《13.4最短路径问题》教学反思

13.4课题学习------线段和最小问题杨璧华教学目标1．进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.2．体会轴对称变换在解决问题中的作用，学会将实际问题转化为数学问题的方法，提高应用数学的意识.3．体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.教学重点轴对称变换的应用.教学难点如何通过轴对称变换进行转化.教学方式自主探究与启发引导相结合.教学手段多媒体辅助教学.教学环节教学内容师生活动设计意图（一）问题引入一、提出问题问题1如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向燃气管道两侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?分析：1)实际问题转换成数学几何问题2)问题转换：在l上找一点C使得PA+PB的和最短3)观察动态图形寻找解决方案4)确定解决方案：连接AB交l于点P5)理论依据：两点间线段最短或三角形中两边之和大于而第三边教师ppt展示实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题。

设置辅助问题1为问题2的解决作铺垫.（二）问题探究问题2如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向管道同侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?学生阅读思考、尝试独立求解.学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生（三）问题变式问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1. 实际问题数学化如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.2. 问题的求解解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1，A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.学生利用实物投影展示自己的成果，教师适时点评.对于学生可能出现的问题，教师引导学生讨论、剖析错误.学生思考后作答，教师再归纳提升.问题3一方面作为问题2解题方法的巩固,同时又为问题4的解决作铺垫.NMOABCDB1A1NMDCOAB帮助学生再次体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.（四）课后拓展应用问题4 如图，若马厩和帐篷为一点P，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1. 实际问题数学化如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使PA+AB+PB最小.2. 问题求解解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ，P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.学生读题，尝试独立求解.教师巡视指导.学生在画图找点过程中遇到困难时，教师引导学生分析问题、理解由轴对称性质可转化为P1A1+A1B1+P2B1，从而使问题求解.问题4更为复杂，对学生更具挑战性，有利于发展学生迁移的能力.使学生在收NMPOABP1AM3. 对解法的反思在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？“利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化. ”获成功喜悦的同时，对轴对称的画图上升到理性认识的层面.（五）小结反思1. 引导学生小结、反思（1）怎样将实际问题转化为数学问题?（2）轴对称变换所起的作用是什么?2. 教师归纳、提升（1）通常解决实际问题的方式（2）利用轴对称变换将不共线的多条路径转化到一条直线上，从而解决最短路径问题. 体现数学化归的思想。

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《13。

4课题学习最短路径问题》教学反思巩义市站街镇初级中学刘艳娟根据本次跟岗实践活动的安排，我们六个参加国培学习的老师要在紫荆实验学校进行同课异构。

我们于10月19日针对《13.4课题学习最短路径问题》进行了同课异构活动。

刚接到任务时，其实心里还是感到很大压力,除了来自讲课内容的压力，更是要教别人的学生，而对于他们真的是一无所知，我们之间能有默契吗？走进新课堂，我不断反思自己的教学实践，做到在实践中反思，在反思后实践,新课程理念如何转化为教学行为始终让我在思考,在尝试，究竟怎样教会学生,使复杂的数学问题简单化呢？尤其是上好“课题学习”.“数学课题学习” 我想是在老师的指导下，通过学生自主活动，以获得直接经验和培养实践能力的课程.它可以弥补数学学科实践能力的不足,加强实践环节，重视数学思维的训练,促进学生兴趣、个性、特长等自主和谐的发展，从而全面提高学生的数学素质。

它提倡的是参与探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程理念所倡导的自主、探究、合作交流的学习方式。

在我校备课组老师的热心指导和帮助下,在紫荆学校上了这节课后,我个人感觉还是比较满意的，学生各有所获。

下面就谈谈本人这堂课的教学反思：一、反思本课教学过程的成功之处：（1)本节课指导思想正确，达到了以下目的:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.2。

标题（第一课时）课题13.4课题学习：最短路径问题课型新授课主讲陶绍俊班级804班时间2016年10月27日教学目标知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题，将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；过程与方法在探索最短路径的过程中体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.情感态度与价值观在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教法采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

教学过程主要教学过程个人修改一、创设情景引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题1 ：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？问题2 ：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？B。

Al师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4 造桥选址问题如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A 到B 的路径是AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A 平移到岸边.2、把B 平移到岸边.3、把桥平移到和A 相连.4、把桥平移到和B 相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN 不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A 或B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”三、巩固训练：四、反思小结 布置作业小结反思（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？作业布置、课后延伸必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题板书设计BA B A Ｍ Ｎ。

两点转化为直线异侧的两个
图2
实际问题中的“所走的总路径最短”即“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题：
如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．
是否存在这样一个点呢？
几何画板演示
图3
2.分析思考，确定所求的点
①用我们所熟悉的最短路径问题能解决这个为题吗？回答是否定的，我们发现不管点C在哪里，点A，B，C都不在同一直线上，难以构成最短的线段．
设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点．
②如果当A，B两点在直线l的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB与直线l的交点即为所求（如图4）．
设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题．
③ 比较图3和图4，你发现了什么？能把图3中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题转化为图4中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题吗？
同学们不难发现，如果将图3中的点B或者点A移到直线的异侧，问题就迎刃而解了，
④把图3中的点B移到直线l的另一侧的B′，有什么条件？
要确保对于每一点C，BC=B′C，这样AC+BC=AC+B′C，在保证AC+BC最小就是AC+B′C最小．
⑤根据这一要求，怎样移动点B？
大家不难想作点B关于直线l的对称点B′的方法就可以把同侧的两点问题转化为异侧两点问题．（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）作直线AB，交直线l于C点，则点C即为所求的点．
3.推理证明，确立作出的点符合要求
①作出的点C是否符合要求，这需要证明，怎样证明？。

教师姓名侯丽梅单位名称石河子第十一中学填写时间2020年8月19日学科数学年级/册八年级（上）教材版本人教版课题名称第十三章13.4课题学习《最短路径》难点名称利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题并加以证明。

难点分析从知识角度分析为什么难1.如何利用轴对称的性质做出线路最短的点。

2.说明最短的理由及证明的过程相对来说比较难。

从学生角度分析为什么难八年级学生虽然具有观察，猜想的能力但缺乏推理归纳的能力，在说理上还不够规范，推理能力还有待加强。

难点教学方法 1.利用转化思想将问题转化成两点间线段最短，即三角形两边之和大于第三边的问题证明。

2.通过对问题设置分解探讨，最终把同侧问题转化成一侧问题解决。

教学环节教学过程导入一．知识回顾：1.两点之间，线段最短；2.三角形中，两边之和大于第三边。

设计意图：一是为了调动学生学习的积极性与热情，二是为新知识的学习做好准备。

二．问题情景：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？ABl知识讲解（难点突破）三．模型建构1.你能解决“将军饮马问题”吗？活动1：观察思考，抽象为数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？2.为了解决这个问题联想到下面一个问题如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？强调：两点之间线段最短。

最短路径问题教学反思一、背景介绍在最近的一次关于最短路径问题的授课中，我意识到自己的教学方法并不理想。

最短路径问题是在图形中寻找两点之间的最短路径，是图论中的经典问题。

尽管我在课程中介绍了相关的概念和算法，但学生在解决实际问题时仍然表现得不够熟练。

为了提高教学质量，我对自己的教学方法进行了反思。

二、教学反思1. 不足之处在这次授课中，我意识到自己的不足之处包括：（1）过于侧重理论讲解：我在授课过程中过于侧重理论讲解，没有给予足够的实际例子和习题让学生实践。

这导致学生在理解和应用方面存在困难。

（2）缺乏互动性：我的授课方式缺乏足够的互动性，没有充分调动学生的积极性和参与度。

学生对于问题的思考和讨论不够充分，也影响了他们的学习效果。

（3）未及时跟进学生反馈：在授课过程中，我没有及时获取学生的反馈意见，无法了解学生的学习情况和困难所在，因此无法做出相应的调整。

2. 改进方案为了提高教学质量，我提出以下改进方案：（1）增加实例和习题：在授课过程中，我将增加一些实际例子和习题，让学生能够通过实践加深对理论知识的理解和应用。

同时，我会根据学生的反馈情况适当调整实例和习题的难度。

（2）加强互动性：我将增加与学生互动的环节，例如组织小组讨论、提问等，以提高学生的参与度和思考能力。

同时，我也会鼓励学生提出自己的问题和看法，以便更好地了解他们的学习情况。

（3）及时跟进学生反馈：在授课过程中，我将积极与学生沟通，及时获取他们的反馈意见，以便了解他们的学习情况和困难所在，从而做出相应的调整。

同时，我也会定期安排小测验和作业，以便更好地跟进学生的学习进度。

三、总结教学反思对于自身成长和职业发展的意义教学反思对于教师自身成长和职业发展具有重要意义。

通过反思自己的教学方法和效果，教师可以发现自己的不足之处，进而提出改进方案，提高教学质量和效果。

在这个过程中，教师也需要不断地学习和尝试新的教学方法和手段，这有助于提升教师的专业素养和综合能力。

八年级上册《13.4课题学习--最短路径问题》教学设计【设计与执教者】：丰城九中刘凤云【教材分析】随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。

初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

【学情分析】前面同学们已经研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短”等问题。

本课题学习包含两个问题，通过两个问题要使学生了解解决最短路径问题的一些基本方法，并体会其中蕴含的化归思想。

对于这样的问题，学生初次接触，难度较大，主要在两方面。

一是第一次遇到要找出某条线段（或线段的和）最短，无从下手；二是证明中要另选一点，学生想不到，不会用。

因此为了让学生更好地掌握本节课内容，要化抽象为直观，揭示知识间本质的联系。

【设计总体思路】(1)突出轴对称及平移等知识在求“最短路径问题”上的“桥梁”作用，重视直观操作和逻辑推理的有机结合。

(2)自主学习与合作学习相结合，让学生经历知识的发生过程，发展学生的理性精神、探究意识及合作交流的能力。

(3)注重知识间的联系，合理地设计研学问题，分散学习难点，知识间跨度接近学生思维的最近发展区。

(4)通过变式训练，巩固学生的学习成果。

【研学目标】（1）知识目标：学生能将实际问题转化为数学问题；能利用轴对称及平移的有关性质将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称及平移的“桥梁”作用，感悟化归思想.（2）过程与方法目标：通过观察﹑猜想﹑验证等活动过程，探索﹑掌握求最短路径问题的常用的方法。

（3）情感与能力目标：经历知识的产生过程，发展合情推理和学生的理性精神，进一步学习有条理地思考与表达，培养学生的探索能力和合作交流的习惯。

八年级数学《最短路径问题》教学反思本节课是人教版八年级上册第十三章第四节《课题学习——最短路径问题》，前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。

现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节课利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

本节课的学习目标是能利用轴对称做出一个图形经轴对称变化后的图形，解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题，培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。

学习重点是利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点是在实际题目中会运用最短路径问题。

在新课程的实施过程中，我们欣喜地看到传统的接受式教学模式已逐渐被生动活泼的数学活动所取代。

课堂活起来了，学生动起来了：敢想、敢问、敢说、敢做、敢争论，充满着求知欲和表现欲。

在“以学论教”的今天，结合本节课一些习题，从学生的变化看课改，别有洞天。

一、交流让学生分享快乐和共享资源学生已有的生活经验、活动经验以及原有的生活背景，是良好的课程资源。

在“最短路径问题”这节课中，不同的学生依据不同的生活背景进行活动，自己抽象出图形，彼此间的交流，实现了他们对最短路径问题的理解和认识，大家共同分享发现和成功的快乐，共享彼此的资源。

二、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐本节课由上节课的一个习题引入，带领学生一起探究得出一个规律，然后以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

教师姓名王婷单位名称阿克苏市第十五中学填写时间2020.08.08学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称13.4课题学习 最短路径问题难点名称如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题难点分析从知识角度分析为什么难利用轴对称变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

难点教学方法利用几何画板对实际问题进行演示。

让学生学会轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”教学环节教学过程导入1.知识回顾⑴两点的所有连线中，线段最短；⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；知识讲解（难点突破）1、创设情境，揭示课题。

课件出示草原美丽的图片，将贯穿主线的人物引出，通过他在劳动中遇到的路径问题向同学们进行求助，从而揭示课题。

2、复习旧知，进行铺垫问题一如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后骑马趟过河到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把河流看成一条直线，A、B两地看成两个点，连接AB与直线l相交于点C，点C即为最佳饮水点。

（我们把实际问题转化为数学问题的思想。

）两点之间，线段最短。

3、探究学习，感受转化问题二如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）再次引导学生将实际问题转化为数学问题。

（2）利用几何画板验证“直线l上是否存在点C，使得AC+CB的和最小？”(3）对问题一和问题二进行对比，提出如何转化。

①能否将问题二中A、B两点在直线l的同侧转化为问题一A、B两点在直线l的异侧解决。

②利用几何画板展示轴对称变换，教师引导让学生找到始终保证路径长度相等的前提下改变路径的方向，从而转化为问题一的解决方法。

问题　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴　AC +BC＜AC′+BC′．C′即　AC +BC 最短．课堂练习（难点巩固）1.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

教学设计单元（章节）轴对称课题课题学习：最短路径课时 1课型新授课教具三角板、圆规PPT主备人课时教学目标1．能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.（重点）2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（难点）板书设计最短路径问题教学流程环节设计教与学（以教导学，以学为主）随记一、复习导入二、授课过程（例1自主-学生代表回答）例2（小组讨论-教师点拨-师生合作共同证明）1.轴对称的性质2.如何画轴对称图形.探究点一：饮马问题【类型一】两点同侧例1如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发返回河对岸的B点的家中，途中要经过河L，让马去河里喝水。

该如何选择路线，让将军回家的路线最短.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【类型二】两点异侧例2现在将军把家的位置搬到了河的对岸，和自己的军营同侧，这次如何选择路线呢？此题首先抽象成数学模型：一线两点模式.接着利用两点之间线段最短即可得出结论.BAlBA例3（师生合作-小组讨论-教师点拨）三、课堂达标解析：可以将例2转化成例1的模式，此时需要找到其中一点的对称点，连接对称点和另一点即可作答.探究点二：造桥选址问题例3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：将两条线合并成一条，转化成例2的模式，方可解答1.如图，正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则作点P使△PBQ的周长最小.2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标___．A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)此题先要明确两条河之间的距离是不变的，将两条河岸压缩成一条即可转化成例2的模式.BA学情分析1、认知基础学生已学过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”等最短路径问题，以及有关平移的基本知识，在本章学生也初步掌握关于某条直线作对称点的作法，所有这些内容构成了本节课的认知基础.2、活动经验学生进入初中已有一段时间，通过初中学段一年多的学习，学生已经有了图形变换以及数学模型构建的意识，获得了初步数学转化思想活动的技能，具备了一定的主动参与、合作交流、分析归纳、猜想验证的能力，因此教学的设计以学生的认知为前提，尊重学生主体知识的生成.效果分析最短路径问题一直是一个难点，学生在解决此类问题时常常无法建立数学模型，找不到切入口，通过本节课的学习，大部分学生掌握最短路径的两点同侧的变化原理，可以仿照例题的过程做一些简单的，直白的最短路径问题.对于稍微复杂抽象的例题，学生仍需加以练习.教材分析1.教学内容利用轴对称变换解决“将军饮马”问题；利用图形平移变换解决造桥选址问题2.地位作用本课是在学生学习了轴对称之后，进一步对“两点之间，线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”的应用，通过实际生活中问题的引入，让学生从实际问题抽象成数学问题体会数学的应用价值，初步了解数学转化的方法，为以后学习更多的最短路径问题，打下坚实的基础。

13.4.最短路径问题仙桃市第九中学王月娥一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.. 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，建立数学模型，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．. 对学生而言，造桥选址问题的难度在于河的宽度如何处理，教师可作适时的点拨，如通过平移河岸使它们重合，引导学生朝着平移A或平移B去考虑..基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四．教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，充分渗透转化的数学思想，以《几何画板》为平台，借助其计算功能，对线段长度的度量，让形的问题转化为数的问题，更有助于学生的探究发现.五．教学过程设计：活动设计师生活动设计意图【情景引入】 1、抛出问题.一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、 感受情景，激发学习热情.2、问题思考利用问题情景， 增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.【共研释疑】活动一、观察思考，抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.明确：（1）将A ，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.师关注学生能否从实际问题中抽象出数学模型。

13.4 课题学习　最短路径问题教学设计教学目标1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想；2. 能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟“转化”作用。

学情分析由于八年级学生首次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。

重点难点重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点．难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短.教学准备：多媒体课件教学过程4.1 第一学时活动1创设情境、引入新课1、播放行人横穿马路出车祸视频。

2、同学们，看了这段视频，你们有何感想？接着播放交通安全常识。

3、同学们，人们为什么常常违规横穿马路呢？你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题：最短路径问题板书：§13.4 课题学习最短路径问题让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

活动2探究“将军饮马问题”1、提出问题，抽象模型相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”。

同学们，你是海伦，怎么将这个实际问题抽象为数学问题呢？2、化未知为已知，化“同侧”为“异侧”(1) 这l上有无数个点，究竟点C落在何处，才能使AC+BC最短呢？(2) 假如l同侧的两点A,B中的A点在l的另一侧，即A,B两点分别在直线l的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC+BC最短？为什么？(3) 回归刚才的问题：A,B两点在直线l的同一侧，如果能将B点转移到l的另一侧，问题就解决了，能否有这样一个桥梁实现这个目标呢？引导：将点A“移”到l 的另一侧A′处时要使直线l 上的任意一点C，都有CB ＝CB′，什么点满足这个条件呢？(4) 动手尝试，利用手中的作图工具寻找点C。

13．4 课题学习最短路径问题知人者智，自知者明。

《老子》棋辰学校陈慧兰一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连结的三条线段之和最小的位置的确定．【过程与方法】经历观察—画图—说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力及把实际问题转化为数学问题的能力，感悟转化思想，数形结合思想的运用．【情感态度与价值观】从生活实际问题出发，唤起学生的学习兴趣，激发学生学习欲望，从而主动参与数学学习活动中，体会解决问题的成功感受，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】利用轴对称解决简单的最短路径问题．【教学难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，要在街道旁修建一个供水站，向居民区A、B提供饮用水，分别满足以下条件，供水站应建在什么地方？(1)使从A、B到它的距离相等；(2)使从A，B到它的距离之和最短．解：(1)建在线段AB的垂直平分线与街道的交点上．(2)建在点A关于街道的对称点和点B的连线与街道的交点上．图略．2．如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？解：依据有2点：①平移前后的线段平行且相等；②两点之间线段最短．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动探索】(引发学生思考)证明线段间的不等式关系，一般从三角形的三边关系入手．【证明】由题意，得AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′.∴AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B.又∵A′B<A′N′＋N′B，∴AM＋NB<M′＋N′B.∴AM＋NM＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用三角形的三边关系证明线段和之间的不等关系是常用的技巧．活动2 巩固练习(学生独学)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO、BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图：(1)作C点关于O的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1；(2)连结C1D1，分别交OA、OB于P、Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．【互动探索】题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三形任意两边之差小于第三边来解决．【解答】如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B 的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连结CA、C′A、C′A′、C′B.因为点A、A′关于直线l对称，所以l为线段A′的垂直平分线，则CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用一种方法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用轴对称、平移等变换可以解决最短路径问题．请完成本课时对应练习！【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

《最短路径问题》教学反思本节课我精心设计引入环节，通过曹冲称象的故事引入新课，让学生通过故事体会转化解决实际问题的思想，然后通过一个问题让学生进入最短路径的情境，通过这个问题，让学生理解到找最短路径的根本是通过“两点之间，线段最短”找出解决问题的途径，接下来通过“牧童饮马”让学生带着兴趣进入教学。

在教学过程中设计了小组竞赛的方式，让学生在比赛中积极投入到研讨和思考中，通过学生研讨、展示，让学生从“两点在直线的两侧”转换为“两点在直线的同侧”，并进一步研究出“两点在两条直线的内侧”找最短路径的办法，一步步完成本节课的教学任务。

本节课设计精巧，层层递进，表达了以学生为主体，以教师为主导的教育思想，学生在比赛中愉快的接受知识，完成任务，这是本节课的亮点。

本节课的缺乏之处在于，因为重点放在理解决“两点在直线的同侧”和“两点在两条直线的内侧”的实际问题，忽略了学生在实际动手中的作图问题，另外，本节课还应该借鉴更好的例子，比方“照镜子”联想找“最短路径问题”的实例，这样课堂会更加生动。