函数的单调性

函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，0)()(2121>--x x x f x f（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，0)()(2121<--x x x f x f（3） 函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。

5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相反的单调性7。

.函数()f x 在R 上具有单调性，则()f x -在R 上具有相反的单调性。

复合函数的单调性。

如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。

解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。

复合函数的单调性的判断：同增异减。

函数单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减 外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数增减减增题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1) y ＝|x 2＋2x －3| 1122---=x xx y32y 2+--=x x2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？题型二：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性例1.若函数y ＝ax , y ＝bx-在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）上是 ________（填单调性）．例2.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．答案：在(- 4，0)上单调递减。

函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。

首先对函
数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增
函数，小于零是减函数。

(1)证明一个函数的单调性的'方法：定义法，导数法；
(2)推论一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常用函数法，运用无机函数单调性规律。

3.常用复合函数单调性规律：
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数，则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。

(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。

(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步：ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域；ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性，法则就是“同增异减至”，即为内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。

函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。

高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。

在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。

在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。

一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。

具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。

二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。

通常有两种方法：导数法和图像法。

导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。

具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。

图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。

若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。

三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。

2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。

若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。

3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。

当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。

当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。

4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。

5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。

函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。

在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。

证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中的重要内容，它涉及到函数的增减性质，对于函数的研究具有重要意义。

在数学分析中，我们常常需要证明一个函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的。

下面，我将介绍几种常见的方法来证明函数的单调性。

1. 导数法。

导数法是证明函数单调性常用的方法之一。

对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上具有一阶导数，那么我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性。

具体来说，如果在某个区间上f'(x)大于0，则函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于0，则函数在该区间上是单调递减的。

2. 函数的增减表。

函数的增减表是一种通过导数的符号来判断函数单调性的方法。

我们可以通过求出函数的导数，并列出导数的符号随着自变量的变化而变化的情况，从而得出函数在某个区间上的单调性。

通过增减表，我们可以清晰地看出函数的单调性，并进行证明。

3. 极值点和拐点。

对于一个函数f(x)，它的极值点和拐点也可以帮助我们证明函数的单调性。

如果在某个区间上f'(x)恒大于0，并且f''(x)恒大于0，那么函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)恒小于0，并且f''(x)恒小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。

通过分析极值点和拐点，我们可以得出函数的单调性。

4. 函数图像法。

最直观的方法是通过函数的图像来观察函数的单调性。

我们可以通过绘制函数的图像，并观察函数在某个区间上的变化趋势，从而得出函数的单调性。

通过观察函数的图像，我们可以直观地理解函数的单调性，并进行证明。

综上所述，证明函数单调性的方法有多种多样，我们可以根据具体的函数和问题选择合适的方法进行证明。

在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，从而准确地判断函数的单调性，为数学分析和实际问题的解决提供有力的支持。

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数单调性判断方法
1、思路
假如有一个函数f(x)，想要判断它的单调性，我们先从一阶导数开始。

令f(x)的一阶导数为f’(x)，对一阶导数f’(x)进行判断：（1）如果f’(x)在所有x值的情况下都大于0，则f(x)为单调递增
函数；
（2）如果f’(x)在所有x值的情况下都小于0，则f(x)为单调递减
函数；
（3）如果f’(x)在不同x值时有正有负，则f(x)不是单调函数。

2、一阶导数判断
假如一个函数f(x)定义域为[a,b]，则求出f(x)的一阶导数f’(x)；
（1）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)>0，f’(b)>0，则
f(x)在[a,b]区间内是单调递增函数；
（2）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)<0，f’(b)<0，则
f(x)在[a,b]区间内是单调递减函数；
（3）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)>0，f’(b)<0或
f’(a)<0，f’(b)>0，则f(x)在[a,b]区间内是不单调函数；
（4）如果f’(x)存在x0，使得f’(x0)=0，f’(x)在x=a和x0的
情况下，f’(a)>0，f’(x0)>0，则f(x)在[a,x0]区间内是单调递增函数；
（5）如果f’(x)存在x0，使得f’(x0)=0，f’(x)在x=a和x0的
情况下，f’(a)<0，f’(x0)<0，则f(x)在[a,x0]区间内是单调递减函数；。

函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。

2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。

3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

题型二 抽象函数的单调性 1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型三 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。

2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。

4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。

题型四 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ） A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（ ）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是题型五 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。

考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。

对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。

2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。

【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。

例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。

例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。

例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。

高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。

在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。

一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。

二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。

若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。

2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。

若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。

三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。

递增函数和递减函数统称为单调函数。

2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。

3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。

函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。

函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。

② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。

(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。

区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。

若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。

(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数单调性的判定方法最全函数的单调性是描述函数在整个定义域上的增减趋势的特性。

判定函数单调性是数学分析中的重要内容之一，对于函数的应用和推导都有着重要的影响。

本文将介绍函数单调性的判定方法，包括函数的基本概念、单调函数的定义、单调性的判定方法以及一些特殊函数的单调性判定。

一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，用于将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。

函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

二、单调函数的定义单调函数是指函数在定义域上的取值随自变量的增大而单调增加（或单调减少）的函数。

具体来说，如果对于定义域上的任意两个数a和b，若a<b，则有f(a)≤f(b)（或f(a)≥f(b)），则函数f(x)称为递增函数（或递减函数）。

三、单调性的判定方法1.导数判定法：对于可导函数，通过计算导数可以判断函数的单调性。

如果函数的导数恒大于零，则函数单调递增；如果导数恒小于零，则函数单调递减。

2.一阶导数和二阶导数判定法：如果函数在定义域上的一阶导数恒大于零（或恒小于零），而二阶导数恒小于零（或恒大于零），则函数单调递增（或递减）。

3.函数值比较法：对于定义域上的两个不同的数a和b，如果f(a)>f(b)，则函数单调递增；如果f(a)<f(b)，则函数单调递减。

4.零点判定法：如果函数在定义域上恒大于零（或恒小于零），则函数单调递增（或递减）。

5.不等式判定法：对于定义域上的任意两个数a和b，如果对于任意x∈[a,b]，有f'(x)≥0，则函数单调递增；如果对于任意x∈[a,b]，有f'(x)≤0，则函数单调递减。

四、特殊函数的单调性判定1.幂函数：当指数n为正偶数时，函数在整个定义域上单调递增；当指数n为负偶数时，函数在整个定义域上单调递减；当指数n为正奇数时，函数在整个定义域上单调递增；当指数n为负奇数时，函数在整个定义域上单调递减。

2.指数函数：当底数a大于1时，函数在整个定义域上单调递增；当底数a大于0且小于1时，函数在整个定义域上单调递减。

函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。

一、函数单调性判断常用方法：1、定义法（重点）：121212121212()()0()()()()0()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩即单调增函数在其定义域内有任意，且即单调增函数2、常用结论：⑴ )(x f 与)(x f +C 单调性相同。

（C 为常数）⑵ 当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。

⑶ 当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。

⑷ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。

⑸ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。

3、复合函数快速判断：“同增异减”4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

二、利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

三、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：（1） 确定函数的定义域；（2）将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

（3） 分别确定分解成的两个函数的单调性；（4）下结论：若两个函数在对应的区间上的单调性相同，则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异，则复合后的函数))((x g f y =为减函数。