初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题(解析版)

第 4 章锐角三角形函数4.3解直角三角形知识点 1已知一边一角解直角三角形1．如图 4－3－1，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.(1)已知∠ A 和 c，则 a＝________，b＝ ________；(2)已知∠ B 和 b，则 a＝________，c＝________．2．在直角三角形ABC 中，已知∠ C＝90°，∠ A＝40°，BC＝ 3，则 AC＝()A．3sin40 °B．3sin50 °C．3tan40 °D．3tan50 °图4－3－1图 4－3－23．如图 4－3－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC的长是()4 3A. 3B．4 C．8 3 D．4 34．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a＝8，∠ B＝60°，求∠ A，b，c.知识点 2已知两边解直角三角形5．已知在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，BC＝ 2， AC＝6，则 AB ＝________，∠ A＝______°，∠ B＝________°.6．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠C 的对边，假如 a＝2，b＝2 3，求 c 及∠ B.知识点 3已知一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝°，sinB＝3， BC＝ 5，则∠ B＝902________°，AB＝________．8．2019·岳阳如图 4－3－3 是教课用三角尺，边 AC＝30 cm，∠C3＝90°，tan∠BAC＝3，则边 BC 的长为 ()A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm．在△ABC 中，已知∠＝°，＝，＝2，那么 AC 边9C90BC4sinA3的长是 ()A．6B．25C．3 5 D．213图4－3－3图 4－3－4知识点 4“双直角三角形”问题10．如图 4－3－4，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝ 8，∠ABD ＝30°，∠CAD＝45°，则 BC 的长为 ()A．4 3 B．4 3＋4C．4 3－4 D．411．教材习题 4.3 第 3 题变式如图 4－3－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠ BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数．图 4－3－512．如图 4－3－6 所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠ BAC 的平3分线．已知 AB＝10，tanB＝4，则 BC 的长为 ()A．6 B．8 C．12 D．16图4－3－6图 4－3－713．如图 4－3－7，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，则 tan∠EAF＝ ________．14．如图 4－3－8，在△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠ BDC＝45°，AD＝4.求 BC 的长． (结果保存根号 )图 4－3－815．如图 4－3－9，在 Rt△AOB 中，∠ AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，OA 与 x 轴的正方向的夹角为 30°，求 A，B 两点的坐标．图 4－3－916．如图 4－3－10，在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ ABC＝90°，∠BCD＝45°，点 E 在 BC 上，且∠ AEB＝60°，若 AB＝2 3，AD＝1，求 CD 和 CE 的长． (结果保存根号 )图 4－3－1017．如图 4－3－11，已知 Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD， AE 与 CD，CB 分别订交于点 H，E，AH＝2CH.(1)求 sinB 的值；(2)假如 CD＝5，求 BE 的长．图 4－3－11详解详析1．(1)c·sinA c·cosAb b(2)tanB sinB2．D[ 分析 ] ∵∠ C＝90°，∠A＝40°，∴∠ B＝90°－∠ A＝90°－40°＝50°.AC又∵ tanB＝BC，∴ AC＝BC·tanB＝3tan50 °.应选 D.3．D [ 分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝8，cosB ＝BC，即 cos30°＝BC，AB83∴BC＝8×2＝4 3.应选 D.4．解：∠ A＝90°－∠ B＝30°，ac＝sinA＝16， b＝a·tanB＝8 3.5．2 2 30606．解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋(23)2＝42，∴ c＝4.b233∵sinB＝c＝ 4＝2，∴∠ B＝60°. 7．60108．C[分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，BC∴tan ∠ BAC ＝AC .3又∵ AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝ 3 ，3∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×3 ＝103(cm)．应选 C.2 BC9．B[分析 ] ∵在 △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sinA ＝3＝ AB＝ 4，∴ AB ＝6，∴ AC ＝ 36－16＝2 5.AB10．B[ 分析 ] 第一解 Rt △ ABD ，求出 AD ， BD 的长，再解Rt △ADC ，求出 DC 的长，而后由 BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在 Rt △BDC 中，∠ BDC ＝45°，BD ＝10 2，2∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×2 ＝10.∵在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AB ＝20，BC 10 1∴sinA ＝ AB ＝20＝2，∴∠ A ＝30°.12．D [分析 ] ∵AB ＝AC ，AD 是∠ BAC 的均分线，∴ AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴ tanB ＝AD BD ＝34，∴ AD ＝34BD.∵AD 2＋BD 2＝ AB 2，∴ (34BD)2＋BD 2＝102，∴ BD ＝8，∴ BC ＝16.应选 D.1第5页/共8页BC＝10 cm.∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，∴A F＝AD＝10 cm，DE＝EF，∠ AFE＝∠ D＝90°.在 Rt△ABF 中， BF＝ AF2－AB2＝6 cm，∴FC＝BC－BF＝4 cm.设 EF＝x cm，则 DE＝x cm，CE＝CD－DE＝ (8－x)cm.在 Rt△CEF 中，∵ CF2＋CE2＝EF2，2∴42＋(8－x)＝x2，解得 x＝5，即 EF＝5 cm.在 Rt△AEF 中，EF 5 1tan∠EAF＝AF＝10＝2.14．解：设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，∠DBC＝90°，∠BDC＝45°，∴B D＝BC＝x.∵A D＝4，∴ AB＝4＋x.在 Rt△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠ A＝30°，BC＝x，AB＝4＋ x.BC3x∵tanA＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝23＋2，∴BC 的长为 23＋ 2.15．解：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.在 Rt△AOC 中， AC＝2sin30 °＝1，OC＝2cos30°＝ 3，因此点 A 的坐标为 ( 3，1)．由于∠ AOB＝90°，∠ AOC＝30°，因此∠ BOC＝60°.31.由于点 B 在第四象限，1 3因此点 B 的坐标为 (2，－2 )．16．解：过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F.∵AD∥BC，∠ ABC＝ 90°，DF⊥BC，∴∠ BAD＝∠ ABC＝∠ DFB＝90°，∴四边形 ABFD 为矩形，∴DF＝AB＝2 3，BF＝AD＝1.∵在 Rt△DFC 中，∠ C＝45°，∴D F＝FC＝2 3，CD＝ 2DF＝2 6，∴B C＝FC＋BF＝AB＋AD＝2 3＋1.在 Rt△ABE 中， BE＝AB＝2，tan60 °∴C E＝BC－BE＝2 3＋1－2＝2 3－1.即 CD＝2 6， CE＝2 3－1.17．解： (1)在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝90°，∴∠ CAB＋∠ B＝90°.∵A E⊥ CD，∴∠ CAH＋∠ ACH＝90°.∵C D 是斜边 AB 上的中线，∴ CD＝AD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴∠ B＝∠ CAH，∴sinB＝sin∠CAH.又∵ AH＝2CH，∴ AC＝5CH，CH5∴sinB＝sin∠CAH＝AC＝5 .(2)∵CD＝5，∴ AB＝2 5.5∵sinB＝5，∴A C＝2，∴ BC＝4.CE5又∵ sinB＝sin∠CAH＝AE＝5，AC＝2，∴C E＝1，∴B E＝BC－CE＝4－1＝3.。

4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( )A ．已知一直角边和一锐角B ．已知一斜边和一锐角C ．已知两边D ．已知两角2．如图K －34－1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )图K －34－1A ．303 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm3．2021·牡丹江如图K －34－2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 的长为( )图K －34－2A ．2B ．3C ．3 2D ．2 34．如图K －34－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )图K －34－3A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( )A ．60B ．30C ．240D ．1206．如图K －34－4，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )图K －34－4A ．6B ．8C ．12D ．16二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图K －34－5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图K －34－59．已知△ABC ，O 为AC 的中点，点P 在AC 上，若OP ＝52，tan A ＝12，∠B ＝120°，BC ＝2 3，则AP 的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC ，其中∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .(1)已知c ＝83，∠A ＝60°； (2)已知b ＝2 2，c ＝4；(3)已知c ＝4，a ＝b .11．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝33，AB ＝8 cm.求△ABC 的面积．12．如图K －34－6，在△ABC 中，已知BC ＝1＋3，∠B ＝60°，∠C ＝45°，求AB 的长.图K －34－613．如图K －34－7，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5.(1)求∠B 的度数及AB 的长；(2)求tan ∠CDB 的值．图K －34－714．如图K －34－8所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K －34－815．如图K －34－9，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点．(1)求点A 到BM 的距离．(2)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________．(填写所有符合条件的序号)①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ，△ABC 的面积为126.(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC 的长．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)图K －34－916探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K －34－10，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ADC 中，CD ＝b sin A ，AD ＝b cos A ，∴BD ＝c －b cos A .在Rt △BDC 中，由勾股定理，得CD 2＋BD 2＝BC 2，即(b sin A )2＋(c －b cos A )2＝a 2，整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b 2＝________，c 2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC 中，∠A ＝45°，b ＝2 2，c ＝2，求a 和∠C ；(4)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°(c ＞a ＞b )，求边长c .图K －34－101．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C3． [解析] A ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°，∴AD ＝AC ·sin45°＝6 2×22＝6. ∵tan ∠ABC ＝AD BD＝3， ∴BD ＝AD 3＝2. 4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x ，根据勾股定理，得AB ＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120.故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD .∵tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D. 7．[答案] 1445 8．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35， 即AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等，∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40.9．[答案] 2 5或5[解析] 过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3，∴DC ＝BC ·sin60°＝2 3×32＝3.∵tan A ＝12，∴AD ＝2DC ＝6，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝3 5.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝32 5.∵OP ＝52，∴AP 的长为2 5或 5. 10．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45°.(3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 2.11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC .解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33， ∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)． 由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)． ∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)． 12．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan60°＝3x .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝3x . ∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1.在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB， ∴AB ＝BD cos B ＝1cos60°＝2. 13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x ，在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12， ∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴△BCE 为等腰直角三角形，∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9.即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2， 即tan ∠CDB 的值为2.14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BE sin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DF AD ，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝37°，∴AD ＝AB ·sin B ＝12.(2)①以点A 为圆心、13为半径画圆，与直线BM 有两个交点，点C 不唯一；②由tan ∠ACB ＝125知∠ACB 的大小确定，在△ABC 中，∠ACB ，∠B 及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AB 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的．故答案为②③.(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴CD ＝AD tan ∠ACB＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝21.方案二：选③，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则∠BEC ＝90°，由S △ABC ＝12AB ·CE ，得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°，∴BC ＝CE sin B＝21. 16解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍(3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形，且a ＝c ＝2，∴∠C ＝45°.(4)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6±22. ∵c ＞a ＞b ，∴c ＝6＋22.。

4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为 考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（ ）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 。

6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。

４.３解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是（)Ａ.已知一直角边和一锐角B．已知一斜边和一锐角Ｃ.已知两边Ｄ.已知两角２.如图Ｋ－３４－1是教学用的三角尺,边AC＝30cm,∠C＝90°,tan∠BAC＝错误!，则边BC 的长为(）图K-３４－１A.3０错误!ｃmB.20 错误!未定义书签。

cmＣ．10 错误!未定义书签。

ｃm D.5 ＼r（3) cｍ3.2０16·牡丹江如图Ｋ-34－2,在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.若AC=６错误!未定义书签。

，∠Ｃ=４5°，ｔａn∠ＡBC=３，则BＤ的长为( ）A.2 B ．3 C.3 错误! D ．2 错误!未定义书签。

４．如图K －３４-3,在△ＡBC 中,∠C ＝90°，AC =8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,连接ＢＤ,若cos∠B ＤC =错误!,则ＢC 的长是( ）图K －34－3Ａ．4 cm B ．6 ｃm C ．8 cm D ．10 c ｍ5．在△A ＢC 中，∠C ＝9０°，ｔａn A =错误!,△ABC 的周长为60,那么△ABC 的面积为( ） A.60 Ｂ．3０ C ．240 D ．１２06．如图Ｋ-３４－4，△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BA Ｃ的平分线．已知ＡB =10,tan B ＝错误!,则B Ｃ的长为（ )图K-３4－4Ａ．6 B.８ C ．１2 D.16 二、填空题7．在△ＡＢC 中，∠C =90°,c ｏs A =1２13,BC =1２，那么AC ＝_＿______.8．如图K-３４-5，在菱形ABC Ｄ中，ＤE ⊥AB ，垂足为E ，DE =6，si ｎA ＝错误!未定义书签。

，则菱形ABCD 的周长是 _____＿__ .图K－34-59.已知△ＡBC，O为AC的中点,点Ｐ在AＣ上,若OP＝错误!未定义书签。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题一、选择题1.如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至处，此时测得，则的长为．A. B. C. D.2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的水平距离AC为A. 75mB. 50mC. 30mD. 12m3.如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为处测得塔顶H的仰角为，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为，则塔顶端H到地面的高度HG为参考数据：，，，A. B. 14m C. D.4.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为A. 米B. 米C. 米D. 米5.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B 与小岛A的距离是A. B. 60nmileC. 120nmileD.6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高，则AB的长度为A. 6mB.C. 9mD.7.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AB与AD的长度之比为A.B.C.D.8.小明沿着坡角为的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了A. B. 500m C. D. 1000m9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为A. 56米B. 66米C. 米D. 米10.如图，从点C观测点D的仰角是A. B. C. D.二、填空题11.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，长6米，坡角为，AD的坡角为，则AD长为______米结果保留根号．12.小凡沿着坡角为的坡面向下走了2米，那么他下降______米．13.我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向处，则海岛A，C之间的距离为______．14.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是______结果保留根号三、解答题15.为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为，如图已知C、D、B三点在同一水平直线上，且米，米．求大厦DE的高度；求平安金融中心AB的高度；参考数据：，，，，16.根据道路交通法规规定：普通桥梁一般限速为了安全，交通部门在桥头竖立警示牌：“请勿超速”，并监测摄像系统监控，如图，在某直线公路L路桥段BC内限速，为了检测车辆是否超速，在距离公路L500米旁的A处设立了观测点，从观测点A 测得一小车从点B到达点C行驶了30秒钟，已知，，此车超速了吗？请说明理由．参考数据：，17.某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为和即，求隧道AB的长．结果保留根号18.如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角，在离建筑物CD，25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角F，C在一条直线上．求办公楼AB的高度；若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．参考数据：，，结果保留整数答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．根据是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过作于点D，在直角中利用三角函数求得AD的长，则，然后根据即可求解．【解答】解：在等腰直角中，，则，如图，过作于点D，，则．则，故BB．故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：，，，，解得，，故选A．3.【答案】C【解析】解：延长AD交HG于M，则，设，在中，，在中，，，即，，即．．故选：C．延长AD交HG于M，则，设，根据三角函数的概念用含x的代数式表示HM，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：过点作于点C，由题意可知：，，，故选：B．过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：过C作于D点，，，．在中，，．在中，，，．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是．故选：D．过点C作，则在中易得AD的长，再在直角中求出BD，相加可得AB的长．此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6.【答案】A【解析】解：迎水坡AB的坡比为1：，，即，解得，，由勾股定理得，，故选：A．根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在中，，在中，，：：，故选：B．8.【答案】B【解析】【试题解析】解：设他升高了xm，山坡的坡角为，，故选：B．根据坡角的概念，直角三角形的性质计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了坡度及坡角的知识，过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．【解答】解：作，，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，米，米，斜坡AB的坡度i为1：，在中，，米，在中，，米，米．故选C．10.【答案】B【解析】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，从点C观测点D的仰角是，故选：B．根据仰角的定义进行解答便可．本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．11.【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点D作于E，过点C作于首先证明，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．【解答】解：过点D作于E，过点C作于F．，，，，在中，米，，在中，，，米，故答案为．12.【答案】1【解析】解：如图，，，．他下降的高度米．故答案为：1．利用所给角的正弦函数求解．本题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．13.【答案】【解析】解：作于D，设海里，在中，，则，在中，，则，解得，，答：A，C之间的距离为海里．故答案为：作于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．14.【答案】【解析】解：由题意可得：，则，又，在中，，解得：，故答案为：．利用等腰直角三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题关键．15.【答案】解：在中，，，米，米．故大厦DE的高度约为248米；如图，作于F．由题意，得米，米，．在中，，米，米．故平安金融中心AB的高度约为594米．【解析】在中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；作于由题意，得米，，在中，根据正切函数的定义得出，那么．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．16.【答案】解：此车已超速．理由如下：过A作，垂足为D，则，，，．又，．车速为．，又，此车已超速．【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BD，BC的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出BC的长是解题关键．17.【答案】解：由题意得，，，，．答：隧道AB的长为．【解析】易得，，利用相应的正切值可得BO，AO的长，相减即可得到AB的长．本题考查了解直角三角形的应用俯角和仰角，解答本题的关键是利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度．18.【答案】解：如图，过点E作于点M，设AB为中，，，，在中，，，，则，解得：．即办公楼AB的高度为20米；由可得：．在中，．米；即A、E之间的距离约为48米．【解析】过点E作于点M，设，在中，由可知，在中，利用锐角三角函数的定义求出x 的值即可；在中，根据可得出结论．本题考查的是解直角三角形仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．。

湘教版数学九年级上册第4章 4.4 解直角三角形的应用与俯角、仰角有关的应用问题专题练习题1．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)2．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高1.2米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α＝30°，则电线杆AB的高为( )A．(93＋1.2)米B．(73＋1.2)米C．(92＋1.2)米D．(72＋1.2)米3．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A．82米B．163米C．52米D．70米4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．1003 m B ．50 2 m C ．50 3 m D.10033 m5．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一条直线上，则A ，B 两点的距离是( )A ．200米B ．2003 米 C ．220 3 米 D ．100(3＋1)米6．从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( )A ．(6＋63)米B ．(6＋33)米C．(6＋23)米D．12米7．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A，B，C在同一条直线上)，则河的宽度AB约为_______m．(精确到0.1 m)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)8．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81)9．如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)10．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图①.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶点F的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图②.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米．(结果保留整数，参考数值：3≈1.732，2≈1.414)11．如图，AB，CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.求建筑物CD的高度．(结果保留根号)答案：1. 1822. B3. A4. A5. D6. A7. 15.48. 解：tan∠ADE＝AEDE ，即0.81＝AE24，∴AE＝19.44米，AB＝BE＋AE＝20.94米≈20.9米9. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝3 3.在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.∴AB＝AD＋BD＝33＋9(m)．答：旗杆的高度为(33＋9)m10. 解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC ＝CF ＝x ，CF AC＝tan30°，即AC ＝3x.∵AC －BC ＝1200，∴3x －x ＝1200，解得x ＝600(3＋1)，则DF ＝h －x ＝2001－600(3＋1)≈362(米)．答：钓鱼岛的最高海拔高度约为362米11. 解：过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，在△ABD 中，∠B ＝90°，∠ADB ＝45°，∴BD ＝AB ＝60米，在△ACF 中，∠AFC ＝90°，∠ACF ＝30°，CF ＝BD ＝60米，∴AF ＝CF ·tan ∠ACF ＝203米，∴BF ＝AB －AF ＝(60－203)米，∴CD 的高度为(60－203)米。

4.3 解直角三角形一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A. B. C. D.2.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形3.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（）A. B. C. D.4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为（）A. 3sinαB. 3cosαC.D.6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 17.在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题8.如图，已知tanO=，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________．9.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=________ ．10.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________ ．11.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=________．三、解答题12.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.13.如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长．参考答案一、选择题1.A2.D3. C4. B5.D6.D7.D二、填空题8.9.10.7或17 11. 2m三、解答题12.解：设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理，得所以x+4x+90°=180°，解得x=18°.所以4x=72°.答：这个直角三角形各个角的度数分别为18°，72°，90°.13.解：∵∠A=105°，∠B=30°，∴∠C=45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2，∴∠DAC═∠C=45°．∵sinC= ，∴AD= ．∴AD=CD= ．在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．∵AD= ，∴AB=2 ．∴由勾股定理，得BD= ．∴BC=BD+CD= ．。

4.4 解直角三角形的应用1.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ）. A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形2.小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A 处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE 的高为（ ）.A.（203-1.5）米B.（203+1.5）米C.31.5D.28.53.由山顶A 望地面C 、D 两点的俯角分别为450、300，若CD=100m ，则山高AB 等于（ ）.A.100mB.503mC.502mD.50（3+1）m4.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是 .5.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为6.一等腰梯形，下底长4m ，高2cm ，底角的余弦为53，则上底长 m ，腰 长 m.7.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值. 第2题图第4题图 30Ａ ＢＣ 第5题图8.如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠B ＝30º，AD 是∠BAC 的平分线，BD ＝43，求AD 的长.9.如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4m ，DE 为1.68m ，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1m ）10.如图，一艘海轮位于灯塔C 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C 的东南方向上的B 处.（1）求灯塔C 到航线AB 的距离；（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A 处到B 处所用的时间（结果精确到0.1小时） （参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）第9题图第8题图第7题图第10题图11.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？第11题图参考答案1.B2.B3.D4.355.4336.1 2.57.ABC ∆的周长为36；4tan 3A =8.439.4.0m10.（1）灯塔C 到AB 的距离为40海里；（2）海轮从A 处到B 处所用的时间约为5.5小时.11.过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，∴CE ∥GB ∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5(海里). ∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.。