高中数学人教A版选修11课时达标训练：(八) Word版含解析.doc
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课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，50)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．
7．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．
8．如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－23，4＋23 ] B．[4－3，4＋3 ]
C．[4－22，4＋22 ] D．[4－2，4＋2 ]
3．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝( )
A.2 B．2 C.3 D．3
4．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G：x24＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆x29＋y24＝1相交．
2. 解析：由x2m＋y23＝1，y＝x＋2，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
3. 解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4. 解析：由x2＋4y2＝16，y＝12x＋1，
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|
＝ 54[]（x1＋x2）2－4x1x2＝ 54（4＋24）＝35.
答案：35
5. 解：设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由y2a2＋x2b2＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝12b2a2＋9b2，由已知x1＋x22＝12，
即12b2a2＋9b2＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为y275＋x225＝1.
6. 解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：3
7. 解析：由x24＋y23＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8. 解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴9a2＋14＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为x212＋y24＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
9a2＋t2（3－t）2＝1，解得a2＝3（3－t）23－2t.
∵a2>b2>0，
∴3（3－t）23－2t>(3－t)2>0.
∴33－2t>1，即33－2t－1＝2t3－2t>0，
∴所求t的取值范围是0，32.
能力提升综合练
1. 解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以4m2＋n2 >2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则m29＋n24 所以点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1内部， 故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点． 2. 解析：选A 方程可化为x23＋y28＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝22，b＝3，所以 －3≤m≤3， 故4－23≤2m＋4≤23＋4. 3. 解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0. ∴x0＝43，y0＝13n. 将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1. 解得n2＝1， ∴||＝（2－1）2＋n2＝1＋1＝2. 4. 解析：直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2. 在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1. 答案：3－1 5. 解：(1)由已知得a＝2，b＝1， 所以c＝a2－b2＝3. 所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e＝ca＝32. (2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 由l与圆x2＋y2＝1相切得21＋k2＝1， 解得k＝±3. 将y＝±3x＋2代入x2＋4y2－4＝0， 得13x2±163x＋12＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝±16313，x1x2＝1213， |AB|＝2（x1－x2）2＝2（x1＋x2）2－4x1x2 ＝2163132－4×1213＝2413. 又O到AB的距离d＝1. ∴S△OAB＝12×|AB|×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1， 则右焦点F(a2－1，0)． 由题设|a2－1＋22|2＝3， 解得a2＝3， 故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1. (2)设P为弦MN的中点， 由y＝x＋m，x23＋y2＝1， 得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2 所以xP＝xM＋xN2＝－3m4，从而yP＝xP＋m＝m4， 所以kAP＝yP＋1xP＝m4＋1－3m4， 又|AM|＝|AN|， 所以AP⊥MN， 所以m4＋1－3m4＝－1，解得m＝2， 所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
