重庆市2019年中考数学一轮复习(含答案)第四章三角形第5节解直角三角形及其实际应用练习_73

第二节 三角形及其性质课标呈现 指引方向1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．2．探索并证明三角形的内角和定理：掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．证明三角形的任意两边之和大于第三边． 考点梳理 夯实基础 1．三角形的概念由 不在同一直线上的 三条线段 首尾顺次 相连接所组成的图形是三角形 2．三角形的分类按边分类__________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩——————— ? 按角分类_________________________⎧⎪⎨⎪⎩ 3．三角形的性质 (1)角的关系三角形的内角和是 180° ：三角形的外角等于与它 不相邻 的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个 和它不相邻 的内角． (2)边的关系三角形的任意两边之和 大于 第三边：三角形的任意两边之差 小于 第三边． (3)三角形具有 稳定 性． 4．三角形中的重要线段 名称 定义性质角平分线一个内角的平分线和这个角的对边相交，连接这个 角顶点 和 交点 的线段 三条角平分线交于一点，叫其 内心 ： 内心 至0三边的距高相等． 中线连接一个顶点和它的对边的 中点 的线段．三条中线交于三角形内部一点，叫其 重心 ：每条中线平分三角形的 面积 ．高 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线， 顶点 和 垂足间 的线段． 三条高线所在的直线交于一点，叫其为 垂心 ． 中位线三角形 两边中点 的连线段．平行于 第三边 ．等于 第三边 .的一半．考点精析 专项突破考点一 三角形的三边关系【例1】（2019佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．解题点拨：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可，正确分类讨论得出是解题关键。

【答案】10解题点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8； 4,5,8；4,6,8；4,7,8；4,8,8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个． 考点二 三角形的内角和定理 【例2】（2019绵阳）如图，在△ABC 中，LB 、LC 的平分线BE ，CD 相交于点F ，LA= 60。

第四节尺规作图课标呈现——指引方向1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．4．在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，考点梳理——夯实基础1．格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在格中作图称为格作图2．尺规作图(1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．(3)尺规作图的步骤：①已知：写出已知的线段和角，画出图形：②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，⑤对所作图形下结论．(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．考点精析——专题突破【例1】（2019四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，请根据条件画出变换后的三角形．(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1；(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【答案】解题点拨：作图平移变换、轴对称、中心对称，图略【例2】（2019四川凉山州）如图，在边长为1的正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(4，3)、B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1 B1C．(1)画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；(2)求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】解题点拨：(1)根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；(2)利用勾股定理求出AC 酌长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．解：(1)所求作△A 1B 1C 如图所示：由A(4，3)、B(4，1)可建立如图所示坐标系，则点Ai 的坐标为（-1，4），点Bi 的坐标为(1，4)； (2)∵AC=22222313AB BC +=+=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为：S 扇形CAA 1+S△ABC 290(13)1323602π⋅=+⨯⨯ 1334π=+【例3】（2019育才）两个城镇A 、B 与两条公路ME ，MF 位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条公路ME ，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C ．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．到A、B距离相等则作线段AB的垂直平分线，到ME、MF距离相等则作∠FME的角平分线，它们的交点即为所求．解：答案如图：1．（2019浙江舟山）数掌活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是 ( )【答案】A2．（2019湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是 ( )A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形第2题【答案】B3．（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D;连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为．第3题【答案】104．已知：如图，∠α，∠β，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m．第4题【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．第4题答案图A组基础训练一、选择题1.（2019河北）如图，已知△ABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题【答案】B2．（2019重庆育才）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS第2题【答案】C3．（2019西大附中）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形第3题【答案】B4．（2019河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹，步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，与弧①交于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。

第四节等腰三角形课标呈现指引方向1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。

3．探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

考点梳理夯实基础1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两底角，简称为“等边对”【答案】相等等角（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线；【答案】三线合一（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．【答案】底边的垂直平分线2．等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对”．【答案】两角等边3．等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都，且都等于．【答案】相等 60°（2）等边三角形的每条边上都有；【答案】三线合一（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】34．等边三角形的判定（1）相等的三角形是等边三角形；【答案】三边（2）有两个角是的三角形是等边三角形；【答案】60°（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形．【答案】60°5．角平分线的性质和判定（1）性质：角平分线上的点到角两边的．【答案】距离相等（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的．【答案】角平分线上6．线段的垂直平分线的性质和判定定理（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离．【答案】相等（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．考点精析专项突破考点一等腰三角形的性质和判定【例1】（1）（2019泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为（ ）A ．44°B ．66°C ．88°D ．92° 【答案】D解题点拨：通过题中所给的条件AM ＝BK ，BN ＝AK ，以及由PA ＝PB ，可证∠A＝∠B 所以△AKM≌△BNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A 与∠MKN 相等，最后由三角形的内角和求出∠P 的度数．（2）（2019巴中）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 、AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为 ． 【答案】1解题点拨：由全等三角形的知识可证得△AFC 是等腰三角形，所以H 为FC 中点，再由已知条件可得DH 为△CBF 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH 的长．考点二 等边三角形的性质与判定【例2】如图，D 是等边△ABC 的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝DA ，连接DE 交AC 于F ，过D 点作DG⊥AC 于G 点． （1）证明：AG ＝21AD; （2）证明：GF ＝FC ＋AG ．解题点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵DG⊥AC，∴∠AGD ＝90°， ∵∠ADG＝30°，∴AG＝21AD ；（2）过点D 作DH∥BC 交AC 于点H ，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°， ∴△ADH 是等边三角形， ∴DH＝AD ， ∵AD＝CE ∴DH＝CE在△DHF 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DH EFC DFH E FDH ，∴△DHF≌△ECF（AAS ）， ∴HF＝FC ， 又∵AG＝GH∴GF＝GH ＋HF ＝AG ＋FC ．课堂训练 当堂检测1．（2019安顺）已知实数x 、y 满足|4|80x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对 【答案】B2．（2019武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）www-2-1-cnjy-A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】A3．（2019达州）如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形APBQ 的面积为 ．【答案】24＋9 34．（2019菏泽）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ． 21教育 （1）如图1，若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ① 求证：AD ＝BE ； ② 求∠AEB 的度数．（2）如图2，若∠ACB ＝∠DCE ＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋332BN ．解：（1）①证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ． ∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴AD ＝BE ．【版权所有：21教育】②解：由①得△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ．在△ABE 中，∠AEB ＝180°―∠EAB ―∠ABE ＝180°―∠EAB ―∠ABC －∠CBE ＝180°―∠EAB ―∠ABC －∠CAD ＝180°―∠CAB －∠ABC ＝180°－50°－50°＝80°．（2）证明：在等腰△DCE 中，∵CD ＝CE ，∠DCE ＝120°，CM ⊥DE ，∴∠DCM ＝21∠DCE ＝60°，DM ＝EM ． 在Rt △CDM 中，DM ＝CM ·tan ∠DCM ＝ CM ·tan60°＝3CM ，∴DE ＝23CM ．由（1）中②，得∠AEB ＝180°―∠CAB －∠ABC ＝180°―(180°－120°)＝120°，∴∠BEN ＝60°． 在Rt △BEN 中，sin ∠BEN ＝BEBN，∴BE ＝BN ÷sin60°＝332BN ．由（1）中①知AD ＝BE ，∴AD ＝332BN ． ∴AE ＝DE ＋AD ＝23CM ＋332BN ，即AE ＝23CM ＋332BN ． 中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2019荆门）)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C2．（2019黄石）如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，∠A ＝50°，则∠BDC ＝（ ）A ．50°B ．100°C ．120°D ．130°【答案】B ．D CBA第1题图CDA BABCDE图1ABCDMEN图23．（2019荆门）已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或11 【答案】D4．（2019扬州）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )A ．6B ．3C ．2.5D ．2(第8题)DA BC【答案】C 二、填空题 5．（2019资阳）如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．【答案】436．（2019乐山）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝ ． 【答案】15°7．（2019南通）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝102°，则∠ADC ＝ ． 【答案】52°三、解答题8．（2019贺州）如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．解：如图：AC 与BD 交于点H ． ∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°， ∴∠DCB ＝∠ACE ，在△DCB 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CB ACE DCB CA CD ，∴△DCB ≌△ACE ， ∴∠CAE ＝∠CDB ，∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ， ∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°﹣∠AOH ＝120°．9．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE ＝CF ．解：（1）连接DB 、DC ， ∵DG⊥BC 且平分BC ， ∴DB＝DC ．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF ．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90° 在Rt△DBE 和Rt △DCF 中⎩⎨⎧==DF DE DCDB ， Rt△DBE≌Rt△DCF（HL ）， ∴BE＝CF ．B 组 提高练习10．（2019内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）GEF D A BP C A ．32 B ． 332 C ． 32D ．不能确定 【答案】B ．．【提示】解：如图，过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接PA ，PB ，PC ， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°， BC ＝AC ＝AB ． ∴AG ＝AB ·sin60°＝3×32＝332∵S △ABC ＝12BC ·PD ＋12AC ·PE ＋12AB ·PF ＝12BC ·AG ∴PD ＋PE ＋PF ＝AG ＝332， 11．（2019江西）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．【答案】52或45或5． 解：如图所示：①当AP ＝AE ＝5时， ∵∠BAD ＝90°，∴△AEP 是等腰直角三角形， ∴底边PE ＝2AE ＝52；②当PE ＝AE ＝5时，∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣5＝3，∠B ＝90°，∴PB ＝422=-BE PE ，∴底边AP ＝54482222=+=+PB AB ；③当PA ＝PE 时，底边AE ＝5；综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或5；12．（2019沈阳）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝BC ＝5，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转，得到△ADE ，旋转角为()0180αα<<，点B 的对应点为D ，点C 的对应点为E ，连接BD ，BE ．（1）如图，当60α=时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．解：（1）①证明：∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE∴AB＝AD，∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形．②证明：由①得△ABD是等边三角形∴AB＝BD∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE∴AC＝AE，BC＝DE又∵AC＝BC∴EA＝ED∴点B，E在AD的中垂线上∴BE是AD的中垂线∵点F在BE的延长线上∴BF⊥AD，AF＝DF．③334-由②知BF⊥AD，AF＝DF．∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝4，∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×32＝33，∴BE＝BF－EF＝33－4;（2）13如图所示，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，又∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝12 CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝12AB＝3，则DE＝2CH ＝8，BE ＝5，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示，将两根钢条,AA BB ''的中点O 连在一起，使,AA BB ''可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ≅''的理由是：（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS2．已知反比例函数2y x=，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象经过点（﹣1，﹣2） B ．图象在第一、三象限C ．当x ＞1时，0＜y ＜2D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB ∥y 轴，CD 交x 轴于点M ，过原点的直线EF 分别交AD 、BC 边于点E 、F ，以EF 为一边作矩形EFGH ，并使EF 的对边GH 所在直线过点M ，若点A 的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH 的面积的大小变化情况是（ ）A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小4．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA ＝60°，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆AB 的中点P 也随之下落，则点P 下落的路线及路线长为（ ） A.线段，5 B.线段，C.以点O 为圆心，以AB 为半径的一段弧，弧长为D.以点O 为圆心，以OP 为半径的一段弧，弧长为5．如图，边长为正整数的正方形ABCD 被分成了四个小长方形且点E ，F ，G ，H 在同一直线上（点F 在线段EG 上），点E ，N ，H ，M 在正方形ABCD 的边上，长方形AEFM ，GNCH 的周长分别为6和10．则正方形ABCD 的边长的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．不能确定6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．7．如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( )A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：68．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠69．已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形( ).A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形10．如图，已知点A、B在反比例函数4yx=的图像上，AB经过原点O，过点A做x轴的垂线与反比例函数2yx=-的图像交于点C，连接BC，则△ABC的面积是（）A ．8B ．6C ．4D ．311．下面由7个完全相同的小正方体组成的几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．12．已知边长为4的等边△ABC ，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，P 为线段DE 上一动点，则PF+PC 的最小值为（ ）A ．4B ．32C ．23D ．23+二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE ＝DF ，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②∠BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD ；④若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；23BCDG S CG =四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．14．已知 5 个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的余弦值等于_____．16．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为______．17．如果二次函数22m y mx -=（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为______．18．若2236x ax ++是完全平方式，则a =_________.三、解答题19．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）20．如图．在平行四边形ABCD 中，过点B 作BM ⊥AC 于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN ⊥AC 于点F ，交AB 于点N ．（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；（2）已知AF ＝5，EM ＝3，求AN 的长．21．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．22．根据某网站调查，2016年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若成都市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．23．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：T恤每件的售价/元每件的成本/元甲0.1100m-+50乙()0.21200200m m-+<<60()600050200400mm+≤≤（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；（2）若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣8x的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标及k、b的值．（2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当8kx bx+>-时，x的取值范围．25．计算：11 201942-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C B B C D A B B A 二、填空题13．①③④．14．或 1015．1 216．4 17．-2 18．6±三、解答题19．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．20．（1）详见解析；（2）34【解析】【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝3，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝22即可解AF FN决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝3，在Rt△AFN中，AN＝22225334AF FN+=+=．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（1）80（2）400（3）2 3【解析】【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出样本中“了解”程度的人数，然后用1600乘以基本中“了解”程度的人数的百分比可估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）32÷40%＝80（名），所以在这次活动中抽查了80名中学生；（2）“了解”的人数为80﹣32﹣18﹣10＝20，1600×2080＝400，所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为400人；（3）由题意列树状图：由树状图可知，在 4 名同学中随机抽取 2 名同学的所有等可能的结果有12 种，恰好抽到一男一女（记为事件A）的结果有8种，所以P（A）＝82 123=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22．（1）详见解析；（2）88；（3）16．【解析】【分析】（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可得到最关注环保问题的人数；（3）利用列举法画树状图，即可求得抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【详解】（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．如图所示：；（2）最关注环保问题的人数为：880×10%＝88万人；（3）画树形图得：则P（抽取的两人恰好是甲和乙）＝21= 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）10750；（2）220.3904000(0200)0.12010000(200400)x x xyx x x⎧-++<<=⎨-++≤≤⎩；（3）最大利润为10750元.【解析】【分析】（1）根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T 恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200≤m≤400时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式；（3）求出（2）中各函数最大值，进行比较即可得到结论.【详解】（1）∵甲种T 恤进货250件∴乙种T 恤进货量为：400-250=150件故由题意得，()()7550250906015010750-⨯+-⨯=；（2）①()()()20200,0.2120600.1400100504000.390+4000x y x x x x x x <<=-+-+⎡--+-⎤-=-+⎣⎦②()()26000200400,0.14001005040050600.12010000x y x x x x x x ⎛⎫≤≤=⎡--+-⎤-++-=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭； 故220.3904000(0200)0.12010000(200400)x x x y x x x ⎧-++<<=⎨-++≤≤⎩. （3）由题意，100300x ≤≤，①100200x ≤<，()20.315010750y x =--+，max 150,10750x y ∴==②()2200400,0.110011000,10000x y x y ≤≤=--+∴≤，综上，最大利润为10750元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键．24．（1）C （﹣2，4）；k 1b 2=-⎧⎨=⎩；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4． 【解析】【分析】（1）由A （2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C 的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k 、b 的值；（2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围．【详解】（1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，∵CD ∥OB ， ∴AO AB OD BC = ， 又∵B 是AC 的中点．∴AB ＝BC ，∴OA ＝OD∵A （2，0），∴OA ＝OD ＝2，当x ＝﹣2时，y ＝﹣82- ＝4， ∴C （﹣2，4） 把A （2，0），C （﹣2，4）代入y ＝kx+b 得：2024k b k b +=⎧⎨-+=⎩ 解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴一次函数的关系式为：y ＝﹣x+2；因此：C （﹣2，4），k ＝﹣1，b ＝2．（2）由题意得： 28-y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：121224,42x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； ∵一个交点C （﹣2.4）∴另一个交点E （4，﹣2）； 当8-kx b x+＞ 时，即：y 一次函数＞y 反比例函数，由图象可以直观看出自变量x 的取值范围：x ＜﹣2或0＜x ＜4．因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4．【点睛】反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键．25．1【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣2+2＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为t （小时），航行的路程为S （千米），则S 与t 的函数图象大致是（ ）A. B.C. D.2．已知x 是3的小数部分，且x 满足方程240x x c -+=，则c 的值为（ ）A ．638-B ．863-C ．433-D ．343-3．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π-B ．33π+C ．3338π-D ．259π 4．如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ ）A.a ＝32bB.a ＝2bC.a ＝52bD.a ＝3b5．点A ，点B 的位置如图所示，抛物线y ＝ax 2﹣2ax 经过A ，B ，则下列说法不正确的是（ ）A.点B在抛物线对称轴的左侧;B.抛物线的对称轴是x＝1C.抛物线的开口向上 ;D.抛物线的顶点在第四象限.6．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD，则PD的长为（）A．7B．312C．5D．227．已知a,b,c∈R,且c≠0,则下列命题正确的是( )A．如果a>b,那么a bc c>B．如果ac<bc，那么a<bC．如果a>b,那么11a b>D．如果ac2<bc2，那么a<b8．38-的相反数是（）A.2B.4C.-2D.-49．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直线l1，l2，l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，3），C（4，1），如果将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，那么点A的对应点A'的坐标是（）A ．（3，3）B ．（3，4）C ．（4，3）D ．（4，4）11．下列计算正确的是（ ）A ．2242a a a ⋅=B ．236()a a -=-C ．222363a a a -=D ．22(2)4a a -=-12．在平面直角坐标系内，若点P （3﹣m ，m ﹣1）在第二象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞1B ．m ＞3C ．m ＜1D ．1＜m ＜3二、填空题13．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝8，BD 为边AC 上的中线，点E 在边BC 上，且BE ：BC ＝3：8，点P 在Rt △ABC 的边上运动，当PD ：AB ＝1：2时，EP 的长为_____．14．如图，直线y ＝﹣34x+6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是以C （﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最大值为_____．15．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，，，，点是对角线上的一个动点，，当周长最小时，点的坐标为_____．16．计算：|1﹣2|=_____．17．若直线232y x b =-++经过第一、二、四象限，则b 的取值范围是_____．18．计算：(－1)0=________.三、解答题19．如图，直线y ＝﹣x+c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ．（1）求点A 的坐标和抛物线的解析式；（2）当点P 在抛物线上（不与点A 重合），且△PBC 的面积和△ABC 的面积相等时，求出点P 的横坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．(1)设点A的坐标为(4，4)则点C的坐标为；(2)若点D的坐标为(4，n)．①求反比例函数y＝kx的表达式；②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；(3)在(2)的条件下，设点E是线段CD上的动点(不与点C，D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．21．先化简2344111x xxx x-+⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭，再求值，其中x＝2﹣2．22．某学校为了解本校学生平均每天的体育活动时间情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果人数分为A，B，C，D四个等级设活动时间为t（小时），A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）求出表示A等级的扇形圆心角的度数；（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天大课间活动时间不足1小时，乙班有3人平均每天大课间活动时间不足1小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．23．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：GD为⊙O切线；（2）求证：DE2=EF·AC；（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．24．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组2(3)41132mm m+⎧⎪-⎨>-⎪⎩…，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．25．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于23，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD 的长．【参考答案】***。

第三节全等三角形课标呈现指引方向1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，考点梳理夯实基础1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．注：能够完全重合即形状、大小完全相同．2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．3．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．(2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．4．一般三角形全等的判定：(1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：(3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：(4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．5．直角三角形全等的判定：(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．6．寻找对应边、对应角的方法：(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；(4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．7．证明三角形全等的思路：(1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．(2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．(3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．考点精析专项突破考点一三角形全等判定方法的选择【例l】（2019云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )2A．AC = BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD觯题点拨：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】（2019泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是 ( D )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解题点拨：根据已知条件“AB=AC．D 为BC 中点”，得出△ABD ≌△ACD ，然后再由AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，推出△AOE ≌△EOC ，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．考点二 全等三角形的性质与判定综合【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B= ∠AFE ，EA 是∠BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD= ∠CDE ．解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角 形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD ≌△DCE ． 证明：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线， ∴∠1=∠2．在△ABE 和△AFE 中，,12,,B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△AFE(AAS). (2)∵△ABE ≌△AFE ， ∴AB=AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AB=CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴AF=CD ，∠ADF= ∠DEC ，∠B+∠C=180°， ∴∠B= ∠AFE ，∠AFE+∠AFD=180°， ∴AFD= ∠C ，在△AFD 和△DCE 中，,,,ADF FEC C AFD AF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD≌△DCE(AAS) ， ∴∠FAD= ∠CDE.课堂训练 当堂检测1．如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是 ( C) A ．CB= CDB ．∠BAC= ∠DAC C ．∠BCA=∠DCAD ．∠B=∠D= 90°2．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△4BE 竺△CDF ．则添加的条件不能是( A )A ．AE=CFB ．BE= FDC ．BF= DED ．∠1= ∠23．（2019成都）如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A= 36°， ∠C'＝24°，则∠B= ＿＿120°＿＿．4．已知，如图．AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE=DF ．证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，,,,AC AB CD BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩△ACD ≌△ABD(SSS)，∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ， ∵DE ⊥AE ．DF ⊥AF ． ∴DE=DF ．中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．如图，△ABC 和△DEF 中，AB= DE ，/B= LDEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF ( C )A ．AC ∥DFB ．∠A =∠DC ．AC=DFD ．∠ACB= ∠F2．（2019陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M'、N'，则图中的全等三角形共有 ( C )A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于 ( C )A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为 ( D )A．10°B．20°C．7.5°D．15°二、填空题5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出一个即可）．6．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC= 70°，则∠ADC的度数为＿＿130°＿＿．7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ．若EF= 5cm ．则AB=＿＿29＿＿cm ．三、解答题8．（2019重庆）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC ＝BD ，AC ＝FD ．求证：AE ＝FB ．证明：CE ∥DF ， ∴∠ACE= ∠D ，在△ACE 和△FDB 中，,,,AC FD ACE D EC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌△FDB ， ∴AE ＝FB ．9．如图，∠ABC= 90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD= DE ．点F 是AE 的中点．FD 与AB 相交于点M ．(1)求证：∠FMC= ∠FCM;(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．解：(1)证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF =AF= EF ，又∵∠ABC=90， ∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余，∴∠DCF=∠AMF ．在△DFC 和△AFM 中．,,,DCF AMF MFA CFD DF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCF ≌△AMF(AAS)，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD ⊥MC ，理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF ，FM = FC ，∴∠FDE =∠FMC=45°， ∴DE//CM ，∴AD ⊥MC ．B 组提高练习10．（2019丹东）如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE= 45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE= ∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC·AD=2AE 2；④4ABC ADF S S ∆∆=其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（提示：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F 是AB 的中点，∴FD=12AB ，∵∠ABE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE ，∵点F 是AB 的中点，∴FE ＝12AB ，∴FD ＝FE ，①正确；∵∠CBE=∠BAD ，∠CBE+ ∠C= 90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC= ∠C ，∴AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BC= 2CD ，∠BAD=∠CAD= ∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中，,,,AEH CEB AE BE EAH CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEH ≌△BEC(ASA)，∴AH=BC=2CD ，②正确；∵∠BAD= ∠CBE ， ∠ADB=∠CEB ，．．，△ABD ∽△BCE ，BC BE AB AD=，即BC·AD=AB·BE，2AE 2＝AB·AE＝AB·BE，∴BC·AD ＝2AE 2；③正确；∵F 是AB 的中点，BD= CD ，∴24ABC ABD ADF S S S ∆∆∆==．④正确；故选：D ．） 11．（2019丹东）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA =3，OB=4，连接AB ．点P 在平面内，若以点P\A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为＿＿(3，4)，(9625，7225)，(2125-，2825)＿＿．(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P 1(3，4)； ②连结OP 2，设AB 的解析式为y=kx+b ，则30,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故AB 解析式为y=43-x ＋4，则OP 2的解析式为y ＝43x ，联立方程组得44,33,4y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得48,253625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则P 2(9625，7225)；③连结P 2P 3，则四边形AP 2BP 3为平行四边形，则E 为线段AB 和P 2P 3的中点，设P 3(x ，y)，则96032522x ++=，72042522x ++=， ∴x ＝2125-，y ＝2825，∴P 3(2125-，2825)，故点P 的坐标为(3，4)或(9625，7225)或(2125-，2825)．12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． （1）若BC ＝22，求△BDE 的周长； （2）求证：NE －ME ＝CM ．解：（1）∵∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，∴在Rt △BCD 中，∠DBC ＝∠DCB ＝45°， ∵BC ＝22， ∴BD ＝CD ＝22×22＝2， ∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ＝21CD ＝21×2＝1， ∴BE ＝5122222=+=+DE BD ，∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝2＋1＋5＝3＋5；（1） 证明：∵CD ⊥AB ，BM ⊥AC ，∴∠ABN ＋∠A ＝90°，∠ACD ＋∠A ＝90°， ∴∠ABN ＝∠ACD ， ∵CD ⊥AB ，ND ⊥MD ，∴∠BDN ＋∠CDN ＝∠CDM ＋∠CDN ＝90°， ∴∠BDN ＝∠CDM ， 在△BDN 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDM BDN CD BD ACD ABN ， ∴△BDN ≌△CDM （ASA ）， ∴DN ＝DM ，∴△DMN 是等腰直角三角形，过点D 作DF ⊥BE 于F ，则DF ＝NF ， ∵BM ⊥AC 于点M ，∴∠DFE ＝∠CME ＝90°， 在△DEF 和△CEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DE CEM DEF CME DFE ， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ）， ∴DF ＝CM ，EF ＝ME ，∴NE －ME ＝NE －EF ＝NF ＝DF ＝CM ， 即NE －ME ＝CM ．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 2．如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( )A.B.C. D.3．下列图形中，的是( )A. B.C. D.4．下列计算正确（ ）A ．222a b a b +=+（） B ．235a a a ⋅=C ．822a a a ÷=D ．325a a a +=5．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )A ．20°B ．25°C ．35°D ．40°6．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（ ）A.3B.3C.6D.337．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC的中点，连接BD，按以下步骤作图：①分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点E，交BC于点F，则BF=（）A．56B．1 C．136D．528．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2009．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）A．（33322-，）B．（33322--，）C．（32，-332）D．（3，-33）10．下列运算正确的是（）A．ab•ab＝2ab B．（3a）3＝9a3C ．4a ﹣3a ＝3（a≥0）D ．a ab b=（a≥0，b≥0） 11．如果a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式(a ﹣4a )•22a a -的值是( )A.1B.12C.2D.212．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，折叠△ABC 使得点C 落在AB 边上的E 处，连接DE 、CE ，下列结论：①△DEB 是等腰直角三角形；②AB ＝AC+CD ；③BE BDAC AB= ；④S △CDE ＝S △BDE ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．14．如图所示，四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点E ，且BD BC =，30ACD ∠=︒，若19AB =，7AC =，则CE 的长为_____．15．如图，直线l 为y=3x ，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x 轴于点A 3；……，按此作法进行下去，则点A n 的坐标为（_______）．16．计算：30＝_____；＝_____．17．截止到2018年5月31日，上海世博园共接待游客约8000000人，将数8000000用科学记数法表示为________. 18．函数15x y x -=+中，自变量x 的取值范围是________. 三、解答题19．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a ＝﹣6，b ＝1320．大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．21．如图，为了测量建筑物AD 的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B 出发，沿坡度i ＝1：3的斜坡BC 前进6米到达点C ，在点C 处放置测角仪，测得建筑物顶部D 的仰角为40°，测角仪CE 的高为1.3米，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD 的高度．（结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）22．（1）计算：()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭（2）解方程：4501x x -=- 23．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：环境空气质量指数（ ）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…根据上述信息，解答下列问题：（1）请补全空气质量天数条形统计图：（2）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（3）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？24．在2018年梧州市体育中考中，每名学生需考3个项目（包括2个必考项目与1个选考项目）每个项目20分，总分60分．其中必考项目为：跳绳和实心球；选考项目：A篮球、B足球、C排球、D立定跳远、E50米跑，F女生800米跑或男生1000米跑．某兴趣小组随机对同学们的选考项目做了调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的条形统计图与扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为；（2）在本次调查的必考项目的众数是；（填A、B、C、D、E、F选项）（3）选考项目包括球类与非球类，请用树状图或列表法求甲、乙两名同学都选球类的概率．25．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．（1）求抛物线C2的函数表达式；（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C A C D A D A C 二、填空题13．a（x+a）214．16 515．2n﹣1，016．17．18．5x>-三、解答题19．-8【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，当a＝﹣6，b＝13时，原式＝﹣8．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．紫云楼的高AB为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴AN NH PF PH =，即 1.560.50.6x x -+=， ∴x ＝39，∴紫云楼的高AB 为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 21．建筑物AD 的高度约为17.1米． 【解析】 【分析】延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，根据坡比的定义求出,BF CF ,根据正切的定义求出DM ,计算即可. 【详解】解：延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，如下图所示：则四边形MAFE 为矩形， ∴MA ＝EF ，ME ＝AF ，∵斜坡BC 的坡度13i ＝：，BC ＝6， ∴CF ＝3，33 5.19BF ≈＝， ∴15.19 4.3ME AF EF ＝＝，＝，在Rt DEM △中，DMtan DEM ME∠＝， ∴•15.190.8412.76DM ME tan DEM ∠≈⨯＝＝ ，∴ 4.312.7617.0617.1AD DM AM ++≈＝＝＝， 答：建筑物AD 的高度约为17.1米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题关键.22．（1）31+；（2）5x =. 【解析】 【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可； （2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根. 【详解】（1）()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭=321+22⨯-， =31+； （2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0 去括号得，4x-5x+5=0 移项得，4x-5x=-5， 合并，得：-x=-5， 系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解. 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验. 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）219天． 【解析】 【分析】（1）由题意，可得轻度污染的天数，即可补全条形统计图.（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°. （3）由18÷30得出每天适合做户外运动的概率，再由得出的概率乘以365即可得到答案. 【详解】解：（1）由题意，得轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°（3）该市居民一年（以365天计）适合做户外运动天数为：18÷30×365=219天．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂条形统计图和扇形统计图中包含的信息.24．（1）50，108°；（2）C；（3）1 4【解析】【分析】（1）用足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用360°乘以C所占的百分比得到C的扇形圆心角度数；（2）根据众数的定义求解可得；（3）画树状图展示所有36种等可能的结果数，找出都选球类的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）5÷10%＝50名，答：在这次调查中，一共调查了50名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为360×1550＝108°，（2）在本次调查的必考项目的众数是C；（3）画树状图如图所示，共有36种等可能的结果，甲、乙两名同学都选球类的有9种情况，∴则P（甲、乙两名同学都选球类）＝936＝14．【点睛】本题主要考查数据统计里的知识，关键在于根据树状图计算概率.这道题的综合性比较强，是考试的热点问题,应当熟练掌握.25．（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）【解析】【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．【详解】解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，﹣1+b+3＝0，解得b＝﹣2∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），OB＝3，∵A（﹣1，4），∴AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，∴P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，∴PA＝PB＝4，∴P4（﹣1，0）综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．三角形 B ．菱形 C ．角 D ．平行四边形 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．B ．C ．D．3．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a （a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（ ）A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B ．图案向右平移了a 个单位长度C ．图案向左平移了a 个单位长度，并且向下平移了a 个单位长度D ．图案向右平移了a 个单位长度，并且向上平移了a 个单位长度 4．如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D.5．若代数式42x -的值与0(1)-互为相反数，则x =（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．46．若整数a 使关于x 的不等式组()222233a xx x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程15444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．97．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，将△ABC 折叠，使B 点与AC 的中点D 重合，折痕为EF ，则线段BF 的长是（ ）A．53B．2 C．166D．73168．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．29．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．计算a2•（a2）3的结果是（）A.a7B.a10C.a8D.a1211．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）A.300米B.250米C.400米D.100米12．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1D ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞n二、填空题13．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________14．在实数范围内分解因式4m 4﹣16=_____．15．如图是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中由____个基础图形组成．16．某学校准备购买某种树苗，有A ，B ，C 三家公司出售．查阅有关信息：A ，B ，C 三家公司生产该树苗的成活频率分别稳定在0.902，0.913，0.899，该学校选择成活概率大的树苗，应该选择购买_____公司．17．如图，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，AC ＝3，AB ＝5，AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于D ，E ，则BD 的长为_____．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+12PC 的最小值等于_____．三、解答题19．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x ＞0时，比较kx+b 与m x的大小．20．化简：（1）a （a ﹣b ）﹣（a+b ）（a+2b ）；（2）2233222a a a a a a -⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求线段PB 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.23．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x 、y 轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为k y x=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。

第十节 锐角三角函数和解直角三角形课标呈现 指引方向1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数( sin A ，cos A ，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题， 考点梳理 夯实基础1．锐角三角函数的概念在Rt △ABC 中，∠C= 90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则 (1)∠A 的正弦：A sinA ∠=的对边斜边=_____； 答案；ac(1)∠A 的余弦：cos A A ∠=的邻边斜边=_____； 答案；bc(3) ∠A 的正切：tan A A A ∠=∠的对边的邻边=_____； 答案；ab三边关系：___________．答案；222a b c +=三角关系：______________。

答案；90?A B C ∠+∠=∠=2．特殊的三角函数30°，45°，60°角的三角函数值3．解直角三角形的应用(1)在进行测量时，从下往上看，视线与水平方向的夹角叫做仰角：从上往下看，视线与水平方向的夹角叫俯角，(2)坡度和坡角坡面的铅直高度矗和水平宽度f 的比值叫做坡度或坡比i ，记作hi l=，坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，tan α=h i l=． (3)方位角方位：上北下南，左东右西，描述：“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度．考点一锐角三角函数的概念【例l 】（2019广东）如图，在平面直角坐标系中，点4坐标为(4，3)，那么cosa 的值是（）A.34 B. 43 C. 35 D. 45答案：D解题点拨：本题考查了三角函数的定义，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．考点三特殊角的三角函数【例2】（2019庆阳）在△ABC 中，若角A ，B 满足()23cos 1tan 02A B -+-=，则∠C 的大小是（） A.45° B.60° C.75° D.105° 答案：D解题点拨：本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．《多考点三盱解直角三角形及其应用【例3】（2019重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度酌综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36。

第 2 节矩形、菱形、正方形( 必考， 1～3 道， 4～20 分)玩转重庆 10 年中考真题 (2008 ～2018 年)命题点 1矩形的性质及有关计算(10年5考)1.(2014 重庆B卷 8 题 4 分) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 订交于点 O，∠ ACB＝30°，则∠ AOB的大小为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°第1 题图2.(2015 重庆B卷 18 题 4 分) 如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB ＝2，BC＝2 3，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连结CE，CF，当∠ BCE＝∠ ACF，且 CE＝CF时， AE＋AF＝________．第2 题图3.(2013 重庆A卷 24 题 10 分) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边 AB、CD上的点， AE＝CF，连结 EF、BF，EF与对角线 AC交于点O，且 BE＝BF，∠ BEF＝2∠BAC.(1)求证： OE＝OF；(2)若 BC＝2 3，求 AB的长．第 3 题图命题点 2菱形的性质及有关计算(10年6考，与反比率函数联合考查3 次)4. (2014重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠ A＝60°，BD ＝7，则菱形ABCD的周长为 ________．第4 题图5.(2012 重庆 24 题 10 分) 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC 的中点，DF与对角线 AC交于点 M，过 M作 ME⊥CD于点 E，∠1＝∠2.(1)若 CE＝1，求 BC的长；(2)求证： AM＝DF＋ME.第 5 题图命题点 3正方形的性质及有关计算(10 年 11 考，近 2 年均以正方形为背景波及折叠变换 )6.(2010 重庆 10 题 4 分) 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连结 AE，BE，DE.过点 A作 AE的垂线交 ED于点 P.第6 题图若AE＝AP＝1，PB＝ 5.以下结论：①△ APD≌△ AEB；②点 B 到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正方形ABCD＝4＋6.此中正确结论的序号是()A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤7.(2014 重庆A卷 18 题 4 分) 如图，正方形ABCD的边长为 6，点O是对角线 AC、BD的交点，点 E 在 CD上，且 DE＝2CE，连结 BE.过点C作 CF⊥BE，垂足是 F，连结 OF，则 OF的长为__________．第7 题图8.(2014 重庆B卷 18 题 4 分) 如图，在边长为 6 2的正方形ABCD中，E是 AB边上一点， G是 AD延伸线上一点， BE＝DG，连结 EG，CF⊥EG 交 EG于点 H，交 AD于点 F，连结 CE，BH.若 BH＝8，则 FG＝________．第 8 题图答案1. B 【分析】∵四边形 ABCD是矩形， AC与 BD订交于点 O，∴ OB ＝OC，∵∠ ACB＝30°，∴∠ DBC＝30°，∴∠ AOB＝∠ ACB＋∠ DBC＝60°.43FG⊥AC 于点 G，∴∠ FGC＝∠B.∵EC2.【分析】如解图，作3＝FC，∠ BCE＝∠ ACF，∴△ BCE≌△ GCF(AAS)，∴ CG＝ BC＝2 3，BEBC＝GF.在 Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2 3，∴tan ∠BAC＝BA＝3，∴∠BAC＝60°，∠ GAF＝30°， AC＝2AB＝4，∴ AG＝4－23. 在Rt△AFG中， tan 30°＝GF4－2 32（4－2 3），∴ GF＝＝BE，∴ AF＝2GF＝，AG334－2 32（4－23）4－2 3 4 4 3 AE＝2－3，∴AF＋AE＝3＋2－3＝3＝3 .第2 题解图3.(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，(1分)∴∠ OAE＝∠ OCF，∠ OEA＝∠ OFC.(2分)∵A E＝CF，∴△ AEO≌△ CFO(ASA)，(3分)∴O E＝OF；(4分)第 3 题解图(2)解：如解图，连结 BO.∵O E＝OF，BE＝BF，∴B O⊥EF，且∠ EBO＝∠ FBO，∴∠ BOF＝90°.∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ BCF＝90°.又∵∠ BEF＝2∠ BAC，∠ BEF＝∠ BAC＋∠ EOA，∴∠ BAC＝∠ EOA，∴A E＝OE.∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF.又∵ BF＝BF，∴R t△BOF≌Rt△BCF(HL)，(6分)∴∠ OBF＝∠ CBF，(7分)∴∠ CBF＝∠ FBO＝∠ OBE.∵∠ ABC＝90°，1∴∠ OBE＝3∠ ABC＝30°，(8分)∴∠ BEO＝60°，∴∠ BAC＝30°.(9分)BC∵tan ∠BAC＝，AB2 3 3 2 3∴tan 30°＝AB，即3＝AB，∴A B＝6.(10分)4.28 【分析】∵菱形的四条边都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ ABD是等边三角形，∴ AB＝BD＝7，则菱形 ABCD的周长为4×7＝28.5.(1) 解：∵四边形ABCD是菱形，∴A B∥CD，∴∠ ACD＝∠1，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ ACD＝∠2，∴ MC＝MD，∵ME⊥CD，∴C D＝2CE＝2，(4分)∴B C＝CD＝2；(5分)(2)证明：∵ F 为边 BC的中点，1∴B F＝CF＝2BC，∴ CF＝CE，在菱形 ABCD中， AC均分∠ BCD，∴∠ ACB＝∠ ACD，(6分)CE＝CF在△ CEM和△ CFM中，∠ACB＝∠ ACD，CM＝CM∴△ CEM≌△ CFM(SAS)，∴M E＝MF，(7分)如解图，延伸 AB交 DF的延伸线于点 G，∵A B∥CD，∴∠ G＝∠2，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠G，∴AM＝MG，(8分)∠G＝∠2在△ CDF和△ BGF中，∠BFG＝∠ CFD，BF＝CF∴△ CDF≌△ BGF(AAS)，∴G F＝DF，(9分)∴A M＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.(10分)第 5 题解图6. D【分析】序号逐一剖析正误在正方形 ABCD中，AD＝AB，又∠DAB＝∠ PAE＝90°，∴①√∠DAP＝∠ BAE，又∵ AE＝AP，∴△ APD≌△ AEB(SAS)如解图，作 BF⊥AE的延伸线于点 F，易知∠ BEF＝45°，222∴△ BEF是等腰三角形，由勾股定理可求得 EP＝1＋1＝2，在Rt△BEP中( 原因见③中 ) BE⊥ED，BE＝2－2＝36（ 5）3，∴EF＝BF＝＝，∴点 B 到直22②6×线 AE的距离为2第 6 题解图∵△ APD≌△ AEB，∴∠ APD＝∠ AEB，∵ AE＝AP，∠ PAE＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝③√135°，∴∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－ 45°＝ 90°，∴EB⊥ED1 1S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S 四边形AEBP＝S△AEP＋S△BPE＝2＋2×④×1116EP×BE＝2＋2×2×3＝2＋2222＋6262⑤由②知，在 Rt△AFB中，AB＝AF＋BF＝(12 ) ＋( 2 )√＝4＋6＝S正方形ABCD7. 6 5【分析】如解图，过点作⊥ ，交于点，∵与5O OG OF BF G ACBD是正方形 ABCD的对角线，∴∠ BOC＝90°，则∠ BOG＝∠ COF，又∵OB＝OC，∠ BGO＝90°＋∠ OFG，∠ OFC＝90°＋∠ OFG，∴∠ BGO＝∠OFC，∴△ OBG≌△ OCF(AAS)，∴ OG＝OF， BG＝CF，∵ CD＝6， DE＝222CE，∴CE＝2，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝BC＋CE＝210，∵∠ ECB＝∠ CFE＝90°，∠OBG＝∠ OCF，∠OBC＝∠ DCO＝45°，∴∠CE EF2EF＝EBC＝∠ FCE，∴△ CEF∽△ BEC，则＝，即 CE＝EF·BE，则BE CE10910225，∴BF＝5，在 Rt△FEC中，利用勾股定理可得， CF＝CE－EF 2102310910310610＝ 2 －（5）＝5，故 GF＝BF－BG＝5－5＝5，610265在等腰 Rt△OGF中， OF＝GF·sin 45°＝ 5 ×2＝5.第 7 题解图8. 5 2【分析】如解图，连结CG，在△CGD与△CEB 中，BE＝DG∠EBC＝∠ GDC＝90°，BC＝DC∴△ CGD≌△ CEB(SAS)，∴ CG＝CE，∠ GCD＝∠ ECB，∴∠ GCE＝90°，即△ GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴ CH＝EH＝GH.过点 H 作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠ MHN＝90°，又∵∠ EHC＝90°，∴ ∠ 1 ＝∠2，∴ ∠HEM＝∠HCN.在△HEM与△HCN中，∠1＝∠2EH＝CH，∴△≌△，∴＝，∴四边形MBNHHEM HCN(ASA)HM HN∠HEM＝∠ HCN为正方形．∵ BH＝8，∴BN＝HN＝42，∴CN＝BC－BN＝6 2－4 2＝2 2 . 在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝22 CN＋HN ＝（2 2）2＋（ 42）2＝210，∴GH＝CH＝ 210. ∵HM∥AG，∴∠ 1＝∠ 3，∴∠ 2＝∠ 3. 又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH，CH HN 2 10＝42∴ ＝，即FG2，∴ FG＝5 2.FG GH10第 8 题解图。

第五节 解直角三角形【中考过关】1．(玉林)如图，从热气球A 看一栋楼底部C 的俯角是( D )第1题A ．∠BADB ．∠ACBC ．∠BACD ．∠DAC2．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A 等于( D ) A ．1B ．32C ．22D ．123．(泸州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE＝43.若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为( D )第3题A ．y ＝3xB ．y ＝－34x ＋152C ．y ＝－2x ＋11D ．y ＝－2x ＋124．(十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为( A )A ．m(cos α－sin α)B ．m(sin α－cos α)C ．m(cos α－tan α)D ．m sin α－m cos α5．(青海)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据：BC ＝8，CD ＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD 的面积．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如图，过点A 作CD 的垂线，交CD 的延长线于F ，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E.∵AB∥CD，∴四边形AECF 是矩形．∵∠BCD ＝60°，∴∠BCE＝90°－60°＝30°.在Rt△BCE 中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝12BC ＝4，CE ＝32BC ＝43.∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°－135°＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴DF＝AF ＝CE ＝4 3.由于FC ＝AE ，即43＋2＝AB ＋4，∴AB＝43－2，∴S 梯形ABCD ＝12×(2＋43－2)×43＝24，∴垂尾模型ABCD 的面积为24.【中考突破】6．(毕节)如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5 m ，坡面AB 的坡度为1∶3，则AB 的长度为( A )A ．10 mB ．10 3 mC ．5 mD ．5 3 m7．(乐山)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝5，点D 是AC 上一点，连接BD.若tan A ＝12，tan ∠ABD ＝13，则CD 的长为( C )第7题A ．2 5B ．3C ． 5D ．2第8题 8．(常州)如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠ABC＝90°，DB 平分∠ADC.若AD ＝1，CD ＝3，则sin ∠ABD＝__6__. 9．(牡丹江)先化简，再求值：(x －2x －1x )÷x －1x，其中x ＝cos 30°. 解：原式＝x 2－2x ＋1x ·x x －1＝(x －1)2x ·x x －1＝x －1.∵x＝cos 30°＝32， ∴原式＝32－1.10．(盐城)6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB ，BC 为机械臂，OA ＝1 m ，AB ＝5 m ，BC ＝2 m ，∠ABC＝143°.机械臂端点C 到工作台的距离CD ＝6 m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，5≈2.24)(1)求A ，C 两点之间的距离；(2)求OD 长．解：(1)如图，过点A 作AE⊥CB，垂足为E.在Rt△ABE 中，AB ＝5 m ，∠ABE＝37°.∵sin ∠ABE＝AE AB ，cos ∠ABE＝BE AB， ∴AE 5 m ＝0.60，BE 5 m≈0.80，∴AE＝3 m ，BE ＝4 m ，∴CE＝6 m.在Rt△ACE 中，由勾股定理，得AC ＝32＋62＝3 5 m≈6.72 m≈6.7 m.(2)过点A 作AF⊥CD，垂足为F ，∴FD＝AO ＝1 m ，∴CF＝5 m ．在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝(35)2－52＝2 5 m≈4.48 m≈4.5 m，∴OD ＝4.5 m．11．(达州)某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°.如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18；sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00)解：作DF⊥CE交CE于点F.∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°.∵tan ∠FCD＝DFCF，tan 63.4°≈2.00，∴DFCF＝2，∴DF＝2CF，设CF＝，BE＝(3－2，AD＝EF，∴EF＝2 m，∴EC＝(2＋x) m．∵tan ∠BCE＝BECE，tan 10°≈0.18，∴0.18＝3－2x2＋x，解得x≈1.21，∴BE＝3－2).∵sin ∠BCE＝BEBC，∴BC＝BEsin ∠BCE≈0.580.17≈3.4(m)，即此遮阳篷BC的长度约为3.4 m．12．(成都)6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到 1 cm，参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°.在Rt△ACO 中，AC＝10 cm，∴AO＝2AC＝20(cm)，由题意得AO＝A′O＝20 cm.∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°.在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·sin 72°≈20×0.95＝19(cm)，∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19 cm.【核心素养】13．(张家界)阅读下列材料：在△ABC 中，∠A ，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：a sin A＝b sin B. 证明：如图1，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则：在R t△BCD 中，CD ＝a sin B ，在Rt△ACD 中，CD ＝b sin A ，∴a sin B＝b sin A ，∴a sin A ＝b sin B. 根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：b sin B ＝c sin C； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC ＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)(1)证明：如图2，过点A 作AD⊥BC 于点D ，在Rt△ABD 中，AD ＝c sinB．在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴bsin B ＝csin C.(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×32＝403(m).又∵ACsin B＝BCsin ∠BAC，即800.8＝BC0.9，∴BC＝90 m，∴S△ABC＝12×90×403＝1 8003(m2).。

数学文化课堂 ( 四)一海伦——秦九韶公式古希腊的几何学家海伦，约公元50 年，在数学史上以解决几何丈量问题而有名．在他的著作《胸怀》一书中，给出了以下公式：若一个1三角形的三边分别为a，b，c，记 p＝2(a ＋b＋c) ，那么三角形的面积为：S△ABC＝ p（p－a）（ p－b）（ p－c）( 海伦公式 ) ．我国南宋期间数学家秦九韶 ( 约 1202～约 1261) ，曾提出利用三角形的三边求面1 2 2a2＋b2－ c22积的秦九韶公式： S△ABC＝4[a b －（2）]. 海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式． ( 人教八下P16，北师八上P51)1.若△ ABC的三边长为 5，6，7，△ DEF的三边长为 5， 6， 7，请利用上边的两个公式分别求出△ ABC和△ DEF的面积．2.如图，在△ ABC中， BC＝5，AC＝6，AB＝9，求△ ABC的内切圆半径．第 2 题图二赵爽弦图赵爽，三国吴人，是三国到南宋期间三百多年间中国优秀的数学家之一．他在讲解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证了然勾股定理的正确性，以下图，四个全等的直角三角形能够围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形．经过对这个图形的切割、拼接、奇妙地利用面积关系证了然勾股定理．证明方法以下：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另向来角边为b，斜边为c，朱实面积＝ 2ab，黄实面积＝ (b －a) 2＝ b2－2ab＋a2，朱实面积＋黄实面积＝ a2＋b2＝大正方形面积＝ c2.( 人教八下P30，北师八下P16)3.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为 3 和 5，则小正方形的面积为 ________．第 3 题图第4题图4.如图是“赵爽弦图”，△ ABH、△ BCG、△ CDF和△ DAE是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和 EFGH都是正方形，假如 AB＝10，EF ＝2，那么 AH等于 ________．三泰勒斯——全等泰勒斯，公元前 7 至 6 世纪的古希腊期间的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派——米利都学派 ( 也称爱奥尼亚学派 ) 的首创人．泰勒斯是古希腊及西方第一个有记录出名字留下来的自然科学家和哲学家．5.相传泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图， B 是察看点，船 A 在 B 的正前面，过点 B 作 AB的垂线，在垂线上截取随意长BD，C 是 BD的中点，察看者从点D沿垂直于 BD 的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，进而量出 DE的距离即为船离岸的距离 AB，这里判断△ ABC≌△ EDC的方法是 ()第 5 题图A.SASB.ASAC.AASD.SSS四《海岛算经》《海岛算经》是中国最早的一部丈量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．由刘徽于三国魏景元四年所撰，《海岛算经》共九问，都是用表尺重复从不一样地点测望，取丈量所得的差数，进行计算进而求得山高或谷深．( 北师九上P104)6.该书中提出九个丈量问题，此中一个为：有望幽谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勾端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈．更从勾端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？题目的粗心是：丈量一个山谷 AE的深度，拿一个高 AB为 6 尺的矩尺△ ABD 放在岸上，从 B端看谷底 EG(D在 BG上) ，下股 AD为 9 尺 1 寸，向上平移矩尺 3 丈，现从 B′端看谷底 EG，上股 A′D′为 8 尺 5 寸，试求谷深 AE.( 一丈＝ 10 尺＝ 100 寸)第6 题图7.某校王老师依据《海岛算经》中的问题，编了这样一道题：如图，甲、乙两船同时由港口 A 出发开往海岛 B，甲船沿北偏东 60°方向向海岛 B 航行，其速度为 15 海里 / 小时；乙船速度为 20 海里 / 小时，先沿正东方向航行 1 小时后，抵达 C港口接游客，在 C港口逗留 0.5 小时后再沿东北方向开往 B 岛，B 岛建有一座灯塔，在灯塔方圆 5 海里内都能够看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔，两船看到灯塔的时间相差多少？ ( 精准到分钟，3≈1.73 ， 2≈1.41)第 7 题图答案11.解：当△ ABC的三边长为 5，6，7 时，则 p＝2×(5 ＋6＋7) ＝9，∴S△ABC＝ 9×（ 9－5）×（ 9－6）×（ 9－7）＝ 6 6，当△ DEF的三边长为 5， 6， 7时，1225＋6－7 226S△DEF＝4[ （5）×（6）－（2） ] ＝2 .12.解：由题意得 p＝2×(5 ＋6＋9) ＝10，则S＝10×（ 10－5）×（ 10－6）×（ 10－9）＝ 10 2.1∵S＝2r(AC＋BC＋AB)，1∴10 2＝2r(5 ＋6＋9) ，解得 r ＝ 2，故△ ABC的内切圆半径为 2.3. 1 或 4 【分析】分两种状况：①5 为斜边时，由勾股定理得，另向来角边长＝ 52－32＝4，∴小正方形的边长＝ 4－ 3＝1，∴小正方形的面积＝ 12＝1；②3和 5 为两条直角边长时，小正方形的边长＝ 5 －3＝2，∴小正方形的面积＝ 22＝4；综上所述，小正方形的面积为 1或4.4. 6【分析】设AH＝x，则AE＝x＋2，由四个全等的直角三角形可2222得 DE＝AH＝x，在Rt△DAE中，由勾股定理得： AD＝AE＋DE，即10 ＝(x ＋2) 2＋x2，解得 x＝6 或 x＝－ 8( 舍去 ) ．5.B6.解：∵ AD∥EG，∴△ BAD∽△ BEG，BA AD∴＝，BE EG69.1∴6＋AE ＝EG，∵A′D′∥ EG，∴△ B ′A ′D ′∽△ B ′EG ，B ′A ′ A ′D ′ ∴B ′E ＝ EG，68.5∴6＋30＋AE＝EG，∴ 9.1(6 ＋AE)＝8.5(36 ＋AE)，∴解得 AE ＝419( 尺) ，∴谷深 AE 为 41 丈 9 尺．7. 解：如解图，过点 B 作 BD ⊥AC ，交 AC 的延伸线于点 D ，设 BD ＝x ，在 Rt △BCD 中，第 7 题解图∵∠ BCD ＝45°，BD∴ BC ＝sin 45°＝ 2x ，在 Rt △ABD 中， ∵∠ ABD ＝60°，BD∴ AD ＝BD · tan 60°＝ 3x ，AB ＝cos 60°＝2x ，∵AC ＝20×1＝20( 海里 ) ，AC ＋CD ＝AD ，∴ 20＋ x ＝ 3 x ， 解得 x ＝10( 3＋1) 海里，∴ A B ＝2x ＝20( 3＋1) 海里，BC ＝ 2x ＝10 2(3＋1) 海里，∴t甲＝(AB－5) ÷15×60＝(20 3＋20－5) ÷15×60≈198.4( 分钟 ) ，t 乙＝(AC＋BC－5) ÷20×60＋0.5 ×60＝[20 ＋10 2(3＋1) －5] ÷20×60＋ 30≈190.5( 分钟) ．∵t 甲>t 乙，t 甲－t 乙≈8( 分钟 ) ，∴乙船先看到灯塔，两艘船看到灯塔的时间相差约8 分钟．。

第 3 节全等三角形( 建议答题时间： 60 分钟 )基础过关1.如图，点 E，F 在线段 BC上，△ ABF与△ DCE全等，点 A 与点 D，点 B 与点 C是对应极点， AF与 DE交于点 M，则∠ DCE＝()A. ∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB第 1 题图第2题图2.( 人教八上第 44 页 11 题改编 ) 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ ABC≌△ DEF 的是 ()A. AB＝DEB.AC＝DFC. ∠A＝∠DD.BF＝EC3.如图，△ ABC中， AB＝AC，D是 BC的中点， AC的垂直均分线分别交 AC、AD、AB于点A. 1对B. 2E、O、F，则图中全等三角形的对数是对 C. 3对 D. 4(对)第 3 题图第4题图第5题图4.着重开放研究 (2018 怀化 ) 如图，AC＝DC，BC＝EC，请你增添一个适合的条件：，使得△ ABC≌△ DEC.5.如图，AB∥CF，E 为 DF的中点，AB＝10，CF＝6，则 BD＝________.6.如图，在△ ABC中，分别以 AC、BC为边作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE，连结 AE、BD交于点 O，则∠ AOB的度数为________．第6 题图7.(2018 福建 ) 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠ A＝∠ D.第7 题图8.(2018 武汉 ) 如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出 CD与 AB之间的关系，并证明你的结论．第8 题图9.(2018 南充 ) 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证： AC∥BD.第9 题图10.(2018 重庆巴南区期中检测 ) 如图，在四边形ABCD中，点E在对角线 AC上， AB∥DE，∠ ACB＝∠ ADE，AB＝EA，求证： AC＝ED.第10 题图11.( 人教八上第 44 页 4 题改编 ) 如下图，已知∠ 1＝∠ 2，请你增添一个条件，证明： AB＝AC.(1) 你增添的条件是 ________________；(2)请写出证明过程．第11 题图12.(2018 重庆一中期中考试) 如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠ E＝∠ F，连结 FC、EB，延伸 EB交 AF于点 G.(1) 求证：BE∥CF；(2)若 CF＝BE，求证： AB＝CD.第12 题图13.(2018 苏州 ) 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠ 1＝∠2，AE和BD订交于点O.(1) 求证：△AEC≌△BED；(2)若∠ 1＝42°，求∠BDE的度数．第13 题图14.(2018 哈尔滨 ) 已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ DCE＝90°，连结 AE、BD交于点 O. AE与 DC交于点 M，BD与 AC 交于点 N.(1)如图①，求证： AE＝BD；(2)如图②，若 AC＝DC，在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．第14 题图满分冲关1.(2018 滨州) 如图，点P为定角∠AOB的均分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA、OB订交于 M、N两点，则以下结论：(1) PM＝PN恒建立；(2) OM＋O N的值不变；(3)四边形 PMON的面积不变；(4) MN的长不变，此中正确的个数为 ()A. 4B. 3C. 2D. 1第 1 题图第2题图2.(2018 原创 ) 如图，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交 ED的延伸线于点 F，若 BC恰巧均分∠ ABF，AE＝2BF.给出以下四个结论：① DE＝DF；② DB＝DC；③ AD⊥BC；④ AC＝3BF，此中正确的结论共有 ()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.(2018 新疆建设兵团 ) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线 AC，BD订交于点 O，以下结论中：①∠ ABC＝∠ ADC；②AC与 BD相互均分；③AC，BD分别均分四边形 ABCD的两组对角；1④四边形 ABCD的面积 S＝2AC·BD，正确的选项是________．(填写全部正确结论的序号 )第3 题图4.(2018 温州 ) 如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC ＝E D，AC＝AD.(1)求证：△ ABC≌△ AED；(2)当∠ B＝140°时，求∠ BAE的度数．第4 题图5.(2018 荆门 ) 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点 E 是 CD的中点，过点 C作 CF∥AB交 AE的延伸线于点 F.(1) 求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠ DCF＝120°， DE＝2，求 BC的长．第5 题图6.(2018 齐齐哈尔 ) 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F 分别是 BG，AC的中点．(1)求证： DE＝DF，DE⊥DF；(2)连结 EF，若 AC＝10，求 EF的长．第6 题图7.(2018 德阳 ) 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点， CE⊥AB，垂足为 E，AF⊥BC，垂足为 F，AF与 CE订交于点G.(1) 证明：△CFG≌△AEG；(2)若 AB＝4，求四边形 AGCD的对角线 GD的长．第7 题图8.(2018 北京 ) 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点 ( 与点B，C不重合 ) ，连结AP，延伸BC至点Q，使得CQ＝CP，过点 Q作 QH⊥AP于点 H，交 AB于点 M.(1) 若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小 ( 用含α的式子表示 ) ；(2) 用等式表示线段MB与 PQ之间的数目关系，并证明．第8 题图9.(2018 原创 ) 已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当 AC⊥DE，且 AD＝2时，求线段 BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连结 DF，EG，求证： DF＝EG.第9 题图答案基础过关1. A2.C3. D 【分析】∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO ＝90°，AB＝AC在△ ABD和△ ACD中，AD＝AD，∴△ ABD≌△ ACD(SSS)，∵EF垂直平BD＝CDOA＝OC分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△ AOE和△ COE中，OE＝OE，∴△ AOEAE＝CE≌△ COE(SSS)；BD＝CD在△ BOD和△ COD中，∠BDO＝∠CDO，∴△ BOD≌△COD(SAS)；在△ AOCOD＝ODAC＝AB和△ AOB中，OA＝OA，∴△AOC≌△AOB(SSS)．OC＝OB4.AB＝DE(答案不独一)5. 4 【分析】∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠CFE，∵E是DF的中点，∴∠A DE＝∠ CFE＝，在△与△中， DE＝FE，∴△≌△CFE(ASA)，DE EF ADE CFE ADE∠AED＝∠ CEF∴A D＝CF，∵ AB＝10，CF＝6，∴ BD＝AB－AD＝10－6＝4.6.120°【分析】∵△ACD和△BCE均为等边三角形，∴∠DCA＝∠BCE ＝60°，AC＝DC，BC＝EC，∴∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB ＝∠ ACE，∴△DCB≌△ ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠ CAE，∴∠AOB＝∠ DAO ＋∠ ADO＝∠ DAC＋∠ CAE＋∠ ADC－∠ CDB＝∠ ADC＋∠ DAC＝120°.7.证明：∵ BE＝CF，∴BC＝EF，AB＝DE在△ ABC和△ DEF中，AC＝DF，BC＝EF∴△ ABC≌△ DEF(SSS)，∴∠ A＝∠ D.8.解： CD∥AB，CD＝AB.证明：∵CE＝BF，∴C F＝BE，又∵∠ CFD＝∠ BEA，DF＝AE，∴△ CFD≌△ BEA(SAS)，∴C D＝AB，∠ C＝∠ B，∴C D∥AB.9.证明：∵ DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠ BED＝∠ AFC＝90°，又∵ AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，∴AF＝BE.AF＝BE在△ ACF和△ BDE中，∠AFC＝∠ BED，CF＝DE∴△ ACF≌△ BDE(SAS)，∴∠ A＝∠ B，∴A C∥BD.10.证明：∵ AB∥DE，∴∠ BAC＝∠ AED，∠ACB＝∠ ADE在△ ABC和△ EAD中，∠BAC＝∠ AED，AB＝EA∴△ ABC≌△ EAD(AAS)，∴A C＝ED.11.(1) 解：∠B＝∠C或∠ADB＝∠ADC等；∠B＝∠C (2)证明：若增添的条件为∠ B＝∠C，在△ ABD和△ ACD中，∠1＝∠2，AD＝AD∴△ ABD≌△ ACD(AAS)，∴A B＝AC；∠1＝∠2若增添的条件为∠ ADB＝∠ ADC，在△ ABD和△ ACD中，AD＝AD，∠ADB＝∠ ADC∴△ ABD≌△ ACD(ASA)，∴A B＝AC.12.证明： (1) ∵AF∥DE，∴∠ E＝∠ AGE，∵∠ E＝∠ F，∴∠ F＝∠ AGE，∴BE∥CF；(2)∵AF∥DE∴∠ A＝∠ D，∠A＝∠D在△ ACF和△ DBE中，∠F＝∠E ，CF＝BE∴△ ACF≌△ DBE(AAS)，∴A C＝DB，∴A B＝CD.13.(1) 证明：∵AE和BD订交于点O，∴∠ AOD＝∠ BOE，在△ AOD和△ BOE中，∠ A＝∠ B，∴∠ BEO＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠ 1＝∠BEO，∴∠ AEC＝∠ BED，∠A＝∠B在△ AEC和△ BED中，AE＝BE，∠AEC＝∠ BED∴△ AEC≌△ BED(ASA)；解： (2) ∵△AEC≌△BED，∴E C＝ED，∠ C＝∠ BDE，在△ EDC中，∵ EC＝ED，∠1＝42°，∴∠ C＝∠ EDC＝69°，∴∠ BDE＝∠ C＝69°.14.(1) 证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，∴A C＝BC，DC＝EC，∠ ACB＋∠ ACD＝∠ DCE＋∠ ACD，∴∠ BCD＝∠ ACE，∴△ ACE≌△ BCD(SAS)，∴A E＝BD；(2)解：△ACB≌△ DCE，△AON≌△ DOM，△AOB≌△ DOE，△NCB≌△ MCE. 满分冲关1. B 【分析】如解图，过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD，依据角均分线的性质可得 PC＝PD，∵OP必定，∴OC＝OD.∵∠ AOB是定角，∠MPN与∠AOB互补，∴∠ MPN也为定角．∵∠ CPD与∠ AOB也互补，∴∠ MPN＝∠CPD，∴∠ MPC＝∠ NPD，∴△ MPC≌△ NPD(ASA)，∴ CM＝DN，MP＝NP.故(1)正确；∵ OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC ＋OD，∵ OC＝ OD 为定长，∴ OM＋ ON 为定长．故(2)正确；∵△ MPC≌△ NPD，∴S 四边形MONP＝S△CMP＋S 四边形CONP＝S△NPD＋S 四边形CONP＝S 四边形CODP.∴四边形MONP面积为定值．故(3)正确；∵ Rt△MPC中， MP为斜边， CP为直角边，∴可设M P＝kCP，∴ PN＝kDP，∵∠ MPN＝∠ CPD，∴△ MPN∽△ CPD，其相像比为k，∴ MN＝kCD，当点 M与点 C 重合，点N和点 D重合时， MN＝CD，当点 M与点 C不重合，点 N与点 D不重合时， MN≠CD，∴ MN的长度在发生变化．故(4)错误．第1 题解图2. A 【分析】∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC均分∠ABF，∴∠ABC＝∠ CBF，∴∠ C＝∠ ABC，∴ AB＝AC，∵ AD是△ ABC的角均分线，∴∠C＝∠ CBF ＝，⊥ ，故②③正确，在△与△中， CD＝BD，BD CD AD BC CDE BDF∠EDC＝∠ BDF ∴△ CDE≌△ BDF(ASA)，∴ DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵ AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．应选A.AB＝AD3.①④【分析】在△ ABC与△ ADC中，BC＝DC，∴△ ABC≌△AC＝ACADC(SSS)，∴∠ ABC＝∠ ADC，故①正确；∵△ ABC≌△ ADC，∴∠ BAC＝∠ DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC 均分∠BAD、∠BCD，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝∠ DAC，∴OB＝OD，∴ AC，BD相互垂直，但不均分，故②错误；111∵AC，BD相互垂重，∴四边形ABCD的面积 S＝2AC·BO＋2AC·OD＝2 AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是①④.4.(1) 证明：∵AC＝AD，∴∠ ACD＝∠ ADC，∴∠ BCD －∠ ACD ＝∠ EDC －∠ ADC即∠ BCA ＝∠ EDA ，在△ ABC 与△ AED 中， BC ＝ED ，∠ BCA ＝∠ EDA ，AC ＝AD ，∴△ ABC ≌△ AED (SAS )；(2) 解：∵△ ABC ≌△ AED ，∴∠ E ＝∠ B ＝140°，∵五边形 ABCDE 内角和为 (5 －2) ×180°＝ 540°， ∴∠ BAE ＝540°－ 2×90°－ 2×140°＝ 80° .5. (1) 证明：∵点 E 是 CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵AB ∥CF ，∴∠ BAF ＝∠ AFC ，在△ ADE 与△ FCE 中，∠DAE ＝∠ CFE∠AED ＝∠ FEC ，DE ＝CE∴△ ADE ≌△ FCE (AAS )；(2) 解：由 (1) 知 CD ＝2DE ，∵DE ＝2， ∴CD ＝4，在 Rt △ABC 中，点 D 为 AB 的中点，1∴ A B ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝2AB .∵ A B ∥CF ，∴∠ BDC ＝180°－∠ DCF ＝180°－ 120°＝ 60°，1 1∴∠ DAC ＝∠ ACD ＝2∠BDC ＝2×60°＝ 30°，11∴在 Rt△ABC中， BC＝2AB＝2×8＝4.6.(1) 证明：∵AD⊥BC，∴∠ ADB＝∠ ADC＝90°，BD＝AD在△ BDG和△ ADC中，∠BDG＝∠ ADC，DG＝DC∴△ BDG≌△ ADC(SAS)，∴B G＝AC，∠ BGD＝∠ C，∵∠ ADB＝∠ ADC＝90°， E，F 分别是 BG，AC的中点，11∴DE＝2BG＝EG，DF＝2AC＝AF，∴D E＝DF，∠ EDG＝∠ EGD，∠ FDA＝∠ FAD，∴∠ EDG＋∠ FDA＝90°，∴D E⊥DF；(2)解：∵ AC＝10，∴DE＝DF＝5，22由勾股定理得， EF＝DE＋DF＝5 2.7.(1) 证明：∵E是AB的中点，且CE⊥AB，∴CA＝CB.∵F是 BC的中点，且 AF⊥BC，∴AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，11∴2AB＝2BC，∴ AE＝CF，∠CGF＝∠ AGE在△ CFG和△ AEG中，∠CFG＝∠ AEG，CF＝AE∴△ CFG≌△ AEG(AAS)；(2)解：如解图，连结 GD，第 7 题解图∵A B＝AC＝BC，∴△ ABC为等边三角形，进而△ CAD也为等边三角形，∵A F⊥BC，∴∠ GAC＝∠ EAF＝30°，1又∵ AE＝2AB＝2，∴在 Rt△AEG中， AG ＝243 AE＝3，3∵∠ GAD＝∠ GAC＋∠ CAD＝90°，222∴在 Rt△ADG中，依据勾股定理得： GD＝AG＋AD，243 22即 GD＝(3)＋4 ，264∴GD＝3，8 3∴G D＝3.8.解： (1) ∵∠ACP＝90°，∴在 Rt△ACP中，∠ CAP＋∠ APC＝90°，∵H Q⊥AP,∴在 Rt△HPQ中，∠ Q＋∠ HPQ＝90°，又∵∠ APC＝∠ HPQ，∠ CAP＝α，∴∠ Q＝α，又∵在等腰 Rt△ABC中，∠ B＝∠ BAC＝45°，∴∠ AMQ＝∠ B＋∠ Q＝45°＋α；(2)PQ＝2BM.证明：如解图，连结AQ，过点 M作 MN⊥BQ于点 N.第 8 题解图∵∠ ACP＝90°， CQ＝CP，∠ CAP＝α，∴∠ CAQ＝∠ CAP＝α，AP＝AQ，PQ＝2CP，又∵∠ BAC＝45°，∴∠ MAQ＝∠ BAC＋∠ CAQ＝45°＋α＝∠ AMQ，∴A Q＝MQ，∴A P＝MQ，又∵ MN⊥BQ，∴∠ ACP＝∠ QNM＝90°.∠CAP＝∠ NQM在Rt△APC和 Rt△QMN中，∠ACP＝∠QNM＝90°，AP＝MQ∴R t△APC≌Rt△QMN(AAS)，∴C P＝MN，∴ PQ＝2MN，又∵在 Rt△BMN中，∠ B＝45°，∴B M＝2MN，∴ PQ＝2BM.9.(1) 解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD＝2，1∴BC＝AC，DE＝AD＝2，DF＝2DE＝1，AF＝CF，2 2∴A F＝AD－DF＝3，∴A C＝2AF＝2 3，∴ BC＝2 3；(2)证明：连结 CE，FG，如解图所示：第 9 题解图∵△ ABC和△ ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．∴AB＝AC，AD＝AE，∠ BAC＝∠ DAE＝∠ AED＝60°，∴∠ ADB＝120°，∠ BAD＝∠ CAE，AB＝AC在△ ABD和△ ACE中，∠BAD＝∠ CAE，AD＝AE∴△ ABD≌△ ACE(SAS)，∴BD＝CE，∠ AEC＝∠ ADB＝120°，∴∠ CED＝∠ AEC－∠AED＝60°，∵CD⊥BE，∴∠ DCE＝30°，1∴D E＝2CE，∵线段 BC的中点为 F，线段 DC的中点为 G，1∴F G∥BD，FG＝2BD，∴F G∥DE，FG＝DE，∴四边形 DFGE是平行四边形，∴D F＝EG.。

第2 节三角形及其性质课时1 一般三角形及等腰三角形( 建议答题时间： 40 分钟 )1.(2018 泰州 ) 三角形的重心是 ()A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直均分线的交点D.三角形三条内角均分线的交点2.(2018 金华 ) 以下各组数中，不行能成为一个三角形三边长的是()A. 2 ，3，4B. 5 ，7，7C. 5 ，6，12 D. 6 ，8，103. (2018 株洲 ) 如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145 °B. 150°C. 155°D. 160°第 3 题图4. (2018甘肃)已知a，b，c是△ ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－| c－a－b| 的结果为 ()A. 2 a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2 cD. 05.(2018 德阳 ) 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE均分∠ABC 交 AC边于 E，∠ BAC＝60°，∠ ABE＝25°，则∠ DAC的大小是() A. 15 ° B. 20 ° C. 25 ° D. 30 °第 5 题图第6题图6.(2018 滨州 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠ B 的大小为()A. 40 °B. 36°C. 30°D. 25°7.(2018 荆州 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线 l A. 30交 AC于点° B.45D，则∠ CBD的度数为° C. 50° D. 75(°)第 7 题图第8题图第9题图8.(2018 郴州 ) 小明把一副含 45°， 30°的直角三角板如图摆放，其中∠ C＝∠ F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠ α＋∠ β等于( )A. 180 ° B. 210 ° C. 360 ° D. 270 °9.(2018 天津 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线， P 是 AD上的一个动点，则以下线段的长等于BP＋EP最小值的是() ．A.BCB.CEC.ADD.AC10.(2018 泰州 ) 将一副三角板如图叠放，则图中∠α 的度数为________．第 10 题图第12题图第13题图11.(2018 成都 ) 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为 ________．12.(2018 江西 ) 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，此中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13.(2018 湘潭 ) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD均分∠ABC交AC于点 D，DE垂直均分 AB，垂足为点 E，请随意写出一组相等的线段________．14.(2018 徐州 ) △ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15.(2018 丽水 ) 等腰三角形的一个内角为 100°，则顶角的度数是________．16.(2018 陕西 ) 如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角均分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第 16 题图第18题图17. (2018 淄博 ) 在边长为 4 的等边三角形ABC中，D为BC边上的随意一点，过点 D分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则 DE＋DF ＝________.18.(2018 宁夏 ) 在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，1交 AC于点 E，点 M在 DE上，且 ME＝3DM，当 AM⊥BM时，则 BC的长为________．19.(2018 达州 ) △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD 长为 m，则 m的取值范围是________．20.(2018 内江 ) 如图，AD均分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△ BDE是等腰三角形．第20 题图21.(2018 北京 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD均分∠ABC 交AC于点 D.求证： AD＝BC.第21 题图22.(2018 连云港 ) 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E 分别在边 AB、AC上，且 AD＝AE，连结 BE、CD交于点 F.(1)判断∠ ABE与∠ ACD的数目关系，并说明原因；(2)求证：过点 A、F 的直线垂直均分线段 BC.第22 题图课时 2直角三角形及勾股定理( 建议答题时间： 40 分钟 )1.以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，此中能组成直角三角形的是 ()A. 3， 4， 5B. 1 ， 2， 3C. 6 ，7，8D. 2，3，42.(2016 沈阳 ) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A.43C. 8 3D. 4 33 B. 4第 2 题图第3题图3.(2018 大连 ) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点 E 是 AB的中点， CD＝DE＝a，则 AB的长为()43A. 2 aB. 2 2aC. 3aD. 3a4.(2018 黄石 ) 如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝32，AC＝1，DE＝2，则∠ CDE＋∠ ACD＝()A. 60 °B. 75°C. 90°D. 105°第 4 题图第5题图5.(2018 重庆巴蜀月考 ) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直均分线交 AC于点 D，交 AB于点 E.若 BC＝4，AC＝8，则 BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2018陕西 ) 如图，将两个大小、形状完整同样的△ABC 和△A′B′C′拼在一同，此中点 A′与点 A 重合，点 C′落在边 AB上，连结 B′C.若∠ ACB＝∠ AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则 B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 32D.21第 6 题图第7题图7.关注数学文化(2018 襄阳) “赵爽弦图”奇妙地利用面积关系证了然勾股定理，是我国古代数学的骄傲．以下图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若( a＋b)2＝21，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为 ()8.(2018 株洲 ) 如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是 ________度．第 8 题图第 11 题图第 12 题图9.(2018 安顺 ) 三角形三边长分别为 3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ________．10.(2018 岳阳 ) 在△ABC中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且对于x的方程 x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．11.(2018 常德 ) 如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是 ________．12.(2018 娄底 ) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是 ________．( 用含m的代数式表示 )13.(2018 杭州 ) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于 ________．第 13 题图第14题图14.(2018 武汉 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，点D，E 都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15.(2018 山西 ) 一副三角板按如图方式摆放，获得△ABD和△BCD，此中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E 为AB的中点，过点 E 作EF⊥CD于点F.若AD＝4cm，则EF的长为________cm.第 15 题图第16题图16. (2018 河南 ) 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′一直落在边 AC上，若△ MB′C为直角三角形，则．．BM的长为________．17.(2018 原创 ) 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边 AB上一点，∠ BDC＝45°， AD＝4，求 BC的长．(结果保存根号)第17 题图18.(2018 原创 ) 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求 DB的长；(2)在△ ABC中，求 BC边上高的长．第18 题图19.在 Rt△ABC中，∠ ACB＝90°， CD⊥AB于 D，AC＝20，BC＝15，(1)求 AB的长；(2)求 CD的长．第19 题图20.(2018 徐州 ) 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段 AC绕点 A 按逆时针方向旋转60°，获得线段 AD，连结 DC、DB.(1)线段 DC＝________；(2)求线段 DB的长度．第20 题图答案课时 1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3.B4. D 【分析】由三角形中随意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b＝c－( a＋b)<0，∴| c－ a－b|＝a＋b－ c，| a＋b－c|＝a＋b－c，∴| a＋b－c|－| c－a－b|＝0.5. B 【分析】∵BE是∠ABC的角均分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠ BAC＝60°，则∠ C＝70°，又∵∠ ADC＝90°，∴∠ DAC＝20°. 6．B【分析】设∠ C＝x°，∵ AD＝DC，∴∠ DAC＝∠ C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ ADB＝2x°，∴∠ B＝180°－4x°，∵A B＝AC，∴∠ B＝∠ C＝x°，∴180°－4x°＝ x°，解得 x＝36，∴∠ B＝∠ C＝36°.7．B 【分析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为 AB的垂直均分线，∴ DB＝DA，∠ DBA＝∠ A＝30°∴∠ CBD＝∠ CBA －∠ DBA＝75°－30°＝45°.8.B 【分析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠ 3＋∠ 4＝90°，∠2＋∠ 5＝90°，又∵∠ 2＝∠ 4，∴∠ 3＝∠ 5，∵∠ 1＝∠ 3，∴∠ 1＝∠5＝180°－∠ β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠ β，∴∠α＋∠β＝∠ D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8 题解图9.B 【分析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直均分线，∴点 B对于 AD的对应点为点 C，∴CE等于 BP＋EP 的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14.1415.100°【分析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为 100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为 40°，即该三角形顶角的度数是 100°.16.64°【分析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角均分111线，∴∠ 1＝∠ABD＝2∠ABC，∠ 2＝∠ACE＝2∠ACB，∴∠ 1＋∠ 2＝2 ( ∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB1＝180°－∠A＝180°－ 52°＝ 128°，∴∠ 1＋∠ 2＝2( ∠ABC＋∠ACB) 1＝2×128°＝ 64°.17. 2 3 【分析】假定点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求 AC边上的高为2 3，故DE＋DF＝2 3.18.8 【分析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是11AB的中点，∴DM＝2AB＝3，∵ME＝3DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵ DE∥BC，∴DE是△ ABC的中位线，∴ BC＝8.19.1＜m＜4 【分析】如解图，延伸AD到点E，使AD＝ED，连结CE，∵ AD是△ ABC的中线，∴ BD＝CD，∵在△ ABD和△ ECD中， BD＝CD，DE＝AD，∠ ADB＝∠ EDC，∴△ ABD≌△ ECD(SAS)，∴ AB＝EC，在△AEC中，∵ AC＋EC＞AE，且 EC－AC＜AE，即 AB＋AC＞2AD，AB－AC ＜2AD，∴ 2＜2AD＜8，∴ 1＜AD＜4 即 1＜m＜4.第11 题解图20.证明：∵ AD均分∠ BAC，∴∠ BAD＝∠ DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠ DAC.∴∠ BAD＝∠ ADE，∵A D⊥BD，∴∠ ADB＝90°，∴∠ BAD＋∠ B＝90°.∵∠ BDE＋∠ ADE＝90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴BE＝DE，∴△ BDE是等腰三角形．21.解：∵ AB＝AC∴在△ ABC中，11∠A BC＝∠ C＝2(180°－∠ A)＝2×(180°－36°)＝72°，又∵ BD均分∠ ABC，11∴∠ ABD＝∠ DBC＝2∠ABC＝2×72°＝36°，∴∠ ABD＝∠ A，∴ AD＝BD，又∵在△ ABC中，∠ BDC＝∠ A＋∠ ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠ BDC＝∠ C，∴ BD＝BC，∴A D＝BC.22.(1) 解：∠ABE＝∠ACD.原因以下：∵AB＝AC，∠ BAE＝∠ CAD，AE＝AD，∴△ ABE≌△ ACD(SAS)．∴∠ ABE＝∠ ACD；(2)证明：∵ AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ ACB.由(1) 可知∠ABE＝∠ACD，∴∠ FBC＝∠ FCB，∴ FB＝FC.又∵ AB＝AC，∴点 A、F 均在线段 BC的垂直均分线上，即过点A、F 的直线垂直平分线段 BC.课时 2直角三角形及勾股定理1. B2.D3. B 【分析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝ 2a，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点 E 是 AB的中点，∴ AB＝2CE＝2 2a.34. C 【分析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝2，∴BE＝CE322＝DE＝2，∴∠ CDE＝∠ DCE，BC＝3. 在△ABC中，AC＋BC＝1＋( 3)22＝4＝AB ，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ CDE ＋∠ ACD ＝∠ DCE ＋∠ ACD ＝90°.5. C 【分析】设 BD ＝x ，∵边 AB 的垂直均分线交 AC 于点 D ，∴ AD＝BD ＝x ，则 CD ＝8－x ，在 Rt △BCD 中，依据勾股定理，得 x 2－(8 － x ) 2＝42 ，解得 x ＝5.6. A 【分析】∵∠ ACB ＝∠ A ′C ′B ′＝ 90°， AC ＝BC ＝3，∴△ ABC2 2是等腰直角三角形，∴∠ CAB ＝45°，在 Rt △ABC 中，AB ＝AC ＋BC＝ 32＋32＝3 2，又∵△ ABC ≌△ A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝3 2，∠C ′A ′B ′＝∠ CAB ＝45°，∴∠ CAB ′＝∠ C ′AB ′＋∠ CAB ＝ 45°＋45°＝ 90°，在 Rt△CAB ′中， AC ＝ 3，AB ′＝ 3 2，∴ B ′C ＝2222＝3 3.AC ＋AB ′ ＝ 3 ＋（ 3 2）7. C【分析】如解图，∵ S 正方形 ABCD ＝13，∴ AB ＝ 13，∵ AG ＝a ，BG2 2 22 2 2＝b ，∴ a ＋ b ＝AB ＝ 13，∵ ( a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋ b ＝ 21，∴ 2ab ＝( a222ABG11＋b ) －a －b ＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ ＝2ab ＝2×4＝2，∴ S 小正方形 ＝S大正方形 －4S ＝13－4×2＝ 5.△ABG第 7 题解图8. 25 9. 5210. 2【分析】∵方程 x 2－4x ＋b ＝0 有两个相等的实数根，∴ b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得 b ＝4. 又∵ BC ＝2，AB ＝2 23，AC ＝b ＝4，∴ AB22 2 2 2＋BC ＝(2 3) ＋2 ＝4 ＝AC ，∴∠ B ＝90°，∴AC 边上的中线长为 2.11.0<CD≤5【分析】如解图，取BE的中点F，连结AF，∵∠A＝190°，则AF＝2BE＝EF＝5，∴∠ EAF＝∠ E＝90°－∠ B＝30°，又CD ED∵∠ CDE＝30°，∴∠ CDE＝∠ EAF，∴CD∥AF，∴＝. 当D与A重AF EA合时， CD与 AF重合，获得最大值为5，当D靠近于E时，DE越小，CD越小，∵线段 CD不可以为0，∴0<CD≤5.第11 题解图12.2＋ 2m【分析】如解图，连结BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD均分∠ ABC，∴∠ BDC＝90°，∠ ABD＝∠ C＝45°，∴∠ BDF＋∠FDC ＝90°，又∵∠ EDF＝90°，∴∠ BDF＋∠ BDE＝90°，∴∠ CDF ＝∠ BDE，∴△ BED≌△ CFD(ASA)，∴ BE＝CF，DE＝DF，则 BE＋ BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而 Rt△DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△ BEF的周长为 2＋ 2 m.第12 题解图13.78 【分析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，CE CD15∴ ＝，∴ CE＝×20＝12.CA CB25第13 题解图14. 3 3－3 【分析】∵AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解图，将△ABD绕点A 逆时针旋转120°获得△ACD′，∴∠D′CA＝∠B＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠ EAD′＝60°，∴△ EAD′≌∠6－DEEAD(SAS)，∴ED′＝ ED，∴ED′＋ BD＋EC＝6，∴EC＝3，∵CD′222＝BD＝2CE，∠D′CE＝60°，∴∠D′EC＝90°，∴D′E＋EC＝D′C，26－DE 26－DE23－3( 负根舍去 ) ．即 DE＋(3) ＝(3×2) ，解得DE＝3第 14 题解图15.2＋ 6【分析】如解图，连结DE，在 EF 上找一点 G，使得1DG＝EG，连结 DG，在 Rt△ABD中，∠ A＝60°，∴AD＝2AB，又∵ E1为 AB 的中点，∴ AE＝2AB＝DE ，∴ AD＝AE＝DE，∴△ ADE为等边三角形，∴ DE＝AD＝4 cm，∠ DEA＝60°，又∵ EF⊥CD，∠ C＝90°，∴EF∥CB，∴∠AEF＝∠ABC＝75°，∴∠DEF＝15°，在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，∵ DG＝EG，∴∠ GDE＝∠ DEF＝15°，∴∠ DGF＝30°，设 DF＝x，则 EG＝DG＝2x，FG＝3x，EF＝(2 ＋3) x，依据勾股定理2222＋3)226－ 2，∴EF得 DF＋EF＝DE，即 x ＋(2x ＝16，解得 x＝＝( 2＋ 6) cm .第 15 题解图16.2＋1【分析】 (1) 当∠ B ′MC 为直角时，此时点 M 在 BC2 或 11 2＋1的中点地点，点 B ′与点 A 重合，如解图①，则 BM 长度为 2BC ＝ 2 ；(2) 当∠ MB ′C 为直角时，如解图②，依据折叠性质得， BM ＝B ′M ，MC B ′M MC BCMCBN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴ ＝AB ，即＝ ＝ 2，∴＝ 2，BCB ′M AB B ′MMC ＋BM 2＋1，即BC2＋12＋1，∴BM ＝1. 故 BM 长 即＝＝，∵BC ＝BM1 BM12＋1或 1.为2第 16 题解图17. 解：∵∠ BDC ＝45°，∠ ABC ＝90°，∴△ BDC 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC ，1∵∠ A ＝30°，∴ BC ＝2AC ，222BC ) 2＋BD ) 2在 Rt △ABC 中，依据勾股定理得 AC ＝AB ＋BC ，即(2 ＝(4 2＋BC ，解得 BC＝BD＝2＋23( 负根舍去 ) ．18.解： (1) ∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝ 52－42＝3；(2)如解图，延伸 CB，过点 A 作 AE⊥CB交 CB延伸线于点 E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，1∴A E∥DB，∵ D为 AC边的中点，∴ BD＝2AE，∴A E＝6，即 BC边上高的长为 6.第18 题解图19.解： (1) 在Rt△ABC中，∠A CB＝90°， BC＝15，AC＝20，∴AB＝2222AC＋BC＝20 ＋15 ＝25，即 AB的长是25；11(2 ) ∵S△ABC＝2AC·BC＝2AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12. 20. 解： (1) 4 ；【解法提示】在△ACD中，∵∠ A＝60°， AC＝AD，∴△ ACD是等边三角形，∴D C＝AC＝4.(2) 如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第 20 题解图在△ CDE中，∠ DCE＝∠ ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°， CD＝4，2 2∴D E＝2，依据勾股定理得 CE＝CD－DE＝2 3，∴B E＝BC－CE＝3 3－2 3＝3，∴DB＝2222BE＋DE＝（3）＋2 ＝ 7.。

第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2019临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB ＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2019武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD 的长为___________【答案】241解题点拨：连接AC ，过点D 作BC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，又CD ＝10，DA ＝55，可知△ACD 为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC ∽△CHD ．则CH ＝6，DH ＝8，从而在Rt △BHD 中易求BD ．考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ．连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点．∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝3，EC ＝1．求DE 的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD ＝DG ＝3．鼹：∵AD ∥BC ，DE ⊥BC ，∴DE ⊥AD ，∠CAD ＝∠ACB∵点G 为AF 的中点，∴DG ＝AG ，∴∠GAD ＝∠GDA ，∴∠CGD ＝2∠CAD ，∵∠ACD ＝2∠ACB ，∴∠ACD ＝∠CGD ，∴CD ＝DG ＝3，在Rt △CED 中，DE ＝22CD CE -＝22．考点三 性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2019西宁)如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝ ．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2019南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7【答案】B2．(2019滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )A．直线的一部分 B．圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2019黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF 折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．【答案】23a第3题4．(2019重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF ．(1)如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝23，求AB ，BD 的长：(2)如图1，求证：HF ＝EF ；(3)如图2，连接CF ，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝23，∴AB ＝cos AC BACÐ＝2312＝43． ∵AD ⊥AB ．∴∠DAH ＝30°．∵点H 是AC 的中点，∴AH ＝12AC ＝3． ∴在△ADH 中．AD ＝cos AH CAH Ð＝332＝2． ∴在△ADB 中，根据勾股定理，得BD ＝22AB AD +＝22(43)2+＝213．(2)如答图1，连接AF ，易证：△DAE ≌△ADH(AAS)，∴DH ＝AE ．∵∠FDH ＝∠FDA －∠HDA ＝∠FDA －60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA ，∴∠EAF ＝∠FDH ．又∵点F 是BD 的中点，即AF 是Rt △ABD 斜边上的中线，∴AF ＝DF ．∴△DHF ≌△AEF(SAS)．∴HF ＝EF ．(3)△CEF 为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB 的中点M ，连接CM 、FM ，在Rt △ADE 中，AD ＝2AE ，∵FM 是△ABD 的中位线．∴AD ＝2FM．∴FM ＝AE．易证△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠ACM＝60°．∵∠CAE＝12∠CAB＝30°，∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，∴∠CAE＝∠CMF．∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝ CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE ＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2019连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( )A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2019海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )A．6 B．62 C．23 D．32第2题【答案】D3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )A．125B．4 C．245D．5第3题【答案】C4．(2019泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延长BG交CD 于点F．若AB＝6，BC＝46，则FD的长为 ( )A．2 B．4 C．B D．2 3第4题【答案】B二、填空题5．(2019随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD ＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．第5题【答案】36．(2019温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是 cm．图1 图2第6题【答案】(322＋16)7．(2019连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．则MN＝图1 图2第7题【答案】1 3三、解答题8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．(1)求证：EF＝CF；(2)求证：FG⊥DG．第8题【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点∴DA＝DC＝DB∴∠A＝∠1∵EF∥AB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴CF＝ EF．(2)延长FG，交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG＝∠GBH∵G为EB中点∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2019黄石)在△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2；(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝ CF 2＋CE 2，所以，DE 2＝BD 2＋CE 2．第9题答案图B 组 提高练习10．(2019东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于 ( )21cnjyA ．10B ．8C ．6或10D ．8或10【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝22106-＝8；CD ＝22AC AD -＝22(210)6-＝2；∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝22106-＝8；CD ＝22AC AD -＝22(210)6-＝2；∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6．)2·1·c ·n ·j ·y图① 图② 11．(2019资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝ CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形：②∠CDE ＝∠COE;③若AC ＝1，则四边形CEOD 的面积为14，其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝ OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝12×1×1＝12，S四边形DCEO ＝S△DOC＋S△CEO＝ S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝14，故③正确．)12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD 右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝22，CD＝14 BC，请求出GE的长．图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ， ∵AD ＝AF ，AB ＝AC ，∴△DA B ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF ，CF ＝BD ∴∠ACF －∠ACB ＝90°，即CF ⊥BD; ∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF ．(3)过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3． 由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5， ∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ， ∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ， ∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°， ∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3， ∵∠ABC ＝ 45°，∴∠BGC ＝45°， ∴△BCG 是等腰直角三角形， ∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1， ∴EG ＝22GN EN +＝10．第12题答案图2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋（b －1）x ＋c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.2．下列运算不正确的是（ ） A.(3-1)0=1B.123()32-=-C.0.000521=5.21×10-4D.2a 1a-1+-a-1=2a-13．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是﹣3和2时，输出的y 值相等，则b 等于（ ）A.5B.﹣5C.7D.3和44．若x=2是关于x 的一元一次方程ax －2=b 的解，则3b －6a+2的值是( ). A ．－8B ．－4C ．8D ．45．为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费(单位：元)，绘制了如下频数分布直方图.根据图中信息，下面3个推断中，合理的是______.①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半的人月均花费超过小明；②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60～120元；③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣. A.①②B.①③C.②③D.①②③6．某非物质文化遗产共有16名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数．获得数据如下表： 生产件数（件）101112131415人数（人） 1 6 3 3 2 1从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ） A ．11件B ．12件C ．13件D ．15件7．某种病菌的直径为0.00000471cm ，把数据0.00000471用科学记数法表示为( ) A ．47.1×10﹣4B ．4.71×10﹣5C ．4.71×10﹣7D ．4.71×10﹣68．如图，ABCD 的周长为8，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多2，则AB 边的长为（ ）A.1B.2C.3D.49．如图，直线a ∥b ，AC ⊥AB ，AC 交直线b 于点C ，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）A ．35°B ．25°C ．65°D ．50°10．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．长方体B ．圆锥C ．圆台D ．圆柱11．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上DE ∥BC ，点B 、C 、F 在一条直线上，若∠ACF ＝140°，∠ADE ＝105°，则∠A 的大小为（ ）A ．75°B ．50°C ．35°D ．30°12．如图，在同一直角坐标系中，函数y kx =与()0ky k x=≠的图象大致是（ ）.A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题13．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是．14．如图，线段10AB=，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是______．15．现有两个不透明的袋子，其中一个装有红、黄两种颜色的小球各1个，另一个装有红、黄、蓝三种颜色的小球各1个，小球除颜色外其他均相同，若小浩从两个袋子中分别随机摸出一个小球，则摸出的两个小球颜色恰好相同的概率为__________16．如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，若∠DEF＝60°，则tan∠ABD＝_____．17．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为_____．18．我县某楼盘准备以每平方米6500元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5265元的均价开盘销售，则每次下调的百分率是_____．三、解答题19．从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？20．如图，在平面直角坐标系中，过点A2081,4,33B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l分别与x轴、y轴交于点C，D．（1）求直线l 的函数表达式．（2）P 为x 轴上一点，若△PCD 为等腰三角形直接写出点P 的坐标． （3）将线段AB 绕B 点旋转90°，直接写出点A 对应的点A 的坐标．21．射击爱好者甲、乙的近8次比赛成绩的分析如下表（成绩单位：环）： 次序 一 二 三 四 五 六 七 八 平均数 方差 甲 9 6 6 8 7 6 6 8 a1.25 乙7745871087b（1）求a 、b 的值；（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．22．（1）计算：201(5)3tan 30|13|π︒-+-+--．（2）解不等式组：3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．23．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于260件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3490元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 24．在平面直角坐标系中，如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为32x =，与x 轴的交点A （﹣1，0）与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2．点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作BC的平行线交抛物线于点Q（点Q在点P右侧），连结BQ，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，求P点的坐标；（3）现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移，平移后的抛物线与直线AC的交点为A'、C'（点C'在点A'的下方），与x轴的交点为B'，当△AB'C'与△AA'B'相似时，求出点A′的横坐标．25．设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”（1）反比例函数2019yx是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B A B D A D C A D C C二、填空题13．14．515．1 316．3 317．y＝﹣2（x﹣1）2+318．10%三、解答题19．（1）270（2）他能在开会之前到达【解析】【分析】（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解；（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．【详解】（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意得，2401803x x-＝2，解得：x＝90，经检验，x＝90是所列方程的根，则3x＝3×90＝270．答：高速列车平均速度为每小时270千米；（2）405÷270＝1.5，则坐车共需要1.5+1.5＝3（小时），王老师到达会议地点的时间为13点40．故他能在开会之前到达．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．20．（1）483y x=-+；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣73，0）；（3）点A′的坐标为（0，﹣13）或（8，173）．【解析】【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C，D的坐标，进而可得出CD的长，分DC＝DP，CD＝CP，PC＝PD三种情况考虑：①当DC＝DP时，利用等腰三角形的性质可得出OC＝OP1，进而可得出点P1的坐标；②当CD＝CP时，由CP的长度结合点C的坐标可得出点P2，P3的坐标；③当PC＝PD时，设OP4＝m，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P4的坐标．综上，此问得解；（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，则△DOC∽△DBE，利用相似三角形的性质可求出点E的坐标，由点B，E的坐标，利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式，设点A′的坐标为（n，34n﹣13），由A′B＝AB可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出点A′的坐标，此题得解．【详解】（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，203），B（4，83）代入y＝kx+b，得：20384+b=3k bk⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：438kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的函数表达式为y＝﹣43x+8．（2）当x＝0时，y＝﹣43x+8＝8，∴点D的坐标为（0，8）；当y＝0时，﹣43x+8＝0，解得：x＝6，∴点C的坐标为（6，0），∴CD＝10．分三种情况考虑（如图1所示）：①当DC＝DP时，OC＝OP1，∴点P1的坐标为（﹣6，0）；②当CD＝CP时，CP＝10，∴点P2的坐标为（﹣4，0），点P3的坐标为（16，0）；③当PC＝PD时，设OP4＝m，∴（6+m）2＝82+m2，解得：m＝73，∴点P4的坐标为（﹣73，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣73，0）．（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，如图2所示，∵点B（4，83），点D（0，8），∴BD ＝228(04)(8)3-+-＝203， ∵∠CDO ＝∠EDB ，∠DOC ＝∠DBE ＝90°， ∴△DOC ∽△DBE ，∴DE DBDC DO=，即203108DE =，∴DE ＝253，∴点E 的坐标为（0，﹣13）．利用待定系数法可求出直线BE 的函数表达式为y ＝34x ﹣13，设点A′的坐标为（n ，34n ﹣13），∵A′B＝AB ， ∴（4﹣n ）2+[83﹣（34n ﹣13）]2＝（4﹣1）2+（83﹣203）2，即n 2﹣8n ＝0， 解得：n 1＝0，n 2＝8， ∴点A′的坐标为（0，﹣13）或（8，173）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分DC ＝DP ，CD ＝CP ，PC ＝PD 三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P 的坐标；（3）利用相似三角形的性质及待定系数法，求出过点B 且垂直于直线l 的直线的解析式． 21．(1)a=7,b=3 (2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式分别求出a 和b 即可；（2）从平均数上来看，甲和乙的发挥水平相当，再从方差上进行分析，甲的方差小，发挥稳定，从而得出答案． 【详解】 （1）解：9668766878a +++++++==22222220032103138b +++++++==（2）评价角度不唯一，以下答案供参考：两人平均数都是7环，说明两人平均水平相当； 甲的方差小于乙的方差，说明乙的成绩不如甲稳定． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差2222121n S x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．(1)1;(2) 1＜x ＜4． 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． （2）分别求出不等式的解集，即可解答 【详解】解：（1）原式＝﹣1+1+3×33﹣3 +1＝1； （2）3(2)42113x x x x -->⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：x ＞1， 由②得：x ＜4，则不等式组的解集为1＜x ＜4． 【点睛】此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键23．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为44元时，每天获取的利润最大，3640W =最大元；（3）4456x ≤≤.【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3490元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围． 【详解】（1）设y kx b =+y=k x+b ∴ 经过点(40,300),(55,150)4030055150k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得10700k b =-⎧⎨=⎩故y 与x 的关系式为：10700y x =-+ （2）30＜44x ≤设利润为(30)(30)(10700)w x y x x =-⋅=--+221010002100010(50)4000w x x x =-+-=--+100-<∴x<50时，w 随x 的增大而增大， ∴当44x =时，3640W =最大 （2）由题意，得 -10x+700≥260， 解得x≤44， ∴30＜x≤44，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=44时，w 最大=-10（44-50）2+4000=3640，答：当销售单价为44元时，每天获取的利润最大，最大利润是3640元； （3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3490， -10（x-50）2=-360， x-50=±6， x 1=56，x 2=44， 如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，捐款后每天剩余利润不低于3490元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 24．（1）213222y x x =-- ；（2）点P （1，﹣3）；（3）点A′的横坐标为32144+． 【解析】 【分析】（1）由对称性可知B （4，0），设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣4），由待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ 的面积为△BCQ 面积的一半时，可求相关线段的长，再求得BC 的解析式，将其与抛物线解析式联立可解；（3）由平移的相关知识，结合图形分析，得出方程组，从而得解． 【详解】解：（1）由对称性可知B （4，0） 设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣4） 将（0，﹣2）代入得a ＝12∴y ＝12x 2﹣32x ﹣2． （2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ 的面积为△BCQ 面积的一半时，PQ ＝12BC ∵C （0，﹣2），B （4，0） ∴BC ＝25 ∴PQ ＝5∴PQ 2＝()()22Q P Q P x x y y -+-＝5∵直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2，PQ ∥BC ∴设直线PQ 的解析式为y ＝12x+b则y P ＝12x P +b ，y Q ＝y ＝12x Q +b联立21213222y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得x 2﹣4x ﹣4﹣2b ＝0 则x P +x Q ＝4∵PQ 2＝()()22Q P Q P x x y y -+-＝5∴()254Q P x x -＝5，x Q ﹣x P ＝2∴点P （1，﹣3）（3）由点A （﹣1，0），C （0，﹣2）得直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2 设点A'坐标为（a ，﹣2a ﹣2），由平移的性质，可知AC ＝A'C'＝5 平移距离为AA'＝5（a+1） ∴AC'5（a+2）当△AB'C'与△AA'B'相似时，只有当△AB'C'∽△AA'B' ∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）过点B'作AA'的平行线，交原抛物线于点D ，连接AD ，由平移知四边形ADB'A'为平行四边形，点D 的纵坐标为2a+2 设点D 的横坐标为m ，则点B'坐标为（m+a+1，0） ∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），① 将点D （m ，2a+2）代入y ＝12 x 2﹣32x ﹣2得 212m ﹣32π﹣2＝2a+2，② 联立①②，解得：a ＝2384m m -- ，m 2﹣9m+15＝0， ∴m ＝9+212 ，或m ＝9-212（舍） ∴a═2384m m --＝623321444m -+=∴点A′的横坐标为321+44． 【点睛】此题考查二次函数综合题，抛物线与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解题关键 25．（1）是；（2）k 的值是﹣2；（3）y ＝﹣x+m+n ． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数2019yx=的单调区间进行判断；（2）由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2．（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答．【详解】解：（1）反比例函数2019yx=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1，∴反比例函数2019yx=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，即k的值是﹣2；（3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，∴当k＞0时，km b m kn b n+=⎧⎨+=⎩，得k1b0=⎧⎨=⎩，即此函数的解析式为y＝x；当k＜0时，km b n kn b m+=⎧⎨+=⎩，得k1b m n=-⎧⎨=+⎩，即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD ，CE 分别是△ABC 的高线和角平分线，且相交于点O ．若AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠BOE 的度数是（ ）A.60°B.55°C.50°D.40°2．如图，抛物线y ＝a （x ﹣1）2+k （a ＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M ，过点P （0，a+4）作x 轴的平行线1，l 与抛物线及其对称轴分别交于点A ，B ，H ．以下结论：①当x ＝3.1时，y ＞0；②存在点P ，使AP ＝PH ；③（BP ﹣AP ）是定值；④设点M 关于x 轴的对称点为M'，当a ＝2时，点M′在l 下方，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④3．函数y=|x-3|·(x+1)的图象为（ ）A. B. C. D.4．如图，ABC ∆纸片中，点1A ，1B ，1C 分别是ABC ∆三边的中点，点2A ，2B ，2C 分别是111A B C ∆三边的中点，点3A ，3B ，3C 分别是222A B C ∆三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上)，则飞镖落在阴影部分的概率是( )A.2164B.1132C.2148D.7125．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A.94B.95分C.95.5分D.96分6．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为6，正方形ABCD的面积等于100，l2与l3的距离为（）A．8 B．10 C．9 D．77．设函数kyx=（0k≠，0x>）的图象如图所示，若1zy=，则z关于x的函数图象可能为（）A．B．C ．D ．8．将抛物线C ：y=x 2-2mx 向右平移5个单位后得到抛物线C′，若抛物线C 与C′关于直线x=-1对称，则m 的值为（ ） A ．7-B ．7C ．72D ．72-9．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则BE 的值为（ ）A.7B.27C.37D.4710．下列各式变形中，正确的是（ ） A ．()2x=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭11．计算的结果为( )A.B.C. D.12．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c ，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如表所示： x … ﹣1 2 3 … y…4…则可求得242b b aca+-（4a ﹣2b+c ）的值是（ ）A.8B.﹣8C.4D.﹣4二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，点M 是直角边AC 上一动点，连接BM ，并将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BN ，连接CN ．则在点M 运动过程中，线段CN 长度的最大值是_____，最小值是_____．14．如图，180280384∠=︒∠=︒∠=︒，，，则4∠=______.15．已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，若往原纸箱中再放入x 个白球，然后从箱中随机取出一个白球的概率是，则x 的值为_____16．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________17．关于x 的一元一次不等式组2152x x m -⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞，中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组解集是___________.18．若x 是3和6的比例中项，则x ＝_____． 三、解答题19．目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A ．无所谓；B ．基本赞成；C ．赞成；D ．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；（2）求出图2中扇形C 所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A 1、A 2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B 1、B 2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．20．如图，一次函数y ＝﹣x+b 交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，1），与反比例函数1(0)ky k x=<的图象。