当前位置：文档之家 › 矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

  • 格式：pdf
  • 大小：202.61 KB
  • 文档页数：25

下载文档原格式

  / 25

合集下载

矩阵论广义逆

矩阵论广义逆

矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。

在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。

本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。

1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。

2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。

3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。

3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。

如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。

3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。

在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。

4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。

伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。

奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。

这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。

5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。

矩阵的广义逆的定义与性质

矩阵的广义逆的定义与性质

矩阵的广义逆的定义与性质矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念。

在实际应用中，经常遇到矩阵求逆运算的情况，但并不是所有的矩阵都存在逆矩阵。

广义逆的引入扩展了矩阵逆的概念，使得更多的矩阵问题得以解决。

1. 广义逆的定义对于任意一个矩阵A，如果存在一个矩阵X，使得AXA=A，那么称X是A的一个广义逆。

通常用符号A+表示矩阵A的广义逆。

注意到，当A存在逆矩阵时，A的广义逆即为它的逆矩阵。

但当A不存在逆矩阵时，仍然可以存在广义逆，用来解决求逆运算的问题。

2. 广义逆的性质（1）广义逆的基本性质如果X是矩阵A的一个广义逆，则满足以下性质：① XAX=X；② (AX)T=AX；③ (XA)T=XA；④ X和A的秩分别为r和k，则XAX和AXA的秩均为r。

（2）广义逆的存在性与唯一性矩阵A的广义逆存在的充要条件是A的列秩等于A的行秩。

此时A的广义逆是唯一的。

上述条件的证明比较复杂，可以简单地介绍一下：假设矩阵A的列秩为r，行秩为k，不失一般性地假设r<=k。

设A的一个秩为r的列子矩阵为B，满秩列子矩阵为C，则有C=BQ，其中Q为r*k的满秩子矩阵。

因为C的列向量线性无关，所以存在一个r*k矩阵Y，满足CY=I。

对于任意一个矩阵X，我们可以分解成两部分：X=XBC+X(1-BC)，其中X(1-BC)表示X中不在B和C的列向量。

由于C=BQ，我们有：XA=XBCA+X(1-BC)A，AX=AXB+AX(1-B)。

由于BCA和XB线性无关，所以XBCA+XB=0的充要条件是XBCA+XB=0。

同理可得AX(1-B)=0的充要条件是AX(1-B)=0。

因此，矩阵A的广义逆可以表示为：A+=C((BTA-1B)-1BT)+M，其中M是任意r*(n-r)矩阵。

（3）广义逆的计算求矩阵A的广义逆，一种简单的方法是使用Moore-Penrose广义逆公式：A+=(ATA)-1AT。

该公式的正确性可以通过验证性质①得到，即有XAX=X，因此X=(ATA)-1AT满足广义逆定义。

广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵矩阵是数学中的一种重要的概念，矩阵的逆矩阵也是非常重要的概念。

它们是数学中通常用来解决一些复杂问题的有效工具，而广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）则是在这一领域中一种更加复杂的概念。

在本文中，我将对广义逆矩阵的定义，性质，求解方法等内容进行详细的介绍。

一、定义广义逆矩阵是在数学的线性代数中使用的一种概念，它是一种用于求解矩阵的新概念，它是一种非可逆矩阵。

首先，它是一种可以逆矩阵，但不能逆矩阵，它不能通过乘法求解，而是通过复合函数求解。

在定义广义逆矩阵之前，我们必须先定义矩阵和普通逆矩阵，因为广义逆矩阵是基于矩阵和普通逆矩阵所定义的。

矩阵是数学中的一种重要的概念，它是一种用数字表示空间或者抽象概念的表示方法，矩阵的相反数是普通逆矩阵，它具有与矩阵相反的定义，可以把矩阵的表达式变换为普通逆矩阵的形式。

而定义广义逆矩阵的免则如下：如果A是矩阵，那么A的广义逆矩阵记为A1，是满足以下条件的非可逆矩阵：AA1A=A。

二、性质研究广义逆矩阵的性质是必不可少的，因为它在数学上具有很多重要的性质。

（1）具有不可逆性：只有当矩阵A是可逆的时候，才能确定其广义逆矩阵；（2）具有自反性：设A为矩阵，则A1是A的广义逆矩阵，而A1的广义逆矩阵却是A本身；（3）具有可转性：设A和B分别为两个矩阵，则AB的广义逆矩阵等于B的广义逆矩阵乘以A的广义逆矩阵。

（4）具有保持秩性：设A为矩阵，则A的广义逆矩阵A1具有与A相同的秩。

三、求解方法由于广义逆矩阵是一种特殊的矩阵，其解决方案也是复杂的，因此，在求解广义逆矩阵时，我们可以使用一些特殊的方法。

（1）谱分解法：谱分解法是求解广义逆矩阵的一种有效的方法，它是把矩阵A分解成三个矩阵的乘积，即A=UDUT，其中U和D的元素分别为A的奇异值和奇异值的平方根。

由于A的特征值是不变的，而特征向量是可变的，因此矩阵D的逆矩阵可以由特征向量得到，并且可以得到A1＝UD1UT。

矩阵的广义逆和极小二乘解法

矩阵的广义逆和极小二乘解法

矩阵的广义逆和极小二乘解法矩阵是线性代数中非常基础的概念之一，其应用非常广泛，涉及到各个领域，如计算机科学、工程学、物理学、统计学等等。

然而，在矩阵的运算之中，我们常常会遇到矩阵的求逆问题。

然而，实际上，在一些情况下，矩阵并没有逆矩阵，这时候，我们就需要引入矩阵的广义逆(Generalized Inverse)，来解决问题。

1.矩阵的广义逆在一些情况下，我们无法找到一个矩阵A的逆矩阵，这时候，我们可以引入矩阵的广义逆概念。

对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得B满足以下条件:AB = A,BA = B,(AB)^T = AB,(BA)^T = BA，那么我们称矩阵B是矩阵A的广义逆。

矩阵A不一定存在逆矩阵，但是一定存在广义逆矩阵。

矩阵的广义逆具有如下性质:(1)A A+ A=A;(2) A+A A+= A+;(3) (A A+)A= A;(4) (A+A)A+= A+.在数值计算中，广义逆矩阵的应用非常广泛，常常用于求解那些没有精确解的问题，如线性回归、最小二乘法等等。

2. 矩阵的极小二乘法矩阵的极小二乘法(Least Squares)是一种数据拟合方法，用于寻找一条曲线(or 平面)最能拟合给定的数据点。

假设我们有n个数据点(x, y)，我们想寻找一条形如y = A + Bx的线性函数，使得它最能拟合这n个数据点。

在这个问题中，我们令y为坐标轴上的纵坐标，x为坐标轴上的横坐标，A为垂直截距，B为斜率。

同时，我们假设y和x之间的关系是线性关系，即y ≈ A + Bx。

对于给定的n个数据点(x1, y1), (x2,y2),…, (xn, yn)，我们可以将其表示为一个矩阵形式:y = [y1 y2 … yn]^T,X = [1 x1; 1 x2; … ; 1 xn];其中y是一个n维列向量，X是一个n行2列的矩阵，对于每一行i，它表示为[1 xi]。

我们的目的是寻找一个2维列向量β，使得它最能拟合y，即：y ≈ Xβ在这里，我们考虑一个误差函数，它描述了我们模型的预测值与真实值之间的差异。

矩阵的广义逆及其应用.ppt

矩阵的广义逆及其应用.ppt
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A


1
1
1
2

(3)(1)3

0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2

0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A

0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0

广义逆矩阵与线性最小二乘

广义逆矩阵与线性最小二乘

广义逆矩阵与线性最小二乘广义逆矩阵及其应用是线性代数中一个重要的研究方向。

在许多实际问题中，我们需要找到一种方法来解决超定方程组的问题。

而广义逆矩阵就是解决这类问题的有效工具之一。

本文将介绍广义逆矩阵的定义和性质，并探讨其在线性最小二乘问题中的应用。

一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵，也被称为伪逆矩阵，是矩阵理论中的一种扩展。

对于任意的实矩阵A，它的广义逆矩阵记作A⁺。

如果存在一个矩阵B，满足以下条件：1）ABA=A；2）BAB=B；则矩阵B为A的广义逆矩阵。

二、广义逆矩阵的性质广义逆矩阵具有以下性质：1）(A⁺)⁺=A，即广义逆矩阵的广义逆矩阵等于原矩阵本身；2）(AB)⁺=B⁺A⁺，即矩阵乘法的广义逆等于矩阵广义逆的乘法；3）(Aᵀ)⁺=(A⁺)ᵀ，即转置矩阵的广义逆等于广义逆的转置；4）如果A是满秩矩阵，则A⁺=A⁻¹，即广义逆矩阵等于逆矩阵。

三、广义逆矩阵的应用1. 线性最小二乘线性最小二乘问题是指在一组超定方程中，通过最小化误差的平方和，找到最佳的解。

设A为一个m×n的实矩阵，b为一个m维实向量，我们的目标是找到一个n维实向量x，使得||Ax-b||²取得最小值。

利用广义逆矩阵，线性最小二乘问题可以转化为求解如下方程的问题：A⁺Ax = A⁺b其中，A⁺表示A的广义逆矩阵。

解x = A⁺b即可得到最小二乘解。

2. 线性方程组的逼近解对于一个不一定可逆的矩阵A，我们可以通过广义逆矩阵来逼近求解线性方程组Ax=b。

即使A不是方阵，也可以通过广义逆矩阵来找到一个近似解。

通过求解A⁺Ax=A⁺b，我们可以得到一个逼近解x = A⁺b。

这在实际问题中往往是非常有用的，特别是当我们无法求解方程组的精确解时。

四、总结广义逆矩阵是一种重要的工具，在线性代数中广泛应用于解决超定方程组的问题。

它具有许多重要的性质，使得它成为线性最小二乘和逼近解的有力工具。

通过合理利用广义逆矩阵，我们可以在实际问题中找到最佳的解，为相关领域的研究和应用提供了新的途径。

第5章 广义最小二乘法

第5章 广义最小二乘法

方差-协方差矩阵（fact)
分解矩阵


将上面的方差协方差矩阵进行cholesky分 解，以得到分解后的矩阵D,命令为 Matrix fact1=@cholesky(fact) 对于分解后的矩阵fact1，我们运用命令 matrix fact=@transpose(fact1),我们就 可以得到最初的方差协方差矩阵。
转换后数据
Ols估计

估计变换后的数据，我们进行最小二乘估计得到估计结果
结果分析


通过对DW值的观察我们可以看出，尽管我们不能排除随机误差 项之间仍然存在序列相关性，然而模型的准确性比数据变化前有 所提高。之所以没有完全消除序列相关性，根据我们上一章的分 析知道是由于随机误差项之间存在二阶自相关，而这里我们是以 一阶自相关为基础对数据进行处理的。因此，按照同样的方法， 我们写出二阶自相关的方差协方差矩阵，并对数据进行变化，便 可以消除随机误差项之间存在的序列相关性。 值得注意的是，由于广义最小二乘法的实用性，因此当我们拿到 数据时，无论它是否存在异方差性或者序列相关性，我们均可以 直接运用GLS方法进行估计。在有异方差性或者序列相关性时， 即可消除，如果不存在，同样不会影响估计结果。
分解矩阵（fact1)
求逆矩阵



通过求解fact1的逆矩阵，我们就可以对 原数据进行变化，从而消除异方差和序 列相关，求解逆矩阵的命令为 Matrix fact2=@inverse(fact1) 得到其逆矩阵如下：
逆矩阵（fact2)
数据转换
数据转换命令为: matrix m1=fact2*m Matrix gdp1=fact2*gdp 从而我们得到转换后的数据如下：
广义最小二乘法（GLS)

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1

线性代数中的广义逆

线性代数中的广义逆

线性代数中的广义逆线性代数中的广义逆是一种特殊的矩阵运算，它在解决线性方程组、最小二乘问题以及矩阵逆的计算中具有重要作用。

本文将详细介绍广义逆的定义、性质和应用，以加深对该概念的理解。

一、广义逆的定义与性质广义逆是针对非方阵而言的。

对于一个m×n的矩阵A，在矩阵A的扩展实数域中，若存在一个n×m的矩阵B，使得AB和BA均为投影矩阵，则称B为A的广义逆，记作A^+。

广义逆具有以下性质：1. 幂等性：(A^+)^+ = A^+2. 逆性：(AB)^+ = B^+A^+3. 秩性：(A^+)A和A(A^+)的秩相等4. 唯一性：若A^+和B^+都是A的广义逆，则A^+ = B^+二、广义逆的应用广义逆在线性方程组的求解中扮演着重要角色。

对于一个m×n的线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。

若A的行秩等于列秩，则该方程组有唯一解。

然而，在实际问题中，方程组常常出现行秩小于列秩的情况，此时无法直接求解。

利用广义逆的概念，我们可以构造最小二乘解。

最小二乘解是指使得||Ax-b||^2（欧氏范数下的二范数）最小的解。

通过广义逆的求解方法，可以找到最接近方程组Ax=b的解x*，即使得||Ax*-b||^2取得最小值。

特别地，当A的列秩等于n（A是满秩列）时，最小二乘解与精确解重合。

广义逆还在矩阵逆的计算中起到重要作用。

当方阵A不可逆时，可以使用广义逆来近似计算逆矩阵。

通过广义逆的逆性质，我们可以得到A的近似逆矩阵A^+的逼近解析表达式。

三、广义逆的计算方法1. 伪逆法：通过奇异值分解（SVD）求解广义逆，即A^+=VΣ^+U^T，其中U、Σ、V分别是A的左奇异向量矩阵、对角奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

2. 矩阵分块法：将矩阵A分块，利用分块矩阵性质求解广义逆。

3. Moore-Penrose逆矩阵：Moore-Penrose逆矩阵是一种特殊的广义逆矩阵，是广义逆的一种常用表示形式。

广义逆的性质与应用

广义逆的性质与应用

广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。

本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。

一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。

对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。

2) A的广义逆是唯一的。

3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。

4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。

5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。

二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。

对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。

2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。

在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。

通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。

2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。

通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。

2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。

通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。

三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。

线性代数中的广义逆与广义逆矩阵

线性代数中的广义逆与广义逆矩阵

线性代数中的广义逆与广义逆矩阵线性代数是现代数学中的重要分支之一，在不同领域中都有广泛的应用。

广义逆是线性代数中的一个重要概念，与广义逆相关的广义逆矩阵也是研究的热点之一。

本文将介绍线性代数中的广义逆与广义逆矩阵的概念、性质以及应用。

一、广义逆的概念与性质1. 广义逆的定义广义逆是指对于任意的m×n矩阵A，存在一个n×m的矩阵B，使得A·B·A=A，称矩阵B为矩阵A的广义逆。

广义逆有时也被称为伪逆或逆广义。

2. 广义逆的性质（1）广义逆的存在性：对于任意的矩阵A，都存在唯一的广义逆。

（2）广义逆的满足性质：对于矩阵A的广义逆B，满足BA=BBAB=B。

（3）广义逆的不唯一性：对于同一个矩阵A，其广义逆并不唯一。

二、广义逆矩阵的计算方法1. SVD分解方法奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可以用于计算广义逆矩阵。

通过对矩阵A进行SVD分解，可以得到A=UΣV^T的形式，其中U、Σ和V^T分别为矩阵A的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

则矩阵A的广义逆可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+表示奇异值矩阵Σ的逆矩阵。

2. 初等变换法通过初等变换的方法来计算广义逆矩阵也是常用的一种方法。

对于矩阵A，通过初等行变换和初等列变换，可以将矩阵A转化为行最简形或列最简形。

然后再进行逆变换，得到矩阵A的广义逆矩阵。

这种方法相对简单直观，但当矩阵较大时计算量较大。

三、广义逆与最小二乘法的关系最小二乘法是一种常用的数学优化方法，在统计学和信号处理等领域中有广泛应用。

广义逆与最小二乘法密切相关。

对于线性方程组Ax=b，当矩阵A的秩小于n时，方程组可能无解；当矩阵A的秩等于n且方程组有解时，最小二乘法可以用来求解近似解。

对于方程组Ax=b中的矩阵A，如果A的秩小于n，一般情况下不存在精确解。

但可以通过最小二乘法来求解近似解x，使得A x接近于b。

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

广义逆或 moore-Penrose 逆。 1) AA+ A = A 2) A+ AA+ = A+ 3) ( AA+ ) H = AA+ 4) ( A+ A) H = A+ A (5.2-1) (5.2-2) (5.2-3) (5.2-4)
从定义中可以看到， 若 A 是可逆阵 （此时自然有 m = n ） ， 则 A−1 是 满足这四个方程的，这就是说 A+ 包括了 A−1 这个特例。(3)(4)两个方 程，说明了要求 AA+ 和 A+ A 都是 H 阵。在实空间中，自然就要求其成
第五章
广义逆及最小二乘解
在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。作一番调查或 整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：
Ax = b
然而是否是相容方程呢？倘若不是， 又如何处理呢？最小二乘解是常 见的一种处理方法。其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。 广义逆从 1935 年 Moore 提出以后，未得响应。据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦 涩。其后，1955 年 Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广 义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有 了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。 为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩 阵的奇值分解。
∃U (m × n),V (n × n),U HU = I m ,V HV = I n ，使 ⎛Δ 0⎞ U H AV = ⎜ r ⎟ (m × n) ⎝0 0⎠

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。

矩阵的伪逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。

伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领域有着广泛的应用。

广义逆矩阵的定义在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下列条件：1. A⁺A = AA⁺ = I2. (AA⁺)⁺ = AA⁺3. (A⁺A)⁺ = A⁺A其中I是单位矩阵。

矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。

当方程组中b不完全在A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。

这时，我们就需要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。

广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法和QR分解法。

1. 求导法如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。

但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。

求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。

这种方法虽然可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算量较大，所以一般用于小规模的矩阵。

2. 奇异值分解法通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一种非常快速且广泛使用的方法。

同时这种方法也可以使用化简版本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好地比较微弱的值。

3. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法，可以用于计算矩阵A的广义逆。

使用QR分解计算广义逆矩阵需要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。

广义逆矩阵的应用广义逆矩阵在各种应用领域中有着广泛的应用，下面列举一些常用的应用：1. 求解无解或非唯一解的线性方程组当线性方程组Ax = b无解或非唯一解时，我们就需要使用广义逆矩阵。

广义逆矩阵

广义逆矩阵
第五章 广义逆矩阵
5.1 Penrose方程
定义1 对任意矩阵 A C mn，若矩阵 X C nm
满足下面四个方程
(1) AXA A (2) XAX X H (3)( AX ) AX H (4)( XA) XA
矩阵A的广义逆矩阵称为 注：A是可逆矩阵，则A-1同时满足四个 Penrose方程.
A{1} { X | X A Z A AZAA
(1) (1)
(1)
任意)} 推论3 设 A C mn，b C m ,
则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为
(Z C
nm
AA b b
(1)
其中 A(1) A{1} .若Ax=b有解，其通解为
x A b (I A A) y( y C 任意)
(1) (1) n
{1}-逆的应用 例2 用广义逆矩阵方法求解线性方程组
2 x1 3 x2 x3 x4 5 x4 14 5 x1 8 x2 x 2 x 2 x 3x 4 2 3 4 1
作业
5 x3 1 10 x1 (1) 4 x1 2 x2 2 x3 x4 2 2x 4x x 2x 3 2 3 4 1
任意
{1}-逆的性质 (1) 定理3 设 A C mn， A A{1}，则
(1)( A ) A {1}; (1) (2) A ( A){1}, 其中 C ,
(1) H H
, 0 且 ; 0, 0
1
(3)当S C
1 (1)
(4)A{1,4}:矩阵的{1,4}-逆，最小范数广义逆 矩阵.方程组无穷多解时求范数最小的解. (5)A{1,2,3，4}:矩阵的{1,2,3，4}-逆， Moore-Penrose逆.记为A+.

第五章-广义逆矩阵

第五章-广义逆矩阵

第五章 广义逆矩阵广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。

其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。

它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。

广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。

第一节 广义逆矩阵的概念对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。

但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。

这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。

若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式AA －1A =AA －1AA －1=A －1(AA －1)H =AA －1(A －1A )H =A －1A若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。

定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。

由上定义可知，广义逆阵有1544342414=+++C C C C 种之多。

为了方便，引进一些记号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。

同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。

如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。

在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。

最小二乘广义逆法

最小二乘广义逆法
}
j=j+1;
if (j<=7)
jt=1;
else z=h2;
}
}
alpha=z; y1=0.0; y2=0.0;
for (i=0; i<=n-1; i++)
{
dx[i]=-alpha*dx[i];
x[i]=x[i]+dx[i];
y1=y1+fabs(dx[i]);
y2=y2+fabs(x[i]);
for (c = 0; c < n; c++)
{
i = (c + 1)%5;
j = (c + 2)%5;
l = (c + 3)%5;
k = (c + 4)%5;
d[nExpression] = ExpressionSolve(x, i, j, l, k); nExpression++;
d[nExpression] = ExpressionSolve(x, i, l, j, k); nExpression++;
for (c = 0; c < n; c++)
{
i = (c + 1)%5;
j = (c + 2)%5;
l = (c + 3)%5;
k = (c + 4)%5;
CoefficientSolve(x, p, i, j, l, k);nCoefficient++;
CoefficientSolve(x, p, i, l, j, k);nCoefficient++;
{
xc[i] = x[i]*xu[i];
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1< i ≤ r j < i,1 < i ≤ r
更一般的有 uiH a j = 0 将 u1 , u2,
(5.1-3)
, ur 扩充为 C m 的一个酉交基，设为
u1 , u2,
, ur , ur +1 ,
um
则显然有 一般的有 记
uiH ui = uiH ai = 0
niH a j = 0
i >1
广义逆或 moore-Penrose 逆。 1) AA+ A = A 2) A+ AA+ = A+ 3) ( AA+ ) H = AA+ 4) ( A+ A) H = A+ A (5.2-1) (5.2-2) (5.2-3) (5.2-4)
从定义中可以看到， 若 A 是可逆阵 （此时自然有 m = n ） ， 则 A−1 是 满足这四个方程的，这就是说 A+ 包括了 A−1 这个特例。(3)(4)两个方 程，说明了要求 AA+ 和 A+ A 都是 H 阵。在实空间中，自然就要求其成
λr > 0
(5.1-11)
H ( D −1 ) H VrH Δ r Δ rVr D −1
记
U r = Δ rVr D −1
则由上式可知 U r 是 r 阶酉交阵。 由(5.1-11)式有 令
U rH Δ rVr = D
⎛ Vr 0 ⎞ V2 = ⎜ ⎟ ⎝ 0 In−r ⎠
(5.1-12)
⎛U r 0 ⎞ U2 = ⎜ ⎟ ⎝ 0 I m −r ⎠
注意到
H Δr 使 H 阵，且正定，故有 Vr (r × r )
Vr = I r ，能使
⎛ λ1 ⎜ λ2 H H Vr Δ r Δ rVr = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λr ⎠
= [diag ( λ1 , λ2 ,
λr )]2
(5.1-10)
= D2
其中有 显然有
λ1 ≥ λ2 ≥
则 使 其中 而
∃U (m × m),V (n × n),U HU = I m ,V HV = I ⎛ D 0⎞ ∈ R m×n U H AV = ⎜ ⎟ ⎝0 0⎠
D = diag ( λ1 , λ2 , , λr )
(5.1-8) (5.1-9)
λ1 ≥ λ2 ≥
≥ λr > 0
是 AH A 的非零特征值。
Ax = b, A ∈ C m×n ; x ∈ C n , b ∈ C n
有解时，是否有矩阵 G ，能将解表成 Gb 。在下一节中，再把解的含 义推广，使得任一方程组都有“解” ，然后在统一的观点下，将“解” 表出。 尽管近二三十年来，对广义逆的研究已经相当深入。出于应用上 的需要，有各种广义逆，但是我们这里只着重讨论最主要而常见的一 种 A+ ，至于其他一些广义逆，我们将出一些于本章习题中，有兴趣 的读者不妨对之作一点简单的研讨。 定义 (Penrose) A ∈ C m×n ,则满足下列四个方程的 A+ ， 称为 A 的
∃U (m × n),V (n × n),U HU = I m ,V HV = I n ，使 ⎛Δ 0⎞ U H AV = ⎜ r ⎟ (m × n) ⎝0 0⎠
其中 Δ r 为 r 阶非异下三角阵。 证明： A 的秩为 r ，故 A 有 r 个线性无关列，不妨设前 r 个列是 线性无关的，因为倘若非如此，则经过一系列的列交换，可以把它们 调到前 r 列，这无异于对 A 乘上某一排列阵，排列阵是酉交阵，而酉 交阵的积仍是酉交阵，故不是普遍性。 记 A 为 A = (a1 , a2,
使 证明：
A = HK
(5.1-7)
⎛ Δ 0⎞ ∃U ,V ,U H AV = ⎜ r ⎟ ⎝0 0⎠
r (Δ r ) = r
由此有
⎛ Δ 0⎞ A = U ⎜ r ⎟V H ⎝0 0⎠ ⎛ Δ 0 ⎞⎛ K ⎞ = (U1 ,U 2 ) ⎜ r ⎟ ⎜ ' ⎟ ⎝ 0 0 ⎠⎝ K ⎠
= U1Δ r K = HK
于是
BV = ( Δ r ,0 )
( r × n)
而 Δ r 是非异下三角镇。
⎛ R, R ' ⎞ ⎛ Δr 0 ⎞ ⎛B⎞ 故有 U AV = ⎜ V = V = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝0 0⎠ ⎝ 0, 0 ⎠
H
(证毕)
推论
(满秩分解) A ∈ C m×n ，秩为 r ，则有
H ∈ C m×n , K ∈ C r× x , r ( H ) = r ( K ) = r
(5.1-4)
i > j ,1 < i ≤ m
U = (u1 , u2 ,
ur , ur +1
um )
则 U 是酉交阵，且
⎛ u1H ⎞ ⎜ H ⎟ ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H H ⎜ U A = ur ⎟ ( a1 , a2 , ⎜ H ⎟ ⎜ ur +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜uH ⎟ ⎝ m ⎠
显然有
r(H ) = r(K ) = r
(证毕)
酉交分解定理，秩说明了 Δ r 是非异下三角镇，至于它的元，特 别是对角线上的元，除了知道是非零元以外，就谈不出其他性质了。 然而利用酉交分解，可以进一步作出有特征的分解，这就是奇值分解 (Singular Value Decomposition)。 定理 5.1.2 (奇值分解) A ∈ C m×n ， r ( A) = r
, ar , ar +1 ,
(5.1-2)
an )
, ar 标准正交化为 , ur
按 Gram-schmidt 正交化法，将 a1 , a2,
u1 , u2,
niH u j = δ ij ，1 ≤ i, j ≤ r
且 ui 是 a1 , a2,
niH u j = 0
, ai 的线性组合，注意到 u1 就是 a1 上的单位向量，故
⎛ u1H a1 , u1H a2 , u1H an ⎞ ⎜ ⎟ H H u a u a 0 ⎜ 2 2 2 n ⎟ an ) = ⎜ ⎟ H H u a u a 0 r r r n ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ 0 ⎝ ⎠
⎛R =⎜ ⎝0
R' ⎞ ⎟ 0 ⎠
( m × n)
(5.1-5)
其中 R 是 r 阶非异上三角镇， R ' 是 r × (n − r ) 型的阵。 记 则
B = ( R, R ' ) ⎛ RH ⎞ B =⎜ ⎜ R' H ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
H
( r × n) (n × r )
(5.1-6)
按上述作法，注意此时 B H 是列满秩的，可知酉交阵 V (n × n) ，能使
H ⎛ Δr ⎞ V B =⎜ ⎟, ⎝0 ⎠ H H
(n × r )
H 其中 Δ r 是非异上三角镇。
= AA+
+
(4)同(3)可证。 故 A+ 存在。 唯一性：若 B + 也满足 Penrose 方程，则
B + = B + AB + = B + AA+ AB +
= B + ( AA+ ) H ( AB + ) H = B + A+ H AH B + H AH = B + A+ H ( AB + A) H
0⎞ 0⎟ ⎠
(证毕)
通常称 λi 为 A 的正奇值。这个定理说明了：在酉空间中，任一 矩阵都酉相抵于一个实矩阵，其左上角为 r 阶对角阵， r 为 A 的秩， 这个事实当然是引人注目的。 顺便提一下， 且其对角元式 A 的正奇值。 这些定理在欧式空间中也成立，读者仔细读过证明后，便会了解这句 话的根据。那时把 " H " 换成 "T " 就行了。
证明：按酉交分解定理，有 U1 (m × n) 使 即 故有
H
V1 (n × n) ，
⎛ Δ 0⎞ U1H AV1 = ⎜ r ⎟ ⎝0 0⎠ ⎛ Δ 0⎞ A = U1 ⎜ r ⎟V1H ⎝0 0⎠
H ⎛ Δr 0⎞ H ⎛ Δ r 0 ⎞ H A A = V1 ⎜ ⎟U1 U1 ⎜ ⎟V1 0 0 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ H ⎛ Δr Δ r 0⎞ H = V1 ⎜ ⎟V1 0⎠ ⎝0
+
⎛D 0⎞ H A =U ⎜ ⎟V 0 0 ⎝ ⎠
D = diag ( λ1 , λ2 ,
λr ), λi > 0, i = 1, 2, r
, 1
D −1 = diag (
1
λ1
,
1
λ2
λr
)
D + = D −1
⎛ D+ 0 ⎞ H n×n A =V ⎜ ⎟ U ∈C ⎝0 0 ⎠
H
H
(5.2-5)
第五章
广义逆及最小二乘解
在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。作一番调查或 整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：
Ax = b
然而是否是相容方程呢？倘若不是， 又如何处理呢？最小二乘解是常 见的一种处理方法。其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。 广义逆从 1935 年 Moore 提出以后，未得响应。据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦 涩。其后，1955 年 Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广 义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有 了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。 为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩 阵的奇值分解。