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例1：三角形的内角平分线与外角平分线 A
AB BD = AC DC
AB BE = AC EC
∴ D E
( BC , DE ) = −1
B C 定理6：设 ( AB, CD ) = −1 0为CD的中点，则 0C 2 = 0 A ⋅ 0 B 例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比 （AB，CD）=－４ 解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合
α
1 α = 1−α ⇒ α = 2
α −1 1 3 2 令 α= ⇒ α −α +1 = 0 ⇒ α = ± i α 2 2
1 α= ⇒ α 2 −α +1 = 0 1−α
α= ±
1 2
3 i 2
α α= ⇒ α 2 − 2α = 0 ⇒ α = 0或2 若 α −1
（1）当 α 当α （2）当
∧ ∧ sin ac sin bd ( ab, cd ) = ∧ ∧ sin ad sin bc
d a c b
∠ (b ⋅ d ) = + ∠ (b ⋅ c ) ∴∠ ( a ⋅ c ) = −∠ ( b ⋅ c ) 2 π ∠(a ⋅ d ) = + ∠(a ⋅ c) 2 ∧ ∧ ∧ ∧ sin ∠ a ⋅ c con bc − sin bc cos bc = = −1 ∴ ( ab, cd ) = cos ∠ ( a ⋅ c ) sin ( bc ) ∧ ∧ cos bc sin bc
u1 a1 b1
由代数知识,必有数
u2 a2 b2
Hale Waihona Puke u3 a3 = 0 b3λ , u 使得 x = λa + ub
{
x1 = λa1 + ub1 x 2 = λa 2 + µb2 x3 = λa3 + µb3
{
u1 = λa1 + ub1 u 2 = λa 2 + µb2 u 3 = λa3 + µb3
5 ∴ λ2 = 8
作业：
P54
1，4，5，6
§3.3线束的交比 线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b （a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：
x1 a1 b1
x2 a2 b2
x3 a3 = 0 b3
x =u a +v b A B
C
定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。 那个定点称为线束的心。
设 L1 [a1 , a 2 , a3 ], L2 [b1 , b2 , b3 ] 为过定点的直线 L [u1 , u 2 , u3 ] 为线束的动直线,则
1, ∞, 0
∴ 四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于
第二种情况
α = −1
AC AD = BC BD
AC ⋅ BD ABC = −1 = ( AB, CD ) = AD ⋅ BC ABD
说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号， 一个是内分点，一个是内外分点 定义3：当 ( AB, CD ) = −1 时，则称C，D两点调和分割A，B两点 或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶 成调和共轭
第三章 一维射影几何学 §3.1 点列与线束
维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几 何学和线几何学都是二维的。 定义1 点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那 条定直线称为点列的底，设 M 1 ( a1 a2 a2 ) ，M 2 ( b1 b2 b2 )
M 为定直线上二点， ( x1 , x2 , x3 )为点列的动点，则：
所以,点列上任意一点M的坐标可表为:
(λa1 + ub1 , λa 2 + µb2 , λa3 + µb3 )
的形式,当时,
λ ≠ 0 可表为 (a1 + λ ′b1 , a 2 + λ ′b2 , a3 + λ ′b3 )
M 1 , M 2 点列的基点
的形式.为
λ′ =
u
λ
AC ⋅ BD 定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 定义为这四点 AD ⋅ BC
∞ = 1 六组交比值分别为；1，1，0， ，0，∞
=2
α
α
0， 六组交比值分别为： ∞，1，1，∞，0 1 1 2， = −1 六组交比值分别为-1，-1，2，， 2 2 1 1 = 六组交比值分别为 1 ，， ，， 1， 1 2 2− − 2 2 2
1 1 2， ， 1， 1， ， − − 2 六组交比值分别为 2 2
AC ⋅ BD ∴ ( AB ⋅ CD ) = AD ⋅ BC
(有向线段，而非距离）
a, b, a + λ1b, a + λ2b
则
λ1 ( AB ⋅ CD ) = λ2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+ µi q ( i = 1, 2,3, 4 ) 则
( u1 − u3 )( u2 − u4 ) ( AB, CD ) = ( u1 − u4 )( u2 − u3 )
sin Q3 sin Q1 sin Q4 sin Q2 − − cos Q3 cos Q1 cos Q4 cos Q2 = sin Q4 sin Q1 sin Q3 sin Q2 − − cos Q4 cos Q1 cos Q3 cos Q2
按顺序点列的交比，用符号来记 ( AB, CD )
§3.2点列的交比 点列的交比
( ABC ) AC ⋅ BD AC 1 ∴ ( AB ⋅ CD ) = = ⋅ AD = AD ⋅ BC BC ( ) ( ABD ) ( BD ) ∴ 交比可由简比求得
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
O
a × s, b × s, c × s = a × s + λ1 ( b × s ) d × s = a × s + λ2 ( b × s )
∴四点的交比为：AB，CD ) = (
A′
A a C
D′
λ1 λ2 λ ′B′，C ′D′ ) = 1 (A λ2
C ′ B′
B D b d = a + λ2b
1
1−α α −1 （5） ( AD, BC ) = ( BC , AD ) = ( CB, DA) = ( DA, CB ) = α α （6） ( AD, CB ) = ( BC , DA) = ( CB, AD ) = ( DA, BC ) = α −1
讨论三种特殊情况： 1 令 α = ⇒ α = ±1
例2：已知四直线a,b,c,d的方程为
π
2 x − y + 1 = 0,3 x + y − 2 = 0
7 x − y = 0,5 x − 1 = 0 求证：这四直线共点，并求（ab,cd)
ρ1 ( 2,3, −3) = (1, 4,1) + λ1 ( 0,1,1)
2 ρ1 = 1 + λ1 ⋅ 0 5 1 3ρ1 = 4 + λ1 ⇒ ρ1 = 2 , λ1 = − 2 −3ρ = 1 + λ 1 1
−5 λ1 Q ( AB, CD ) = = 2 = −4
λ2
λ2
点的纵坐标为： MA = k1 , MB = k2 , MC = k3 , MD = k4
y
d c D b C B a
AC ⋅ BD ∴ ( ab, cd ) = ( AB, CD ) = AD ⋅ BC ( MC − MA) ⋅ ( MD − MB ) = ( MD − MA)( MC − MB )
∧ ∧ sin ac sin bd = ∧ ∧ sin ad sin bc ∧ 表示把直线a到c的有向转角。 其中 ac
例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。 证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.
M1 若以 Q1 , Q2 , Q3 , Q4 分别表示四直线的倾角，则：
( k3 − k1 ) ⋅ ( k4 − k2 ) = ( k4 − k1 )( k3 − k2 )
O
A x
( tgQ3 − tgQ1 )( tgQ4 − tgQ2 ) ( ab, cd ) = ( tgQ4 − tgQ1 )( tgQ3 − tgQ2 )
推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是ν i p + ui q, i = 1, 2,3, 4 则 ( AB, CD ) = v1 u1 ⋅ v2 u2 ÷ v1 u1 ⋅ v2 u2 v3 u3 v4 u4 v4 u4 v3 u3 点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排 列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不 同的组别，每组的值是相同的。 定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。 定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数 定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差
由定理3~定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值： （1） ( AB, CD ) = ( BA, DC ) = ( CD, AB ) = ( DC , BA ) = α （2）
