13.4最短路径问题

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

13.4最短路径问题1--两点(两定点）一轴型一．【知识要点】 2. 主要类型有“两点一线”，“一点两线”，“两点两线” 模型。

3.方法：①“两点一线，两点在异侧，连接两点，交点为所求”；②“两点一线，两定点在同侧，先作对称，连接另一点，交点为所求”。

二．【经典例题】1．如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.已知点P 、Q 分别是△ABC 边AB 、AC 上的两定点，在BC 边上求作一点M ，使△PQM 周长最短。

画出图形，不写作法。

3.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，高AH=10cm ，P 为AH 上一动点，则PD+PB 的最小值为___________cm.【问题 1】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小。

连 AB ，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB ．【问题 2】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B ＇连 A B ＇，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为A B ＇．4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）5．（绵阳2021年期末10题）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．6．(2022年绵阳期末第11题）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36°B．60°C．72°D．108°三．【题库】【A】1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）。

13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P在轴上，则PA+PB的最小值是______________。

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。

通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。

同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。

因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。

2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。

2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。

2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。

3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。

专题13.4 最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC ＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例题1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．【答案】见解析。

AP 第十课时 13.4 最短路径问题【学习目标】掌握画最短路径的方法【学习重点】会用平移、轴对称寻找最短路径 【学习难点】会用平移、轴对称寻找最短路径 一、学前准备1、如图所示：从A 地到B 地有三条路可供选择，要走的距离最短你会选择路线 ， 你的理由是2、如图，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？建在 ，理由是二、探索思考探究（一）相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？(1)将这个问题抽象为数学问题：将A ，B 两地抽象为 ，将河l 抽象为 ．C 是l 一动点，当点C 在l 什么位置时，AC 与CB 的和最小（2）若A 、B 在直线l 异侧，怎样找点C ？（3）能将“A 、B 在直线l 异侧”转化成“A 、B 在直线l 同侧”吗？探索（二）如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？(1)将这个问题抽象为数学问题：M 是直线a 上一动点，MN ⊥b 于N ， 当点M 在直线a 什么位置时， 最小？ （2）在（1）中 是不变的（三）归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为易解决的问题（如 ），从而作出最短路径的选择三、当堂反馈1、 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？2、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客， 然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．3、某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？4、P93 T15五、学习反思(请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。