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第10章 矩阵位移法

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土木工程-结构力学-重点分析

土木工程-结构力学-重点分析

学习目标1、理解矩阵位移法的内容2、掌握单元分析3、掌握整体分析4、掌握内力计算的原理5、掌握单元荷载处理6. 掌握桁架分析矩阵位移法矩阵位移法以传统的位移法为理论基础;以矩阵作为数学表达形式;以计算机作为计算工具三位一体解决各种杆系结构受力、变形等问题。

采用矩阵进行运算，公式紧凑，形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。

适应计算机自动化计算的要求。

矩阵位移法结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。

与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。

矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。

矩阵位移法1、矩阵位移法的基本思路a、方法的选择b、基本假设和基本原理线弹性、小变形。

满足叠加原理、功能原理c、正负号规定杆端内力、杆端位移、结点位移和结点力规定当与坐标轴正方向一致时为正；矩阵位移法1、矩阵位移法的基本思路原结构--离散--单元分析--整合2、离散（单元划分）为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点，但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。

矩阵位移法 {}[]{}{}ee ef F k F δ=+单元分析的目的: 建立单元刚度方程单元分析的方法:利用形常数获得刚度系数，形成刚度矩阵； 利用载常数（固端力）叠加获得等效结点力。

单元分析如何操作：按自然位置选每跨为一个单元，支座处作为结点；分别给单元和结点编号；以结点位移作为基本未知量。

l li 2 i1 M 1 M2 M 3单元分析刚度矩阵的物理意义：•单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系的转换矩阵；•矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；•系数kij 表示第j 个单位位移分量引起的第i 个杆端力分量数值的大小；•单元刚度矩阵具有对称性kij =kji 。

龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵位移法)【圣才出品】

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第9章 矩阵位移法9.1 复习笔记一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又称为杆件结构的有限元法。

分析的两个基本步骤：（1）单元分析；（2）整体分析。

单元分析：建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵。

整体分析：将单元合成整体，按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立位移基本方程。

二、单元刚度矩阵（局部坐标系）进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。

单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为“正问题”。

相应的由力求位移称为“反问题”。

正问题的解是唯一的确定的，但是反问题则可能无解，如果有解也非唯一解。

当外部荷载为不平衡力系时，反问题无解；当外荷载为平衡力系时，反问题有解但是因为杆件除本身变形外还可有任意刚体位移，此时反问题的解不唯一。

本书暂不考虑反问题的求解。

1．一般单元图9-1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元.单元的两个端点采用局部编码1和2，由端点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向，在图中用箭头标明。

F →∆e图9-1图中采用坐标系，其中轴与杆轴重合。

这坐标系称为单元坐标系或者局部坐标系。

字母、的上面都画了一横，作为局部坐标系的标志。

推导单元刚度方程时，有以下几点需要注意：重新规定正负号规则、讨论杆件单元的一般情况、采用矩阵表示形式。

在局部坐标系中，图9-2所示的位移、力分量方向为正方向。

图9-2杆件性质：长度l ，截面面积A ，截面惯性矩I ，弹性模量E ；杆端位移u 、v 、θ。

根据杆端位移可以推导出下面两组刚度方程：（9-1）x y x x y（9-2）将上述六个刚度方程列成矩阵形式：（9-3）其中就是局部坐标系下单元刚度矩阵，即为（9-4）2．单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义e e ek F∆=eK代表单元杆端第j 个位移分量等于1时所引起的第i 个杆端力分量。

（2）是对称矩阵，即。

（3）一般单元的是奇异矩阵，即，因此不存在逆矩阵。

河南大学2021年《结构力学》期末复习知识点及重点总结

河南大学2021年《结构力学》期末复习知识点及重点总结

一、绪论 （略）二、平面体系机动分析1. 自由度概念和计算自由度公式{ )2(3W r h m +-=，或)(2W r b j +-= } ；2. 弄清楚0W ≤与几何不变体系的关系（必要不充分条件）；3. 熟记几何不变体系三个组成规则；（刚片，链杆，二元体，虚铰等概念）4. 灵活运用组成规则进行体系的判别（常变，瞬变，几何不变无多余联系，几何不变有多余联系 ）；5. 了解超静定结构的几何构造特征。

(几何不变有多余联系)三、静定梁和静定刚架1． 会选取隔离体，列平衡方程；(最最基本的东东)2. 熟练掌握截面法求任意截面内力；3. 熟记由直线杆件内力微分关系式(S F dx dM = , )(x q dxdF s -= )判断各区段的内力图形状特征;4. 了解线弹性体的叠加原理，掌握由叠加法作区段的弯矩图；5. 内力图作图的标准和要求；6. 能对多跨结构区分基本部分和附属部分，清楚各部分之间力的相互传递；7. 静定刚架结构内力的表示方法，灵活运用刚结点力矩平衡方程和刚结点投影平衡方程；8. 快速准确地作出静定多跨梁或静定刚架的弯矩图；9. 会利用已知的弯矩图做剪力图，利用已知的剪力图求支座反力或轴力；10. 熟记静定结构的主要性质（静力解答唯一性，无荷载则无内力等）。

四、静定拱1. 拱结构各部分名称；2. 三铰拱结构支座反力的计算，内力（主要是弯矩）计算；3. 了解静定拱受力特点；4. 了解合理拱轴线的概念,清楚常见荷载情况下三铰拱合理拱轴线形式。

五、 平面静定桁架和组合结构1. 桁架各部分名称；2. 结点类型以及特点；3. 零杆的概念和零杆数目的确定；(注意对称结构在对称或反对称荷载作用下某些杆件可判别为零杆)4. 用结点法和截面法求静定桁架中某些指定杆件的轴力；5. 组合结构中梁式杆弯矩和链杆轴力计算。

六、结构位移计算1. 变形和位移的区别；2. 虚功的概念；（力状态，位移状态）3. 变形体系虚功原理的表述（内力虚功=外力虚功）；4. 单位荷载法，如何虚拟单位荷载？5. 图乘法的公式、适用条件、注意事项；6. 运用图乘法计算结构的位移；7. 灵活运用静定结构发生支座位移时的位移计算公式（C F R ⨯-=∆∑k ），8. 了解功的互等定理及其推论。

矩阵位移法——精选推荐

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第十二章矩阵位移法12-1 概述用经典的力法和位移法求解超静定结构，随着基本未知量数目的增多，相应需要建立和求解的多元代数方程的个数也增多，计算工作极为冗繁和困难。

由于计算技术的飞速发展，电子计算机广泛应用于结构分析，使力学学科在计算技术上实现了现代化，大大推动了工程设计技术上的改进和结构理论的发展。

基于上述情况，结构矩阵分析方法已从本世纪六十年代迅速发展起来。

在结构矩阵分析中，运用矩阵进行计算，不仅能使公式非常紧凑，而且在形式上规格统一，便于使计算过程程序化，因而适用于电子计算机进行自动化的数学计算。

结构矩阵分析的两种基本方法是矩阵位移法(刚度法)和矩阵力法(柔度法)，前者在计算中采用结点位移作为基本未知量，后者则采用多余力作为基本未知量。

对于杆件结构，矩阵位移法比矩阵力法便于编制通用的程序，因而在工程界应用较为广泛。

矩阵位移法与位移法在本质上并无区别，两者的差异仅在于矩阵位移法是从电算这一角度出发，它在解题步骤上以矩阵作为组织运算的数学工具。

在杆件结构的矩阵位移法中，把复杂的结构视为有限个单元(杆件)的集合，各单元彼此在结点处连接而组成整体。

因而先把结构分解成有限个单元和结点，即对结构进行离散化。

继而对单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。

再根据变形谐调条件、静力平衡条件使离散化的结构恢复为原结构，从而形成结构刚度方程，据此不难求解结构的结点位移和单元杆端力。

矩阵位移法的基本思路是“先分后合”，即先将结构离散然后集合，这样一分一合的过程，就把复杂结构的计算问题转化为简单杆件的分析与综合问题了。

因此，它的解题方法可分为两大步骤:(1)单元分析。

研究单元的力学特性。

(2)整体分析。

考虑单元的集合，研究整体方程的组成原理和求解方法。

12一2 单元刚度矩阵一、单元的划分在杆件结构中，一般是把每个杆件作为一个单元。

为了计算方便起见，只采用等截面直杆这种形式的单元，并且还规定荷载只作用于结点处。

矩阵位移法

矩阵位移法
第六章 矩阵位移法
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
2 3
3
单元的连接点称作结点.
P1 k111 k12 2 k133
k11
=1
P2 k211 k22 2 k233
1
P3 k311 k32 2 k33 3
k111
P1 P2
k11 k21
k12 k22
k13 k23
12
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k31 0 k32 k221 k33 k222
1
k 2 kk122211
2
k122 k222
12 23
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
移为零位移时在 i结点所需 加的结点力.
k 1 kk121111
k112 k212
11 22
1
2
3
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
简记为 P k---结构刚度方程 k --结构刚度矩阵
0
23
k112 0 1
k212
k121

矩阵位移法基本原理

矩阵位移法基本原理

e
此式称为单元在整体坐标系下的刚度方程。2n阶的（n为结点数）
K T K T
e
称为单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。是对称阵
六、总刚度矩阵的形成，组装方法
考虑第e单元，关联节点i→j
i
e
j
对任一单元e ，它在整体坐标系下的单元刚度方程为：
F e K e De
uj
0 ui vi 单元坐标系下的 0 单元刚度方程。 0 u j v j 0
EA Xi L Yi 0 EA X j Y j L 0
0 0 0 0
0 y 4
1
2
3
P1
6 7 5 P2 x
任意选定坐标系，依结点号顺序给出结点坐标。
目的是计算杆长，杆的方向，以计算坐标转换矩阵。
此信息可存放在二维数组中
3．单元编号
不受结点号的影响， 任意编号。目的是 给出计算机计算顺序。 4．单元关联节点表 它是计算的重要信息表， 0 是获得坐标转换矩阵、 组装总刚度矩阵的依据
矩阵位移法基本思路
离散 组装 给出边界条件
求解 1. 离散： 把结构中的各杆当作一个单元，进行独立的受力 分析，找出杆端转角位移方程---物理方程，并用矩阵
的形式表达------------单元分析。
2. 组装：按平衡条件和位移协调条件把各杆的受力与杆端位移 之间的关系结合到一起，得到整体的结点力（荷载） 与结点位移之间的物理关系--------整体分析。 3. 给出边界条件：结构与地基之间的联系，即支承情况。 4. 求解：与位移法一样，先解出的是结构各结点的位移 （线位移与角位移）; 5.然后代回到各杆的物理方程中求杆端内力。

习题课1 矩阵位移法(含答案作业)_518706462

习题课1 矩阵位移法(含答案作业)_518706462

4
5
6
7
8
k
i = 2,3 (1) 54
+ k
i = 2,3 (1) 55
(2) (3) (3) (3) k16 k15 k16 k14 0 (2) (3) (3) (3) k26 k25 k26 k24 0 (2) (3) (3) (3) k36 k34 k35 k36 0
+ k
+
(i ) 33
k
3EIa 2 a 3 + b3
A
3EIab a 3 + b3
B A
3EIab a 3 + b3
3EIb 2 a 3 + b3
B
3EIa a 3 + b3
e θA =1
−3EIa a 3 + b3
3EIb a 3 + b3
e θB =1
−3EIb a 3 + b3
[k ]
e
=
a2 ab
ab b2
e
3EI a 3 + b3
{F }
u2
v2 θ 2 θ 3 ]
−M 0 ]
[0 M 0
0 0 2M 0
T
4
3
3
4
5
0
0
6
2 2 2 2 2 2 k12 k13 k14 k15 k16 k11
2 2 2 2 2 2 k22 k24 k25 k21 k23 k26 2 2 2 2 2 2 k32 k34 k35 k31 k33 k36 2 2 2 2 2 2 k42 k45 k44 k41 k46 k43
y
x
解： T 用位移法求解，未知量为 {∆} = [θ 2 v3 ] 。 1） 杆端弯矩表达式

《结构力学习题集》-矩阵位移法习题及答案-老八校

《结构力学习题集》-矩阵位移法习题及答案-老八校

《结构⼒学习题集》-矩阵位移法习题及答案-⽼⼋校第⼋章矩阵位移法 – ⽼⼋校⼀、判断题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端⼒之间的关系。

2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、结构刚度⽅程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满⾜的变形条件。

6、图⽰结构⽤矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数⽬为8个。

7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端⼒的代数和。

9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与⾮结点荷载的结点位移相等。

10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

11、已知图⽰刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采⽤先处理法进⾏结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.2134123412341234( )⼆、计算题：12、⽤先处理法计算图⽰结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。

123ll4l5EI2EIEA(0,0,0)(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(0,2,4)(0,0,0)EI13、⽤先处理法计算图⽰刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。

EI ，EA 均为常数。

l14、计算图⽰结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。

E 为常数。

ll1342A , I AA /222A I , 2A15、写出图⽰结构以⼦矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的⼦矩阵[][]K K 2224,。

结构力学讲义ppt课件

结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。

matlab矩阵位移法

matlab矩阵位移法

matlab矩阵位移法
其中，`k11, k12, k13`等表示刚度矩阵的元素，`f1, f2, f3`表示外部载荷矩阵的元素，`b1, b2, b3`表示位移边界矩阵的元素。`U`即为求解得到的节点位移。
需要根据具体的结构和问题进行相应的刚度矩阵、外部载荷矩阵和位移边界矩阵的定义和 计算。
2. 外部载荷矩阵：将外部施加在结构上的载荷按照节点自由度的顺序组合起来，得到外部 载荷矩阵。
matlab矩阵位移法
3. 位移边界条件：根据结构的边界条件，将位移边界条件转化为位移边界矩阵。
4. 静力平衡方程：根据静力平衡方程，可以得到结构的位移方程。将结构刚度矩阵、外部 载荷矩阵和位移边界矩阵代入位移方程，得到一个线性方程组。
5. 解线性方程组：通过求解线性方程组，可以得到结构的节点位移。
在MATLAB中，可以使用矩阵运算和线性方程组求解函数来实现矩阵位移法。以下是一个 简单的示例：

matlab矩阵位移法
假设有一个简单的梁结构，其刚度矩阵为K，外部载荷矩阵为F，位移边界矩阵为B。可以 通过以下代码求解结构的节点位移：
```matlab % 定义刚度矩阵K、外部载荷矩阵F和位移边界矩阵B K = [k11, k12, k13; k21, k22, k23; k31, k32, k33]; % 刚度矩阵 F = [f1; f2; f3]; % 外部载荷矩阵 B = [b1; b2; b3]; % 位移边界矩阵 % 解线性方程组，得到节点位移 U = K \ (F - B); ```
matlab矩阵位移法
在MATLAB中，矩阵位移法（Matrix Displacement Method）是一种用于求解结构静力 平衡的方法，常用于结构力学和有限元分析中。矩阵位移法基于以下原理：

结构力学 第三十九、四十讲矩阵位移法

结构力学 第三十九、四十讲矩阵位移法

Y P1 4kN
M
4kN M P1 5kN m
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
因此
0
12kN
FP
(1)
＝10k0N
m
12kN
10kN m
0
4kN
(2) 5kN m
Y P1
M P1
X P2
Y P2
M P2 )T
第十一章 矩阵位移法
在表11-1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束
力 FP。将e 固端约束力 反F号P，e 即得到单元等效结点
荷载 （局P部坐e 标系）：
(e)
(e)
Pe FP
（11－55）
2、单元的等效结点荷载 Pe（(e)整体坐标系）
第十一章 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
目录
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程 §11-6 计算步骤和应用举例
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程
一、整体刚度方程的意义
F [K] （11-48）
整体刚度方程（11-48）是根据原结构的位移法基本体
系建立的，它表示由结点位移 推算结点力F（ 即在基
向相反,则取负。
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
解：（1）求局部坐标系中的
固端约束力 FP (e)
单元①：由表11-1第1行，
q 4.8k,N / m 得a ：l 5m
X P1 0
Y P1 12kN
M
P1

结构力学 矩阵位移法

结构力学 矩阵位移法

F1 K111 K122 K133 4i11 2i12
F2 K211 K222 K233 2i11 4i1 4i2 2 2i23
F3 K311 K322 K333 2i22 4i23
写成矩阵形式
l 2EI
l
2EI e
e
l 4EI

1

2
l
4EI
k
e


l 2E
I
l
2EI e
l 4EI

l
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
⑵桁架结构中杆件单元
e EA

Fx1

Fx2


l EA
l
F x1 e

4i1 2i1
2i1
4i1

F1
F2
①
1
F1①
②
2
F2①
①
②
1
2
F1② 0
+ F2②
①
②
2
F3 3 F3① 0
F3② 3
§9-4节 连续梁的整体刚度矩阵
F1① 4i1 2i1 01
F①

F2①

2i1
4i1
0

2

F3① 0
Fy1
cos sin
sin cos
0 0

M
1


Fx2
0 0
01 00
0 0 0 cos
0 0 0 sin
0 e Fx1 e
0

矩阵位移法

矩阵位移法

0 cos 0 sin 0
e
0
0 X 1 0 Y 1 0 M 1 0 X 2 0 Y 2 1 M 2
e
简记：
F
e
T
F
T 为单元坐标转换矩阵
22
cos sin 0 T 0 0 0
e e
2、叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵。 二、单元定位向量 1、定义: 由单元的结点位移总码组成的向量称为“单元定
0 6EI 2 u1 l 2EI v1 1 l 0 u 2 v 2 6EI 2 l 2 4EI l
e
记为
F k
e
12
局部坐标系中的单元刚度方程
e
F 1 F 2 F 3 ... F 4 F 5 F 6
e
7
13.2 单元分析（一）——局部坐标系 中的单元刚度矩阵
定义：单元杆端力和杆端位移之间的转换关
系成为单元刚度方程。
F k
e e
e
e k 其中 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
sin cos 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 sin cos 0
0 cos 0 sin 0 0
0 0 0 0 0 1
23
T 为正交矩阵
T T F T F T T
e e
0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 2EI l

EA l 0 0
0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI l3 6EI 2 l

矩阵位移法-先处理法

矩阵位移法-先处理法
(0,0,0)
1）编号： 编号：结点
单元
总码
ϕ1
X
(0,0,1)
ϕ2
X
②
(0,0,2)
结点位移列向量
1 ①
2
3 (0,0,3)
ϕ3
∆ = [ϕ1 ϕ 2 ϕ3 ]
T
L y M
③
④
θ
L x
0 0
X
4
(0,0,0)
X
5
2）单元分析—单元刚度阵（ 单元刚度阵（对应总码） 对应总码） 单元① 单元① 单元② 单元②
2
6
0
0
0]
T
0
2
6
0
0
0
k
③
=
EA 0 l 12 EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 − l 12 EI 0 − 3 l 6 EI 0 l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 − 6 EI l2 2 EI l
−
EA l 0 0
0 − 12 EI l3 6 EI − 2 l 0 12 EI l3 6 EI − 2 l
0 12 EI l3 6 EI l2 0 − 12 EI l3 6 EI l2 −
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
−
EA l 0 0
0 − 12 EI l3 6 EI − 2 l 0 12 EI l3 6 EI − 2 l
EA l 0 0
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI − 2 l 4 EI l 0
0 1 2i2 2 4i2 3
∆1 M 1 ∆ = M 2 2 ∆3 M 3

矩阵位移法

矩阵位移法

L1（m)L2(m)L3(m)A1(m²)A2(m²)A3(m²) α（弧度制）6.326.326111EA1/L1EA2/L2EA3/L3EI1I2I30.15822780.15822780.16666666710.0833333330.083333330.08333333

单元刚度矩阵k11234560.158227800-0.15822780000.00396140.0125180260-0.00396140.0125180300.0125180.0527426160-0.012518030.02637131-0.158228000.15822785000-0.003961-0.0125180300.003961401-0.0125180-0.0125180.02637130800.0125180260.05274262

单元刚度矩阵k21234560.158227800-0.15822780000.00396140.0125180260-0.00396140.0125180300.0125180.0527426160-0.012518030.02637131-0000000-0.003961-0.0125180300.003961401-0.0125180-0.0125180.02637130800.0125180260.05274262

单元刚度矩阵k31234560.166666700-0.16666670000.00462960.0138888890-0.004629630.0138888900.01388890.0555555560-0.013888890.02777778-0000000-0.00463-0.0138888900.00462963-0.01388890-0.0138890.02777777800.0138888890.05555556

定位向量λ①T123007λ②T123456λ③T456000

结构力学 矩阵位移法

结构力学 矩阵位移法

§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
1.单元两端采用局部编码1、2
1
e
2.六个杆端位移组成杆端位移列向量。
v1
1
u1
EAI L
3.六个杆端力组成杆端力列向量。
y
2
2 vu22 x
e
1
2
e
u1 v1
e
3
1
F1
e
F2
e
F x1 Fy1
单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元
杆端单位位移引起的杆端力称之为单元
刚度系数。其中
k
表示第j个杆端单位位移
ij
引起的第i个杆端力。
⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。 kij k ji
⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵 k e 0
三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵
⑴连续梁中的受弯杆件单元 ⑵桁架结构中杆件单元
⑴连续梁中的受弯杆件单元
忽略轴变时单元的刚度矩阵
12EI
l3 6EI
k
e
l2
12E
l3 6EI
I
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI l2
6EI
e
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
§9-3节 单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
矩阵力法
结构矩阵分析
一般刚度法
矩阵位移法
直接刚度法
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a1 j
amj
a1 j )T
2、行列式：n阶方阵A相应的行列式D，记作
D A det A det(aij )m*n
若D＝0，A为奇异矩阵
3、矩阵运算
相等：Amn=Bmn，则aij=bij
加减：Cmn＝Amn+Bmn，则cij=aij+bij
数乘：Cmn=k*Amn，则cij=k*aij
乘法：Cmn=Aml*Bln，则
0
u2
６EI
l２
v2
２
4EI
l
刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数
列数＝杆端位移列向量分量数
记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）
12-- 6 -- 6 -- 2 （副） 4、5 行、列，除主元素外，均为负值
行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ）
l
cij aik *bkj
k 1
转秩：Bmn=ATmn，则bij=aji (A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT (AB)T=BT*AT（反序定律）
4、特殊矩阵
1 0
0
单位矩阵
I 0 1
0
0 0
1
d1 0
0
对角矩阵
D
0
d2
0
0
0
dn
对称矩阵：An*n，aij=aji
正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵
对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0
第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零
物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。因为讨论的是 自由式单元，存在任意的刚性位移。
分块性质
F1 F2
K11 K21
K12 K22
.
1
2
6、特殊单元 简支单元
M1
M1 M2
4i 2i
2i 4i
.
12
φ1
拉压杆单元
φ2 M2
X1
X2
EA l
1 1
1
1
.
uu12
X1
1 0 －1 0 u1 （10－6）
0 X2 0
EA l
0
－1
0
0 0 0
0 1 0
0
0 0
.
0 u2 0
（10－8） 便于坐标转换
• 弯曲杆单元 • （忽略轴向变形）
12EI
Y1 M1 Y2
l3 ６EI
l２
12EI
M 2
l3
６EI l２
６EI l２ 4EI
l ６l２EI
2EI
l
12EI l3 ６l２EI
12EI l3
６l２EI
６EI
l２ 2EI
l ６l２EI
4EI
.
v1
v21
２
l
§10－3 单元刚度矩阵的坐标转换
整体分析——统一坐标系 变形条件、平衡条件——整体坐标系
整体坐标系的单元刚度方程 Fe＝k e e
坐标变换方法：
1、单元坐标转换矩阵 设α为从 x 轴到 x 轴的夹角，逆时针为正
x α x
α
x y
cos sin
sin x cos y
αy y
0
EA l
Y2 M2
0
0
0
12EI l3
６EI l２
0
12EI
l3 ６EI
l２
0
６EI l２ 4EI l
0
６EI l２
2EI l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
６l２EI
0
12EI l3
６l２EI
0
６EI
u1
l２ 2EI
l
v1
.
1
矩阵知识
1、矩阵：m×n个数aij 排成m行、n列的矩形阵列
记作
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
(aij
)m*n
am1
am2
amn
方阵：
m n，Ann —— n 阶方阵 aii 主对角线元素
行矢量： ai ai1 ai2
ain
列矢量：
a1 j
aj
a2
j
(a1 j
第十章 矩阵位移法
§10－1 概述
基本方法 ——力法、位移法 ——手算 杆件有限元法——矩阵位移法 ――电算 主要内容：离散化——单元分析
刚度（物理）关系：杆端力——杆端位移 集合——整体分析－几何条件 －平衡条件
结构矩阵分析： ——力法 ——位移法：简单，通用性强，应用广
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 数学工具——矩阵运算
——排列顺序：i→j
刚度系数 kij （物理意义） ——对应杆端位移δj＝1时，
引起对应δi方向的杆端力Fi。
5、单元刚度矩阵的性质
（1）物理意义
单刚——表示单元杆端力与杆端位移的刚度关系
单元刚度系数——当其所在列对应的杆端位移等于1（其 余杆端位移等于0）时，所引起的所在行对应的杆端力
（2）重要性质
等截面直杆：单元 I、E、A、l。
2、局部坐标系
i
i→j 杆轴正方向
x e
j
（局部编码，箭头）
坐标系：（右手系）
y M,φ x
3、杆端力与杆端位移 FNi
“—”局部坐标标志 正负号规则
Mi FSi
e
——与坐标系对应 ui
（列向量）
φi vi
e
(10 – 3、4)
Mj FNj FSj
φj uj vj
x2
y2
M
2
sin cos
0
0
0 0 1
| | | | | | |
F e FNi
FSi
Mi
FNj
FSj
T
Mj
X1
Y1
M1
X2
Y2
T
M2
e ui vi i u j v j j T
4、刚度方程——杆端力与杆端位移的刚度关系
F e K e e （10－2）
（表8－1）*
(10 – 1)刚度方程
EA
l
X1
Y1
0
M1 X2
5、逆矩阵 B=A-1 AB=BA=I（单位矩阵） A、B互为逆矩阵 矩阵可逆，detA≠0 反序定律：(AB)-1=B-1A-1
§10－2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
单元分析：杆端力～杆端位移——刚度关系
（10－1）转角位移方程——矩阵形式（轴向变形）
1、编码
单元—— e( e = 1,2，…，n)
α
转角与平面坐标系的变换无关
力的转换：用X、Y、M表示 X、n x1
cos
y1
M 1 M1
x 2 y 2
cos sin
sin x 2
cos
y
2
M 2 M2
矩阵形式
e
x1 cos
y1
sin
M1 0
充要条件：所有的主子式都大于零 即 |Ai|>0
正交矩阵：AT=A-1
a11
分块矩阵：
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
B11
B21
B12
B22
其中：B11
a11
a21
B21 a31
a12 a22
，B12
aa1233
，
a32 ，B22 a33