吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测(一)数学(理)试题(解析版)
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一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数22cossin33zi在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为.abi
2.已知集合{|(2)(3)0}Axxx，则AN（N为自然数集）为（ ）
A．(,2)(3,) B．(2,3) C．{0,1,2} D．{1,2}
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知|23Axx，则0,1,2AN，故选C.
考点：集合运算.
【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
3.ABC是边长为1的等比三角形，已知向量,ab满足2ABa，2ACab，则下列结论正确的是（ ）
A．||2b B．ab C．12ab D．1()4abBC
【答案】D
考点：平面向量数量积运算.
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）
A．164石 B．178石 C．189石 D．196石
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898石. 故选C.
考点：抽样中的用样本去估计总体.
5.命题：“00x，使002()1xxa”，这个命题的否定是（ ）
A．0x，使2()1xxa B．0x，使2()1xxa
C．0x，使2()1xxa D．0x，使2()1xxa 【答案】B
6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处条件可以是（ ）
A．32k B．16k C．32k D．16k
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，1,0ks，1,2sskk，3,4sk，7,8sk，15,16sk，31,32sk，符合条件输出，故选C.
考点：直到型循环结构程序框图运算.
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.已知递减等差数列{}na中，31a，146,,aaa成等比，若nS为数列{}na的前n项和，则7S的值为（ ）
A．-14 B．-9 C．-5 D．-1
【答案】A
考点：等差数列和等比数列的基本量的求取
8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．342 B．63 C．362 D．3122
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(122)322V，故选C.
考点：三视图
【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
9.已知原点到直线l的距离为1，圆22(2)(5)4xy与直线l相切，则满足条件的直线l有多少条？
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
考点：相离两圆的公切线
10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）
【答案】D
【解析】
试题分析：由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D.
考点：函数图像
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
11.双曲线2221yxb的左右焦点分别为12,FF，P为右支上一点，且1||8PF，120PFPF，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．22yx B．26yx C．5yx D．34yx
【答案】B 考点：双曲线的定义及渐近线
12.已知实数,ab满足ln(1)30bab，实数,cd满足250dc，则22()()acbd的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
试题分析：因为ln(1)+30bab，则=3ln(1)abb，即3ln(1)yxx因为250dc，则25cd，即25yx. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值.
因为132311xyxx，则2y，有0x，0y，即过原点的切线方程为2yx.
最短距离为225121d. 故选A.
考点：导数的几何意义
【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.261()2xx展开式中的常数项是 .
【答案】1516
【解析】
试题分析：常数项为422456115()()216TCxx.
考点：二项展开式系数
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
14.动点(,)Pxy满足20030xyyxy，则2zxy的最小值为 .
【答案】3
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15.已知三棱锥SABC，满足,,SASBSC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 .
【答案】433
【解析】
试题分析：由已知，可将三棱锥SABC放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则223r.
则到面ABC距离的最大值为22432)(23)333r（.
考点：三棱锥的外接球
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
16.如图，直角ABC中，1,2ABBC，90ABC，作ABC的内接正方形1BEFB，再做1BFC的内接正方形1112BEFB，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}na，其前n项和为 .
【答案】])94(1[54nnS
考点：归纳推理
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知23()cossin3cos2fxxxx.
（1）求()fx的单调增区间；
（2）在ABC中，A为锐角且3()2fA，3ABACADuuuruuuruuur，3AB，2AD，求sinBAD.
【答案】（1）5[,]1212kk，kZ.（2）3518
【解析】
试题分析：（1）由二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数：133()sin2(1cos2)222fxxxsin(2)3x，再根据正弦函数性质求函数单调区间（2）先根据
