数学人教版八年级上第十三章134 课题学习 最短路径问题 (2)

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】课本P85页问题1练习、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址【例2】P86页问题2【课堂检测】课本P93页、15题。

13. 4课题学习最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.重点应用所学知识解决最短路径问题.难点选择合理的方法解决问题.一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径.这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1.多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题.探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法.让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小.尝试选址作出图形.多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程.根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]四、归纳总结1.本节课你学到了哪些知识？2.怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.。

课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。

教学设计13.4最短路径问题永顺县溪州中学彭善玉一、教学设计思路：本节课是人民教育出版社出版九年制义务教育数学课本八年级数学《最短路径问题》，教材为我们提供了最短路径的概念和探索方法以及相应练习题。

这节课与实际生活息息相关，在内容上，它将两点之间线段最短，轴对称的性质紧密结合起来。

通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会数学建模的思想，学会从复杂题目中找到原始的基本的数学模型。

本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了我校“六步四维一体”的教学模式，启发式、探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体。

利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想证明，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

利用课件、微课、几何画板辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性与理性认识，增强直观效果，提高课堂效率。

二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小问题。

（2）能利用轴对称解决实际问题中的最短路径问题。

（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

2、过程与方法：（1）通过自主画图，小组讨论，共同比较等教学活动，探索与轴对称有关的最短路径问题，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。

（2）通过几何画板把抽象问题具体化，直观地观察、分析把折线问题转化直线问题，体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,（3）能够倾听其他同学的发言，并能把自己的想法与其他同学交流，体会合作学习的过程与方法，感受合作的愉快。

课题学习最短路径问题〔第二课时〕造桥选址问题〔邹敏〕一、教学目标：〔一〕学习目标1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．〔二〕教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址〞的实际问题转化为“两点之间，线段最短〞问题〔三〕教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q 分别作CD的垂线，垂足分为M、N，那么PM与QN的大小关系为〔〕A．PM＞QN B．PM＝QN C．PM＜QN D．不能确定答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B2.预习自测⑴直线AB上有一点P，当点P在时，P A+PB有最小值，最小值为AB 的值；⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-P A等于AB的值；⑶直线AB 上有一点P ，当点P 在 时，P A -PB 等于AB 的值；图1图3图2B AP B AP 【知识点】线段的和差 【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB 上有一点P ，此时点P 与线段AB 的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB 上；②如图2和图3，点在线段BA 的延长线上或点在直线AB 的延长线上.【解题过程】⑴当点P 在线段AB 上时，如图1，P A +PB =AB 即P A +PB 最小值为AB 的值；⑵当点P 在线段BA 的延长线上时，如图2，PB -P A =AB ；⑶当点P 在线段AB 的延长线上时，如图3，P A - PB =AB ；【答案】⑴线段AB 上；⑵线段BA 的延长线上；⑶线段AB 的延长线上.⑷如图，点 A 、B 在直线l 的同侧，在直线l 上能否找到一点P ，使得｜PB －P A ｜的值最大？ l B A【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P 、点A 、点B 不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞 ，那么｜PB －P A ｜＜AB ； 当点P 与A 、B 共线，点P 在线段BA 的延长线上时，即点P 为直线AB 与直线l 的交点，那么｜PB －P A ｜=AB .【解题过程】⑴当点P 在直线l 上且点P 、点A 、点B 不共线时｜PB －P A ｜＜AB ；⑵当点P 在线段BA 的延长线与直线l 的交点时，如图，PB -P A =AB ，即 ｜PB －P A ｜=AB ；【答案】如图，连接BA 并延长交直线l 于P ，此时｜PB －P A ｜的值最大.〔二〕课堂设计1.知识回忆⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换〔简称平移〕. 平移不改变图形的形状和大小.⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2.问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题●活动①回忆旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题〞，但善于观察与思考的海伦在解决“两点〔直线同侧〕一线〞的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值〞的情况：●活动②整合旧知，探究新知例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，那么点C即为所求．Arrayl●活动③类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点〔直线同侧〕一线型〞时AC +BC 最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大〞的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，那么有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A －C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.练习点A、B均在由面积为1的一样小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如下图.假设P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB 与x轴的交点，那么此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，那么此时P是x轴上使得|PA －PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B 的连线交y轴于点Q，那么点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究二 利用平移解决造桥选址问题★▲●活动①结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥〞，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD 上的点A 处需建一座桥，连接河岸EF ，且CD ∥EF .显然当桥AB 垂直于河岸时，所建的桥长最短. D C E F A B D C E F A●活动②生活中的实际问题例2. 如图，A 、B 两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕【知识点】平移知识，两点之间线段最短 【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A 到点B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．如图1，此时两线段AM 、BN 应在同一平行方向上，平移MN 到A A ′，那么A A ′=MN ，AM +NB = A′N+NB ，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，A′N+NB 最小？如图2，连接A ′，B 两点的线中，线段 A ′B 最短，因此，线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求，即在点N 处造桥MN ，所得路径A→M→N→B 是最短的.图1【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′〔或者过点A作A A′垂直于河岸〕，且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如下图，那么MN为所建的桥的位置．图2●活动③几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进展展示、分享.证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN= AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，假设桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′= N′M′，那么建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B 中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，那么MN为所建的桥的位置．3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：〔1〕利用轴对称知识解决“线段距离之差最大〞问题；〔2〕利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址〞问题．重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．⑴“距离之差最大〞问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．⑵“造桥选址〞问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．〔三〕课后作业根底型自主突破1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．那么符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是〔〕A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题．【思路点拨】图中隐含了两个“两点〔同侧〕一线型〞的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．应选A．【答案】A2. 如下图，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M 处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有〔〕A.点A、B、CB. 点A、B、DC. 点B、C、DD. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【解题过程】如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【答案】B3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°A【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，那么点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ 中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°.∵∠AEF＝∠P＋∠P AE＝2∠P，∠AFE＝∠Q＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF =180°－100°=80°【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型〞求三角形周长最小的问题；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】D4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.BAl【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞，那么｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，那么｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5. 如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.（图2）E F'D C B A F FD C AB E【知识点】等腰三角形的“三线合一〞，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F 、点C 和直线AD ，构成“两点一线型〞的根本模型是解决此题的关键，连接CF′〔或者连接BF 〕与直线AD 交于点E ，此时EF+EC 取得最小值为CF′〔或者BF 〕，但题目要求∠ECF 的度数，那么只能连接CF′，根据等腰三角形 “三线合一〞的性质求解.【解题过程】取AB 得中点F′，那么等边三角形AC 边的中点F 与点F′关于直线AD 对称；连接CF′，与直线AD 相交于点E ，此时 EF +ECCF′是等边△ABC 的边AB 上的中线，所以CF′平分∠ACB ，那么∠ECF 的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点E ，如图1，又由“两点一线型〞的最短距离的模型得到图2；（图1）D CB AF【答案】∠ECF 的度数为30°6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 是∠BAC 的平分线．假设P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，求PC +PQ 的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ ⊥AC于点Q ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴PQ =PM ，这时PC +PQ 有最小值，最小值为CM 的长度. ∵AC =6，BC =8，AB =10，S △ABC =12AB •CM =12AC •BC ，∴CM =AC BC AB ⋅=6810⨯=245，即PC +PQ 的最小值为245．【思路点拨】因为∠BAC 的对称轴是∠BAC 的平分线所在的直线AD ，所以点Q 的对称点在射线AB 上.假设点Q 关于直线AD 的对称点为点M ， PC +PQ =PC +PM ， 又当PC 、PM 共线时，PC +PM 的最小值为线段CM 的最小值，根据垂线段最短，所以当CM ⊥AB 时线段CM 的值最小.过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，因为AD 是∠BAC 的平分线，得出PQ =PM ，这时PC +PQ 有最小值，最小值为CM 的长度，再运用S △ABC =12AB •CM =12AC •BC ，得出CM 的值，即PC +PQ 的最小值．此题主要考察了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC +PQ 有最小值时点P 和Q 的位置．【答案】245能力型 师生共研7.如下图，在边长为3的等边三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 是线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，求△BPG 周长的最小值． G EF C AP【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使△PBG 的周长最小，而BG 是一个定值，只要使BP +PG 最短即可，那么转化为“两点一线型〞的最短路径问题. 连接AB 交直线EF 于点P即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，那么AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE +BG=AB+BG．【答案】探究型多维突破8. 读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？〔保存痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考察了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50〔千米〕即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100〔万元〕．【答案】100万元9. 读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是．【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=22=10．故答案为10．31【答案】10自助餐1. 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下列图中找出点E的位置．〔保存作图痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．【解题过程】如下图，点E即为所求．2. 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－P A｜最小? (保存作图痕迹及简要说明)l BA【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB －AP ｜≥ 0，所以当点PA=PB 时， ｜PB －P A ｜最小值为0.【解题过程】 作线段AB 的垂直平分线，与直线l 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，那么P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．【答案】如图，点P 为所求公交车站的位置.3. 如图，直线l 外不重合的两点A 、B ，在直线l 上求作一点C ，使得AC +BC 的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l 的对称点B ′；②连接AB ′与直线l 相交于点C ，那么点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是〔 〕lA ．转化思想B ．三角形的两边之和大于第三边C ．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】∵点B 和点B ′关于直线l 对称，且点C 在l 上，∴CB =CB ′，又∵AB ′交l 与C ，且两条直线相交只有一个交点，∴CB ′+CA= AB ′最短，即此时点C 使CA +CB 的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞，表达了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．应选D ．【思路点拨】利用“两点之间线段最短〞分析并验证即可．此题主要考察了利用轴对称知识解决最短路径问题，但凡涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短〞，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【答案】D4.如图，在△ABC 中，AC =5，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，那么AP +BP 的最小值= .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合.【解题过程】∵EF 垂直平分BC ， ∴B 、C 关于EF 对称.连接AC 交EF 于D ，∴当P 和D 重合，即当点P 在直线EF 上的D 点处时，AP +BP 的值最小，最小值等于AC 的长为5.【思路点拨】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP +BP 的最小值为AC 长度5.【答案】5 DA B CEF P5. 如图，在平面直角坐标系中，PQ ⊥x 轴于点Q ，P 〔-4，8〕. 直线AB 垂直平分线段OQ ,交x 轴于点C ，点M 为直线AB 上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ，连接PM 、NQ ，求PM ＋MN ＋NQ 的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和y 轴看作河的两岸，点P 和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P 到Q 要走的路线是P →M →N →Q ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要PM ＋QN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到PP′，从P′→N →Q 应是余下的路程，当P′N + NQ 的值最小时PM ＋MN ＋NQ 有最小值.作点Q 关于y 轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段即为最短， P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，那么PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′的长．【解题过程】因为PQ ⊥x 轴于点Q ，P 〔-4，8〕所以Q 〔-4，0〕又因为直线AB 垂直平分线段OQ ,交x 轴于点C ，所以C 〔-2，0〕.如图2，过点P 作PP′⊥AB 于P′，且PP′等于OC ．又作点Q 关于y 轴的对称点Q′〔4，0〕，连接P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，那么PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′+MN 的长．又易得P′C =8， Q ′C =6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ ′中可得P′Q′=22''C Q C P +=2268+=10，所以PM ＋MN ＋NQ 的最小值为10+2=12.【答案】PM ＋MN ＋NQ 的最小值为12.。

13.4 课题学习最短路径问题祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇【知识与技能】1.了解最短路径问题.2.掌握解决最短路径问题的方法.【过程与方法】通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.【情感态度】通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】解决最短路径问题.【教学难点】最短路径的选择.一、情景导入，初步认识问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB 最小?将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.三、师生互动，课堂小结这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。

学科初中数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称第十三章13.4最短路径问题教学目标轴对称在实际问题中的应用重难点分析重点分析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题是知识的难点。

难点分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.教学方法观察，分析，转化的数学思想教学环节教学过程导入一．将实际问题抽象为数学问题：问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？【设计意图】学生在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．2．解决数学问题（用几何画板讲解，演示）：问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？如果学生有困难，教师可作如下提示：师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.3．证明AC +BC “最短”问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C’（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．知识讲解二用轴对称解决几何类问题：（难点突破） 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是（ ）.解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小。