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矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

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矩阵及其应用ppt课件

矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

矩阵的特征值与特征向量(PPT)

矩阵的特征值与特征向量(PPT)

更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =

矩阵特征值的估计

矩阵特征值的估计

解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1

线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)

线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)

互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.

第五章 矩阵特征值与特征向量的计算讲解PPT文档共37页

第五章 矩阵特征值与特征向量的计算讲解PPT文档共37页
第五章 矩阵特征值与特征向量的计算讲 解
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。

作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。

其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。

广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。

据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。

其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。

为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。

§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。

用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。

利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。

在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。

定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。

矩阵的广义逆及其应用.ppt

矩阵的广义逆及其应用.ppt
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A


1
1
1
2

(3)(1)3

0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2

0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A

0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0

矩阵代数ppt课件

矩阵代数ppt课件
特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1

矩阵理论复习总结 PPT课件

矩阵理论复习总结 PPT课件

1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A


max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )



1T

T 2





T n


111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

06.矩阵理论与方法_广义逆矩阵

06.矩阵理论与方法_广义逆矩阵

定理：设矩阵 Y , Z A{1} ，令 X YAZ ，则

X A{1, 2} 定理：给定矩阵 A 和 X A{1} ，则 X A{1, 2} 的充要条件是 rankX rankA
9
练习

P296 1、2、3、5、7 P307 7、8、9
10
定理：对任意 A C mn ， A 存在且唯一。 定义：对任意 A C ，若 X C nm 满足Penrose方程中的 (i ), ( j ),..., (l )等 ( i , j ,...,l ) 方程，则称 X为 A 的 {i, j,..., l}-逆，记为 A ，其全体记为 A{i, j,..., l}。



(1) A ( A){1} 2.
3.若 S , T 非奇异，则 T 1 A(1) S 1 (SAT ){1} 。 4. rankA(1) rankA 5. AA(1) 和 A(1) A 均为幂等矩阵，且与 A 同秩。
(1) (1) (1) H H 6. R( AA ) R( A), N ( A A) N ( A), R(( AA ) ) R( A )
mn


注：由于 {i, j,..., l} {1, 2,3, 4} ，所以 A A{i, j,..., l}，即 A( i , j ,...,l ) 总存在。 4 注： A 的广义逆矩阵共有 2 1 15 类。
注：应用较多的广义逆矩阵为以下5类：
A{1}, A{1, 2}, A{1,3}, A{1, 4}, A{1, 2,3, 4}
8
广义逆矩阵的性质及构造

AA(1) I m 等价于 rankA m 。 7. A(1) A I n 等价于 rankA n ，

大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量

大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
通过找到一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以了解该矩阵所代表的线性变换的性质，例如对称性、 旋转、缩放等。
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量

第5章 特征值的估计与广义逆矩阵

第5章 特征值的估计与广义逆矩阵
i, j
| Re k | 3 max | bij | 0 ，
i, j
| Im k | 3 max | cij | 0.6 ．
i, j
所以， Re k 0 ， | Imk | 0.6 ．
若用推论 2 可得
3 (3 1) | Imk | max | cij | 0.3464． i, j 2
n(n 1) max | cij | ． i, j 2 证明 因为 A 为 n 阶实矩阵，所以 cii 0 (i 1,2,, n) ．且 k 为实数 时，则 Im k 0 ，结论显然成立. 当 k 不为实数时，由定理 5-1 的证明有 | Imk |
| Im i |2
i, j
(2) | Re k | n max | bij | ，
i, j
(3) | Im k | n max | cij | ．
i, j
证明
(1) 由定理 5-1 得
| k | | i |
2 2 i 1
n
i , j 1
2 2 2 ， | a | n max | a | ij ij i, j
矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中 都是重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，
即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是
很大的．好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特 征值，而只需要有一个粗略的估计就够了. 例如，在线 性系统理论中，通过估计系统矩阵A的特征值是否有负 实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的
2
n
i , j 1
2 | a | ii ．
n
(5-3)
所以得到
| i | 2 T
i 1

广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵逆矩阵是数学中一类重要的矩阵，它以及其应用被用作许多数学计算的基础。

逆矩阵是指一个矩阵乘以它自己的逆矩阵，可以得到一个单位矩阵。

它可以帮助研究者快速解决许多数学模型，如线性方程组、解调数学模型和特征值问题等。

逆矩阵最初出现在二十世纪初期数学家弗里德曼的数学论文中，他发现了一种数学工具，可以用它来解决多项式方程组的解，这一理论被称为弗里德曼的逆矩阵理论。

此后，科学家们发现，逆矩阵可以解决许多数学问题，所以它成为研究者工具箱中不可或缺的重要部分，然而，只有一定是方阵才能有逆矩阵。

随着研究者们对数学模型的深入研究，人们发现了另外一种技术，命名为“广义逆矩阵”，它被认为是一种替代逆矩阵的技术，可以帮助研究者快速解决许多数学模型，而无需要求解矩阵的逆。

广义逆矩阵把多项式方程组转换成反方程。

它构造出一个矩阵A，使得Ax=b，其中b是给定的系数向量，x是要求的变量向量，而A则是一个称为“反矩阵”的矩阵。

假设A是n x n矩阵，可以得到n个方程，而x可以用A的反矩阵来求得。

这里的反矩阵A^-1，可以通过矩阵A的特征值来计算，特征值是一个特殊的多项式，用来解决特征值问题，从而得到A的反矩阵。

广义逆矩阵在计算机领域也有着广泛的应用，比如可以用来求解系统方程，就是将在一定的时间内的特定的输入变量带入特定的算法中，从而确定相应时间段内的系统输出变量。

它也可以用于求解最优化问题，如最小二乘法和最大熵模型等。

另外，它还可以用来图像处理，比如图像分类、噪声滤波等等。

综上所述，广义逆矩阵是一种极为重要的矩阵，它可以帮助研究者快速求解多种数学模型，而且还可以广泛地应用于计算机领域，极大地提高了解决数学问题的效率。

矩阵第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

矩阵第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
根据结论：首项系数不为零的n次多项式的n个根都是其系数的连续函数，矩阵的特征值是连续依赖于矩阵元素的。因此 的特征值 是连续依赖于u的。考虑 的情形。此时 是 的特征值， 是 的特征值。因此 在复平面上画出的曲线必然以 为起点，以 为终点。
设 的一个连通部分是由其k个盖尔圆构成的，记做D。因此 的k个特征值必在其中。如果D中没有 的k个特征值，则至少有一个 ，使得点 连续地变动到点 ，且 在D之外。由于 是A的特征值，因而必定在A的另一个连通部分 之中。
第五章特征值的估计与广义逆矩阵
注：先讲第三节可正好与第四章给出的“矩阵范数与谱半径的关系”联系起来。
§3谱半径的估计
定理1 ，则对于任一种矩阵范数，有 。
推论1） ；
2） ；
3） ，其中 为矩阵 的最大特征值。
定理2若A为正规矩阵，则 。
证明：因为A为正规矩阵，所以存在酉矩阵P，使得
，故有 ，从而
。于是 。□
一条连续曲线 的起点在D中，而终点在 中，这条曲线必然有一部分既不在D中，也不在 中，也不在A的其它连通部分之中。也就是说，存在 ，使得 不在A的所有盖尔圆之中。但因 是 的特征值，因而必定在盖尔圆
的并集之中。注意到 包含在 之中，所以产生矛盾。
同样可以证明，A在D中特征值的个数也不能多于k个。因此A在D中特征值的个数只能是k个。□
例1的第二种解法：
解：
，
所以
。
于是。故§源自 圆盘定理（定理1任一 阶复矩阵 的特征值都在复平面上 个圆盘（盖尔圆） 的并集内。其中 （第 行除对角线元素外各元素的模之和）。
证明：设 ，写成分量形式即为：
，
或为
。
设 为 的各分量中绝对值最大的一个，则 。将等式 两端同除以 并取绝对值得

广义逆矩阵教案ppt课件

广义逆矩阵教案ppt课件
初等变Q 换 满 A 对 足 Q A 1应 A 2,A 1 的 是 m 阶 矩
可逆方矩阵 .
返回
定 理 4设 A Cm n是左可 ,A L 1 逆 是 A 的 矩左 阵逆 矩 阵 ,则 方 程 Ax组 b有 解 的 充 要 条 件 是
(E mAL A 1)b0(1)
若(1)式成,则 立方程 Ax组 b有唯一解 x(AHA)AHb.
证 充分性： N(A){0} Ax0只有零解
ran(Ak)n A为列满秩
必要性： A左可逆
AL1AEn
返回
xN(A) xEnxAL 1(A)xAL100
N(A){0}
初等变换求左(右)逆矩阵:
(1)P(AEm)E0n G *
(2)EAnQEGm *0
返回
例 1 设矩阵 A为 1 2
A 0 1 0 0
证 : 必要性： 设 x0是 方A程 xb的 组解
(AL 1 A )A ( 0)x (AL 1 A )bA(AL1A)x0 AEnx0
Ax0 b
(EmAL A1)b0
返回
充分性： (EmAL A1)b0 x0 AL1b Ax0AAL1b b
唯一性：
设 x0,x1Βιβλιοθήκη A xb的解A (x 1 x 0 ) A 1 x A 0 x 0 x1x00
1 0 1
2
0
0
0
0
1
1 0 0
0 1 2
1
2
1
0 1 0
0
0
1
1 0 0 0 1 0
1
2
3
0 1 2
0
0
1
1 0 0
0 1 0
1
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4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
min x : H x min Ax b
xH
2
xC n
2
定义5 （广义逆的一般定义）
设 A C，m若n存在
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
的并集内，其中 Ri aij 。 j 1 ji
上述圆盘称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆。
证明： 设Ax x, x ( x1, x2 , , xn )T
n
aij x j xi , i 1, 2, , n
j 1
n
aij x j ( aii )xi , i 1, 2, , n
1 2 1 0 0 1 2 1 0 0
0
00
1
0
0
00
1
0
2 4 0 0 1 0 0 2 0 1
1 0 1 0 0
0
00
1
0
0 0 2 0 1
1 0 0
P
0
1
0
2 0 1
1 2
Q
0
1
A
Q
E1 Y
X
Z
P
1 0 0
1
0
2 1
1
y
x1 z1
x2 z2
①
A
3 5
5 3
3 5 E A
5 3 ( 3)2 25 0
1,2 3 5i
2个盖尔圆 3 5
②
A
2 1
1
4
2 1 E A
1 4
2 1 ( 3)2 0 1,2 3
2个盖尔圆
4 1
1 0.8
③
A
1 0.5
0.8
0
E A 0.5
2 0.4 0
( A A)H ，A只要A方程组
有解A，x其则b
x A就是b 它的最小范数解（唯一）。
证明：
x2 2
Ab (En
A A)z
2 2
Ab (En A A)z H Ab (En A A)z
Ab H Ab (En A A)z H (En A A)z
Ab H (En A A)z (En A A)z H Ab
对于方程组 Ax ，b若 rank( A, b) rank( A)
则方程组有解（称为相容方程组，否则称为不相容）， 所有解里面2-范数最小的解，称为其最小范数解，即
x* : min x
Ax b
2
定理4 （最小范数解的性质）
通常记为 A{1,3}
若 A是 矩阵 A C的m一个n 广义{1逆} ，且满足
定理5 （最小二乘解的性质） 通常记为 A{1, 4}
若 A是 矩阵 A C的m一个n 广义{1逆} ，且满足
( AA )H ，则AA对
，b C m x Ab
是不相容方程组 Ax 的b最小二乘解（不唯一）。
定义4 （极小最小二乘解）
对于不相容方程组 Ax ，b所有最小二乘解里面
2-范数最小的解，称为极小最小二乘解，即
Ab H (En A A)z 0 (En A A)z H Ab 0
Ab H Ab (En A A)z H (En A A)z
Ab 2 2
(En
A A)z
2 2
Ab 2 2
1 2 1
例7
已知
A
0
0
,
b
0
，求
Ax b
2 4 2
的最小范数解。
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
上述形式），则 的A所有 广{1}义逆的集合为：
A{1}
Q
Er Y
其中X 分别是 X ,Y , 相应Z阶数P的 任意矩阵。
Z
证明： AGA A PAGAQ PAQ
PAQQ1GP 1PAQ PAQ
Er O
OW
O
Y
X Er
Z
O
O O
Er O
O
O
W
O
O O
1 0 0 0 0 1 0
0 0
1 0
10 01
1 0
0
0
2 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 0
P
0
1
0
0
1 0 2 0
0
1
1
1
0 0 1
Q
0
1
1
1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0
1
00
1
0
0
1
00
1
1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
2
2
i 3 0.2 0.6 Rei 3 0 0
Im i
3 2 0.2 2
Imi 3 0.2 0.6
0.3464
§2、圆盘定理 定理1 （圆盘定理）
设 A (aij )nn Cnn ，则 A 的特征值都在复数平面
上的n个圆盘 z aii Ri , i 1, 2, , n
n
0 0 2 1 0 0 0
1 0
1 0
00 10
1 0
0
0
1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0 2 0
1 0
1 0
00 10
1 0
0
0
1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0
1 0
1 0
00 01
1 0
0
0
2 0
0 0 0 0 1 1 1
v1 v2 vn ，则有下列结论：
①
i
n
max
1i , jn
aij
;
②
Re i
n max 1i , jn
bij
;
③
Im i
n
max
1i , jn
cij
.
其中
1 bij 2 (aij a ji )
1 cij 2 (aij a ji )
i, j 1, 2, , n
推论2 （Bendixson定理）
j 1
ji
n
令
xk
max
1 i n
xi
0
( akk )xk
akj x j
j 1
jk
n
n
akk xk akj x j akj x j
j 1
j 1
jk
jk
n
akk akj
j 1
xj xk
n
akj Rk
j 1
jk
jk
例2 估计下面矩阵的特征值范围：
1 0.1 0.2 0.3
1,2
1
i 2
0.6
1 0.8
2个盖尔圆
0.5
注：定理2表明由一个盖尔圆组成的连通部分，有且只 有一个特征值。
推论1 如果n阶矩阵 A C nn 的n个盖尔圆两两不相 交，则 A 必相似于对角矩阵。（仅是充分条件） 推论2 如果n阶矩阵 A Rnn 的n个盖尔圆两两不相
交，则 A 的特征值全为实数。
实际计算得到的特征值：
1 3.0253, 2 1.0757, 3 1.1118, 4 3.9893.
定理2 （圆盘定理的推广）
矩阵 A 的任一由k个盖尔圆组成的连通部分里，有且只 有k个特征值（当 A 的主对角线上有相同元素时，则按
重复次数计算，有相同特征值时亦需按重数计算）
例3 应用举例：
对 z Cn ， 令 b Az ，则 Ax b 有解 x Gb
AGb b AGAz Az AGA A
设 y是方程组 Ax的解b
AGA A AGAy Ay b AGb b
即 x Gb是方程组 Ax b的解，从而结论成立。
定 设 其理 中A2P（,C{Q分1，}m别若n是广m义阶逆P和的An阶Q计可算，逆）矩E阵r （O即初 等ra变n换k(可A化)为 r
Er O
O
O
W Er
G
Q
Er Y
X
Z
P
0 0 2
例6
求矩阵
A
1
1
0
的一个{1} 广义逆。
0 0 1
1
1
1