高一人教版必修一同步新课讲义设计——常见的少量和过量问题(无答案)

高一物理（人教版）必修第一册精品讲义—超重和失重课程标准课标解读1．知道常用的测量重力的方法。

2．了解超重和失重的含义，认识超重和失重现象。

3．能运用牛顿运动定律分析求解超重、失重问题。

1、通过体验或者实验，认识超重和失重现象。

2、通过在电梯里观察体重计示数或其他方式发现超重和失重现象产生的条件，并应用牛顿运动定律分析超重和失重现象发生的动力学原因，理解超重和失重现象的本质，培养学生从实际情境中捕捉信息、发现问题并提出问题的能力。

3、通过查阅资料、分享和交流，了解超重和失重现象在各个领域中的应用，解释生活中的超重和失重现象，培养学生用科学知识解释生活现象的能力，激发学生的学习热情和兴趣，形成良好的科学态度与责任。

知识点01重力的测量法1：利用G=mg法2：利用二力平衡【即学即练1】下列关于重力的说法中正确的是()A．物体只有静止时才受重力作用B．重力的方向总是指向地心C．地面上的物体在赤道上受的重力最小D．物体挂在弹簧测力计下，弹簧测力计的示数一定等于物体的重力解析：选C物体受到重力的作用，与物体的运动状态无关，A错误；重力的方向总是竖直向下，不一定指向地心，B错误；赤道上重力加速度最小，因此地面上的物体在赤道上受的重力最小，C正确；物体挂在弹簧测力计下处于平衡状态时，弹簧测力计的示数才等于物体的重力，故D错误。

知识点02超重和失重1.超重(1)定义：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的现象.(2)产生条件：物体具有向上的加速度.2.失重(1)定义：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的现象.(2)产生条件：物体具有向下的加速度.3.完全失重(1)定义：物体对支持物(或悬挂物)完全没有作用力的现象称为完全失重现象.(2)产生条件：物体的加速度a＝g，方向竖直向下.4.实重和视重(1)实重：物体实际所受的重力，它与物体的运动状态无关.(2)视重：当物体在竖直方向上有加速度时，物体对弹簧测力计的拉力或对台秤的压力将不等于物体的重力.此时弹簧测力计的示数或台秤的示数即为视重.技巧点拨1.判断超重和失重的方法(1)从受力的角度判断当物体所受向上的拉力(或支持力)大于重力时，物体处于超重状态；小于重力时，物体处于失重状态；等于零时，物体处于完全失重状态.(2)从加速度的角度判断当物体具有向上的加速度时，物体处于超重状态；具有向下的加速度时，物体处于失重状态；向下的加速度等于重力加速度时，物体处于完全失重状态.2.对超重和失重现象的理解(1)发生超重或失重现象时，物体所受的重力没有变化，只是压力(或拉力)变大或变小了(即“视重”变大或变小了).(2)物体处于超重或失重状态只与加速度方向有关，而与速度方向无关.(3)物体超重或失重多少由物体的质量m和竖直加速度a共同决定，其大小等于ma.(4)在完全失重的状态下，一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如天平失效、浸在水中的物体不再受浮力作用、液柱不再产生压强等.【即学即练2】“蹦极”是一项非常刺激的体育运动.某人身系弹性绳自高空P点自由下落，图5中a点是弹性绳的原长位置，c是人所到达的最低点，b是人静止地悬吊着时的平衡位置，空气阻力不计，则人从P点落下到最低点c的过程中()A.人从a点开始做减速运动，一直处于失重状态B.在ab段绳的拉力小于人的重力，人处于超重状态C.在bc段绳的拉力大于人的重力，人处于超重状态D.在c点，人的速度为零，其加速度也为零答案C解析在Pa段绳还没有被拉长，人做自由落体运动，所以处于完全失重状态，在ab段绳的拉力小于人的重力，人受到的合力向下，有向下的加速度，处于失重状态；在bc段绳的拉力大于人的重力，人受到的合力向上，有向上的加速度，处于超重状态，故A、B错误，C正确；在c点，绳的形变量最大，绳的拉力最大，人受到的合力向上，有向上的加速度，处于超重状态，故D错误.【即学即练3】(多选)一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力()A.t＝2s时最大B.t＝2s时最小C.t＝8.5s时最大D.t＝8.5s时最小答案AD解析人乘电梯向上运动，规定向上为正方向，人受到重力和支持力两个力的作用，则有F－mg＝ma，即F＝mg＋ma，根据牛顿第三定律知，人对地板的压力大小等于地板对人的支持力大小，将对应时刻的加速度(包含正负号)代入上式，可得选项A、D正确，B、C错误.考法01通过图像考查超重和失重现象【典例1】如图是某同学站在压力传感器上做下蹲－起立的动作时传感器记录的压力随时间变化的图线，纵坐标为压力，横坐标为时间.由图线可知，该同学的体重约为650N，除此以外，还可以得到以下信息()A.1s时人处在下蹲的最低点B.2s时人处于下蹲静止状态C.0～4s内该同学做了2次下蹲－起立的动作D.下蹲过程中人始终处于失重状态答案B解析人在下蹲的过程中，先加速向下运动，此时加速度方向向下，故人处于失重状态，最后人静止，故后半段是人减速向下的过程，此时加速度方向向上，人处于超重状态，故下蹲过程中人先失重后超重，选项D错误；在1s时人向下的加速度最大，故此时人并没有静止，它不是下蹲的最低点，选项A错误；2s时人已经历了失重和超重两个过程，故此时处于下蹲静止状态，选项B正确；该同学在前2s时是下蹲过程，后2s是起立的过程，所以共做了1次下蹲－起立的动作，选项C错误.考法02超重和失重现象中的定量运算【典例2】一质量为m的人站在电梯中，电梯匀加速上升，加速度大小为1 3 g(g为重力加速度).人对电梯底部的压力大小为()A.13mg B.2mgC.43mg D.mg答案C解析根据牛顿第二定律有F N－mg＝ma，解得电梯底部对人的支持力大小为F N＝43mg，由牛顿第三定律知，人对电梯底部的压力大小为F N′＝43mg，选项C正确.题组A基础过关练1．一质量为m的乘客乘坐竖直电梯下楼，其位移s与时间t的关系图像如图所示.乘客所受支持力的大小用F N表示，速度大小用v表示.重力加速度大小为g.以下判断正确的是()A.0～t1时间内，v增大，F N>mgB.t1～t2时间内，v减小，F N<mgC.t2～t3时间内，v增大，F N<mgD.t2～t3时间内，v减小，F N>mg答案D解析根据s－t图像的斜率表示速度可知，0～t1时间内v增大，t2～t3时间内v减小，t1～t2时间内v不变，故B、C错误；0～t1时间内速度越来越大，加速度向下，处于失重状态，则F N<mg，故A错误；t2～t3时间内，速度逐渐减小，加速度向上，处于超重状态，则F N>mg，故D正确.2.2019年11月，在温州翔宇中学举行的浙江省中学生田径锦标赛中，某校高二学生王鑫宇以2米的成绩获得冠军，如图2所示.则下列说法正确的是(不计空气阻力)()A.王鑫宇在上升阶段重力变大了B.王鑫宇在空中跨越过程处于失重状态C.王鑫宇起跳时地面对他的支持力大于他对地面的压力D.王鑫宇在助跑过程中，地面对他的支持力大于他对地面的压力答案B解析王鑫宇在上升阶段只受重力，处于失重状态，且重力大小不变，所以B正确，A错误；地面对人的支持力与他对地面的压力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，所以C、D错误.3.如图所示，小芳在体重计上完成下蹲动作.下列F－t图像能反映体重计示数随时间变化的是()答案C解析体重计的读数为小芳所受的支持力大小，下蹲过程小芳的速度从0开始最后又回到0，因此小芳先加速运动后减速运动，加速度方向先向下后向上，即先失重后超重，所以支持力先小于重力，后大于重力，因此选C.4.判断正误：(1)超重就是物体的重力变大的现象。

2.3 神经冲动的产生和传导教学目标教学重点1.兴奋在神经纤维上的产生、传导及特点2.兴奋在神经元之间传递的过程及特点教学难点兴奋的产生、传导及传递知识点01 兴奋在神经纤维上的传导1.神经冲动：兴奋是以电信号的形式沿着神经纤维传导的，这种电信号也叫做神经冲动。

2.传导形式：兴奋在神经纤维上是以电信号或局部电流的形式传导的。

3.传导过程：课程标准目标解读 1.阐明神经细胞膜内外在静息状态具有电位差，受到外界刺激后形成动作电位，并沿神经纤维传导。

2.阐明神经冲动在突触处的传递通常通过化学传递方式完成。

1.阐明兴奋在神经纤维上的产生、传导过程和特点。

2.阐明兴奋在神经元之间传递的过程及特点。

3.说明滥用兴奋剂、吸食毒品的危害。

知识精讲目标导航4.传导特点双向传导，即刺激神经纤维上的任何一点，所产生的兴奋可沿神经纤维向两侧同时传导。

兴奋与膜内的局部电流传导方向相同，与膜外的局部电流传导方向相反。

5.兴奋在神经纤维上的传导方向与局部电流方向的关系（1）在膜外，局部电流的方向与兴奋传导方向相反。

（2）在膜内，局部电流的方向与兴奋传导方向相同。

知识点02 兴奋在神经元之间的传递1．突触结构神经元之间在结构上并没有相连，每一神经元的突触小体可以与其他神经元的细胞体或树突相接触，此接触部位被称为突触。

（1）结构基础：突触由④突触前膜、⑤突触间隙、⑥突触后膜构成。

（2）类型及简化图：③（神经-肌肉突触）（3）效应器中形成的突触类型①轴突—肌肉型②轴突—腺体型2．传递过程(1)过程：神经冲动→轴突末梢→突触小泡，并向突触前膜移动，经胞吐释放神经递质→通过突触间隙→神经递质与突触后膜上的特异性受体结合→引起下一神经元兴奋或抑制。

(2)不同部位的信号转化形式①突触小体：电信号→化学信号。

②突触后膜：化学信号→电信号。

3．传递特点单向传递。

即：只能由一个神经元的轴突传到下一个神经元的树突或胞体。

其原因是递质只存在于突触前膜内，只能由突触前膜释放，作用于突触后膜。

高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲集合的概念 (1)第二讲集合的关系与运算 (6)第三讲映射与函数 (11)第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)第五讲函数单调性 (20)第六讲函数奇偶性 (27)第七讲指数与指数幂的运算 (36)第八讲指数函数 (42)第九讲对数函数 (50)第十讲对数与对数运算 (56)第十一讲幂函数 (61)第十二讲方程的根与函数的零点 (66)第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)第十五讲函数的图像 (85)第十六讲函数的综合应用 (93)第十七讲二次函数性质与函数的图像 (111)第一讲 集合的概念一. 知识思维导图二. 知识要点解读 （一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性：集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。

学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。

本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。

也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。

因此，本次课的教学尤为关键。

本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。

教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。

教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。

在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。

第一章运动的描述第一讲1.1 质点，参考系，坐标系知识目标：1，理解质点的概念及物体简化为质点的条件。

2，知道参考系的概念及与运动的关系。

3，能正确分析和建立坐标系。

想一想：万米赛跑运动员可以看做一个点吗？研究篮球运动员的技术动作时，可以把运动员看做一个点吗？一、质点在研究某些物体的运动过程中，可以不考虑物体的大小和形状，突出物体具有质量这一要素，把物体简化为一个有质量的点，称为质点。

于是，对实际物体运动的描述就转化为质点运动的描述。

质点的定义：用来代替物体的有质量的点叫质点。

（2）将物体看成质点的条件：物体的_______、_______对所研究的问题的影响可以忽略不计时，可以把物体视为质点。

（3）质点的物理意义①质点是一种理想化的物体模型，不是实际存在的物体。

②质点是实际物体的一种近似反映，是为了研究问题的方便而进行的科学抽象。

③建立质点概念时抓住了主要因素，忽略次要因素，突出事物的主要特征，使所研究的复杂问题得到简化。

④一个物体能否看成质点由问题的性质所决定。

⑤尽管质点不是实际存在的点，但研究的质点得到的结论可应用于实际问题。

例1，( )下面那些可以看做质点？A研究火车过桥的时间B研究火车从重庆到北京的时间C 研究火车车轮上某点的运动情况D 研究地球公转E 研究地球自转例2，下面关于质点的说法正确的是（）A 质点一定是很小的物体B 质点是实际存在的有质量的点C 质点是研究物体运动时的一种理想模型D 质点就是物体的重心二、参考系运动的绝对性要描述一个物体的运动，首先要选定某个其他物体做参考，观察物体相对于这个“其他物体”的位置是否随时间变化，以及怎样变化。

这样用来做参考的物体称为参考系。

1，定义：在描述一个物体运动时，选来作为标准的假定不动的另一个物体叫参考系。

2，对参考系的理解：①标准性：用来选作参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的。

②任意性：参考系的选择具有任意性，但以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---集合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；③理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；④理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；⑤能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集体系搭建（三）集合间的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 语言（四）集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．典例分析考点一：集合的含义与表示例1、判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)9以内的正偶数；(2)篮球打得好的人；(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(4)高一(1)班所有高个子同学．例2、集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．例3、已知集合A 由a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3三个元素构成，且1∈A ，求实数a 的值．例4、用列举法表示下列集合（1）{}2A x Z x =∈≤； （2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈例5、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________考点二：集合间的基本关系例1、已知集合M 满足{1,2}⊆M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.例2、已知集合{x 2，x ＋y,0}＝{x ，y x ，1}，求x 2 015＋y 2 015的值为________．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合；③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．32、集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，(A、B中x∈R，y∈R)．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B3、集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是( )A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,0} D．{－1,1}➢课后反击1、若集合A含有两个元素0,1，则( )A．1∉A B．0∈AC．0∉A D．2∈A2、已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．103、已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，若A中元素最多只有一个，求a的取值范围．4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是( )A．16 B．8C．7 D．45、满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的集合A有________个( )A．1 B．2C．3 D．46、设全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x≤3}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|－1≤x≤2}7、设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9<0}，B ＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)8、已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.9、已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．10、已知集合A ＝{x|－1≤x≤6}，B ＝{x|m －1≤x≤2m＋1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈N ，求集合A 的子集的个数．易错点(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．1、【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭战术指导直击高考2、【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63、【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，4、【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞S (Summary-Embedded)——归纳总结考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系考点三：集合的运算集合题目的方法总结：一：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．重点回顾名师点拨二：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---函数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。

第一章　§1.1　集合与集合的表示方法1.1.1　集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一　集合的概念元素与集合的概念(1)集合：把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的构成的集合(或集).集合通常用英语大写字母A ，B ，C ，…来表示.(2)元素：构成集合的 叫做这个集合的元素(或成员).元素通常用英语小写字母a ，b ，c ，…来表示.确定的不同的全体每个对象思考　知识点二　元素与集合的关系1是整数吗？ 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案答案　1是整数； 不是整数.没有.关系语言描述记法读法属于a 是集合A 的元素a A a 属于集合A 不属于a 不是集合A 的元素a A a 不属于集合A梳理元素与集合的关系∈∉思考　知识点三　元素的三个特性某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？答案答案　某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.梳理集合元素的三个特性元素意义确定性元素与集合的关系是的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性集合中的元素 ，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b 无序性集合中的元素是没有顺序的确定互不相同空集：不含任何元素，记作 .：含有有限个元素；：含有无限个元素.1.集合的分类∅知识点四　集合的分类及常用数集集合非空集合有限集无限集2.常用数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_______________N ＋或N *N Z Q R[思考辨析 判断正误]1.若y ＝x ＋1上的所有点构成集合A ，则点(1，2)∈A .( )2.0∈N 但0∉N ＋.( )3.由形如2k －1，其中k ∈Z 的数组成集合A ，则4k －1∉A .( )√√×题型探究类型一　判断给定的对象能否构成集合例1　考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；解　对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；解　能构成集合；(3)某班的所有高个子同学；解　“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4) 的近似值的全体.解　“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1　下列各组对象可以组成集合的是A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数解析　A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合.类型二　元素与集合的关系命题角度1　判定元素与集合的关系例2　给出下列关系：① ∈R；②∉Q；③|－3|∉N；④|－ |∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4故选B.反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.跟踪训练2　用符号 “∈”或“∉”填空.－ _____R ；－3____Q ；－1____N ；π____Z .∈∈∉∉命题角度2　根据已知的元素与集合的关系推理0,1,2例3　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为______.∴0≤x≤2且x∈N.反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的.②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.跟踪训练3　已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则A.a>－4 B.a≤－2C.－4<a<－2D.－4<a≤－2解析　∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.类型三　元素的三个特性的应用例4　已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a 的值；解　由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求.∴a＝0或－1.(2)若x2∈B，求实数x的值；解　当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？解　显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4　已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为___.解析　∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意.当a 2－1＝0时，a ＝±1.a ＝－1(舍)，∴a ＝1.此时，A ＝{2,0}，符合题意.1达标检测1.下列给出的对象中，能组成集合的是A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩√D.方程x2－1＝0的实数根2.下面说法正确的是A.所有在N中的元素都在N＋中B.所有不在N＋中的数都在Z中√C.所有不在Q中的实数都在R中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为A.1B.2√C.3D.44.下列结论不正确的是A.0∈NB. ∉Q√C.0∉QD.－1∈Z5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为√A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.规律与方法1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的。

化学方程式中，“过量”“少量”问题大总结高中化学有多个涉及“过量”与“少量”的化学方程式，各反应物的量的多少对比决定了会得到什么样的生成物，相信这些一定困扰了很大一部分同学。

所以今就来给大家整理了高中所有这些“过量”和“少量”问题的化学方程式，赶紧收藏分享起来吧!NaOH1、向AlCl3溶液中滴入NaOH溶液至过量，先出现白色沉淀，后沉淀消失。

其离子反应分步写：(1)Al3++3OH-==Al(OH)3↓(2)Al(OH)3+OH-==AlO2-+2H2O若向NaOH溶液中滴入AlCl3溶液至过量，边滴边振荡，开始时无明显现象，后出现白色沉淀。

其离子反应分步写：(1)Al3++4OH-==AlO2-+2H2O(2)3AlO2-+Al3++6H2O==4Al(OH)3↓若向AlCl3溶液中加入过量NaOH溶液，其离子反应一步完成：Al3++4OH-==AlO2-+2H2O若向足量Al2(SO4)3溶液中加入少量的NaOH溶液，其离子方程式为：Al3++3OH-==Al(OH)3↓2、向足量的Ca(HCO3)2溶液中逐渐滴入NaOH溶液化学方程式:NaOH+Ca(HCO3)2==H2O+CaCO3↓+NaHCO3离子方程式：OH-+Ca2++HCO3-==H2O+CaCO3↓若向足量的NaOH溶液中逐渐滴入Ca(HCO3)2溶液化学方程式:Ca(HCO3)2+2NaOH==2H2O+CaCO3↓+Na2CO3离子方程式：Ca2++2HCO3-+2OH-==2H2O+CaCO3↓+CO32-3、向足量的NH4HCO3溶液中逐渐滴入NaOH溶液化学方程式:NH4HCO3+2NaOH==NH3.H2O+H2O+Na2CO3 离子方程式：NH4++HCO3-+2OH-==NH3.H2O+H2O+CO32-若向NH4HCO3溶液中加入过量NaOH溶液并加热化学方程式:NH4HCO3+2NaOH==NH3↑+2H2O+Na2CO3离子方程式：NH4++HCO3-+2OH-==NH3↑+2H2O+CO32-4、向NaOH溶液中逐渐滴入Mg(HCO3)2溶液至沉淀完全化学方程式:Mg(HCO3)2+4NaOH==2H2O+Mg(OH)2↓+2Na2CO3离子方程式：Mg2++2HCO3-+4OH-==2H2O+Mg(OH)2↓+2CO32-若向Mg(HCO3)2溶液中逐渐滴入NaOH溶液至沉淀完全化学方程式:2NaOH+Mg(HCO3)2==Mg(OH)2↓+2NaHCO3离子方程式：2OH-+Mg2+==Mg(OH)2↓5、碳酸氢钙与烧碱在碳酸氢钙溶液中滴入少量烧碱溶液：Ca2++HCO3-+OH-=CaCO3↓+H2O反滴时则为：Ca2++2HCO3-+2OH-=CaCO3↓+CO32-+2H2O6、氢氧化钠与氢硫酸NaOH溶液滴入足量氢硫酸中与氢硫酸滴入NaOH溶液中均无明显现象，发生的离子反应方程式分别为：(1)OH-+H2S=HS-+H2O(2)2OH-+H2S=S2-+2H2O若将氢硫酸换成亚硫酸、碳酸或磷酸，则原理类似。

3函数的应用【考点提示】 1.函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点． (3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 注意：并非所有的函数都有零点，例如，函数2()1f x x =+，由于方程210x +=无实数根，故该函数无零点． 2.函数零点的判定定理技巧：判断函数y ＝f (x )是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f (x )＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y ＝f (x )的图象与x 轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断． 3.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()f a f b ⋅＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 技巧：二分法就是通过不断地将所选区间(a ，b )一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点． 4.用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤(1)确定区间[a ，b ]，验证()()f a f b ⋅＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a ，b )的中点c ； (3)计算f (c )：若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；若f (a )·f (c ) ＜0，则令b ＝c [此时零点x 0∈(a ，c )]； 若f (c )·f (b ) ＜0，则令a ＝c [此时零点x 0∈(c ，b )]．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a －b |＜ε，则得到零点的近似值为a (或b )；否则重复(2)～(4)． 5.二分法的应用由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解． 【题型归纳】 题型一 求函数的零点 1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【1-1】若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C ．12和13D ．－12和－13[答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.【变式】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(4)f (x )＝3x ＋1－7；(5)f (x )＝log 5(2x －3)．[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2. 题型二 判断函数零点所在的区间 判断函数零点所在区间的方法一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【2-1】若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，则下列命题中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 答案 C解析 由题目条件说明函数f (x )的零点必在(0,2)内． ∴选C.【变式】已知曲线y ＝(110)x 与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：设f (x )＝(110)x －x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12 －12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0, f (2)＝(110)2－2<0， 显然只有f (0)·f (12)<0，选A.答案：A【2-2】(2013～2014北京高一检测)已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＞0，f (1)＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f (1)＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围是－2＜m ＜－12.【变式】若函数y ＝f (x )在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)f (4)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断答案 D【2-3】若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．答案 12<k <23解析 由{ f (0)>0， f (1)<0， f (2)>0，可得12<k <23.【变式】1.若函数y ＝3x 2－5x ＋a 的两个零点分别为x 1，x 2，且有－2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围．解析 令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则{ f (－2)>0， f (0)<0， f (1)<0， f (3)>0，得a 的取值范围是－12<a <0. 【变式】2.讨论函数y ＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )的零点． 解析 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为2；(2)当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x ＝2，则其零点为2；(3)当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为1a或2题型三 函数零点个数的判断 判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．【3-1】已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根[答案] D【变式】1.(2013～2014山东淄博一中高一期中试题)对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上( )A ．一定有零点B ．可能有两个零点C ．一定有没有零点D ．至少有一个零点 [答案] B[解析] 若f (x )的图象如图所示否定C 、D若f (x )的图象与x 轴无交点，满足f (a )>0，f (b )>0，则否定A ，故选B. 【变式】2.已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x 、f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )123.5621.45－7.8211.57－53.76－126.49函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个[答案] B【3-2】(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1； ∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2，∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．【变式】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0的零点的个数为________．[答案] 2[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x －4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0有2个零点．【3-3】已知函数f (x )＝2x －x 2，请问函数()f x 的零点个数？ 【答案】3【变式】若函数f (x )＝2(m ＋1)x 2－1与函数g (x )＝4mx －2m 有两个交点，则m 的取值范围是________．答案 m <1且m ≠－1解析 由条件得方程2(m ＋1)x 2－1＝4mx －2m 有两个不等的实数根，即2(m ＋1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个不等的实数根，即Δ＝16m 2－8(m ＋1)(2m －1)>0且m ＋1≠0，解得m <1，且m ≠－1. 题型四 对二分法概念的理解运用二分法求函数零点需具备的两个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号．【4-1】用二分法如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4[答案] C【变式】已知函数y ＝f (x )的零点在区间[0,1]内，欲使零点的近似值的精确度达到0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵(12)6＝0.015 625，(12)7＝0.007 812 5，∴至少要取7次中点，区间的长度才能达到精确度要求． 【4-2】若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像不间断，则( )A ．若f (a )·f (b )>0，则f (x )在[a ，b ]上不存在零点B ．若f (a )·f (b )<0，则f (x )在[a ，b ]上至少有一个零点C ．若f (x )在[a ，b ]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值D ．用二分法只能求出函数的正数的零点 答案 B【变式】用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过( )A.m 4B.m 2 C ．m D ．2m答案 B解析 假设a ∈[a n ，a n ＋b n 2]，因为|x 0－a |＝|a n ＋b n 2－a |≤|a n ＋b n 2－a n |＝|b n －a n 2|<m2，所以选B项.题型五 用二分法求函数的零点问题 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m ，n ](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c ，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口.【5-1】在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( ) A ．在区间(a ，c )内 B ．在区间(c ，b )内 C ．在区间(a ，c )或(c ，d )内 D ．等于a ＋b2[答案] D【变式】方程x 5＋x －3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．[解析] 考查函数f (x )＝x 5＋x －3， ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝31>0，∴函数f (x )＝x 5＋x －3在区间(1,2)有一个零点x 0.∵函数f (x )＝x 5＋x －3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)， ∴方程x 5＋x －3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．取区间(1,2)的 中点x 1＝1.5，用计算器算得f (1.5)≈6.09>0，∴x 0∈(1,1.5)．同理，可得x 0∈(1,1.25)，x 0∈(1.125,1.25)，x 0∈(1.125，1.1875)，x 0∈(1.125,1.156 25)， x 0∈(1.125,1.1406 25)．由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.【5-2】某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.【变式】1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x 0＝a ＋b2与真实零点的误差最大不超过( )A ．ε4B ．ε2C ．εD ．2ε [答案] B[解析] 真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b 2－a ＝b －a 2＝ε2，因此误差最大不超过ε2.【5-3】若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260f (1.4375)≈0.162f (1.46025)≈－0.054那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________． [答案] 1.4375(或1.375)[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．【变式】1.用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．[答案] (2,2.5)[解析] ∵f (2)<0，f (2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．【变式】2．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[答案]0.75(答案不唯一)[解析]因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．。

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案（一）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）图1-3-1-1学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？2⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P 32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=Vk 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．”. 变式训练课本P 32练习4.思路2例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.图1-3-1-4解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.则F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1<x 2，∴a-x 2<a-x 2.∴f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1).∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.∴F(x 1)<F(x 2).∴F(x)是R 上的增函数.（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))＝f(a-x 0)-f(x 0)＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］=-F(x 0),∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，∴函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R ;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P 32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数：y=xk (k≠0) 当k>0时，函数y=xk 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)； 当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.答案：k ∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)<f(3a 2-4a+1)成立，则a 的取值范围是______.分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>++0.14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<31或1<a<5,即a 的取值范围是(0,31)∪(1,5). 答案：(0,31)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升问题：1.画出函数y=x1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ （1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1<x 2=2，则f(x 1)=-1<f(x 2)=21，满足当x 1＜x 2时f(x 1)<f(x 2)，说函数y=x 1在定义域上是增函数对吗？为什么？3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P 39习题1.3A 组2、3、4.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.(设计者：张建国)设计方案（二）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x 的增大，y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=x1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+x2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,因为x 12-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)<0,即x 12<x 22.所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.⑤略应用示例思路1例1课本P 29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:①画函数的图象；②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P 32练习4.例2课本P 32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=Vk 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；。

合B的元素,我们就说集合A为集合B的子集:
如果集合A中存在不是集合B中的元素,则称集合A不
集合的运算
属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集.
系f,使对于集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么称对应为从集合A到集合B的个映
的一个映射.
函数的三要素（一）
函数的三要素（）
二.函数三要素
1.定义域
22.对应法则
例4试求下列分式函数的值域
函数的单调性初步
奇偶性引入图象直观
()
例1.
判断下列说法正确与否
函数的性质综合
指数运算
指数函数初步
对数运算。

1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教学目标：1．使学生理解增函数、减函数的概念；2．使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3．培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4．培养学生数形结合、辩证思维的能力；5．养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯．教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1．函数有哪几个要素？2．函数的定义域怎样确定？怎样表示？3．函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4．区间的表示方法．前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）．（II）讲授新课1．引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加．问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1)， y2=f(x2)．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)．结论：这时，说y1=x2在[0，+∞]上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2．定义：（投影2）注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x 1，x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．（III ）例题分析例1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数（课本P32例1）． 解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[)[3,3,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-， [)3,1上是减函数，在区间[)[]5,3,1,2-上是增函数．注意：1 单调区间的书写2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？问题3：y=f(x)在区间[)2,5--，[)3,1上是减函数；在区间[)1,2-，[)5,3上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2，x=-1，x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调．因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）． 说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法．严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．例2．证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数．证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x ，03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数．分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a ．设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；b ．计算f (x 1)- f (x 2)至最简；c ．判断上述差的符号；d ．下结论．例3．证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数． 证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆ 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x于是0>∆y 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数． 利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值（2） 计算x ∆、y ∆（3） 对比符号（4） 结论（IV ）课堂练习 课本P33 “探究题”和P36练习1—3注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法．（V ）课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明．（VI ）课后作业1、书面作业：课本P43习题1.3A 组题1、2、3题．2、预习作业：（1）预习内容：函数的最大值与最小值（P33—P36）；（2）预习提纲：a．函数最大值与最小值的含义是什么？b．函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？。

离子方程式中常有的少许和过度问题一、碱性溶液中通入酸性气体(CO2、 SO2)1、澄清石灰水中通入二氧化碳(少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：2、向氢氧化钠或氢氧化钾溶液中通入CO 2 (少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：3、氨水中通入CO 2 (少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：4、澄清石灰水中通入二氧化硫(少许、过度 )SO2少许：过渡反响：SO2过度：5、烧碱溶液中通入二氧化硫(少许、过度 )SO2少许：过渡反响：SO2过度：6、氨水中通入SO2 (少许、过度 )SO2少许：过渡反响：SO2过度：二、多元弱酸与碱的反响7、氢硫酸溶液中滴入氢氧化钠溶液( 少许、过度 )NaOH 少许：NaOH 过度：8、氢氧化钠溶液通入硫化氢气体(少许、过度 )H 2S 少许：H 2S 过度：三、多元弱酸的正盐与酸的反响9、碳酸钠溶液中滴入盐酸( 少许、过度 )HCl 少许：过渡反响：HCl 过度：10、亚硫酸钠溶液滴入盐酸(少许、过度 )HCl 少许：过渡反响：HCl 过度：11、硫化钠溶液滴入盐酸(少许、过度 )HCl 少许：过渡反响：HCl 过度：四、与 CO2相关的几个重要的反响12、漂白粉的水溶液中加入CO 2(少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：13、NaClO 溶液中加入CO 2( 少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：14、偏铝酸钠溶液中通入二氧化碳(少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：15、Na 2SiO 3溶液中加入CO 2(少许、过度 )CO2少许：过渡反响：CO2过度：五、酸式盐与”量”相关的离子反响16、澄清石灰水中渐渐滴入NaHCO 3溶液 (少许、过度 ) NaHCO 3少许：NaHCO 3过度：17、碳酸氢钙溶液滴入氢氧化钠溶液(少许、过度 )NaOH 少许：NaOH 过度：18、氢氧化钡溶液中滴入碳酸氢钠溶液(少许、过度 )NaHCO 3少许：NaHCO 3过度：19、碳酸氢钡 [Ba(HCO 3)2]溶液与 NaOH 溶液反响 ( 少许、过度 ) NaOH 少许：NaOH 过度：20、Ba(HCO 3)2 溶液中滴入 NaHSO 4 溶液 (少许、过度 )NaHSO 4 少许：NaHSO 4 过度：21、Ba(OH) 2 溶液滴入 NaHSO 4 溶液 (少许、过度 )NaHSO 4 少许：NaHSO 4 过度：22、向 NH 4HCO 3 溶液中加入 NaOH 溶液并加热向足量的 NH 4HCO 3 溶液中渐渐滴入 NaOH 溶液： NH 4HCO 3+2NaOH==NH 3.H 2O+H 2O+Na 2CO 3向 NH 4HCO 3 溶液中加入过度 NaOH 溶液并加热： NH 4HCO 3+2NaOH==NH 3↑ +2HO+Na 2CO 3 23、氢氧化钡溶液中滴入碳酸氢铵溶液 (少许、过度 )Ba(OH)+NH HCO =BaCO3 ↓ +NH ?H O+H ONH3 ?H O+ NH4 HCO= (NH ) CO +H2 O2 43 3 2 2 2 34 2 3Ba(OH) 2 +2NH 4HCO 3=(NH 4) 2CO 3+ BaCO 3 ↓ +2HO24、碳酸氢铵溶液中滴入氢氧化钡溶液 (少许、过度 )(NH ) CO + Ba(OH) =BaCO ↓ +2 NH?H O2NH4 HCO+ Ba(OH) =(NH ) CO3+ BaCO3↓ +2HO3 NH 32 4 2 O4 23232HCO+ Ba(OH) = BaCO↓ +NH ?H O+H4323 3 2225、碳酸氢镁溶液中滴入澄清石灰水(少许、过度 ) MgCO +Ca(OH) = Mg(OH) ↓ +CaCO ↓Mg(HCO ) +Ca(OH) =MgCO3↓ +CaCO ↓ +2HO3 23 22323Mg(HCO ) +2Ca(OH) =Mg(OH)2 ↓ +2CaCO ↓ +2HO3 22326、NaOH 溶液与 Mg(HCO 3)2 溶液向 NaOH 溶液中渐渐滴入 Mg(HCO 3) 2 溶液至积淀完整： Mg(HCO 3)2 +4NaOH==2H 2O+Mg(OH) 2↓ +2NaCO 3向 Mg(HCO 3)2 溶液中渐渐滴入 NaOH 溶液至积淀完整： 2NaOH+Mg(HCO 3)2==Mg(OH) 2↓ +2NaHCO 3【课后作业】1、判断以下离子方程式书写能否正确，若不正确，则将正确的写在横线上 (1) 石灰水与过度碳酸氢钠溶液反响：HCO 3 ＋ Ca 2＋ ＋ OH －===CaCO 3↓＋ H 2O －(2) 硫酸氢钠溶液中加入氢氧化钡溶液至中性：H ＋＋SO 42 －＋ Ba 2＋＋OH －===BaSO 4↓＋ H 2 O(3)Ca(HCO 3)2 溶液与少许 NaOH 溶液反响： HCO 3 －＋ Ca 2＋＋ OH －= CaCO 3 ↓＋ H 2 O43溶于过度的浓 KOH 溶液中： NH 4++ HCO 3--= CO 32-32(4)NH HCO +2OH + NH ↑ +2 HO＋－(5) 用过度氨水汲取工业尾气中的 2 ： 2NH 3 2 O2===2NH 4 ＋ SO 32＋H 2SO ·H ＋SOO(6) 向 NaHCO 3 溶液中加入过度的澄清石灰水，出现白色积淀：2HCO -+Ca 2++2OH -= CaCO2- +2H 2O3 3↓ +CO 3 (7) 向 NH 4HCO 3 溶液中加过度 NaOH 溶液并加热： NH4 ＋＋ OH －NH 3↑＋ H 2 O(8) 将过度二氧化硫气体入冷氨水中：SO 2＋ NH 3·H 2O= HSO 3－＋ NH 4＋(9) 在稀氨水中通入过度 CO 2：NH 3·H 2O+CO 2＋+ HCO 3 －NH 4(10)NH 43溶于过度的 NaOH 溶液中： HCO 3-+OH -=CO 3 2-2HCO+H O3 2溶液和 NaOH2＋＋ 2HCO 3－＋ 2OH－3↓＋ CO 32－＋2H 2O(11)等体积、等浓度的 Ca(HCO )溶液混淆： Ca===CaCO(12)NH HSO 溶液与足量 NaOH 溶液混淆加热： NH ＋ + HSO －-NH ↑+SO2－+2H O4 3 43 +2OH332-－2通入 Ca(ClO) 2溶液中2 2O===HCO 3+HClO(13) 过度 CO ClO +CO +H(14) 向 Ba(OH) 2 溶液中加入少许－Ba 2++2OH -===BaSO 3↓+SO 32－NaHSO 3 溶液 2 HSO 3 +2H 2O(15) 氢氧化钙溶液与等物质的量的稀硫酸混淆： 2+ - +2－CaSO 4 ↓ +H 2OCa +OH +H + SO 4(16) 氧化铜与稀硫酸反响： 2H ＋＋O 2－===H 2O(17) 碳酸氢钠溶液中加入盐酸： 2－＋CO 3 ＋ 2H ===CO 2↑＋ H 2O(18) 长久盛放石灰水的试剂瓶内壁出现白色固体：Ca （ OH ）2 +CO 2=CaCO 3↓ +H 2O(19) 浓盐酸与铁屑反响： 2Fe+6H+=2Fe 3++3H 2↑(20)NaHCO 3 溶液与稀 H 2SO 4 反响： CO 2-3+2H +=H 2O+CO 2↑(21) 醋酸除掉水垢： 2H + +CaCO 3 =Ca 2++ CO 2↑ + H 2O(22) 碳酸钠溶液中加入澄清石灰水2－－Ca(OH) 2 ＋CO 3 = CaCO 3↓＋ 2OH(23) 大理石溶于醋酸中： CaCO 3+2CH 3COOH=Ca 2++2CH 3COO - +CO 2↑+H 2 O(24) 用食醋除掉水瓶中的水垢： CO 32－ ＋ 2CH 3COOH=2CH 3 COO －＋ CO 2↑＋H 2O(25) 氯化镁溶液与氨水反响： Mg 2＋＋ 2OH －=Mg(OH) 2 ↓24 2溶液反响： Ba 2＋＋ OH －＋ H＋＋SO 42－42(26)H SO 与 Ba(OH)==BaSO ↓＋ H O(27) 等体积、等浓度的 Ba(OH) 2 稀溶液与 NH 4HCO 3 稀溶液混淆：Ba 2＋ ＋ 2OH － ＋NH 4 ＋＋HCO 3－==BaCO 3↓＋ NH 3·H 2O ＋ H 2O(28) 小苏打与氢氧化钠溶液混淆： HCO 3－＋ OH －=CO 2↑＋ H 2O(29) 氯化钙与碳酸氢钾溶液混淆 : Ca 2＋ ＋ CO 32－=CaCO 3↓(30)CuSO 4 溶液与 Ba(OH) 2 溶液混淆： Cu 2＋ ＋ SO 42－＋ 2OH －＋ Ba 2＋ =BaSO 4↓＋ Cu(OH) 2 ↓、(31) 向次氯酸钙溶液通入过度 CO 2： Ca 2++2ClO - +CO 2+H 2O =CaCO 3↓ +2HClO(32) 向次氯酸钙溶液通入 SO 2 ：Ca 2++2ClO - +SO 2+H 2O= CaSO 3↓ +2HClO(33) 石灰乳与 Na 2CO 3 溶液混淆： Ca 2＋ ＋CO 3 2－=CaCO 3 ↓(34) 向 Na 2CO 3 溶液中加入过度 CH 3COOH 溶液 CO 32－+2H +===CO 2↑ +H 2O2、达成以下反响的离子方程式(1)Ba(OH) 2 与 H 2SO 4 两稀溶液混淆：(2) 向 NaHSO 3 溶液中加入过度 NaHSO 4 溶液：(3) 小苏打溶液与醋酸溶液混淆： (4) 氧化镁溶于稀硫酸： (5) 澄清石灰水中加入盐酸：(6)Na 2SO 4 溶液与 AgNO 3 溶液混淆：(7)NH 4 Cl 与 NaOH 两稀溶液混淆：(8)(NH 4)2 SO 4 与 NaOH 两溶液混淆加热：(9)Ba(OH) 2 溶液与 (NH 4)2SO 4 溶液混淆：(10)CuSO 4 溶液与 Ba(OH) 2 溶液混淆： 3、正误判断，正确的划 “√”，错误的划 “×”(1)Na 2O 2 固体与水反响 2－＋ 2H 2O===4OH －＋ O 2 ↑( )2O 2(2) 向 NaHCO 3 溶液中滴加盐酸 CO 2－＋ 2 2 )3＋ 2H ===H O ＋CO ↑((3) 醋酸溶液与水垢中的 CaCO 3 反响 CaCO 3＋2H ＋===Ca 2＋＋ H 2O ＋ CO 2↑()(4)Mg(OH) 2 和稀盐酸的反响 OH －＋ H ＋===H 2O( )(5)Fe 和稀盐酸反响 2Fe ＋ 6H＋ ===2Fe 3＋ ＋ 3H 2↑( )(6)CuSO 4 溶液和 Ba(OH) 2 溶液反响 2＋2－)Ba ＋ SO 4 ===BaSO 4↓((7) 稀 H 2SO 4 和 Ba(OH) 2 溶液反响H ＋＋ SO 42－＋ Ba 2＋＋ OH －===BaSO 4↓＋H 2O()＋－△(8) 4NH 4＋ OHNH 3 2)向 NH Cl 溶液中滴入烧碱溶液并加热·H O((9) 向 Ca(ClO) 2 溶液中通入少许CO 2ClO －＋ H 2O ＋ CO 2 ===HClO ＋HCO －)3 (。

高中数学必修1A（人教实验版）目录§1集合 (3)§2函数及其表示 (10)§3函数的基本性质 (16)§4指数与指数函数 (22)§5对数与对数函数 (28)§6函数的应用 (34)§1集合一、一周知识概述本周主要学习了集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有列举法和描述法两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。

二、重难点知识归纳(一)元素与集合的含义元素: 研究的对象集合: 一些元素组成的总体(简称集)属于: 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作。

(二)列举法与描述法列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。

一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示。

(三)子集、真子集、空集子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset)，记作(或),读做“A包含于B”(或“B包含A”).真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作(或).空集: 不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作，并规定：空集是任何集合的子集Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.学习这几个概念时，应注意以下几点：①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的子集，反之则不一定。