初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题-普通用卷

第 4 章锐角三角形函数4.3解直角三角形知识点 1已知一边一角解直角三角形1．如图 4－3－1，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.(1)已知∠ A 和 c，则 a＝________，b＝ ________；(2)已知∠ B 和 b，则 a＝________，c＝________．2．在直角三角形ABC 中，已知∠ C＝90°，∠ A＝40°，BC＝ 3，则 AC＝()A．3sin40 °B．3sin50 °C．3tan40 °D．3tan50 °图4－3－1图 4－3－23．如图 4－3－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC的长是()4 3A. 3B．4 C．8 3 D．4 34．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a＝8，∠ B＝60°，求∠ A，b，c.知识点 2已知两边解直角三角形5．已知在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，BC＝ 2， AC＝6，则 AB ＝________，∠ A＝______°，∠ B＝________°.6．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠C 的对边，假如 a＝2，b＝2 3，求 c 及∠ B.知识点 3已知一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝°，sinB＝3， BC＝ 5，则∠ B＝902________°，AB＝________．8．2019·岳阳如图 4－3－3 是教课用三角尺，边 AC＝30 cm，∠C3＝90°，tan∠BAC＝3，则边 BC 的长为 ()A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm．在△ABC 中，已知∠＝°，＝，＝2，那么 AC 边9C90BC4sinA3的长是 ()A．6B．25C．3 5 D．213图4－3－3图 4－3－4知识点 4“双直角三角形”问题10．如图 4－3－4，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝ 8，∠ABD ＝30°，∠CAD＝45°，则 BC 的长为 ()A．4 3 B．4 3＋4C．4 3－4 D．411．教材习题 4.3 第 3 题变式如图 4－3－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠ BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数．图 4－3－512．如图 4－3－6 所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠ BAC 的平3分线．已知 AB＝10，tanB＝4，则 BC 的长为 ()A．6 B．8 C．12 D．16图4－3－6图 4－3－713．如图 4－3－7，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，则 tan∠EAF＝ ________．14．如图 4－3－8，在△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠ BDC＝45°，AD＝4.求 BC 的长． (结果保存根号 )图 4－3－815．如图 4－3－9，在 Rt△AOB 中，∠ AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，OA 与 x 轴的正方向的夹角为 30°，求 A，B 两点的坐标．图 4－3－916．如图 4－3－10，在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ ABC＝90°，∠BCD＝45°，点 E 在 BC 上，且∠ AEB＝60°，若 AB＝2 3，AD＝1，求 CD 和 CE 的长． (结果保存根号 )图 4－3－1017．如图 4－3－11，已知 Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD， AE 与 CD，CB 分别订交于点 H，E，AH＝2CH.(1)求 sinB 的值；(2)假如 CD＝5，求 BE 的长．图 4－3－11详解详析1．(1)c·sinA c·cosAb b(2)tanB sinB2．D[ 分析 ] ∵∠ C＝90°，∠A＝40°，∴∠ B＝90°－∠ A＝90°－40°＝50°.AC又∵ tanB＝BC，∴ AC＝BC·tanB＝3tan50 °.应选 D.3．D [ 分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝8，cosB ＝BC，即 cos30°＝BC，AB83∴BC＝8×2＝4 3.应选 D.4．解：∠ A＝90°－∠ B＝30°，ac＝sinA＝16， b＝a·tanB＝8 3.5．2 2 30606．解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋(23)2＝42，∴ c＝4.b233∵sinB＝c＝ 4＝2，∴∠ B＝60°. 7．60108．C[分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，BC∴tan ∠ BAC ＝AC .3又∵ AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝ 3 ，3∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×3 ＝103(cm)．应选 C.2 BC9．B[分析 ] ∵在 △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sinA ＝3＝ AB＝ 4，∴ AB ＝6，∴ AC ＝ 36－16＝2 5.AB10．B[ 分析 ] 第一解 Rt △ ABD ，求出 AD ， BD 的长，再解Rt △ADC ，求出 DC 的长，而后由 BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在 Rt △BDC 中，∠ BDC ＝45°，BD ＝10 2，2∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×2 ＝10.∵在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AB ＝20，BC 10 1∴sinA ＝ AB ＝20＝2，∴∠ A ＝30°.12．D [分析 ] ∵AB ＝AC ，AD 是∠ BAC 的均分线，∴ AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴ tanB ＝AD BD ＝34，∴ AD ＝34BD.∵AD 2＋BD 2＝ AB 2，∴ (34BD)2＋BD 2＝102，∴ BD ＝8，∴ BC ＝16.应选 D.1第5页/共8页BC＝10 cm.∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，∴A F＝AD＝10 cm，DE＝EF，∠ AFE＝∠ D＝90°.在 Rt△ABF 中， BF＝ AF2－AB2＝6 cm，∴FC＝BC－BF＝4 cm.设 EF＝x cm，则 DE＝x cm，CE＝CD－DE＝ (8－x)cm.在 Rt△CEF 中，∵ CF2＋CE2＝EF2，2∴42＋(8－x)＝x2，解得 x＝5，即 EF＝5 cm.在 Rt△AEF 中，EF 5 1tan∠EAF＝AF＝10＝2.14．解：设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，∠DBC＝90°，∠BDC＝45°，∴B D＝BC＝x.∵A D＝4，∴ AB＝4＋x.在 Rt△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠ A＝30°，BC＝x，AB＝4＋ x.BC3x∵tanA＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝23＋2，∴BC 的长为 23＋ 2.15．解：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.在 Rt△AOC 中， AC＝2sin30 °＝1，OC＝2cos30°＝ 3，因此点 A 的坐标为 ( 3，1)．由于∠ AOB＝90°，∠ AOC＝30°，因此∠ BOC＝60°.31.由于点 B 在第四象限，1 3因此点 B 的坐标为 (2，－2 )．16．解：过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F.∵AD∥BC，∠ ABC＝ 90°，DF⊥BC，∴∠ BAD＝∠ ABC＝∠ DFB＝90°，∴四边形 ABFD 为矩形，∴DF＝AB＝2 3，BF＝AD＝1.∵在 Rt△DFC 中，∠ C＝45°，∴D F＝FC＝2 3，CD＝ 2DF＝2 6，∴B C＝FC＋BF＝AB＋AD＝2 3＋1.在 Rt△ABE 中， BE＝AB＝2，tan60 °∴C E＝BC－BE＝2 3＋1－2＝2 3－1.即 CD＝2 6， CE＝2 3－1.17．解： (1)在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝90°，∴∠ CAB＋∠ B＝90°.∵A E⊥ CD，∴∠ CAH＋∠ ACH＝90°.∵C D 是斜边 AB 上的中线，∴ CD＝AD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴∠ B＝∠ CAH，∴sinB＝sin∠CAH.又∵ AH＝2CH，∴ AC＝5CH，CH5∴sinB＝sin∠CAH＝AC＝5 .(2)∵CD＝5，∴ AB＝2 5.5∵sinB＝5，∴A C＝2，∴ BC＝4.CE5又∵ sinB＝sin∠CAH＝AE＝5，AC＝2，∴C E＝1，∴B E＝BC－CE＝4－1＝3.。

4.3 解直角三角形基础导练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c和tan A的值分别为( )A.12，33B.12，3C.43，33D.22，32.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是( )A.c=a sin AB.c=a/sin AC.c=a cos AD.c=a/cos A3.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )4. A.3sin40° B.3sin50° C.3ta n40° D.3tan50°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知∠A和c，则a= ，b= ；(2)已知∠B和b，则a= ，c= .5.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠B=30°；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9，c=63.能力提升6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为( ) A.303 cmB.203 cmC.103 cmD.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( ) A.2B.334 C.23 D.438.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sin A=35，则斜边上的高等于( )A.6425 B.4825 C.165 D.1259.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin B=32，a=5，则∠B= °，c= . 10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=30，b=20； (2)∠B=72°，c=14.11.∠C=90°，c=0.832 8，b=0.295 4，解这个直角三角形.12.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25，求BC 的长和tan B 的值.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.14.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长.参考答案1.D2.B3.D4.(1)c sin A c cos A (2)b tanB b s i n B5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴a=22105-=53.∴∠A=90°-∠B=60°.(2)∵∠C=90°，b=9，c=63，∴a=22(63)927-==33.∵sin A=a c =3363=12，∴∠A=30°，∠B=60°.6.C7.B8.B9.60°1010.(1)c=222230201013a b +=+=，tan A=303202==1.5，∴∠A ≈56.3°. ∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即c=1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°. (2)∠A=90°-72°=18°.又sin B=b c ，∴sin72°=14b.∴b=14×sin72°≈13.3.∵sin A=ac，∴a=14×sin18°≈4.3.即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.∵sin B=b c =0.29540.8326≈0.354 7，∴∠B ≈20°47′.∴∠A=90-∠B ≈90°-20°47′=69°13′.a=22220.83280.2954c b -=-≈0.778 6. 12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=BC AB =2105BC =，∴BC=4. 根据勾股定理得：AC=22221AB BC -=，则tan B=AC BC =2214=212. 13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B 作BM ⊥FD 于点M.在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC ×tan60°=103.∵AB ∥CF ，∴BM=BC ×sin30°=103×1/2=53，CM=BC ×cos30°=15.在△EFD 中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。

4.3 解直角三角形知|识|目|标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法．3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一理解解直角三角形的定义与依据例1 教材补充例题在Rt△ABC中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( ) A．已知a＝5，∠C＝90°B．已知∠B＝48°，∠C＝90°C．已知a＝5，∠B＝48°D．已知∠B＝48°，∠A＝42°[全品导学号：90912121]例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠B和a，则有( )A．c＝a cos B B．c＝a sin BC．c＝asin BD．c＝acos B【归纳总结】解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有1个是边．2．解直角三角形的依据：(1)直角三角形两个锐角的互余关系；(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)．目标二会解直角三角形例3 教材例1针对训练如图4－3－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝5，解这个直角三角形．图4－3－1例4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例5 教材补充例题如图4－3－2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．图4－3－2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例6 教材补充例题如图4－3－3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin C ＝35，D 是BC 上一点，且DC ＝AC .(1)求BD 的长的值； (2)求tan ∠BAD .图4－3－3【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是______)，就可以求出其余的3个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图4－3－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2； (2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝1tan B ＝ab.图4－3－4知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用______求出斜边，用______求出对边； (2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边； (3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角． [点拨] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法． 问题：在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝6，AC ＝2 3，求AB 的长．解：如图4－3－5，作出符合题意的几何图形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22，∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.图4－3－5详解详析【目标突破】例1 [解析] C A ．已知一边和一角，一角是直角，Rt △ABC 不可解，不符合题意；B ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意；C ．已知一边和一角，一角不是直角，Rt △ABC 可解，符合题意；D ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意．例2 [解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵cos B ＝a c ，∴c ＝acos B.例3 解：∵∠C ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠A ＝90°－45°＝45°， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ＝BC ＝5. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos45°＝BCAB，∴AB ＝BCcos45°＝5 2，∴∠A ＝45°，AC ＝5，AB ＝5 2.例4 解：∵a＝2 3，b ＝6， ∴tan A ＝a b ＝2 36＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－30°＝60°，c ＝2a ＝4 3.例5 解：设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠ABC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4＋x ， ∴tan A ＝BC AB ，即33＝x4＋x ，解得x ＝2 3＋2.∴BC 的长为2 3＋2.例6 解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE .在Rt △ACE 中，AC ＝10，sin C ＝35，∴AE ＝6，从而CE ＝AC 2－AE 2＝8， ∴BC ＝2CE ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝BC －AC ＝6.(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中，BD ＝6，sin B ＝sin C ＝35，∴DF ＝185，从而BF ＝BD 2－DF 2＝245，∴AF ＝AB －BF ＝265，∴tan ∠BAD ＝DF AF ＝913.备选题型 解非直角三角形例 如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝3＋3 3，求AB 的长．[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，将特殊角∠B ，∠C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，AB ＝2BD . 设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ADC 中， ∵tan C ＝ADDC ，即x DC ＝33， ∴DC ＝3x . 又∵BC ＝BD ＋DC ， ∴x ＋3x ＝3＋3 3， 解得x ＝3， ∴AB ＝3 2.[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑． (2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】 [小结] 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦[反思] 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，∴∠ADC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22， ∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD －BD ＝3－ 3.综合情形(1)与(2)，得AB 的长为3＋3或3－ 3.。

4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为 考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（ ）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 。

6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。

湘教新版数学九年级上学期第4章锐角三角函数4.3解直角三角形同步练习有答案连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（）A．2B．2+C．1+D．8．如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．9．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．10．如图，在方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A．2B．C．D．112．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tanD的值为（）A．2+B．2﹣C．2D．3二．填空题（共6小题）13．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD= ．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．16．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= ．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是．18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为．三．解答题（共6小题）19．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=8，b=8；（2）∠B=45°，c=14．20．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE=，cos∠ACD=．（1）求cos∠ABC；（2）AC的值．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．22．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知AB=AC=6，cosB=，AD：DB=1：2．（1）求△ABC的面积；（2）求CE：DE．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC 的周长．24．如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．参考答案一．选择题1．D．2．C．3．C．4．A．5．A．6．D．7．B．8．C．9．D．10．A．11．A．12．B．二．填空题13．．14．．15．．16．217．．18．．三．解答题19．解：（1）∵a=8，b=8，∠C=90°；∴c=，∠A=30°，∠B=60°，（2）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，∴∠A=45°，a=b=．20．解：（1）在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴cos∠ABC=cos∠ACD=（2）在Rt△ABC中，，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE：AB=3：5，知BE=3k，则CE=k，且CE=，则k=，AC=3．21．解：过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∵BC=2，sinB=，∴CE=BC•sinB=2×=2，∴BE==2，在Rt△ACE中，∵tanA=，∴AE==4，∴AB=AE+BE=4+2=6，∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，在Rt△CDE中，∵CD=，∴cos∠CDB=．故边AB的长为6，cos∠CDB=．22．解：（1）∵AB=AC=6，cosB=，AH是△ABC的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH=，∴△ABC的面积是； ==8；（2）作DF⊥BC于点F，∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∵AD：DB=1：2，BH=CH，∴AD：AB=1：3，即CE：DE=3：1．23．解：在Rt△ADC中，tanC==，设AD=k，CD=2k，AC==k，∵AC=3，∴k=3，解得k=3，∴AD=3，CD=6，在Rt△ABD中，BD===，∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3++6=10+3+．24．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：证明：由题意可知BC=AB，DC=AB，∵在△ABD中，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴BC=DC=AD=AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OB=OD．在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=5，cos∠ABD=，∴OB=AB•cos∠ABD=3，∴BD=2OB=6．。

湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.3 解直角三角形 同步练习题1．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 52．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．在直角三角形ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tan A 的值分别为( )A ．12，33B ．12， 3C ．43，33 D ．22， 35．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h, 滑梯的倾斜面与水平面的夹角为α，那么滑梯长l 为( )A.h sin αB.h tan αC.hcos αD ．h ·sin α6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A和c，则a＝_____________，b＝_____________.(2)已知∠B和b，则a＝_________，c＝____________．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝6，∠A＝60°，则a＝_______，b＝____；(2)已知a＝4，∠B＝45°，则b＝____，c＝________；(3)已知a＝10，b＝103，则c＝_______，∠A＝______；(4)已知b＝63，c＝12，则a＝____，∠B＝________.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)∠A＝30°，b＝12；(2)a＝26，c＝4 3.9．直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求AC和BC的长．10．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.mtan α米11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( )A.1213B.512C.1312D.12512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.12513．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，a ＝5，则∠B ＝______，c ＝______．14．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633，求∠B的度数及边BC，AB的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．答案: 1—5 ACDDA6. (1) c·sinA c·cosAb sinB7. (1) 3 3 3 (2) 4 4 2 (3) 20 30° (4) 6 60°8. (1) 解：∠B＝60°，AB ＝83，BC ＝4 3(2) 解：b ＝26，∠A＝45°，∠B＝45°9. 解：sin30°＝AB AC ＝3AC ，∴AC＝6，∴BC＝AC 2－AB 2＝3 310. B 11. D 12. B13. 60° 1014. 解：∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴34＝BD12，∴BD ＝9，CD ＝5，AC ＝AD 2＋CD 2＝13，sinC ＝AD AC ＝121315. 解：cos ∠CAD ＝CA AD ＝81633＝32，∴∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∴∠B＝30°，tan ∠B ＝AC BC ，∴33＝8BC ，∴BC ＝83，sin ∠B ＝AC AB ，∴12＝8AB ，∴AB ＝1616. 解：在Rt△ACD 中，AC ＝3，∠ADC＝60°，∴AD＝AC sin60°＝3sin60°＝2，∴BD＝2AD ＝4，CD ＝1，∴AB＝（3）2＋52＝28＝27.∴c △ABC ＝27＋5＋ 3 17. 解：tanA ＝BC AB ，∴AB＝BC tan30°＝3BC ，tan∠BDC＝BC BD ，∴BD＝BC tan45°＝BC ，AB －BD ＝AD ，即(3－1)BC ＝4，∴BC＝43－1＝2(3＋1)18. 解：过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ACD 中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC ＝3，由勾股定理得AD ＝（23）2－（3）2＝9＝3，在Rt△BCD 中，∵tan45°＝CDBD ，∴BD＝CD ＝3.∴AB＝AD ＋BD ＝3＋ 3。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题一、选择题1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 42.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tan A的值为()A. 35B. 45C. 34D. 433.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=()A. √26B. √2626C. √2613D. √13134.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12cm，则阴影部分的面积是()A. 12B. 18C. 24D. 365.如图在△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE//BC交AC于点E，若BD=6，AE=5，则sin∠EDC的值为()A. 35B. 725C. 45D. 24256.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，下列结论正确的是()A. AC=BC⋅tanAB. AB=AC⋅cosAC. AC=AB⋅sinAD. AC=BC⋅tanB7.在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为()A. √52B. √55C. √33D. 18.如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C、F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是()A. 817B. 717C. 49D. 599.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为()A. 313B. 513C. 512D. 121310.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cos C的值是()A. 12B. 2 C. 2√55D. √55二、填空题11.在△ABC中，AB=√2，AC=√10，tanC=13，则∠B的度数为______．12.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=2√6，则AB=______．13.已知△ABC中，AB=10，AC=2√7，∠B=30°，则△ABC的面积等于______．14.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE=3，那么CE：BF=______．415.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是______．三、解答题16.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求tan∠DEC．17.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，sinB=3，求tan C和BC的长．518.如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD3交AC于点D，CD=√3，求AB的长？19.如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，OB，抛物线y=ax2+点A在x轴负半轴上，且OA=12bx+4经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cos∠A=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．2.【答案】D【解析】解：如图所示，连接格点C、D，则CD⊥AB在Rt△ACD中，tanA=CD AD=43故选：D．构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．本题考查了三角函数的定义．连接格点构造直角三角形是解决本题的关键．在直角三角形中，锐角的正切=对边邻边．3.【答案】B【解析】【试题解析】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=√32+22=√13，AC=√32+32=3√2，∵S△ABC=12AC⋅BD=12×3√2⋅BD=12×1×3，∴BD=√22，∴sin∠BAC=BDAB =√22√13=√2626．故选：B．作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC//ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=12×6×6=18(cm2).故选：B．由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，∴AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，∵AE=5，DE//BC，∴AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，∴sin∠EDC=sin∠BCD=BDBC =610=35，故选：A．由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE//BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴sinA=BCAB ，cosA=ACAB，tanB=ACBC，∴AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB；故选：D．由三角函数定义得出AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB，即可得出答案．本题考查了解直角三角形以及三角函数定义；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：作AD⊥BC于D，如图所示：由勾股定理得：BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，∵△ABC的面积=12BC×AD=12×3×1−12×1×1，∴12×√10×AD√105=12×3×1−12×1×1，解得：AD=√105，∴sin∠ABC=ADAB =√105√2=√55；故选：B．作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，由△ABC 的面积求出AD=√105，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO=OEOA =DKAD，∴OE8=512，∴OE=103，∴AE=√OE2+OA2=263，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12⋅AB⋅EH=S△AOB−S△AOE，∴EH=7√23，∴AH=√AE2−EH2=17√23，∴tan∠BAD=EHAH =7√2317√23=817，故选：B．如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H.求出EH，AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9.【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得60π=π×5×R，解得R=12．∴sinθ=512，故选：C．圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的母线长．根据正弦函数定义求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对比与斜边之比．10.【答案】D【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，∴设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55，故选：D．如图，过B作BD⊥AC于D，设BD=4k，AB=5k，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=3k，BC=√BD2+CD2=2√5k，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．11.【答案】45°或135°【解析】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①∠ABC是锐角时，如图1所示：∵tanC=13=ADCD，∴设AD=x，则CD=3x，由勾股定理得：x2+(3x)2=(√10)2，解得：x=1，∴AD=1，∵sinABC=ADAB =1√2=√22，∴∠ABC=45°；②∠ABC是钝角时，如图2所示：同①得：∠ABD=45°，∴∠ABC=135°；综上所述，∠B的度数为45°或135°；故答案为：45°或135°．作AD⊥BC于D，分两种情况：①三角函数和勾股定理得出AD=1，求出sinABC=ADAB=√22，得出∠ABC=45°；②同①得出∠ABD=45°，得出∠ABC=135°；即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】6+2√3【解析】解：过点C作CD⊥AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=2√6，∴BD=BC⋅sin∠B=2√6×√22=2√3=CD，∵∠A=30°，∴AD=CDtan∠A =√3√33=6，∴AB=AD+BD=6+2√3．故答案为6+2√3．过点C作CD⊥AB于D，解直角△BCD得出BD=CD=2√3，再解直角△ACD，得出AD= 6，从而得出AB即可．本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．13.【答案】15√3或10√3【解析】解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5√3，在Rt△ACD中，∵AC=2√7，∴CD=√AC2−AD2=√(2√7)2−52=√3，则BC=BD+CD=6√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×6√3×5=15√3；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5√3，CD=√3，则BC=BD−CD=4√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4√3×5=10√3．综上，△ABC的面积是15√3或10√3，故答案为15√3或10√3．作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．14.【答案】4：5【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．首先证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF=∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得CEBF =DEEF，再证明∠DEF=∠ABE，推出tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，可得EF=5k，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠BCD=90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠BEF+∠BCF=180°，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF=∠ECF，∵∠BEF=∠D=90°，∴△BEF∽△CDE，∴CEBF =DEEF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，∴EF=5k，∴CEBF =4k5k=45，故答案为4：5．15.【答案】√22【解析】解：如图，连接AB．∵OA=AB=√10，OB=2√5，∴OB2=OA2+AB2，∴∠OAB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴sin∠AOB=√22，故答案为√22．如图，连接AB.证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB，AD//BC，∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC，∴AFCD =ADDE，即4√38=6√3DE，∴DE=12，∵在Rt△ADE中，AE2=DE2−AD2，∴AE=6，∴tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD =6√3=√33．【解析】(1)易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明△ADF∽△DEC．(2)根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得AFCD =ADDE，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD即可解题．本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF∽△DEC，学会转化的思想，属于中考常考题型．17.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，AB=25，sinB=ADAB =35，∴AD25=35，∴AD=15，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√392−152=36，∴tanC=ADCD =1536=512，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√252−152=20，∴BC=BD+CD=20+36=56．【解析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由sinB=ADAB =35，求出AD=15，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD=√AC2−AD2=36，则tanC=ADCD =512，在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD=√AB2−AD2=20，即可得出BC的长．本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识；作辅助线构建直角三角形是解题的关键．18.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，∴∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=30°，又∵CD=√3，∴BC=CDtan30∘=3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=BCsin30∘=6．答：AB的长为6．【解析】根据∠C=90°，tanA=√33，可求出∠A=30°，∠ABC=60°，再根据BD是∠ABC 的平分线，求出∠CBD=∠ABD=30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确解答的关键．19.【答案】解：(1)由y=−x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,4)，∴OB=4，∴OA=12OB=2，∴A(−2,0)，把A(−2,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx+4中，得{4a−2b+4=016a+4b+4=0，解得{a=−12b=1，∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；(2)∵点P在二次函数y=−12x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P(m,−12m2+m+4)，过P作PF//y轴，交BC于F，则F(m,−m+4)，∴PF=−12m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB=OC=4，∴∠OCB=45°，∵PF//y轴，∴∠PFD=∠OCB=45°，∴PD=PF⋅sin∠PFD=√22(−12m2+2m)=−√24(m−2)2+√2，∵0<m<4，−√24<0，∴当m=2时，PD最大，最大值为√2．【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．(1)由直线y=−x+4得出B(4,0)，C(0,4)，即可得出A(−2,0)，将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；(2)已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．。

４.３解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是（)Ａ.已知一直角边和一锐角B．已知一斜边和一锐角Ｃ.已知两边Ｄ.已知两角２.如图Ｋ－３４－1是教学用的三角尺,边AC＝30cm,∠C＝90°,tan∠BAC＝错误!，则边BC 的长为(）图K-３４－１A.3０错误!ｃmB.20 错误!未定义书签。

cmＣ．10 错误!未定义书签。

ｃm D.5 ＼r（3) cｍ3.2０16·牡丹江如图Ｋ-34－2,在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.若AC=６错误!未定义书签。

，∠Ｃ=４5°，ｔａn∠ＡBC=３，则BＤ的长为( ）A.2 B ．3 C.3 错误! D ．2 错误!未定义书签。

４．如图K －３４-3,在△ＡBC 中,∠C ＝90°，AC =8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,连接ＢＤ,若cos∠B ＤC =错误!,则ＢC 的长是( ）图K －34－3Ａ．4 cm B ．6 ｃm C ．8 cm D ．10 c ｍ5．在△A ＢC 中，∠C ＝9０°，ｔａn A =错误!,△ABC 的周长为60,那么△ABC 的面积为( ） A.60 Ｂ．3０ C ．240 D ．１２06．如图Ｋ-３４－4，△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BA Ｃ的平分线．已知ＡB =10,tan B ＝错误!,则B Ｃ的长为（ )图K-３4－4Ａ．6 B.８ C ．１2 D.16 二、填空题7．在△ＡＢC 中，∠C =90°,c ｏs A =1２13,BC =1２，那么AC ＝_＿______.8．如图K-３４-5，在菱形ABC Ｄ中，ＤE ⊥AB ，垂足为E ，DE =6，si ｎA ＝错误!未定义书签。

，则菱形ABCD 的周长是 _____＿__ .图K－34-59.已知△ＡBC，O为AC的中点,点Ｐ在AＣ上,若OP＝错误!未定义书签。

4.1～4.3 同步检测(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每题3分，共24分)1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =2，则cosA 的值是( )A.521B.52C.221D.252.已知锐角A 满足关系式2sin 2A －7sinA +3=0，则sinA 的值为( )A.21B.3C.21或3D.43.(昭通中考)如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则tanB ′的值为( )A.21B.31C.41D.424.已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为( )A.3sin αB.3cos αC.a sin 3D acos 35.(孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－2tan60)-(1的值是( ) A.23－2 B.0 C.23D.26.(义乌中考)如图，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα=23，则t 的值是( )A.1B.1.5C.2D.37.如图，在Rt △ABO 中，斜边AB =1.若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则( )A.点B 到AO 的距离为sin 54°B.点B 到AO 的距离为tan 36°C.点A 到OC 的距离为sin 36°sin 54°D.点A 到OC 的距离为cos 36°sin 54°8.已知，△ABC 中，∠A =90°，∠ABC =30°.将△ABC 沿直线BC 平移得到△A 1B 1C 1，B 1为BC 的中点，连接BA 1，则tan ∠A 1BC 的值为( )A.43B.53C.63D.73二、填空题(每题4分，共32分)9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，则cosA =____.10.若△ABC 中，∠C =90°，AC ∶BC =3∶4，那么sinA =____.11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b =2a ，则tanA =____.12.在Rt △ABC 中，∠C =90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c =____.13.(新疆中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =37°，BC =32，则AC =____.(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)14.(济宁中考)如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =23，则AB 的长为____.15.已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为____.16.如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AF AG的值为____.三、解答题(共44分)17.(10分)(重庆中考)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB =12，CD =6，tanA =23，求sinB +cosB 的值.18.(12分)计算：(1)cos 60°+sin 245°－tan 45°；(2)3cos 30°+2sin 45°+6tan 230°；(3)sin 245°－cos 245°+tan 30°tan 60°－sin 60°cos 30°；(4)tan 60°·sin 30°－cos30-145cos 2+cos 30°.19.(10分)矩形ABCD 中，AB =10，BC =8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，使点D 正好落在AB 边上，求tan ∠AFE .20.(12分)如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，AE =6，cosA =53.(1)求DE 、CD 的长；(2)求tan ∠DBC 的值.参考答案1.B2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.3/510.4/511.1/212.a/sinA13.2414.3+315.4/5或5/1616.3/217.在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA=3/2，∴AD=4，∴BD=AB－AD=12－4=8.在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC=10，∴sinB=3/5，cosB=4/5，∴sinB+cosB=7/5.18.(1)原式=0.(2)原式=9/2.(3)原式=1/4.(4)原式=－2.19.根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE+∠BFC=90°.又Rt△BCF中，∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF=CD，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得：BF=6，则tan∠BCF=3/4,∴tan∠AFE=tan∠BCF=3/4.20.(1)在Rt△ADE中，由AE=6，cosA=AE/AD=3/5，得AD=10，∴DE=8.∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE=8.(2)由(1)得AC=18，又cosA=AC/AB=3/5，∴AB=30.∴BC=24，∴tan∠DBC=DC/BC=1/3.。

ABC D4.3 解直角三角形1（北京市丰台区期末）5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB于点D ，如果AC =3， AB =6，那么AD 的值为 A.32 B. 92 C. 332D. 33 2（北京市昌平区期末）5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为A ．1B ．32 C ．2 D ．523（北京市怀柔区期末）7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为A ．1B ．32C ．2D ．524（北京市延庆县期末）18. 已知：AD 是△ABC 的高，7AD =，AB =4，tan 7ACD ∠=，求BC 的长.5（北京市门头沟区期末）19．如图，在锐角△ABC 中，AB =AC ，BC =10，sin A =35． （1）求tan B 的值； （2）求AB 的长．D CA BDCBAAB CD6（北京市石景山区期末）16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．7（北京市昌平区期末）18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数； （2）求AB 及BC 的长．8（北京市怀柔区期末）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin 2BDC ∠=，AD ＝4．求DC 的长．BC ADCBACBA。

4.3 解直角三角形一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A. B. C. D.2.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形3.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（）A. B. C. D.4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为（）A. 3sinαB. 3cosαC.D.6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 17.在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题8.如图，已知tanO=，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________．9.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=________ ．10.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________ ．11.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=________．三、解答题12.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.13.如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长．参考答案一、选择题1.A2.D3. C4. B5.D6.D7.D二、填空题8.9.10.7或17 11. 2m三、解答题12.解：设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理，得所以x+4x+90°=180°，解得x=18°.所以4x=72°.答：这个直角三角形各个角的度数分别为18°，72°，90°.13.解：∵∠A=105°，∠B=30°，∴∠C=45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2，∴∠DAC═∠C=45°．∵sinC= ，∴AD= ．∴AD=CD= ．在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．∵AD= ，∴AB=2 ．∴由勾股定理，得BD= ．∴BC=BD+CD= ．。

湘教版 2018 年九年级数学上册同步练习4.3解直角三角形知 | 识 | 目 | 标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知 2 个元素 ( 至少有 1 个是边 ) 求 3 个未知元素的解法． 3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一 理解解直角三角形的定义与依据 例 1 教材补充例题在Rt △ ABC 中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是()A ．已知 a ＝ 5，∠ C ＝ 90°B ．已知∠ B ＝ 48°，∠C ＝ 90° C ．已知 a ＝ 5，∠ B ＝ 48°D ．已知∠ ＝ 48°，∠ ＝ 42°B A[ 全品导学号： 90912121]例 2 教材补充例题在Rt △中，∠ ＝ 90°，已知∠ B 和 a ，则有 ()ABC CA ． c ＝a cosB B ． c ＝ a sin BaaC ． c ＝BD ． c ＝sin cos B【归纳总结】 解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有 1 个是边．2．解直角三角形的依据：(1) 直角三角形两个锐角的互余关系；(2) 直角三角形三边之间的关系 ( 勾股定理 ) ； (3) 直角三角形边角之间的关系 ( 锐角三角函数 ) ．目标二 会解直角三角形例3 教材例 1 针对训练如图 4－ 3－ 1，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝45°，BC＝ 5，解这个直角三角形．图4－ 3－ 1例 4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，a＝ 23，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：图形已知条件解法步骤两a①由 tan A＝b，在 Rt △ABC中，边两直角边 ( 如a，b)求∠ A；∠ C＝90°②∠ B＝90°－∠ A；③c＝ a2＋b2a斜边与一直①由 sin A＝c，角边 ( 如c，a)求∠ A；②∠ B＝90°－∠ A；③b＝c2－a2一锐角一邻边( 如∠A，b)一直角边一和一一锐角一对边锐角边( 如∠A，a)一角斜边和一锐角 ( 如c，∠A)①∠ B＝90°－∠ A；②a＝ b·tan A；b③c＝cos A①∠ B＝90°－∠ A；②b＝a；tan Aa③c＝sin A①∠ B＝90°－∠ A；②a＝ c·sin A；③b＝ c·cos A2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例 5 教材补充例题如图 4－ 3－ 2，在△ABC中，∠ABC＝ 90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠ BDC＝45°， AD＝4.求 BC的长(结果保留根号)．图4－ 3－ 2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三会把非直角三角形转化为直角三角形求解3例6 教材补充例题如图 4－ 3－ 3，在△ABC中，AB＝AC＝ 10，sin C＝5，D是BC上一点，且DC＝ AC.(1)求 BD的长的值；(2)求 tan ∠BAD.图4－ 3－ 3【归纳总结】非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线 ( 高 ) ，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有 5 个元素 ( 即 3 条边、 2 个锐角 ) ，只要知道其中的 2 个元素( 至少有 1 个是 ______) ，就可以求出其余的 3 个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图 4－ 3－ 4，在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，设三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a， b， c(以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系： a2＋ b2＝ c2；(2)两锐角之间的关系：∠ A＋∠ B＝90°；a b1a(3) 边角之间的关系：sin A＝ cos B＝c， cos A＝ sin B＝c， tan A＝tan B＝b.图4－ 3－ 4知识点二解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用 ______求出斜边，用 ______求出对边；(2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边；(3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角．[ 点拨 ] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法．问题：在△ ABC中，∠ A＝30°， BC＝6，AC＝23，求AB的长．解：如图 4－ 3－ 5，作出符合题意的几何图形，过点C 作⊥于点，∴∠＝∠CD AB D ADC BDC＝90° .∵ sin A＝CD1＝，且 AC＝2 3，∴ CD＝ 3. AC2CD32又sin ∠CBD＝＝＝，∴∠CBD＝ 45°，BC 62∴ tan ∠CBD＝CD＝ 1，BD∴CD＝BD＝ 3.∵∠ A＝30°， AC＝23，∴AD＝AC·cos A＝3，∴AB＝AD＋ BD＝3＋ 3.图4－ 3－ 5详解详析【目标突破】例 1 [ 解析 ] C A．已知一边和一角，一角是直角，Rt△ABC不可解，不符合题意；B．没有一条边，Rt△ABC不可解，不符合题意；C．已知一边和一角，一角不是直角，Rt△ABC可解，符合题意；D．没有一条边，Rt△ABC不可解，不符合题意．例 2 [ 解析 ]D在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，a a∵cos B＝c，∴c＝cos B.例3 解：∵∠C＝ 90°，∠B＝ 45°，∴∠ A＝90°－45°＝45°，∴∠ A＝∠ B，∴ AC＝BC＝5.在 Rt△ABC中，BC BC∵ cos B＝ cos45 °＝AB，∴AB＝cos45°＝ 52，∴∠ A＝45°， AC＝5， AB＝5 2.例 4 解：∵ a＝ 2 3 ，b＝ 6，a 233∴ tan A＝b＝6＝3，∴∠ A＝ 30°，∴∠ B＝ 90°－ 30°＝ 60°， c＝ 2a＝ 4 3.例5 解：设 BC＝ x，在Rt△ BCD中，∠ ABC＝ 90°，∠ BDC＝ 45°，∴ BD＝BC＝ x.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AB＝4＋x，BC3x∴ tan A＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝ 23＋ 2.∴BC的长为 2 3＋ 2.例 6解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥ BC于点 E.∵AB＝AC，∴ BE＝CE.3在Rt△ACE中，AC＝ 10，sin C＝，5∴AE＝6，22从而 CE＝AC－AE＝8，∴BC＝2CE＝16，∴BD＝BC－ DC＝BC－ AC＝6.(2) 如图，过点D作 DF⊥AB于点 F.3在Rt△BDF中，BD＝ 6， sin B＝ sin C＝5，18∴DF＝5，2224从而 BF＝BD－DF＝5，26∴AF＝AB－ BF＝5，DF9∴tan ∠BAD＝AF＝13.备选题型解非直角三角形例如图，已知在△ ABC中，∠ B＝45°，∠ C＝30°， BC＝3＋33，求AB的长．[ 解析 ]过点A作AD⊥ BC于点D，将特殊角∠ B，∠ C放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点 A 作 AD⊥ BC于点 D.∵∠ B＝45°，∴AD＝BD， AB＝2BD.设AD＝ BD＝ x，在Rt△ ADC中，AD x ∵tan C＝，即＝DC DC∴DC＝3x.又∵ BC＝ BD＋ DC，3 3，∴x＋3x＝3＋3 3，解得 x＝3，∴ AB＝3 2.[ 归纳总结 ] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑．(2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】[ 小结 ]知识点一边知识点二(1) 余弦正切(2) 正弦[ 反思 ]解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形 (1) 见题中所给解答，情形(2) 如下：过点C作 CD⊥ AB交 AB的延长线于点D，∴∠＝90° .ADCCD13，∴CD＝ 3.∵ sin A＝＝，且 AC＝2AC2CD32又 sin ∠CBD＝＝＝，BC62∴∠＝45°，CBD∴ tan ∠CBD＝CD＝ 1，BD∴CD＝BD＝ 3.∵∠ A＝30°， AC＝23，∴AD＝AC·cos A＝3，∴AB＝AD－ BD＝3－ 3.综合情形 (1) 与 (2) ，得AB的长为 3＋ 3 或 3－ 3.。

4. 1〜4. 3同步检测（时间：45分钟满分：100分）一•选择题（每题3分，共24分）1•如图,在RtHABC中,Z 6^90 °力沪5, A（=2.则cos力的值是（）2.己知锐角力满足关系式2sf知一7s也4+3=0,则sinA的值为（）A.|B. 3C. 土或3D.43.如图，A.B. C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点力逆时针旋转得到△力夕C ,则tanff的值为（）A. \B. \C. ；D.—2 3 4 44.己知在Rt/XABC中，ZQ90° , Z缶Q,川=3,那么力方的长为（）3 3A. 3sin aB. 3cos ciC. -— D ---sin 6/ cosa5•式子2cos30°— tan45(— J( 1 ・tan60F 的值是()6.如图，点力（r, 3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为a,tana=-, 则t的值是（）5第3题图A. 2V3-2B. 0C. 2V3D. 2A. 1B. 1. 5C. 2D. 37. 如图，在 Rt'ABO 中，斜边 AB=1.茏 0C 〃BA, ZA0C=3Q°，贝ij （） A. 点方到"的距离为52/754° B. 点方到力。

的距离为 力刀36° C. 点 A 到 0C 的距离为 52/736° 52/754° D. 点A 到兀的距离为cos36° SI /254°8. 已知，△力应'中，Z 缶90° , ZABC=30° .将△遊沿直线％平移 得到△5为虑的中点，连接园h,则tanAA-.BC 的值为（）c4 D49. ____________________________________________ 在 Rt'ABC 中，Z^90° , AB=5,应M,则 cos 力二 ___________________ . 10. _____________________________________________ 若中，ZO90° , AC ： BOZ : 4,那么 sinA= _______________________ . 11. 在 Rt'ABC 中，ZO90° , &b.c 分别是ZA AB. AC 的对边，若 戻2 曰，贝ij tanA=12. 在Rt'ABC 中，Z （=90° ,当己知Z/和日时，求c,则ZA a. c关系式是c=13. 如图，在 Rt'ABC 中，Z 徉90。

4.3 解直角三角形要点感知在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作______.解直角三角形常见类型及求法：预习练习1－1 (兰州中考)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是( ) A.csinA =aB.bcosB =cC.atanA =bD.ctanB =b1－2如图，已知△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，a =6，解这个直角三角形.知识点 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若a =6，∠B =30°，则c 和tanA 的值分别为( ) A.12，33B.12，3C.43，33 D.22，32.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( )A.c =asinAB.c =a /sinAC.c =acosAD.c =a /cosA3.(杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知∠C =90°，∠A =40°，BC =3，则AC =( ) A.3sin 40°B.3sin 50°C.3tan 40°D.3tan 50°4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°.(1)已知∠A 和c ，则a =______ ，b =______ ； (2)已知∠B 和b ，则a =______，c = ______. 5.在△ABC 中，∠C =90°. (1)若c =10，∠B =30°，求a ，b ，∠A ；(2)若b =9，c =63，求a ，∠A ，∠B.6.如图是教学用直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°，tan ∠BAC =33，则边BC 的长为( ) A.303 cmB.203 cmC.103 cmD.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD =2，DE =1，则BC 的长为( ) A.2B.334C.23D.438.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°].若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为( ) A.(2，23)B.(2，－23)C.(23，2)D.(2，2)9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinB =23，a =5，则∠B =______，c =______. 10.在△ABC 中，∠C =90°. (1)若a =30，b =20，求c ，∠A ，∠B ； (2)若∠B =72°，c =14，求a ，b ，∠A.11.(无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sinA =52，求BC 的长和tanB 的值.12.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =9，BC =6. (1)求sinC ；(2)求AC 边上的高B D.13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3.点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）.挑战自我14.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.参考答案要点感知解直角三角形预习练习1－1A1－2 ∵∠A +∠B =90°，∴∠B =90°－∠A =30°.∵tanA =ba，∴b =a /tanA =23.c =a /sinA =43.1.D2.B3.D4.(1)csinAccosA(2)b /tanB b /sinB5.(1)∵∠C =90°， c =10，∠B =30°，∴b =5.∴a =53.∴∠A =90°－∠B =60°.(2)∵∠C =90°，b =9，c =63，∴a =33.∵sinA =1/2，∴∠A =30°，∠B =60°.6.C7.B8.A9.60°10 10.(1)c =1013，tanA =1.5，∴∠A ≈56.3°.∴∠B =90°－∠A ≈33.7°，即c =1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°.(2)∠A =90°－72°=18°.b =14×sin 72°≈13.3.∴a =14×sin 18°≈4.3.即∠A =18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sinA =2/5，∴BC =4.根据勾股定理得：AC =221，则tanB =221.12.(1)作AE ⊥BC 交BC 于点E .∵AB =AC ，∴BE =EC =3，在Rt △AEC 中，AE =62，∴sinC =322.(2)在Rt △BDC中，∴BD =42.13.在Rt △ACD 中，AC =3,∠ADC =60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B 作BM ⊥FD 于点M .在△ACB 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =10，∴∠ABC =30°，BC =AC ×tan 60°=103.∵AB ∥CF ，∴BM =BC ×sin 30°=103×1/2=53，CM =BC ×cos 30°=15.在△EFD 中，∠F =90°，∠E =45°，∴∠EDF =45°，∴MD =BM =53，∴CD =CM －MD =15－53.。