初中数学湘教版第四章 解直角三角形模拟考题模拟考试卷考点.doc

初中数学湘教版第四章解直角三角形同步练习考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、计算题评卷人得分18．计算：(1)－(3－π)0－(2)tan60º－(1＋)(1－)+17．计算：．19．计算：sin600cos300+20．解方程： x(x-2)＋x-2＝012．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋1＝0两实数根为x1、x2,则x1＋x2＝___________．13．如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，且标注的数字相同的不超过2个，则的值是______．15．一元二次方程的一个根是2，则另一个根是______________.12．方程的根是______________．16．解方程（1） (2)(配方法)22．解方程：（x－5）2=2（x－5）23．已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在Al16．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．5．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是（）A．3、2B．3、2C．2、3D．2、35．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A．B．且C．D．且6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，∠A=150，AB=4，则AC·BC的值为…………（）A． 4B．C．D． 3.57．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac=0,则方程解的情况是( ).A．两个不相等的实根B．两个相等实根C．无实根D．与a的值有关2．x1，x2是方程2x2-4x+1=0的两根，则x1 + x2=（■）.A．2B．－2C．D．－6．一元二次方程的解是（）A．，B．，C．，D．，2．在一张复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm变成2cm，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍23．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A．0.36米2B．0.81米2C．2米2D．3.24米27．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．D．。

湘教版数学九年级上册第4章 4.4 解直角三角形的应用与俯角、仰角有关的应用问题专题练习题1．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)2．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高1.2米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α＝30°，则电线杆AB的高为( )A．(93＋1.2)米B．(73＋1.2)米C．(92＋1.2)米D．(72＋1.2)米3．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A．82米B．163米C．52米D．70米4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．1003 m B ．50 2 m C ．50 3 m D.10033 m5．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一条直线上，则A ，B 两点的距离是( )A ．200米B ．2003 米 C ．220 3 米 D ．100(3＋1)米6．从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( )A ．(6＋63)米B ．(6＋33)米C．(6＋23)米D．12米7．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A，B，C在同一条直线上)，则河的宽度AB约为_______m．(精确到0.1 m)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)8．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81)9．如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)10．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图①.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶点F的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图②.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米．(结果保留整数，参考数值：3≈1.732，2≈1.414)11．如图，AB，CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.求建筑物CD的高度．(结果保留根号)答案：1. 1822. B3. A4. A5. D6. A7. 15.48. 解：tan∠ADE＝AEDE ，即0.81＝AE24，∴AE＝19.44米，AB＝BE＋AE＝20.94米≈20.9米9. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝3 3.在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.∴AB＝AD＋BD＝33＋9(m)．答：旗杆的高度为(33＋9)m10. 解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC ＝CF ＝x ，CF AC＝tan30°，即AC ＝3x.∵AC －BC ＝1200，∴3x －x ＝1200，解得x ＝600(3＋1)，则DF ＝h －x ＝2001－600(3＋1)≈362(米)．答：钓鱼岛的最高海拔高度约为362米11. 解：过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，在△ABD 中，∠B ＝90°，∠ADB ＝45°，∴BD ＝AB ＝60米，在△ACF 中，∠AFC ＝90°，∠ACF ＝30°，CF ＝BD ＝60米，∴AF ＝CF ·tan ∠ACF ＝203米，∴BF ＝AB －AF ＝(60－203)米，∴CD 的高度为(60－203)米。

4.3 解直角三角形知|识|目|标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法．3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一理解解直角三角形的定义与依据例1 教材补充例题在Rt△ABC中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( ) A．已知a＝5，∠C＝90°B．已知∠B＝48°，∠C＝90°C．已知a＝5，∠B＝48°D．已知∠B＝48°，∠A＝42°[全品导学号：90912121]例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠B和a，则有( )A．c＝a cos B B．c＝a sin BC．c＝asin BD．c＝acos B【归纳总结】解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有1个是边．2．解直角三角形的依据：(1)直角三角形两个锐角的互余关系；(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)．目标二会解直角三角形例3 教材例1针对训练如图4－3－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝5，解这个直角三角形．图4－3－1例4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例5 教材补充例题如图4－3－2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．图4－3－2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例6 教材补充例题如图4－3－3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin C ＝35，D 是BC 上一点，且DC ＝AC .(1)求BD 的长的值； (2)求tan ∠BAD .图4－3－3【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是______)，就可以求出其余的3个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图4－3－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2； (2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝1tan B ＝ab.图4－3－4知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用______求出斜边，用______求出对边； (2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边； (3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角． [点拨] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法． 问题：在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝6，AC ＝2 3，求AB 的长．解：如图4－3－5，作出符合题意的几何图形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22，∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.图4－3－5详解详析【目标突破】例1 [解析] C A ．已知一边和一角，一角是直角，Rt △ABC 不可解，不符合题意；B ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意；C ．已知一边和一角，一角不是直角，Rt △ABC 可解，符合题意；D ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意．例2 [解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵cos B ＝a c ，∴c ＝acos B.例3 解：∵∠C ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠A ＝90°－45°＝45°， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ＝BC ＝5. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos45°＝BCAB，∴AB ＝BCcos45°＝5 2，∴∠A ＝45°，AC ＝5，AB ＝5 2.例4 解：∵a＝2 3，b ＝6， ∴tan A ＝a b ＝2 36＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－30°＝60°，c ＝2a ＝4 3.例5 解：设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠ABC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4＋x ， ∴tan A ＝BC AB ，即33＝x4＋x ，解得x ＝2 3＋2.∴BC 的长为2 3＋2.例6 解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE .在Rt △ACE 中，AC ＝10，sin C ＝35，∴AE ＝6，从而CE ＝AC 2－AE 2＝8， ∴BC ＝2CE ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝BC －AC ＝6.(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中，BD ＝6，sin B ＝sin C ＝35，∴DF ＝185，从而BF ＝BD 2－DF 2＝245，∴AF ＝AB －BF ＝265，∴tan ∠BAD ＝DF AF ＝913.备选题型 解非直角三角形例 如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝3＋3 3，求AB 的长．[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，将特殊角∠B ，∠C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，AB ＝2BD . 设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ADC 中， ∵tan C ＝ADDC ，即x DC ＝33， ∴DC ＝3x . 又∵BC ＝BD ＋DC ， ∴x ＋3x ＝3＋3 3， 解得x ＝3， ∴AB ＝3 2.[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑． (2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】 [小结] 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦[反思] 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，∴∠ADC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22， ∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD －BD ＝3－ 3.综合情形(1)与(2)，得AB 的长为3＋3或3－ 3.。

初中数学湘教版第四章解直角三角形模拟练习考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题8．如图，△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,现将△ABC沿着DE折叠，使点B与点A重合，，则tan∠CAE的值是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=“6”B．（x﹣1）2=“6”C．（x+2）2=“9”D．（x﹣2）2=91．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．评卷人得分D．5．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是A．B．C．D．2．下列各方程中，是一元二次方程的是（）A．B．C．D．3．cos30°=（）A．B．C．D．5．若方程的一个根是a，则的值为（）.A． 2B．0C．2D．46．把方程化成的形式，则m、n的值分别是（▲ ）．A．4，13B．-4，19C．-4，13D．4，199．一元二次方程x2=4x的根是（）A．4B．±2C．0或2D．0或412．在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，CD＝2，AB＝5，则S△BOC:S△ADC＝（）A．2：5 B．5：2 C．2：7 D.5：718．计算：(1)－(3－π)0－(2)tan60º－(1＋)(1－)+17．计算：．15．先化简，再求代数式的值．，其中13．计算：20．如图，在梯形中，∥，点是边的中点，连接交于，的延长线交的延长线于．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．24．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．18．如图，西园中学数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为，求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）.17．．某人2008年初投资120万元于股市，由于无暇操作，第一年的亏损率为20%，以后其亏损率有所变化，至2011年初其股票市值仅为77.76万元，求此人的股票在第二年、第三年平均每年的亏损率.14．若x＝n（n≠0）是关于x的方程的根，则m+n的值为______________．11．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中，在顶点处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面的中心沿长方体表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为______________15．方程的解是______________．15．（2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为．14．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_______cm2。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题一、选择题1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为()A. 40海里B. 40tan37°海里C. 40cos37°海里D. 40sin37°海里2.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为()A. 3sinα米B. 3cosα米C. 3sinα米D. 3cosα米3.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A. asinα+asinβB. acosα+acosβC. atanα+atanβD. atanα+atanβ4.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置测角仪测一得楼房CD顶部点CD的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°.已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为()A. (10√2+20)米B. (10√2+21)C. (8√3+20)米D. (8√3+21)米5.如图，小松同学想测量学校旗杆的高度，他站在B点从A处仰望杆顶D，测得仰角为30°，再往旗杆的方向前进14米从E处仰望杆顶，测得仰角为60°，已知小华同学身高(AB)为1.6米，则旗杆CD的高度为()(√3≈1.73)A. 12.1米B. 13.7米C. 11.5米D. 13.5米6.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sinα米 B. 11−cosα米 C. 11−sinα米 D. 11+cosα米7.小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆--行千里，致广大”竖直标语牌CD.他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处(B,C，D在同一条直线上)，AB=10m，坡度为i=1：√3，则标语牌CD的长为()m(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73)A. 4.3B. 4.5C. 6.3D. 7.88.如图，在高为2m，坡度为1:√3的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为()A. 4mB. 6mC. 4√2mD. (2+2√3)m9.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了2√5m，此时小球距离地面的高度为()mA. 5mB. 2√5mC. 2mD. 10310.某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD=20米，则立柱BC的高为()A. 20√3米B. 10米C. 10√3米D. 20米二、填空题11.已知一道斜坡的坡比为2：√5，坡长39m，那么坡高为______m.12.如图，一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向且距小岛80海里的B处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船航行的路程为______海里．13.如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45º，测得该建筑底部C处的俯角为17º.若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为________m.(参考数据：sin17º≈0.29，cos17º≈0.96，tan17º≈0.31)14.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为30°，则A，B两地之间的距离为______．三、解答题15.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域(1)求A城与台风中心之间的最小距离；(2)求A城受台风影响的时间有多长？16.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．(1)求景点B与C的距离；(2)求景点A与C的距离．(结果保留根号)17.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B.若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP⋅sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2.【答案】A【解析】解：由题意可得：sinα=BCAB =BC3，故BC=3sinα(m)．故选：A．直接利用锐角三角函数关系得出sinα=BCAB =BC3，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．3.【答案】C【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB=a，tanα=BCAB ，tanβ=BDAB，∴BC=atanα，BD=atanβ，∴CD=BC+BD=atanα+atanβ；故选：C．在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC=atanα，BD=atanβ，得出CD=BC+ BD=atanα+atanβ即可．本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，∵∠BDB′=∠B′DC=22.5°，∴EB′=B′F，在Rt△BEE′中，∵∠BEB′=45°，BB′=20米，∴EB′=B′F=10√2(米)，∴BF=BB′+B′F=(20+10√2)(米)∴DF=(20+10√2)(米)∴DC=DF+FC=20+10√2+1=(21+10√2)米故选：B．过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．设DF=x米，在Rt△ADF中求出AF，在Rt△DEF中求出EF，再由AE=14米，可求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设DF=x米，在Rt△ADF中，DF=x米，∠DAF=30°，则tan30°=DF：AF=x：AF，故AF=√3x米，在Rt△DEF中，DF=x米，∠DEF=60°，则tan60°=DF：EF=x：EF，x米，故EF=√33x=14，由题意得，AF−EF=√3x−√33解得：x≈12.1，则旗杆的高度为12.1+1.6≈13.7米．故选：B．6.【答案】C【解析】解：设旗杆PA的高度为x米，则PB′=x米，，在Rt△PB′C中，sinα=PCPB′则x−1=x⋅sinα，，解得，x=1sinα故选：C．设旗杆PA的高度为x米，根据正弦的定义列出方程，解方程得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：如图，根据题意可知：斜坡AB的坡度为i=1：√3，即AE：BE=1：√3，∵AB=10，∴AE=5，BE=5√3，∴AC=BE=5√3，在Rt△ACD中，∠DAC=42°，∴CD=AC⋅tan42°≈5√3×0.90≈7.8(m)．根据斜坡AB的坡度为i=1：√3，可得AE：BE=1：√3，AE=5，BE=5√3，再根据锐角三角函数即可求出CD的长．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．8.【答案】D【解析】解：如图，根据题意得：AC=2m，i=AC:BC=1:√3，∴BC=√3AC=2√3m，∴地毯的长度应为：AC+BC=(2+2√3)(m)．故选：D．由在高为2m，坡度为1:√3的楼梯上铺地毯，可求得地毯在水平面上的长度BC的长，又由地毯的长度是AC与BC的和，即可求得答案．此题考查了解直角三角形的问题．此题难度不大，注意理解坡度的意义，注意能构造直角三角形并能利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，i的定义，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=2√5m，tanA=BCAC =12．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即(2√5)2=x2+4x2，解得：x=2，故小球距离地面的高度为2m．10.【答案】C【解析】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，∴∠ABD=60°−30°=30°，∴∠A=∠ABD，∴BD=AD=20米，∴BC=BD⋅sin60°=10√3(米)，故选C．首先证明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.【答案】26【解析】解：∵坡度tanα=铅直高度水平距离=√5，∴sinα=23，∴坡高=坡长×sinα=39×23=26m．故答案为：26利用坡度公式求得坡角后，再用正弦的概念求解．本题考查坡度坡角的相互转换、锐角三角函数的应用．12.【答案】(40+40√3)【解析】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AQ=12AB=40，BQ=√3AQ=40√3，在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=BQ+CQ=(40+40√3)海里．设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ= 45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40√3；本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．13.【答案】262【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC=AD=62，在Rt△AEC中，tan∠EAC=ECAE，则AE=ECtan∠EAC ≈620.31=200，在Rt△AEB中，∠BAE=45°，∴BE=AE=200，∴BC=200+62=262(m)，则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．14.【答案】900√3米【解析】解：由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=900米，∵tan∠ABC=ACAB，∴AB=ACtan∠ABC =900√33=900√3(米)，故答案为：900√3米．由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=900米，由tan∠ABC=ACAB 知AB=ACtan∠ABC，据此计算可得．本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】解：(1)如图，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=12OA=120km，∵120<150，∴A城受到这次台风的影响．(2)如图，设AR=AT=150km，则易知：RH=HT=√1502−1202=90(km)，∴RT=180km，∴受台风影响的时间有180÷30=6(小时)．【解析】(1)如图，作AH⊥OB于H.解直角三角形求出AH与150km比较即可解决问题．(2)如图，设AR=AT=150km，求出RT，利用时间=路程速度，计算即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：(1)过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD=30°，∠CBD=60°．设CD=xkm．在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD =√33，∴AD=√3xkm；在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD =√3，sin∠CBD=CDBC=√32，∴BD=√33xkm，BC=2√33xkm．∴AB=AD−BD=√3x−√33x=2√33x=10，∴x=5√3，∴BC=2√33x=10km．(2)在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC =12，∴AC=2CD=10√3km．【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，通过解直角三角形，找出AC，BC，AD，BD与CD之间的关系是解题的关键．(1)过点C作CD⊥直线l，垂足为D，设CD=xkm，则AD=√3xkm，BD=√33xkm，BC=2√33xkm，结合AB=10km可求出x的值，进而可得出景点B与C的距离；(2)在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AC=2CD，结合(1)中x的值可求出景点A 与C的距离．17.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，则：在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin30°=12x，CD=BC⋅cos30°=√32x；∴AD=30+12x，∵AD2+CD2=AC2，即：(30+12x)2+(√32x)2=702，解之得：x=50(负值舍去)，答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．18.【答案】解：如图在Rt△ABC中，AC=300米，∠ACB=90°，∠ABC=34°，则AB=AC÷sin34°=300÷0.56≈535.7m．答：他沿斜坡大约滑行了535.7米．【解析】如图，在Rt△ABC中，根据三角函数可得AB=AC÷sin34°，可求他沿斜坡滑行了多少米．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．。

湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.3 解直角三角形 同步练习题1．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 52．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．在直角三角形ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tan A 的值分别为( )A ．12，33B ．12， 3C ．43，33 D ．22， 35．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h, 滑梯的倾斜面与水平面的夹角为α，那么滑梯长l 为( )A.h sin αB.h tan αC.hcos αD ．h ·sin α6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A和c，则a＝_____________，b＝_____________.(2)已知∠B和b，则a＝_________，c＝____________．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝6，∠A＝60°，则a＝_______，b＝____；(2)已知a＝4，∠B＝45°，则b＝____，c＝________；(3)已知a＝10，b＝103，则c＝_______，∠A＝______；(4)已知b＝63，c＝12，则a＝____，∠B＝________.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)∠A＝30°，b＝12；(2)a＝26，c＝4 3.9．直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求AC和BC的长．10．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.mtan α米11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( )A.1213B.512C.1312D.12512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.12513．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，a ＝5，则∠B ＝______，c ＝______．14．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633，求∠B的度数及边BC，AB的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．答案: 1—5 ACDDA6. (1) c·sinA c·cosAb sinB7. (1) 3 3 3 (2) 4 4 2 (3) 20 30° (4) 6 60°8. (1) 解：∠B＝60°，AB ＝83，BC ＝4 3(2) 解：b ＝26，∠A＝45°，∠B＝45°9. 解：sin30°＝AB AC ＝3AC ，∴AC＝6，∴BC＝AC 2－AB 2＝3 310. B 11. D 12. B13. 60° 1014. 解：∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴34＝BD12，∴BD ＝9，CD ＝5，AC ＝AD 2＋CD 2＝13，sinC ＝AD AC ＝121315. 解：cos ∠CAD ＝CA AD ＝81633＝32，∴∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∴∠B＝30°，tan ∠B ＝AC BC ，∴33＝8BC ，∴BC ＝83，sin ∠B ＝AC AB ，∴12＝8AB ，∴AB ＝1616. 解：在Rt△ACD 中，AC ＝3，∠ADC＝60°，∴AD＝AC sin60°＝3sin60°＝2，∴BD＝2AD ＝4，CD ＝1，∴AB＝（3）2＋52＝28＝27.∴c △ABC ＝27＋5＋ 3 17. 解：tanA ＝BC AB ，∴AB＝BC tan30°＝3BC ，tan∠BDC＝BC BD ，∴BD＝BC tan45°＝BC ，AB －BD ＝AD ，即(3－1)BC ＝4，∴BC＝43－1＝2(3＋1)18. 解：过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ACD 中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC ＝3，由勾股定理得AD ＝（23）2－（3）2＝9＝3，在Rt△BCD 中，∵tan45°＝CDBD ，∴BD＝CD ＝3.∴AB＝AD ＋BD ＝3＋ 3。

湘教新版数学九年级上学期《4.3解直角三角形》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AD=4，BD=9，则tanA 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=，则边BC 的长为（ ）A ．30 cmB ．20cm C ．10 cm D ．5cm3．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=Rt ∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a ，CD=b ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠ADC=90°﹣α+β B ．点D 到BE 的距离为b•sinβC ．AD=D ．点D 到AB 的距离为a +bcosβ4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为（ ）A ．B ．﹣1C ．2﹣D ．5．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x 轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A （1，2），那么sinα的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．6．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=10，tan ∠B=，则BC 的长为（ ） A ．6B ．8C ．12D ．167．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt △ABC 中，AC=k ，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD=AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为（ ）A．2B．2+C．1+D．8．如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．9．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．10．如图，在方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A．2B．C．D．112．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tanD的值为（）A．2+B．2﹣C．2D．3二．填空题（共6小题）13．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB，垂足为D，则tan ∠BCD的值是．16．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin ∠BAC的值是．18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为．三．解答题（共6小题）19．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=8，b=8；（2）∠B=45°，c=14．20．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE=，cos∠ACD=．（1）求cos∠ABC；（2）AC的值．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．22．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知AB=AC=6，cosB=，AD：DB=1：2．（1）求△ABC的面积；（2）求CE：DE．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC 的周长．24．如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．参考答案一．选择题1．D．2．C．3．C．4．A．5．A．6．D．7．B．8．C．9．D．10．A．11．A．12．B．二．填空题13．．14．．15．．16．217．．18．．三．解答题19．解：（1）∵a=8，b=8，∠C=90°；∴c=，∠A=30°，∠B=60°，（2）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，∴∠A=45°，a=b=．20．解：（1）在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴cos∠ABC=cos∠ACD=（2）在Rt△ABC中，，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE：AB=3：5，知BE=3k，则CE=k，且CE=，则k=，AC=3．21．解：过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∵BC=2，sinB=，∴CE=BC•sinB=2×=2，∴BE==2，在Rt△ACE中，∵tanA=，∴AE==4，∴AB=AE+BE=4+2=6，∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，在Rt△CDE中，∵CD=，∴cos∠CDB=．故边AB的长为6，cos∠CDB=．22．解：（1）∵AB=AC=6，cosB=，AH是△ABC的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH=，∴△ABC的面积是；==8；（2）作DF⊥BC于点F，∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∵AD：DB=1：2，BH=CH，∴AD：AB=1：3，即CE：DE=3：1．23．解：在Rt△ADC中，tanC==，设AD=k，CD=2k，AC==k，∵AC=3，∴k=3，解得k=3，∴AD=3，CD=6，在Rt△ABD中，BD===，∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3++6=10+3+．24．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：证明：由题意可知BC=AB，DC=AB，∵在△ABD中，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴BC=DC=AD=AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OB=OD．在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=5，cos∠ABD=，∴OB=AB•cos∠ABD=3，∴BD=2OB=6．。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题一、选择题1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 42.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tan A的值为()A. 35B. 45C. 34D. 433.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=()A. √26B. √2626C. √2613D. √13134.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12cm，则阴影部分的面积是()A. 12B. 18C. 24D. 365.如图在△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE//BC交AC于点E，若BD=6，AE=5，则sin∠EDC的值为()A. 35B. 725C. 45D. 24256.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，下列结论正确的是()A. AC=BC⋅tanAB. AB=AC⋅cosAC. AC=AB⋅sinAD. AC=BC⋅tanB7.在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为()A. √52B. √55C. √33D. 18.如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C、F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是()A. 817B. 717C. 49D. 599.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为()A. 313B. 513C. 512D. 121310.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cos C的值是()A. 12B. 2 C. 2√55D. √55二、填空题11.在△ABC中，AB=√2，AC=√10，tanC=13，则∠B的度数为______．12.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=2√6，则AB=______．13.已知△ABC中，AB=10，AC=2√7，∠B=30°，则△ABC的面积等于______．14.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE=3，那么CE：BF=______．415.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是______．三、解答题16.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求tan∠DEC．17.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，sinB=3，求tan C和BC的长．518.如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD3交AC于点D，CD=√3，求AB的长？19.如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，OB，抛物线y=ax2+点A在x轴负半轴上，且OA=12bx+4经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cos∠A=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．2.【答案】D【解析】解：如图所示，连接格点C、D，则CD⊥AB在Rt△ACD中，tanA=CD AD=43故选：D．构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．本题考查了三角函数的定义．连接格点构造直角三角形是解决本题的关键．在直角三角形中，锐角的正切=对边邻边．3.【答案】B【解析】【试题解析】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=√32+22=√13，AC=√32+32=3√2，∵S△ABC=12AC⋅BD=12×3√2⋅BD=12×1×3，∴BD=√22，∴sin∠BAC=BDAB =√22√13=√2626．故选：B．作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC//ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=12×6×6=18(cm2).故选：B．由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，∴AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，∵AE=5，DE//BC，∴AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，∴sin∠EDC=sin∠BCD=BDBC =610=35，故选：A．由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE//BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴sinA=BCAB ，cosA=ACAB，tanB=ACBC，∴AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB；故选：D．由三角函数定义得出AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB，即可得出答案．本题考查了解直角三角形以及三角函数定义；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：作AD⊥BC于D，如图所示：由勾股定理得：BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，∵△ABC的面积=12BC×AD=12×3×1−12×1×1，∴12×√10×AD√105=12×3×1−12×1×1，解得：AD=√105，∴sin∠ABC=ADAB =√105√2=√55；故选：B．作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，由△ABC 的面积求出AD=√105，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO=OEOA =DKAD，∴OE8=512，∴OE=103，∴AE=√OE2+OA2=263，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12⋅AB⋅EH=S△AOB−S△AOE，∴EH=7√23，∴AH=√AE2−EH2=17√23，∴tan∠BAD=EHAH =7√2317√23=817，故选：B．如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H.求出EH，AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9.【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得60π=π×5×R，解得R=12．∴sinθ=512，故选：C．圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的母线长．根据正弦函数定义求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对比与斜边之比．10.【答案】D【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，∴设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55，故选：D．如图，过B作BD⊥AC于D，设BD=4k，AB=5k，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=3k，BC=√BD2+CD2=2√5k，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．11.【答案】45°或135°【解析】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①∠ABC是锐角时，如图1所示：∵tanC=13=ADCD，∴设AD=x，则CD=3x，由勾股定理得：x2+(3x)2=(√10)2，解得：x=1，∴AD=1，∵sinABC=ADAB =1√2=√22，∴∠ABC=45°；②∠ABC是钝角时，如图2所示：同①得：∠ABD=45°，∴∠ABC=135°；综上所述，∠B的度数为45°或135°；故答案为：45°或135°．作AD⊥BC于D，分两种情况：①三角函数和勾股定理得出AD=1，求出sinABC=ADAB=√22，得出∠ABC=45°；②同①得出∠ABD=45°，得出∠ABC=135°；即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】6+2√3【解析】解：过点C作CD⊥AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=2√6，∴BD=BC⋅sin∠B=2√6×√22=2√3=CD，∵∠A=30°，∴AD=CDtan∠A =√3√33=6，∴AB=AD+BD=6+2√3．故答案为6+2√3．过点C作CD⊥AB于D，解直角△BCD得出BD=CD=2√3，再解直角△ACD，得出AD= 6，从而得出AB即可．本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．13.【答案】15√3或10√3【解析】解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5√3，在Rt△ACD中，∵AC=2√7，∴CD=√AC2−AD2=√(2√7)2−52=√3，则BC=BD+CD=6√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×6√3×5=15√3；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5√3，CD=√3，则BC=BD−CD=4√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4√3×5=10√3．综上，△ABC的面积是15√3或10√3，故答案为15√3或10√3．作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．14.【答案】4：5【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．首先证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF=∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得CEBF =DEEF，再证明∠DEF=∠ABE，推出tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，可得EF=5k，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠BCD=90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠BEF+∠BCF=180°，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF=∠ECF，∵∠BEF=∠D=90°，∴△BEF∽△CDE，∴CEBF =DEEF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，∴EF=5k，∴CEBF =4k5k=45，故答案为4：5．15.【答案】√22【解析】解：如图，连接AB．∵OA=AB=√10，OB=2√5，∴OB2=OA2+AB2，∴∠OAB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴sin∠AOB=√22，故答案为√22．如图，连接AB.证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB，AD//BC，∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC，∴AFCD =ADDE，即4√38=6√3DE，∴DE=12，∵在Rt△ADE中，AE2=DE2−AD2，∴AE=6，∴tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD =6√3=√33．【解析】(1)易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明△ADF∽△DEC．(2)根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得AFCD =ADDE，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD即可解题．本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF∽△DEC，学会转化的思想，属于中考常考题型．17.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，AB=25，sinB=ADAB =35，∴AD25=35，∴AD=15，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√392−152=36，∴tanC=ADCD =1536=512，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√252−152=20，∴BC=BD+CD=20+36=56．【解析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由sinB=ADAB =35，求出AD=15，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD=√AC2−AD2=36，则tanC=ADCD =512，在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD=√AB2−AD2=20，即可得出BC的长．本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识；作辅助线构建直角三角形是解题的关键．18.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，∴∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=30°，又∵CD=√3，∴BC=CDtan30∘=3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=BCsin30∘=6．答：AB的长为6．【解析】根据∠C=90°，tanA=√33，可求出∠A=30°，∠ABC=60°，再根据BD是∠ABC 的平分线，求出∠CBD=∠ABD=30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确解答的关键．19.【答案】解：(1)由y=−x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,4)，∴OB=4，∴OA=12OB=2，∴A(−2,0)，把A(−2,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx+4中，得{4a−2b+4=016a+4b+4=0，解得{a=−12b=1，∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；(2)∵点P在二次函数y=−12x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P(m,−12m2+m+4)，过P作PF//y轴，交BC于F，则F(m,−m+4)，∴PF=−12m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB=OC=4，∴∠OCB=45°，∵PF//y轴，∴∠PFD=∠OCB=45°，∴PD=PF⋅sin∠PFD=√22(−12m2+2m)=−√24(m−2)2+√2，∵0<m<4，−√24<0，∴当m=2时，PD最大，最大值为√2．【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．(1)由直线y=−x+4得出B(4,0)，C(0,4)，即可得出A(−2,0)，将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；(2)已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．。

初中数学湘教版第四章解直角三角形同步练习考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题3．如图，，，延长交于，且，则的长为（）A B.C. D.2．方程x2=2x的解是（）A．x=2B．x1=2，x2=0C．x1=﹣，x2=0D．x=04．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（）A．B．C．D．3．如图，身高1．6m的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的评卷人得分影子重合，并测得AC=2．0m，BC=8．0m，则旗杆的高度是A．6．4mB．7．0mC．8．0mD．9．0m10．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD =2DB，△ABC的面积为36，则△ADE的面积为A．81B．54C．24D．166．关于的一元二次方程x2+2x-k=0有两个实根，则的取值范围是（）A．k≥-1B．k≥1C．k＞-1D．k＞14．如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°,若 AB=1,则AC的长为（）A．2B．4C．2D．431．（2011•舟山）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A．B．C．D．7．下列说法中，错误的是A．所有的等边三角形都相似B．和同一图形相似的两图形相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的矩形都相似17．计算：．17．计算：．19．计算：．14．解方程：．18．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）18．如图，，，，．（1）求的长；（2）求的值.19．解方程： 9（x-3）2 - 49=030．在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有A、B两个村庄。

初中数学湘教版第四章解直角三角形期中模拟考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题2．一元二次方程x(x－1)＝0的解是 ( )A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－12．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（）．A．B．C．D．5．已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（）A．∠A+∠B=900B．∠A=∠BC．∠A+∠B＞900D．∠A+∠B的值无法确定6．若是关于x的一元二次方程，则（）A．a=1B．a≠1C．a≠－1D．a≠0且b≠0评卷人得分9．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果，那么下列结论正确的是【】A．csinA= a B．b cosB=c C．a tanA= b D．ctanB= b6．关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断2．下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x-1=0B．x2+8x+1=0C．x2+x+2=0D．x2-2x+2=05．一元二次方程根的情况是（ * ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．已知两圆的半径满足方程，圆心距为，则两圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离1．如果是一元二次方程，则A．B．C．D．17．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为__________12．方程（x-1）（x+2）=1转化为一元二次方程的一般形式是______________。