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矩阵论广义逆矩阵

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第4章 矩阵的广义逆

第4章 矩阵的广义逆

定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则

矩阵论广义逆

矩阵论广义逆

矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。

在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。

本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。

1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。

2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。

3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。

3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。

如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。

3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。

在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。

4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。

伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。

奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。

这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。

5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。

广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。

广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。

经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。

此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。

非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。

然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。

例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。

此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。

上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。

可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。

总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。

如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。

矩阵论-61_64广义逆矩阵

矩阵论-61_64广义逆矩阵
第六章 广义逆矩阵
6.1 广义逆矩阵的概念与性质 6.4 广义逆矩阵与线性方程组的求解
逆矩阵的概念
➢ 矩阵不一定是方阵； ➢ 即便是方阵也不一定可逆；
推广：广义逆矩阵
1. 该矩阵对于不可逆矩阵甚至长方矩阵都存在； 2. 它具有通常逆矩阵的一些性质； 3. 当矩阵可逆时，它还原到通常的逆矩阵。
6.1 广义逆矩阵的概念与性质
证 方程 XA A(1,4) A的通解为 X A (1,4) AA (1,4) Y YAA(1,4) ,Y C nm
令 Y=A(1,4)+Z ，即得式
证毕
定义
1
0
0 0
定理6.5 设 ACmn, B Cnp, C, 则
（1） ( A(1) )H AH 1;
（2） A(1) A1;
（3） 若S 和T 非奇异，则
T 1A(1)S 1 (SAT )1 （4） rankA(1) rankA
（5）AA(1)和 A(1)A 均为幂等矩阵且与 A同秩. （6） R( AA(1) ) R( A), N ( A(1) A) N ( A),
其中 yCn 任意.
注： I A1 A y N A 是 Ax=O 的通解.
例6.28 设A C mn , b C m , X C nm ，若对于
使得方程 Ax=b 相容的所有 b ，x=Xb都是解， 则 XA{1}。
证 设 aj为 A 的第 j 列，则方程组相容.
由于 x=Xaj 是方程组的解，即 Ax = a j
于是
x0 2 y0 2 y1 2 y0 2
而
b Ax0 Ay0 Ay1 Ay0
这与 x0 是 Ax=b 的极小范数解矛盾.
唯一性. 若还有 y0R(AH) 且 Ay0=b, 则 A( x0 y0 ) Ax0 Ay0 0

第八章 矩阵的广义逆

第八章 矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。

作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。

其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。

广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。

据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。

其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。

为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。

§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。

用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。

利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。

在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。

定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1

矩阵论第8章广义逆矩阵及其应用

矩阵论第8章广义逆矩阵及其应用
或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ；A A{1,3} A{1} ；A A{1,4} A{1} ．
1 例 8.1.1 设 A 1
1
0 0 0
，
B
1 0
0 1
0 0
，
C
1 0
0 0
0 1
，由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
同理 G1 A G2 A ．
所以 G1 G1 AG1 G1 AG2 G2 AG2 G2 ，
故加号逆是唯一的．
8.1.3 广义逆矩阵的计算： 1. 减号逆 AGA A
定 理 8.1.2 设 A 是 m n 矩 阵 ， rank( A) r ， 非 奇 异 矩 阵
P C mm , Q C nn
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定 义 8.1.1 设 A C mn 为 任 意一个 复 数 矩阵 ， 如果 存 在复 矩 阵
G C nm ，满足 AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
P
3 0 2
2 0 1
7 1 1 0 4 g31
0 1
1 g32
0
10
3 7g31 g31
2 4g31
2 7g32 g32 ，
1 4g32
其中， g31 , g32 是任意常数．
特别地，取 g31 0, g32 0 ，得 A 的一个减号逆：
A
3 0
2
2 0 ． 1
1 2
3 1

工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)

工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
线性方程组求解
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。

研究生矩阵理论课后答案第8章

研究生矩阵理论课后答案第8章

线性方程组一般理论复习续
定理B:对一般线性方程组
Ax=b, ACrmn,xCn,bCm (1) ①(1)有解的充要条件是 bR(A)={Ay|yCn}(R(A)也称为A的值域) ②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A (增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等,其 意义是b是A的某些列的线性组合即bR(A)) ③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程组解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
①运算T,*与- 可交换(这是T,*与-1可交换的推广) AA-A=A(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT(A-)T=(AT)AA-A=A(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*(A-)*=(A*)②(A)-=+A-,其中,+=1/,当0;+=0,当=0 利用显然的等式:+= 不难验证 (A)(+A-)(A)=(+)AA-A=A(A)-=+A③ SCmmm,TCnnn ,(SAT)-=T-A-S这是(SAT)-1=T-1A-1S-1推广
3
1 0 0 1 1
3 1
0 0 5 2 0 0 1
2 1/ 2 0 P 1 0 0 3 2 1
1 0 11/ 2 5 / 2 0 1 3 Q 1 0 1
0 1 1 1
11 2 5 2
1 5 | 0 1 0 3 0 | 1 0 0 9 0 | 0 2 1 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 3 0 | 1 0 0 0 0 | 3 2 1

06.矩阵理论与方法_广义逆矩阵

06.矩阵理论与方法_广义逆矩阵

定理：设矩阵 Y , Z A{1} ，令 X YAZ ，则

X A{1, 2} 定理：给定矩阵 A 和 X A{1} ，则 X A{1, 2} 的充要条件是 rankX rankA
9
练习

P296 1、2、3、5、7 P307 7、8、9
10
定理：对任意 A C mn ， A 存在且唯一。 定义：对任意 A C ，若 X C nm 满足Penrose方程中的 (i ), ( j ),..., (l )等 ( i , j ,...,l ) 方程，则称 X为 A 的 {i, j,..., l}-逆，记为 A ，其全体记为 A{i, j,..., l}。



(1) A ( A){1} 2.
3.若 S , T 非奇异，则 T 1 A(1) S 1 (SAT ){1} 。 4. rankA(1) rankA 5. AA(1) 和 A(1) A 均为幂等矩阵，且与 A 同秩。
(1) (1) (1) H H 6. R( AA ) R( A), N ( A A) N ( A), R(( AA ) ) R( A )
mn


注：由于 {i, j,..., l} {1, 2,3, 4} ，所以 A A{i, j,..., l}，即 A( i , j ,...,l ) 总存在。 4 注： A 的广义逆矩阵共有 2 1 15 类。
注：应用较多的广义逆矩阵为以下5类：
A{1}, A{1, 2}, A{1,3}, A{1, 4}, A{1, 2,3, 4}
8
广义逆矩阵的性质及构造

AA(1) I m 等价于 rankA m 。 7. A(1) A I n 等价于 rankA n ，

北京化工大学《矩阵论》课件6-1,2

北京化工大学《矩阵论》课件6-1,2

其中 A Cmn ， B C pq ， F Cmq ，而 A(1) 与 B (1) 是取定的 {1} -逆；且有解时其 通解为
1) X A(1) DB(1) Y A(1) A Y B (B
（ Y Cn p 任意）
证
必要性。若矩阵方程有解 X ，则 D AXB = AA(1) AXBB(1) B = AA(1) DB (1) B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 0 = A(1) DB(1) + X 0 A(1) DB (1) = A(1) DB(1) + X 0 A(1) AX 0 BB(1)
即 X 0 仍可表为上述形式，故所给表达式是通解。证毕 推论 设 A Cmn ， b C m ， 线 性 方 程 组 Ax b 有 解 的 充 要 条 件 是
证毕
2 1 2 1 4 1 1 ，求 A(1) 。 已知矩阵 A = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 0 r 2 r 1 2 1 3 r1 A, I = 2 4 1 1 0 1 0 r 1 2 2 1 0 0 1
性质 2
1 , 0 ； A(1) (A){1} ，其中 0 , 0
证
A, 0 因为 (A)( A(1) )(A) = = A ，所以 A(1) (A){1} 。 0 , 0
性质 3
若 SAT 有意义，且 S 与 T 均可逆，则 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} ；
证 因为 ( SAT )(T 1 A(1) S 1 )( SAT ) = SAT ， 所以 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} 。 证毕 性质 4 证

矩阵理论 第六章 广义逆矩阵

矩阵理论 第六章 广义逆矩阵

1 1 设 A= 0 0
1 0 + 2 ，那么 A = 1 0 2
1 设 A= 1 B O 是可逆矩阵， 设 A= ，其中 B 是可逆矩阵，则 O O
B −1 O + A = O O
是一个可逆矩阵， 如果 A是一个可逆矩阵，那么 A = A
第六章
广义逆矩阵
−
1. A 逆 矩阵， 定理： 定理：设 A 是数域 K 上一个s × n 矩阵，则矩 阵方程 As×n X n×s As×n = As×n (1) 总是有解。如果 rank( A) = r ，并且 总是有解。
I r 0 As×n = Ps×s Qn×n (2) 0 0 s× n n 阶可逆矩阵， 其中 P 与 Q 分别是 s 阶、 阶可逆矩阵，则矩
由此得出， 代入(5)式便得出 由此得出，H = I r ，代入 式便得出
Ir G =Q C
−1
B −1 P D
这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成 这证明了矩阵方程 得任意一个解都能表示成 (3)的形式，所以公式 是矩阵方程 的通解。 的形式， 是矩阵方程(1)的通解 的形式 所以公式(3)是矩阵方程 的通解。 定义： 矩阵， 定义：设 A 是一个 s × n 矩阵，矩阵方程 AXA = A 的通解称为 A 的广义逆矩阵，简称 广义逆矩阵， − 广义逆。 为 A 的广义逆。我们用记号 A 表示 A 的一 个广义逆。 个广义逆。
充分性。 充分性。设 b = AA b ，则取
−
−
−
α=Ab
−
得
Aα = A( A b) = b
所以
α=Ab
−
的解。 是 AX = b 的解。

矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆

矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆

注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。

矩阵的伪逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。

伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领域有着广泛的应用。

广义逆矩阵的定义在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下列条件：1. A⁺A = AA⁺ = I2. (AA⁺)⁺ = AA⁺3. (A⁺A)⁺ = A⁺A其中I是单位矩阵。

矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。

当方程组中b不完全在A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。

这时，我们就需要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。

广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法和QR分解法。

1. 求导法如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。

但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。

求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。

这种方法虽然可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算量较大，所以一般用于小规模的矩阵。

2. 奇异值分解法通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一种非常快速且广泛使用的方法。

同时这种方法也可以使用化简版本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好地比较微弱的值。

3. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法，可以用于计算矩阵A的广义逆。

使用QR分解计算广义逆矩阵需要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。

广义逆矩阵的应用广义逆矩阵在各种应用领域中有着广泛的应用，下面列举一些常用的应用：1. 求解无解或非唯一解的线性方程组当线性方程组Ax = b无解或非唯一解时，我们就需要使用广义逆矩阵。

第4章--矩阵的广义逆

第4章--矩阵的广义逆

Er 0
0 0

mn
，则
A



Er G21

Er 0
0 0


Er G21
G12 G22
nm
，
其中 G12 , G21, G22 是任意给定的．
G12 G22

nm
，
即
证明 因为对任意的

Er G21
G12 G22

，都有
nm
AL1


1 0
2 1
00
9
例2
设矩阵A为
A


1 0
2 1
21
求A的一个右逆矩阵AR1.
解
1 2 1

A E3



0 1 0
1 0 1
2
0

0

0
0
1

1 0 0
0 1 2

1
2
则称G为A的广义逆矩阵,记为G A .
定理1设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足 AGA A
按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆
矩阵共有 15 类，即
C41

C
2 4
C43

C
4 4
15
．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．

矩阵偏序与广义逆

矩阵偏序与广义逆

矩阵偏序与广义逆矩阵偏序与广义逆矩阵理论作为数学的一个重要分支，涉及到众多重要的概念和定理。

在研究矩阵的性质与特征时，我们不可避免地要涉及到矩阵之间的偏序关系以及广义逆的概念。

本文将探讨矩阵偏序与广义逆的关系，并对其进行深入的分析和解释。

在矩阵理论中，矩阵之间存在着偏序关系，即一个矩阵可以被另一个矩阵所包含。

具体而言，对于两个m×n维的矩阵A和B，如果A中的每个元素都小于等于B中对应位置的元素，则称A为B的偏序矩阵，记作A≤B。

例如，矩阵A=[2 1 3，4 2 1]和B=[3 2 4，5 3 2]，则A≤B。

偏序关系在矩阵的比较和排序中起到重要的作用，能够帮助我们判断矩阵的重要性和优劣性。

广义逆是矩阵理论中的另一个重要概念，广义逆是对于任意一个矩阵A都存在这样一个矩阵B，使得A与B的乘积是一个特殊的矩阵，称为广义逆矩阵。

在一般情况下，矩阵乘积并不满足交换律，即AB≠BA，而广义逆矩阵的定义则允许我们得到一个矩阵乘积满足交换律的特殊情况。

广义逆矩阵在最小二乘法、线性回归以及伪逆矩阵等问题中有广泛的应用。

矩阵偏序与广义逆之间存在着密切的联系。

首先，对于任意一个矩阵A，其广义逆矩阵A+满足A+A+A=A，即广义逆矩阵的一个基本性质。

进一步地，我们可以证明对于任意一个矩阵A和B，如果A≤B，则A+≤B+。

这是因为矩阵偏序关系的定义要求A中的每个元素都小于等于B中对应位置的元素，而广义逆矩阵的定义要求A与A+的乘积等于一个特殊的矩阵I。

所以，如果A≤B，则A与A+的乘积小于等于B与B+的乘积，即A+≤B+。

利用矩阵偏序与广义逆的关系，我们可以进一步研究广义逆矩阵的性质和特征。

通过将矩阵A视为B的偏序矩阵，我们可以得到A+≤B+。

将自身视为偏序矩阵的广义逆矩阵可以帮助我们研究矩阵的一些重要性质，如最大奇异值和最小奇异值。

此外，通过矩阵偏序的思想，我们还可以推广广义逆的定义，如行广义逆、列广义逆等。

矩阵论第8章

矩阵论第8章
第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念， 但其后的 30 年未引起人们的重视． 直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用． 本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．




由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0 1 0 0 1 0 0 例 8.1.1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 0 0 1 ，C ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 逆矩阵都不唯一.
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）满足方程（8.1.1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一 个确定的广义逆，称为减号逆，记为 A ； （2）满足方程（8.1.1）与（8.1.2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 Ar ； （3）满足方程（8.1.1）与（8.1.3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am ； （4）满足方程（8.1.1）与（8.1.4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al ； （5） 满足全部 4 个 M-P 方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4} ， 这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆，称为加号逆， 或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
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(1) ；（2） ．
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于 的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设 ，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且 如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ， ；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意 矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设 ，则 的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵 才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
证由定义直接得到．
证毕
因为在Penrose方程(1)和(2)中，A与X的位置是对称的，所以X∈A{1，2}与A∈X{1，2}是等价的，即A和X总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质 =A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵．
引理6．1设 ， ，且rank(AB)＝rankA．则存在矩阵 ，使得A＝ABW．
定理6．6设 ， ， ．若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则 ．
证记 为A的第j列，则线性方程组Ax= 都有解(因为 就是解)．由于 是线性方程组的解，即
从而
故X∈A｛1｝
证毕
三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵
利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵．
定理6．7设 ，Y，Z∈A{1}．记X＝YAZ，则X∈A{1，2}．
利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．
定理6.5设 ， ， ．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是
(6.4)
其中 ， ，当矩阵方程有解时，其通解为
( 任意) (6．5)
证如果式(6．4)成立，则 是AXB=D的解．反之，如果AXB=D有解，则
将式(6．5)代入矩阵方程AXB＝D的左边并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定义，可推出等于D，这说明式(6．5)是矩阵方程AXB＝D的解．反之，设 是AXB＝D的任一解，则有
(10) 的充分必要条件是rankA=n．
证只证(6)，其余结论直接利用 的定义或仿定理6．4证明．
记 ，由定理6．9知X∈A{1，2，3}．余下只要验证X满足Penrose方程(4)．因为
上式右边是Hermite矩阵，故 ，即X∈A{1，2，3，4}，从而 ．
同理可证 ．
证毕
应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于 一般不再成立：
由于{1}-逆是最基本的，而 惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以 与 在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．
§6.2 {1}-逆及其应用
一、{1}-逆的计算及有关性质
利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．
定理6.2设 (r>0)，且有 和n阶置换矩阵P使得
定义6.2设 ，若 满足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为 ，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为 ，也称之为A的加号逆．
在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：
A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，
反之，若X∈A{1}，且rankX=rankA．由定理6.4知
rankX=rankA=rank(XA)
从而根据引理6.1，存在矩阵 ，使得X=XAW，故
XAX=XA(XAW)=XAW=X
即X∈A{1，2}．
证毕
为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到 与 的{1}-逆．
定理6．9设 ， ， ，则
定理6.15设 ， ，矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解为
（6.10）
证由式（6.10）可求得 对任意 ，有
于是 这表明式（6.10）给出的z都是Ax=b的最小二乘解。
又设 是Ax=b的任一最小二乘解，则有
与前面推导过程类似，有
从而 =0，即 ，可见 是线性方程组 的解，由于 ，根据定理6.13知，上述方程组有解，且通解为
例6．1已知矩阵 ，求 ．
解4．8已求得
，
使得
从而由式（6．1），得
利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．
定理6．3设 ，且 和 使得
则
，
（6．2）
证可知
令X=T S．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，
可设
由AXA=A，得
当 ，而 ， 和 为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A的所有{1}-逆．
其中∑=diag ，而 是A的非零奇异值．记
则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．
再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)
从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．
证毕
需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
它相当于在式(6．5)中取 ．故式(6．5)给出了AXB＝D的通解．
证毕
推论1设 ， ，则有
证由定理6．5可知，AXA＝A的通解为
( 任意)
令 ，代入上式得
证毕
上述推论用某一个给定的 ，便给出了集合A｛1｝的全部元素．
推论2设 ， ．则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是
(6．6)
其中A(1)∈A｛1｝．如果Ax＝b有解，其通解为
故 可见式（6.10）给出了Ax=b的全部最小二乘解。
由定理6.15的推证过程可得如下结论。
推论1设 ， ，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z是方程组 的解。
推论2设 ， ，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z是方程组 的解。
证若z是Ax=b的最小二乘解，由推论1知，z是 的解，于是
定理6．11设 (r>0)，且A的满秩分解为
A=FG( ， )
则
证由定理1．26知，rank( )=rankG=r，rank( )=rankF=r，从而 与 都是r阶可逆矩阵．记
容易验证X满足四个Penrose方程，故X= ．
证毕
推论设 ．则当rankA=m时，有
而当rankA=n时，有
例6．3求下列矩阵的Moore-Penrose逆：
证将A按列分块为A＝( )，考虑线性方程组
(j=1,2,…,n) (6．8)
因为
rank(AB)≤rank(AB， )=rank(AB， )
=rank[A(B， )]≤rankA=rank(AB)
所以rank(AB， )=rank(AB)，即式(6．8)的诸线性方程组都有解，设
(AB) (j=1，2，…，n)，W=( )
Y= {1，2，3}，Z= {1，2，4}
证由定理1.26知
rank( )= ，rank( )=rankA
根据引理6．1，存在 ，使得
或
于是
AYA=
即Y∈A{1}．由{1}-逆的性质知rankY≥rankA，又有
rankY=rank
故由定理6．8得Y∈A{1，2}．又因为
AY=
=
可见 ，故Y∈A{1，2，3}．
按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有 类．
以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．
定理6.1设 ，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一．
证设rankA＝r．若r＝0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程．若r>0，由定理4．19知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得
(7) 的充分必要条件是rankA=n．
证(1)～(3)由定义直接得到；
(4)rankA＝rank ；
(5)与(4)的证明类似；
(6)如果 ，则由(5)，得
反之，如果rankA=m．则由(5)知， =rankA=m．又 是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到 ，两边同乘 即得 ；
同理可证(7)．
证毕
二、{1}-逆的应用
二、 在解线性方程组中的应用
利用{1}-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题．由于 是特殊的{1}-逆，所以相应地有
定理6.13设 ， ．则线性方程组Ax=b有解的充分必
要条件是
且通解为
（ 任意）(6．9)
由式(6．9)可知，如果线性方程组Ax＝b有解，则当且仅当 ，即rankA＝n时解惟一．在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即