2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)数学(理)试题(解析版)
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2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）
数学（理）试题
一、选择题
1．复数1z，2z在复平面内对应的点关于直线yx对称，且132zi，则12zz（ ）
A．1213i B．1312i C．13i D．13i
【答案】D．
【解析】试题分析：复数1z在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数223zi，
∴12(32)(23)13zziii，故选D．
【考点】复数的运算．
2．若实数a，bR且ab，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．22ab B．1ab C．22ab D．lg()0ab
【答案】C．
【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当ab时，22ab为正确选项，故选C．
【考点】不等式的性质．
3．设集合2{|30}Axxx，{|||2}Bxx，则ABI（ ）
A．|23xx
B．|20xx
C．|02xx
D．|23xx
【答案】C．
【解析】试题分析：由题意可知{|03}Axx，则{|22}Bxx，∴{|02}ABxxI，故选C．
【考点】集合的关系．
4．设等差数列{}na的前n项和为nS，10a且65911aa，当nS取最大值时，n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B．
【解析】试题分析：由题意，不妨设69at，511at，则公差2dt，其中0t，因此10at，11at，即当10n时，nS取得最大值，故选B．
【考点】等差数列的通项公式及其前n项和．
5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．323 B．2163 C．403 D．8163
【答案】C．
【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为14022422233，故选C．
【考点】空间几何体体积计算．
6．已知变量X服从正态分布(24)N，，下列概率与(0)PX相等的是（ ）
A．(2)PX
B．(4)PX
C．(04)PX
D．1(4)PX
【答案】B．
【解析】试题分析： 由变量X服从正态分布(2,4)N可知，2x为其密度曲线的对称轴，因此(0)(4)PXPX，故选B．
【考点】正态分布的性质．
7．函数sin(2)3yx与2cos(2)3yx的图象关于直线xa对称，则a可能是（ ）
A．24 B．12 C．8 D．1124
【答案】A．
【解析】试题分析：由题意，设两个函数关于xa对称，则函数sin(2)3yx关于xa的对称函数为sin(2(2))3yax，利用诱导公式将其化为余弦表达式为5cos[(2(2))]cos(24)236yaxxa，令25cos(2)cos(24)36yxxa，则24a，故选A．
【考点】三角函数的图象和性质．
8．已知AB为圆:O22(1)1xy的直径，点P为直线10xy上任意一点，则PAPBuuuruuur的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．22
【答案】A．
【解析】试题分析：由题意得，设(1cos,sin)A，(,1)Pxx，则(1cos,sin)B，
∴(1cos,sin1)PAxxuuur，(1cos,sin1)PBxxuuur，
∴(1cos)(1cos)(sin1)(sin1)PAPBxxxxuuuruuur
22222(1)cos(1)sin211xxx，当且仅当0x时，等号成立，故选A．
【考点】1．圆的标准方程；2．平面向量数量积及其运用．
9．已知函数()fx满足()(2)2fxfx，当(0,1]x时，2()fxx，当(1,0]x时，2()2(1)fxfx，若定义在(1,3)上的函数()()(1)gxfxtx有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ）
A．1(0,]2 B．1[,)2
C．(0,627) D．(0,627)
【答案】D．
【解析】试题分析：当(1,0]x时，1(0,1]x，∴222()2211(1)xfxxxfx，即()fx在(1,1]x上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xxfxxxx，又∵()(2)2fxfx，∴()fx的图象关于(1,1)点对称，可将函数()fx在(1,3)x上的大致图象如下图所示，令()0()(1)gxfxtx，而(1)ytx表示过定点(1,0)斜率为t的直线，由图可知为其临界位置，当[1,2)x时，2()(2)2fxx，联立2(1)(2)2ytxyx，并令0，可求得627t，因此直线的斜率t的取值范围是(0,627)，故选D．
Ox-112312
【考点】1函数与方程；2．数形结合的数学思想．
10．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）种．
A．18 B．27 C．37 D．212
【答案】C．
【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为37C，为35种；共计37种取法，故选C．
【考点】排列组合．
11．过双曲线22115yx的右支上一点P，分别向圆221:(4)4Cxy和圆2:C22(4)1xy作切线，切点分别为M，N，则22||||PMPN的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B．
【解析】试题分析：由题可知，222212||||(||4)(||1)PMPNPCPC，
因此2222121212||||||||3(||||)(||||)3PMPNPCPCPCPCPCPC
12122(||||)32||313PCPCCC，故选B．
【考点】圆锥曲线综合题．
二、填空题 12．已知实数x，y满足2040240xyxyxy，则2yx的最小值为___________．
【答案】1．
【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令2zyx，可化为2yxz，因此当直线过点(1,3)时，z取得最小值为1，故填：1．
【考点】线性规划．
13．已知向量(13)ar，，2(0,1)btr，则当[3,2]t时，||||batbrrr的取值范围是_________．
【答案】[1,13]．
【解析】试题分析：由题意，||bbrr为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||batbrrr表示||btbrr向量终点到ar终点的距离，当3t时，该距离取得最小值为1，当3t时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为13，即||||batbrrr的取值范围是[1,13]，故填：[1,13]．
【考点】平面向量的线性运算．
14．已知0a，6()axx展开式的常数项为15，则22(4)aaxxxdx___________．
【答案】22333．
【解析】试题分析：由6()axx的常数项为44615Ca，可得1a，因此原式为11112222221000(4)2(4)2(4)xxxdxxxdxxdxxdx
2121222(13)3312233，故填：22333． 【考点】1．二项式定理；2．定积分的计算．
15．已知数列{}na中，对任意的*nN，若满足123nnnnaaaas（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足12nnnaaat（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积，已知数列{}np为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212pppppp；数列{}nq为公积为1的3阶等积数列，且121qq，设nS为数列{}nnpq的前n项和，则2016S ___________．
【答案】2520．
【解析】试题分析：由题意可知，11p，22p，34p，48p，51p，62p，74p，88p，91p，102p，114p，128p，131p，……，又∵{}np是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，11q，21q，31q，41q，51q，61q，71q，81q，91q，101q，111q，121q，131q，……，又∵{}nq是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}nnpq，每12项的和循环一次，易求出11221212...15pqpqpq，因此2016S中有168组循环结构，故2016151682520S，故填：2520．
【考点】1．新定义问题；2．数列求和．
三、解答题
16．已知函数2()2sincos23cos3fxxxx．
（1）求函数()fx的最小正周期和单调减区间；
（2）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中7a，若锐角A满足()326Af，且133sinsin14BC，求ABC的面积．
【答案】（1）最小正周期：，单调递减区间：7[,]1212kk()kZ；（2）103．
【解析】试题分析：（1）对()fx的表达式进行三角恒等变形，再利用三角函数的性质即可求解；（2）首先求得A的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解．
试题解析：（1）2()2sincos23cos3sin23cos2fxxxxxx
