概率的一般加法公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。
2. 能在实际问题中应用概率的一般加法公式。
1．事件的交(或积)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．(1)用集合形式表示，如图．(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B ＝{出现的点数为4}．2．概率的一般加法公式设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，∴P (A ∪B )＝A ∪B 中包含基本事件数Ω中基本事件总数＝m 1＋m 2－m n ＝m 1n ＋m 2n －m n＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．(1)当A 、B 为互斥事件时，∵P (A ∩B )＝0， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)应用公式时，一定要把握好A 与B 的公共基本事件数．即A ∩B 的基本事件数．类型一 概率的加法公式例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[解析] 设事件A 为“甲跑第一棒”，事件B 为“乙跑第四棒”，则P (A )＝14，P (B )＝14.计算P (A ∩B )，记x 为甲跑的棒数，y 为乙跑的棒数，记为(x ，y )，则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P (A ∩B )＝112.所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝14＋14－112＝512.[答案] 512练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；(3)甲、乙两人随机地入住A 、B 、C 、D 四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A 的概率． [答案] (1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．设事件A 为“甲命中”，事件B 为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A ∪B ，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A 为“第一道工序出现次品”，事件B 为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A ∪B .所以，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.(3)设事件A 为“甲住A ”，事件B 为“乙住A ”，则P (A )＝14，P (B )＝14.事件A ∩B 为“甲、乙均住A ”，其概率P (A ∩B )＝116.所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝14＋14－116＝716.类型二 概率的一般加法公式在实际中的应用例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．(1)有电脑的； (2)有钢琴的；(3)既有电脑又有钢琴的； (4)有电脑或钢琴的．[解析] “有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和“有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．(1)由于楼上共50户，有电脑的43户，故所求事件的概率为4350＝0.86.(2)有钢琴的36户，故所求事件的概率为3650＝0.72.(3)既有钢琴又有电脑的共43＋36＋1－50＝30户，故所求事件的概率为3050＝0.6.(4)有电脑或钢琴的概率为：P ＝0.86＋0.72－0.6＝0.98.或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所求事件的概率P ＝1－150＝1－0.02＝0.98.练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，两人同时解决的概率是P 3，则这个问题解决的概率是( )A ．P 1＋P 2－P 3B ．P 1＋P 2－P 1P 2－P 3C ．P 1＋P 2＋P 3－P 1P 2D ．P 1P 2＋P 1＋P 2－P 3 [答案] A练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率． [答案] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示如下：共有36∴所求概率P ＝2036＝59.解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字5或6的对立事件是没有数字5和6，没有数字5和6的结果从表中可数出共16个，∴所求概率P ＝1－1636＝59.解法三：记事件A ＝“向上一面含数字5的”，B ＝“向上一面含数字6的”，∴P (A )＝1136，P (B )＝1136，P (A ·B )＝236，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ·B )＝1136＋1136－236＝59.1．随机投掷两枚硬币，事件A ＝“至少一次正面朝上”，事件B ＝“至少一次反面朝上”，则P (A ∪B )＝( )A ．32B ．12C ．1D ．0[答案] C2．已知事件A 、B ，则下列式子正确的是( )A ．P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) B ．P (A ∩B )＝P (A )－P (B )C ．P (A ∩B )<P (A ∪B )D ．P (A )＋P (B )≥P (A ∪B )[答案] D3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．[答案] 设A 表示抽中女职工的事件，则P (A )＝ 1 600＋1 400＋5004 000＋1 600＋3 000＋1 400＋800＋500＝35113；B 表示抽中第三分厂职工的事件， 则P (B )＝800＋50011 300＝13113；C 表示抽中第三分厂女职工的事件，则有C ＝A ∩B ， 其概率为P (C )＝P (A ∩B )＝50011 300＝5113.抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为P (A ∪B )，有 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝35＋13－5113≈0.381.4. 同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A ＝“红骰子点数大于3”，事件B ＝“蓝骰子点数大于3”，求事件A ∪B ＝“至少有一颗骰子点数大于3”的概率．[答案] 基本事件空间Ω＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N, 1≤x ≤6,1≤y ≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为36个(可用平面直角坐标系中的点表示)A 中元素有3×6＝18个，B 中元素个数有3×6＝18个，A ∩B ＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共9个基本事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝1836＋1836－936＝34._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是( ) A ．910B ．710C ．310D ．15[答案] B[解析] 记3名男生分别为A 1，A 2，A 3,2名女生分别为B 1，B 2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P ＝710.2．下列命题中是错误命题的个数为( ) ①对立事件一定是互斥事件；②A 、B 为两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；只有A 与B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴②错误；事件A 、B 、C 两两互斥，则有P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )，但A ∪B ∪C 不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A 、B 、C 、D 组成且事件D 与A ∪B ∪C 为对立事件，P (D )≠0时，③不对．3．某单位电话总机室内有两部外线电话：T 1和T 2，在同一时间内，T 1打入电话的概率是0.4，T 2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )A ．0.9B ．0.7C ．0.6D ．0.5[答案] B[解析] 至少有一部电话打入的概率是0.4＋0.5－0.2＝0.7.4．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为( )A ．0.1B ．0.65C ．0.70D ．0.75[答案] A[解析] 该射手射击一次不命中环靶的概率是1－0.35－0.30－0.25＝0.1.5．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A ．19B ．112C ．115D ．118[答案] B[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)，(6,4,2)，(5,4,3)，(5,3,1)，(4,3,2)，(3,2,1)，(1,3,5)，(1,2,3)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)，(5,5,5)，(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为18216＝112.6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是( ) A ．16B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12,13,21,23,31,32共6个．其中大于21的有23,31,32共3个，∴所求概率为36＝12.二、填空题7．从甲口袋中摸出一白球的概率为13，从乙口袋中摸出一白球的概率为12，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为16，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．[答案] 23[解析] “至少有一个白球”是事件A ＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B ＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝13＋12－16＝23.8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．[答案] 0.64[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.8，∴P (甲或乙)＝P (甲)＋P (乙)－P (甲且乙)＝1－0.04＝0.96，∴P (甲且乙)＝0.64. 三、解答题9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A 为：“产品长度合格”，B 为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．[解析] P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (A ∩B )＝85100.而A ∪B 为：“产品的长度、重量至少有一项合格”∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝93100＋90100－85100＝0.98.能力提升一、选择题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A ＝{出现的点数是1,2}，事件B ＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为( )A ．A ∪B B ．A ∩BC ．A ⊆BD ．A ＝B[答案] B[解析] A ∪B ＝{出现的点数是1,2,3,4}，A ∩B ＝{出现的点数是2}，故选B. 2．对于任意事件M 和N ，有( ) A ．P (M ∪N )＝P (M )＋P (N ) B ．P (M ∪N )>P (M )＋P (N ) C ．P (M ∪N )<P (M )＋P (N ) D ．P (M ∪N )≤P (M )＋P (N ) [答案] D[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M 和N 是互斥事件时，P (M ∪N )＝P (M )＋P (N )；当M 和N 不是互斥事件时，P (M ∪N )<P (M )＋P (N )．综上可得P (M ∪N )≤P (M )＋P (N )，故选D.二、填空题3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率． (1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________； (2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________； (3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为________； (4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为________． [答案] (1)12 (2)15 (3)110 (4)35[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法． (1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为12.(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是210＝15. (3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为110.(4)记事件A 为“取出偶数”，事件B 为“取出的数是5的倍数”，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为________．[答案] 0.96[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A ，“抽出的产品为乙级品”为事件B ，“抽出的产品为丙级品”为事件C ，则事件A 、B 、C 彼此互斥，且A 与B ∪C 是对立事件，所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.三、解答题5．从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率： (1)它是偶数； (2)它能被3整除；(3)它是偶数且能被3整除的数； (4)它是偶数或能被3整除．[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m ＝10. (1)设“是偶数”为事件A ，即A ＝{2,4,6,8,10}， ∴P (A )＝510＝12.(2)设“能被3整除”为事件B ，即B ＝{3,6,9}， ∴P (B )＝310.(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C ，即C ＝{6}， ∴P (C )＝110.(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D ，即D ＝A ∪B ，根据概率的加法公式得 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ) ＝P (A )＋P (B )－P (C ) ＝12＋310－110＝710.课程顾问签字： 教学主管签字：。
