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矩阵论简明教程第二版（张凯院著）课后答案下载《矩阵论简明教程》是xx年科学出版社出版的图书。
以下是要与大家分享的矩阵论简明教程第二版（张凯院著），供大家参考!点击此处下载???矩阵论简明教程第二版（张凯院著）课后答案???矩阵的相似变换，范数理论，矩阵分析，矩阵分解，特征值的估计与表示，广义逆矩阵，矩阵的直积以及线性空间与线性变换。
各章均配有习题，书末有习题解答与提示。
与传统矩阵论教材不同的是，《矩阵论简明教程》不是从较抽象的线性空间与线性变换开始，而是以较具体的矩阵相似变换理论作为基础来介绍矩阵理论的主要内容，以达到由浅入深的目的，并使读者在较短时间内掌握近现代矩阵理论相当广泛而又很基本的内容。
学习过工科线性代数课程的读者均可阅读《矩阵论简明教程》。
[1]第一章矩阵的相似变换1.1特征值与特征向量1.2相似对角化1.3Jordan标准形介绍1.4IHamilton-CayIey定理1.5向量的内积1.6酉相似下的标准形习题1第2章范数理论2.1向量范数2.2矩阵范数2.2.1方阵的范数2.2.2与向量范数的相容性2.2.3从属范数2.2.4长方阵的范数2.3范数应用举例2.3.1矩阵的谱半径2.3.2矩阵的条件数习题2第3章矩阵第4章矩阵分解第5章特征值的估计与表示第6章广义逆矩阵第7章矩阵的直积第8章线性空间与线性变换习题解答与提示参考文献1.实分析与复分析WalterRudin著课后习题答案机械工业出版社2.计算机专业英语教程第4版金志权课后习题答案电子工业出版社3.矩阵论简明教程第二版徐仲张凯院著课后答案科学出版社。
广义逆矩阵矩阵是数学中的一种重要的概念，矩阵的逆矩阵也是非常重要的概念。
它们是数学中通常用来解决一些复杂问题的有效工具，而广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）则是在这一领域中一种更加复杂的概念。
在本文中，我将对广义逆矩阵的定义，性质，求解方法等内容进行详细的介绍。
一、定义广义逆矩阵是在数学的线性代数中使用的一种概念，它是一种用于求解矩阵的新概念，它是一种非可逆矩阵。
首先，它是一种可以逆矩阵，但不能逆矩阵，它不能通过乘法求解，而是通过复合函数求解。
在定义广义逆矩阵之前，我们必须先定义矩阵和普通逆矩阵，因为广义逆矩阵是基于矩阵和普通逆矩阵所定义的。
矩阵是数学中的一种重要的概念，它是一种用数字表示空间或者抽象概念的表示方法，矩阵的相反数是普通逆矩阵，它具有与矩阵相反的定义，可以把矩阵的表达式变换为普通逆矩阵的形式。
而定义广义逆矩阵的免则如下：如果A是矩阵，那么A的广义逆矩阵记为A1，是满足以下条件的非可逆矩阵：AA1A=A。
二、性质研究广义逆矩阵的性质是必不可少的，因为它在数学上具有很多重要的性质。
（1）具有不可逆性：只有当矩阵A是可逆的时候，才能确定其广义逆矩阵；（2）具有自反性：设A为矩阵，则A1是A的广义逆矩阵，而A1的广义逆矩阵却是A本身；（3）具有可转性：设A和B分别为两个矩阵，则AB的广义逆矩阵等于B的广义逆矩阵乘以A的广义逆矩阵。
（4）具有保持秩性：设A为矩阵，则A的广义逆矩阵A1具有与A相同的秩。
三、求解方法由于广义逆矩阵是一种特殊的矩阵，其解决方案也是复杂的，因此，在求解广义逆矩阵时，我们可以使用一些特殊的方法。
（1）谱分解法：谱分解法是求解广义逆矩阵的一种有效的方法，它是把矩阵A分解成三个矩阵的乘积，即A=UDUT，其中U和D的元素分别为A的奇异值和奇异值的平方根。
由于A的特征值是不变的，而特征向量是可变的，因此矩阵D的逆矩阵可以由特征向量得到，并且可以得到A1＝UD1UT。
第七讲 特征值的估计与广义逆矩阵一、特征值界的估计设为一给定的复数矩阵，则A 可以表示成一个厄米特矩阵与一个反厄米特矩阵的和，即 ()ij n n A a ×= A B C =+ ()()22H jiij ij n n ij a a A A B b b ×++===()()22H jiij ij n nij a a A A C c c ×−−===设A,B,C 的特征值的集合为:121212{,,,},{,,,},{,,,}n n i i i n λλλμμμννν这里每个,j j μν均为实数.并假设:121212||||||,,n n n λλλμμμνν≥≥≥≥≥≥≥≥≥ ν1 定理：若n 阶矩阵()ij n n A a ×=的特征值的集合为12{,,,}n λλλ ，则有不等式22111||||n n nii i i j aλ===≤∑∑∑j等号成立当且仅当A 为正规矩阵时成立。
证明：由Schur 定理，存在酉矩阵U 及上三角矩阵T ，使得 H U AU T =因此，H H H U A U T =从而，H H H U AA U TT = tr()tr()tr()H H H H AA U AA U TT == （1）由于矩阵T 的对角线上的元素全为A 之特征值，所以，（2）221111||||||n nn niiii i i j tλ=====≤∑∑∑∑2ij t 2a j 而（2）式的右端为矩阵Tde Frobenius 范数的平方，由于A 与T 是酉相似，而酉相似保持F 范数不变，故（3）21111||||n nn nijij i j i j t=====∑∑∑∑综合(2),(3)便得所需证之不灯式。
又不等式(2)取等号当且仅当。
即A 酉相似于对角形矩阵，也就是A 为正规矩阵。
得证。
0()ij t i =≠注：该定理的一个直接推论为： ||,1,,i F A i n λ≤=推论1：若,,A B C 如前所述，则有 （1） 1,||max |i i i j nn a |j λ≤≤≤⋅；（2） 1,|Re()|max ||i i i j nn b j λ≤≤≤⋅（3） 1,|Im()|max ||i i i j nn c j λ≤≤≤⋅证明：由定理（1）之证明，知， H U AU T =H H H U A U T =得1()(22H )HHH A A U BU U U T T +==+ 1()(22H )HHH A A U CU U U T T −==−注意到T 为上三角阵，T 之主对角上元素为A 的特征值，又在酉相似下矩阵的F 范数保持不变，所以， 22221,11,||||||max |2nii ij ij ij i j ni i ji j nt b n λλ≤≤=≠≤≤++=≤∑∑∑i 2|b22221,11,||||||max |2nii ij ij ij i j ni i ji j nt c n λλ≤≤=≠≤≤−+=≤∑∑∑i 2|c于是， 221,11|Re()|||max ||2n nii ii i j ni i n b λλλ≤≤==+=≤∑∑i 2j221,11|Im()|||max ||2nnii i i i j ni i n c λλλ≤≤==−=≤∑∑i 2j n 2j 2j 2ij |j当然对任一，都有 {1,2,,}i ∈221,|Re()|max ||i i i j nn b λ≤≤≤i221,|Im()|max ||i i i j nn c λ≤≤≤i 由此得（2），（3），再由Th1,2221,111||||max ||n n niiji j ni i j an a λ≤≤===≤≤∑∑∑i 所以，1,||max |i i i j nn a λ≤≤≤i即（1）式成立。
第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。
作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。
其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。
广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。
据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。
其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。
为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。
§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。
用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。
利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。
在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。
定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。
第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。
即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。
Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。
Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。
推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。
推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。
Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。
Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。
即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。
§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。
Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。
广义逆矩阵逆矩阵是数学中一类重要的矩阵，它以及其应用被用作许多数学计算的基础。
逆矩阵是指一个矩阵乘以它自己的逆矩阵，可以得到一个单位矩阵。
它可以帮助研究者快速解决许多数学模型，如线性方程组、解调数学模型和特征值问题等。
逆矩阵最初出现在二十世纪初期数学家弗里德曼的数学论文中，他发现了一种数学工具，可以用它来解决多项式方程组的解，这一理论被称为弗里德曼的逆矩阵理论。
此后，科学家们发现，逆矩阵可以解决许多数学问题，所以它成为研究者工具箱中不可或缺的重要部分，然而，只有一定是方阵才能有逆矩阵。
随着研究者们对数学模型的深入研究，人们发现了另外一种技术，命名为“广义逆矩阵”，它被认为是一种替代逆矩阵的技术，可以帮助研究者快速解决许多数学模型，而无需要求解矩阵的逆。
广义逆矩阵把多项式方程组转换成反方程。
它构造出一个矩阵A，使得Ax=b，其中b是给定的系数向量，x是要求的变量向量，而A则是一个称为“反矩阵”的矩阵。
假设A是n x n矩阵，可以得到n个方程，而x可以用A的反矩阵来求得。
这里的反矩阵A^-1，可以通过矩阵A的特征值来计算，特征值是一个特殊的多项式，用来解决特征值问题，从而得到A的反矩阵。
广义逆矩阵在计算机领域也有着广泛的应用，比如可以用来求解系统方程，就是将在一定的时间内的特定的输入变量带入特定的算法中，从而确定相应时间段内的系统输出变量。
它也可以用于求解最优化问题，如最小二乘法和最大熵模型等。
另外，它还可以用来图像处理，比如图像分类、噪声滤波等等。
综上所述，广义逆矩阵是一种极为重要的矩阵，它可以帮助研究者快速求解多种数学模型，而且还可以广泛地应用于计算机领域，极大地提高了解决数学问题的效率。
第五章 广义逆矩阵广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。
第一节 广义逆矩阵的概念对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。
但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。
这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。
若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式AA －1A =AA －1AA －1=A －1(AA －1)H =AA －1(A －1A )H =A －1A若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。
定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。
由上定义可知，广义逆阵有1544342414=+++C C C C 种之多。
为了方便，引进一些记号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。
同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。
如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。
在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。
重庆交通大学2018年博士研究生入学统一考试《矩阵分析》考试大纲制定人（签字）：审定人（签字）：公布学院（盖章）：一、考试的总体要求要求考生系统地了解矩阵分析的基本概念和基本理论，掌握矩阵分析的基本知识和基本方法，具有较强的逻辑思维能力与计算能力，能够综合运用矩阵分析的基本理论和基本知识解答矩阵分析理论与应用问题。
要求考生掌握以下内容：1、线性空间与线性变换1.1 线性空间的概念1.2 基变换与坐标变换1.3 子空间维数定理1.4 线性变换的概念1.5 线性变换的矩阵2、内积空间2.1 内积空间的概念2.2 正交基及子空间的正交关系2.3 正交变换2.4 点到子空间的距离与最小二乘法2.5 复内积空间2.6 正规矩阵2.7 厄米特二次型3、矩阵的标准形3.1 矩阵的相似对角形3.2 矩阵的约当标准形；3.3 哈密顿—开莱定理及矩阵的最小多项式3.4 多项式矩阵与史密斯标准形3.5 舒尔定理及矩阵的QR分解3.6 矩阵的奇异值分解4、矩阵函数及其应用4.1 向量范数；4.2 矩阵范数；4.3 向量和矩阵的极限4.4 矩阵幂级数4.5 矩阵函数4.6 矩阵的微分与积分5、特征值估计与广义逆矩阵5.1 特征值的界的估计5.2 圆盘定理5.3 谱半径的估计5.4 广义逆矩阵与线性方程组的解5.5 M-P广义逆矩阵二、考试形式与试卷结构（一）考试形式考试形式为笔试，考试时间为3小时，满分为100分。
（二）试卷结构考试题型为计算题和证明题，计算题占60%，证明题占40%。
三、主要参考书目1．罗家洪，方卫东，矩阵分析引论（第五版），华南理工大学出版社，2013年。
2．程云鹏，矩阵论（第二版），西北工业大学出版社，2002年。
