锐角三角函数导学案

课题：《24.3锐 角 三 角 函 数》课型： 新授课 年级： 九年级主备人： 严中益 备课时间： 2014 年 10 月 日执教人： 执教时间： 年 月 日教学目标：1.使学生能正确掌握锐角的四个三角函数的定义，并能熟练计算一些直角三角形中锐角的四个三角函数；2.掌握0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1, sin 2A ＋cos 2A ＝1,tanAcotA ＝1。

3.通过求具体的直角三角形中锐角的三角函数，得出0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1, sin 2A ＋cos 2A ＝1,tanAcotA ＝1。

4.培养学生勇于探索的精神和注意细节的习惯。

重 点：锐角三角函数定义的理解。

难 点：掌握锐角三角函数的表示方法及理解锐角三角函数的相关性质。

教学过程： 修改批注：一、情境、复习引入如图1所示是一个什么三角形？它可以表示为 ，它有哪些性质？学生答案可能有：1.直角三角形，记为Rt △ABC ；2.∠A ＋∠B ＝90°，∠C ＝90°；3.AC 2＋BC 2＝AB 2；4. Rt △ABC 中30°的角所对的边是斜边的一半；5. Rt △ABC 中，斜边上的中线等于斜边的一半；……表扬回答问题的同学：同学们真棒！接下来的表现肯定会更棒！B 斜边c ∠A 的对边aC B 图1在Rt △ABC 中，我们把∠A 正对的边叫∠A 的对边，用a 表示，与∠A 相邻的直角边叫∠A 的邻边，用b 表示，直角C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示。

练习：如图，在Rt △MNP 中，∠N ＝90゜.∠P 的对边是__________,∠P 的邻边是_______________;∠M 的对边是__________,∠M 的邻边是_______________;从同学们的回答可以看出我们已经学过了直角三角形角与角之间的关系、边与边之间的关系，那么直角三角形角与边之间会有什么样的关系？这就是这节课我们要探讨的问题——锐角三角函数（板书课题）。

25.2.1 锐角三角函数学习目标：1、理解正弦、余弦、正切、余切的概念；2、正弦、余弦、正切、余切的应用学习重点：正弦，余弦，正切、余切的概念学习难点：正弦、余弦、正切、余切的应用前置性作业：一、知识回顾1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c.(1)若a=3,b=4,则c= . (2)若a=3,c=4,则b= .2、小明放一个线长为120米的风筝，他的风筝线与水平地面构成30°角，他的风筝高度为多少？二、自主学习，合作探究1、概念学习如图，在Rt△ABC中，∠B的对边是，∠B的邻边是，AB称为。

2、大胆猜想，合理推证（1）在方格纸中，画一个锐角∠MAN，再在射线AM上任取两点B1 B2，并分别过B1＼B2作Ｂ１Ｃ１⊥ＡＮ，作Ｂ２Ｃ２⊥ＡＮ，垂足＼为C1、C2MN①测量并比较大小： ,②若改变∠MAN的大小，①中的结论还成立吗？从中你发现了什么？并将所得结果与你的同伴进行比较,（2）对于上述结论一定成立吗？能否给出证明？（3）在Rt△AB中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边、对边与邻边的比值也是一个固定值吗？若是，能否给出证明。

（4）总结概念在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，（1）把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的，记作sinA 即（2）把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的，记作cosA 即（3）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的，记作tanA 即（4）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的，记住cotA 即3、知识应用（1）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AB=13,BC=5,则①、sinA= ; cosA= ; tanA= ; cotA=②sinB= ; cosB= ; tanB= ; cotB=ABC通过此题，你有什么发现？（2）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，求BC、AC的值。

24.3.1 锐角三角函数第一课时（导学案）学习目标•理解什么是正弦函数和余弦函数；•能够根据给定角度计算出正弦值和余弦值；•掌握利用三角函数求直角三角形两个角的方法。

学习重点•正弦函数和余弦函数的概念；•角度与三角函数值之间的关系；•利用三角函数求直角三角形两个角的方法。

学习难点•如何准确地根据给定角度计算出正弦值和余弦值；•如何正确地利用三角函数求解直角三角形两个角。

学习内容1. 正弦函数和余弦函数的概念在平面直角坐标系中，以原点为顶点，终边经过某个角度的射线与x轴正半轴组成一个锐角三角形。

假设锐角三角形的一条直角边长度为a，另一条直角边长度为b，斜边长度为c，则根据三角形的定义可得：sinθ = a/ccosθ = b/c其中，θ为锐角三角形的那个锐角的角度，sinθ被称为θ的正弦值，cosθ被称为θ的余弦值。

2. 角度与三角函数值之间的关系在数学上，我们通常以度数或弧度来度量角度。

在度制下，一周的角度大小为360度；在弧度制下，一周的角度大小为2π弧度。

由于最小的角度单位是1度或1弧度，因此一个角度θ的正弦值sinθ和余弦值cosθ可以通过相应的三角函数表进行查找。

例如，当θ=30度（或π/6弧度）时，其正弦值为1/2，余弦值为√3/2。

3. 利用三角函数求直角三角形两个角的方法在锐角三角形中，如果已知其中两条边的长度，可以利用正弦函数和余弦函数求解该三角形的另一个角度。

例如，已知锐角三角形的一条直角边长度为3，斜边长度为5，求另一个锐角的角度。

我们可以利用余弦函数求解：cosθ = 3/5θ = cos⁻¹(3/5)利用计算器可得θ≈53.13度。

同样地，如果已知锐角三角形的另外一条直角边长度，也可以利用余弦函数或正弦函数求解该三角形的另一个角度。

学习方法和建议1.牢记正弦函数和余弦函数的定义和公式，熟练掌握角度与三角函数值之间的对应关系。

2.善于利用三角函数表和计算器，提高计算准确性和效率。

课题：锐角三角函数（3）【学习目标】⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵:能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果0°30°45°60° 90°sinAcosAtanAααα当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________.例1：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ．一、应用新知：1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= .2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= . 3．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒ (2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2224．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5） （6）5．已知:如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=2，BD= .分别求出△ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长.7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________.8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=53,则sin(90°-α)=_ 二、当堂检查 一、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．13．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 32，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tanA•的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．45 6．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：3：2，则sinA+tanA 等于（ ）．|tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α33A．311..6222B C D+7．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（）．A．是直角三角形 B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．1．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为_____，•周长为___．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=52，则cosA=________．3．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______四、计算：（1）sin45cos3032cos60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（2）sin45tan30tan60︒︒-︒+cos45°·cos30°（3）112)4cos30|3-⎛⎫++-⎪⎝⎭°（4）2cos602sin302︒︒-;春红将军苹果小狗屠龙小白兔玫瑰内功经验多愁善感自我反思：本节课我的收获: 。

第七章锐角三角函数〔 1〕正切函数学习目标1、认识锐角的正切的看法。

2、会求一个锐角的正切值。

3、经历操作观察思虑求解等过程，感觉数形结合的数学思想方法。

学习要点：锐角的正切的看法学习难点：锐角的正切的看法，感觉数形结合的数学思想方法知识要点在 Rt △ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比值是∠ A 的正切，记作一、情境创立问题 1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，∠ C=∠ C′ =90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们第一应思虑：当锐角固准时，两直角边的比值可否也固定？②给出正切看法：如图，在Rt △ABC中，，把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作：tan A .二、典型例题例 1．依照以以下图中所给条件分别求出以以下图中∠A、∠ B 的正切值。

B A C1133A2CC1B B5A经过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值．例 2．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， CD是 AB 边上的高， AC=3,AB=5，求∠ ACD 、∠ BCD的正切值。

文档结论：等角的正切值．例 3．如图〔 1〕，∠ A=30°，∠ C=90°，依照三角函数定义求出30°、 45°、 60°的正切值．BA C〔1〕〔2〕〔3〕例 4．如图，∠ A=15°，∠ C=90°，求出 15°正切值．BA C随堂演练1. 〔 1〕在直角三角形中，∠ =90°， =9,a =12, 那么tan A =， tan B=。

ABC C b〔 2〕如图，△ ABC的三个极点分别在正方形网格的格点上，那么tan A 的＝．〔 3〕在 Rt △ ABC中 , ∠ C=90° ,AC=12,tanA=2 ，那么 BC长为。

28.1.2锐角三角函数导学设计杜庄中学王春梅28.1.2锐角三角函数导学设计【学习目标】1．掌握余弦、正切的概念；能较正确地用sin A 、cos A 、tan A 表示直角三角形中两边长的比．2．能够综合运用sin A 、cos A 、tan A 解决简单的实际问题． 【学习重点】 理解余弦、正切的概念．【学习难点】 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算． 一、自学提纲1．我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？ 2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，那么sin∠ABC ＝2．3．如图28－1－52，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于点D .已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( A )图28－1－52 A .53 B .23 C .2 55 D .52 4.(1)如图28－1－53，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3.则sin ∠BAC ＝__35__；sin ∠ADC ＝__45__；图28－1－53 图28－1－54(2)如图28－1－54，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比是__正切__，二、合作交流如图28－1－55，Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠B ＝∠B ′＝α，图28－1－55那么BC AB 与B ′C ′A ′B ′有什么关系？AC AB 与A ′C ′A ′B ′有什么关系？BC AC 与B ′C ′A ′C ′有什么关系？例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8, 求sin A, cos A ，tan B 的值．例2 如图28－1－56，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A ，tan B 的值．图28－1－56四、学生展示1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ＝3，b ＝4，则cos A ＝__45__，tan B ＝__43__．(提高：如把条件中∠C ＝90°去掉，你会求吗？)2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos A ＝45，那么tan B 的值为( D )A .35B .54C .34D .433．如图28－1－57，P 是∠α的边OA 上的一点，且点P 的坐标为(3，4)，则cos α＝ __35__．课后作业：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A ＝13__，sin B ＝13，tan B ＝__32__．2．已知∠α是锐角，tan α＝512，则sin α＝__513__．3．Rt △ABC 的面积为24 cm 2，直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则cos A ＝__35__．4．等腰三角形底边长10 cm ，周长为36 cm ，则一底角的正切值为__125__．5．在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍，则tan A 的值( C )A ．扩大100倍B ．缩小100倍C ．不变D ．不能确定6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝34，则sin A ＝( C ) A .43 B .34 C .53 D .357．如图28－1－58，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD .若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( A )图28－1－58A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm8．在正方形网格中，△ABC 的位置如图28－1－59所示，则cos B 的值为( B )A .12B .22C .32D .33图28－1－59。

28.1锐角三角函数（一）导学案
一、教学目标
知识与技能初步了解锐角三角函数的意义，初步理
解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的
比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据
已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦
值。

过程与方法从实际问题入手研究，经历从发现到解决
直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜
边之间的关系的过程，体会研究数学问题的
一般方法以及所采用的思考问题的方法。

情感态度与价值观在解决问题的过程中体验求索的科
学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学
习需求。

二、教学重难点
重点锐角的正弦的定义
难点理解直角三角形中一个锐角与其对边与斜边比值的对应关系。

三、学习过程
1、验证正弦函数
2、正弦函数的定义
3、例题示范
4、巩固训练。

28.1锐角三角函数（1）——正弦【学习目标】1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2．能根据正弦概念正确进行计算【学习重点】理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

一、旧知回顾1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC二、新知学习问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值CBA思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90°，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，(2)1353CB A(1)34CBA记作sinA ，即sinA= =a c ． sinA ＝A aA c∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．随堂练习：做课本第64页练习． 三、知识梳理在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 ， 四、学习评价 【当堂检测】1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则si nα的值是﹙ ﹚A ．43 B ．34C ．53D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43 D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sinα等于（ ）A ．a bB ．ba C ．D 作业设置：习题28.1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分） 【自我评价】1．本节课有困惑的题目是：2．本节课的学习收获是：。

锐角三角函数的应用学案
学习目标：熟练运用三角函数知识解决实际问题，进一步加深对三角函数的理解。

学习过程：
学习准备：
1、熟记直角三角边角关系
（1）角越大，其正弦值越，余弦值越，正切值越。

（2）
3仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做角。

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做角.
图示：
3、坡角与坡度
坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比），记做i ，i= ，通常写作1：m的形式。

坡度就是坡角的 值。

坡度越大，坡角就越 ，坡面就越 。

二：应用
１、如图，为了测量旗杆的高度AB ，在离旗杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得旗杆顶端A 的仰角 ＝22°，求旗杆AB 的高.（精确到0.1米） 22.7米
２、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=20°，求飞机A 到控制点B 的距离.(精确到1米
３、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m ，问大厦有多高？（结果精确到1m)
22E A
D A C
B
三、思想和方法
1将实际问题抽象为数学问题（建模）画出平面图形→转化为
2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用 ，解直角三角形 3得到数学问题的答案
4得到 的答案。

四、我的收获和疑问。

46A B
C C 29
D A。

2.1锐角三角函数——正切学习目标经历探索直角三角形中边角关系的过程，能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算．学习过程复习：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是______,邻边是_______2.若a ∶b = c ∶d ，利用更比性质可以得到______________任务一：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？任务二：想一想如图，梯子上有两个点B 1，B 2，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？A C B(2)111AC C B 和222AC C B 有什么关系？(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？任务三：由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA ＝的邻边的对边A A 注意：1．tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，对于用三个大写字母表示的角或用数字表示的角，都应该写上“∠”，例如tan ∠ABC ，tan ∠12．tanA 没有单位，表示一个比值，只与角的大小有关，与直角三角形的边长无关．3．tanA ＞0，因为直角三角形的各边都为正数思考：∠B 的正切如何表示？它与∠A 的正切有什么关系？你能得到什么结论？任务四：议一议：前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗？如图: ∵ AA 1>AA 2>AC ∴________ > __________ > ___________结论：__________________ ，梯子越陡，tanA 的值随着∠A 的增大而________ 任务五：应用：正切在日常生活中的应用很广泛．例如建筑、工程技术等，正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100m ，就升高60m ，那么山坡的坡度i(即坡角α的正切——tan α)就是tan α＝5310060= 0.6 (正切值可以用小数表示)（根据题意画出图形）坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面越陡．注意区分坡度和坡角.[例1]如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？[例2]在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tanA 和tanB 的值．[例3] 在Rt △ABC 中,∠C=90°, BC=3，tanA=512，求AC 的长随堂练习1、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，那么tanA 的值（）A.不变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定2、在Rt △ABC 中,∠C=90°, AB=5, AC=1, 那么tanA 等于（）A. 12 B.2 C.55 D. 2553、直角三角形中，有一锐角的正切值为0.75，两直角边的和为14，则斜边长是（）A. 15B. 14C. 53D. 104、如图，在4×4的正方形网格中，tan α＝（）A. 15B. 14C. 21D. 255、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度．。

.3.1锐角三角函数导学案（1）【学习目标】 1.认识锐角三角函数。

2.会求锐角三角函数值。

3.感受数形结合的便捷性。

【重点】锐角三角函数 【难点】求锐角三角函数。

【使用说明与学法指导】认真阅读课本了解直角三角形锐角的邻边、对边；结合图形识记锐角三角函数，将书本中重要性质用双色笔画上横线；并完成导学案，完成过程中将疑惑记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑；预 习 案一、预习导学：1.写出∠A 的邻边、对边、斜边。

∠A 的邻边是 ∠A 的对边是2. 在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值。

3. 观察右图中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以111AC C B ＝_________＝____________． 小结：在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值是 。

ABC图14.写出图1中锐角∠A 的四个三角函数，并说出它们的名称。

【预习自测】1. 2.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角 函数值（）A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.不变D.都扩大4倍二、我的疑惑合作探究探究一：根据三角函数的定义，证明：（1）A A 22cos sin ＝1， （2）tanA ·cotA ＝1．AC小结： 探究二：新华都一楼至二楼电梯是如图所示的Rt △ABC ，求∠A 的四个三角函数值小结： 【针对性训练】求出如图所示的Rt △DEC （∠E ＝90°）中∠D 的四个三角函数值．我本节课的收获与反思：解直角三角形（练习一）一、填空题1．在△ABC 中，AC=8，BC=6，AB=10，则△ABC 是 三角形. 2．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则=B tan ，=A cos .3．在△ABC 中，∠C=90°，21cos =A ，则=∠A 度.4．用计算器计算：8339sin '︒= ，221220tan '''︒ = .（精确到0.0001）5．用计算器计算：已知cos A = 0.4638，那么锐角A≈ .（精确到1°）6．若从点A 处测得点B 处的仰角为25°，则从点B 处测得点A 处的俯角为 .7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，32tan =A ，则=A cot . 8．△ABC 中，若0)tan 1(21cos 2=-+-B A ，则∠C = 度.9．等腰三角形顶角为120°，底边长为32，则腰长为 . 二、选择题10．在Rt △ABC 中，各边的长都扩大到原来的5倍，则角A 的四个三角函数值 ( )A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定11．如图，斜坡AB的坡度i =，则B tan 的值为（ ）ABCD ．1212．在下列条件中，不能．．解直角三角形的是（ ） A ．已知两锐角 B ．已知两条边 C ．已知三条边 D ．已知一边与一锐角 13．△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，则CBCD 等于 ( )A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．A cot 三、解答题（第11题）ACB1:3=i14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°,6 b ，解这个直角三角形.15．如图11所示，点P 表示广场上的一盏照明灯。

《锐角三角函数》导学案一、学习目标1、理解锐角三角函数的定义，能够准确说出正弦、余弦、正切的概念。

2、掌握锐角三角函数的求值方法，会利用已知条件求出锐角的三角函数值。

3、能够运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。

二、学习重难点1、重点（1）锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义。

（2）特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值及其应用。

2、难点（1）理解锐角三角函数的本质，以及如何在直角三角形中准确地表示出三角函数值。

（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。

三、知识回顾1、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。

2、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

四、新课导入在生活中，我们常常会遇到需要测量高度、距离等问题，比如测量大树的高度、河流的宽度等。

而这些问题往往可以通过直角三角形的知识来解决。

今天，我们就来学习一种新的数学工具——锐角三角函数，它将帮助我们更方便、更准确地解决这类问题。

五、知识讲解1、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。

即 sinA ＝对边／斜边。

同理，如果一个锐角的邻边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的余弦，记作 cosA。

即 cosA ＝邻边／斜边。

如果一个锐角的对边与邻边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正切，记作 tanA。

即 tanA ＝对边／邻边。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，AB 为斜边。

则 sinA ＝ BC ／ AB，cosA ＝ AC ／ AB，tanA ＝ BC ／ AC。

年级：九年级 班级： 学生姓名： 制作人： 不知名 编号：2023-1228.1.1锐角三角函数（第一课时）【学习目标】1．初步了解锐角三角函数的意义，理解一个锐角的正弦的定义.2．会根据已知条件求一个锐角的正弦值.【预学案】1．如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，求AB.2．如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，求BC.【探究案】请你认真阅读课本61的内容，边学边思考下列问题：思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？____________ 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 的对边与斜边的比值是一个定值吗？ 如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值思考3：Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C=90°，∠A=∠A′=a ，那么有什么关系？为什么？结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A 的对边与斜边的比值 .【归纳】在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的____________，记作________，即_______ __.4.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA=_____sinB=______.5.如图(2)，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA=_____ ，图2图1134C A C BsinB=_____ .【检测案】1.在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=,求sinB的值________.2.如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）A．B．C．3．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为（）A．B．C．D．4．如图，Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB于D点，AC=3，BC=4，求sinA，sin∠BCD 的值.5.如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sinA＝35，求DE的长和菱形ABCD的面积．6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝14，BC＝2，求AC，AB的长．。

锐角三角函数一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；（3）边角关系： ①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边 注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA(2) 同角的三角函数关系．平方关系：sin 2 A+cos 2A=l4.三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

（二）：【课前练习】1.等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ）A ．12 3. 2B 2.2C D ．l2.点M(tan 60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M′的坐标是（ ）3.在 △ABC 中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA 的值是（ ）3443. . . .4355A B C D4.已知∠A 为锐角，且cosA≤0.5，那么（ ）A ．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C ．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A ＜90°二：【经典考题剖析】1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长．2.先化简，再求其值，213(2)22xxxx x+÷-+++-其中x=tan45－cos30°3. 计算：①sin248○＋ sin242○－tan44○×tan45○×tan 46○②cos 255○＋ cos235○4.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若α=45○，则sinα________cosα；若α＜45○，则sinα cosα；若α＞45°，则 sinα cosα.5.⑴如图①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．三：【课后训练】1. 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（）A．33.2B3.2C- D．02.在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=32，sin(90°－B）=32，则△ABC一定是（）A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos∠OAB等于__________4.cos2α+sin242○ =1，则锐角α=______.5.在下列不等式中，错误的是（）A.sin45○＞sin30○；B.cos60○＜oos30○；C.tan45○＞tan30○；D.cot30○＜cot60○6.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）3434A...4355B C D7.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长．8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8 ，CD⊥AB，求：①sin∠ACD 的值；②tan∠BCD的值CB9.如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）10.某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米）四：【课后小结】。