0.又因为f'(x)是一个二次函数，因此其开口向上，当x∈[0,1]时，f'(x)的最小值为0，即当x=0时，f'(x)取到最小值，此时有f'(0)=b.由于f'(x)在[0,1]上恒大于等于0，因此b≥0.又因为f(x)为单调递增函数，因此其二次项系数a>0.又因为f(x)在[0,1]上单调递增，因此f(1)>f(0)，即1+a+b+c>0，因此c>-(1+a+b).综上所述，可得a0，c>0，故选C选项.变式2】【2018山东高考】设函数f(x)=x3+3x2+3x+k，其中k为常数，则f(x)在区间（-∞，0）上单调递（增/减）；在区间（0，+∞）上单调递（增/减）.答案】单调递减，单调递增解析】根据题意，可以利用导数求解函数f(x)的单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+6x，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.当x∈(-∞，0)时，f'(x)的取值范围是[0，+∞)，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)的取值范围是(-∞，0]，因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，故选单调递减，单调递增.讨论函数$f(x)=1-x^2e^x$的单调性。

课时规范练 A 组 基础对点练1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( )A ．f (0)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (0)＝f (3)D ．无法确定解析：由题意知f (x )的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选B. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )解析：在(－1,0)上f ′(x )单调递增，所以f (x )图像的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上f ′(x )单调递减，所以f (x )图像的切线斜率呈递减趋势．故选B. 答案：B3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1，故选D.答案：D4．(2018·辽宁大连高三双基测试)已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：依题意得f ′(x )＝e x －2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，因此对照各选项知选C. 答案：C5．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图像是( )解析：对f (x )＝e x －(x ＋1)2求导得f ′(x )＝e x －2x －2，显然x →＋∞时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )是增函数，排除A ，D ；x ＝－1时，f ′(－1)≠0，所以x ＝－1不是函数的极值点，排除B ，故选C. 答案：C6．(2018·江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A ．1<a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2D ．0<a ≤3解析：易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x<0，解得0<x <3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2，选A. 答案：A7．已知f (x )＝ln xx ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)，故选D.答案：D8．(2018·四川成都模拟) f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，若a ＝f (0.5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫43，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＞a ＞c B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：因为对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，又因为当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ⎝⎛⎭⎫43＞f (0.5)＝f ⎝⎛⎭⎫32＞f (3)，即b ＞a ＞c . 答案：A9．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞10．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________． 解析：令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，∴当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x )为奇函数，f (－2)＝0，∴f (2)＝0，∴g (2)＝f (2)2＝0，结合奇函数f (x )的图像知，f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，故填(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案：(－2,0)∪(2，＋∞)11．(2018·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．B 组 能力提升练1．已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，e ＋1)B ．[0,2e －1)C ．[0，e)D ．[0，e －1)解析：依题意，知k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，所以由xe x＜1k ＋2x －x2可得k ＜e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x .则f ′(x )＝e x(x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k ＜f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 答案：D2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ＞0，b ∈R)，若对任意x ＞0，f (x )≥f (1)，则( ) A ．ln a ＜－2b B ．ln a ≤－2b C ．ln a ＞－2bD ．ln a ≥－2b解析：f ′(x )＝2ax ＋b －1x ，由题意可知f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝1，由选项可知，只需比较ln a＋2b 与0的大小，而b ＝1－2a ，所以只需判断ln a ＋2－4a 的符号．构造一个新函数g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1x －4，令g ′(x )＝0，得x ＝14，当x ＜14时，g (x )为增函数，当x＞14时，g (x )为减函数，所以对任意x ＞0有g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1－ln 4＜0，所以有g (a )＝2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0⇒ln a ＜－2b ，故选A. 答案：A3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．由f ′(x )＜0，得1＜x ＜3，由f ′(x )＞0，得x ＜1或x ＞3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a ＜b ＜c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc ＞0，y 极小值＝f (3)＝－abc ＜0，∴0＜abc ＜4. ∴a ，b ，c 均大于零，或者a ＜0，b ＜0，c ＞0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)＜0，∴f (0)f (1)＜0，f (0)f (3)＞0，∴正确结论的序号是②③. 答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意． 当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a ＞0时，2a ＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立． 当a ＜0时，2a ＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：令g (x )＝ln x ，h (x )＝ax 2－x ， 将问题转化为两个函数图像交点的问题．当a ≤0时，g (x )和h (x )的图像只有一个交点，不满足题意；当a ＞0时，由ln x －ax 2＋x ＝0，得a ＝x ＋ln xx 2.令r (x )＝x ＋ln xx2，则r ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ·x 2－(ln x ＋x )·2x x 4＝1－x －2ln x x 3，当0＜x ＜1时，r ′(x )＞0，r (x )是单调增函数，当x ＞1时，r ′(x )＜0，r (x )是单调减函数，且x ＋ln xx 2＞0，∴0＜a ＜1.∴a 的取值范围是(0,1)．故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x (x ＞0)，∴f ′(x )＝－x －3＋4x，∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，∴f ′(x )＝－x －3＋4x ＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)， ∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点． 答案：08．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，求m 的取值范围．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，当x ＝1时，g (0)＝1，由g (0)＝g ′(1)e 0－1，解得g ′(1)＝e ，所以g (x )＝e x －x ＋12x 2，则g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，所以当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1，根据题意将不等式转化为2m －1≥g (x )min ＝1，所以m ≥1.9．已知函数f (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t ln x (t ∈R)．(1)若t ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程以及f (x )的极值；(2)设函数g (x )＝(1－t )x ，若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数t 的最大值． 解析：(1)依题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当t ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.由f ′(1)＝0，f (1)＝－2，得曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由表格知，f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－54＋ln 12，f (x )极小值＝f (1)＝－2. (2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解， 即x 2－2x ＋t (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解．∵当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，∴ln x －x <0，∴t ≤x 2－2x x －ln x 在区间[1，e]上有解．令h (x )＝x 2－2x x －ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.∵x ∈[1，e]，∴x ＋2>2≥2ln x ，∴h ′(x )≥0，h (x )单调递增，∴x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝e (e －2)e －1.∴t ≤e (e －2)e －1，∴实数t 的最大值是e (e －2)e －1.10．已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a <0，若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．求导，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)不妨设x 1≤x 2，而a <0，由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x 1)≤f (x 2)．从而对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于 对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，4x 1－f (x 1)≥4x 2－f (x 2)．①令g (x )＝4x －f (x )，则g ′(x )＝4－f ′(x )＝4－⎝⎛⎭⎫x ＋1－a －a x ＝ax －x ＋3＋a . ①等价于g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )＝ax －x ＋3＋a ≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≤x 2－3x x ＋1对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x x ＋1min .又x 2－3x x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－5≥2(x ＋1)·4x ＋1－5＝－1，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1]．。