3-5无穷小量与无穷大量

第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23§2.3 无穷小量与无穷大量教学目的：掌握无穷小量与无穷大量的定义及性质；掌握无穷小量阶的概念，能正确判断所给两个无穷小量的关系；熟记常用的等价无穷小量，会灵活运用求极限．重难点：正确运用无穷小量与无穷大量的概念及性质，熟练运用等价无穷小量计算函数的极限，证明相关问题.教学过程:在极限的研究中，极限为零的函数发挥着重要的作用。

一、无穷大量1.引例：函数 11y x =-在1x →时的变化趋势. 当x 越来越接近1时，11y x =-越来越大，在x 无限接近1时，11x -可以任意大.“任意大”就是不论预先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个指定的正数.显然，对于0M ?>，要使 11M x >-，只要11x M -<就可以了，此时称1x →时，11y x =-是一个无穷大量.即 11lim 1x x →=∞-. 2.【定义2.8】对于0E ?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 y E >恒成立，则称变量y 无穷大量，或称变量y 趋于无穷大.记作lim y =∞. 另一种定义：设)()(y D U ??λ (或x 大于某一正数时有定义), 0>?M ,0>?θ（或正数X ）,当),(θλ U x ∈（或x X >）时,恒有M y >||,则称y 当λ→x 时为无穷大量, 记作∞=→y x λlim . 注：① 无穷大量并不是很大数.② 将||y M >换成y M >,可定义lim x y λ→=+∞. ③ 将||y M >换成y M <-,可定义lim x y λ→=-∞.可以证明 1111lim ,lim 11x x x x +-→→=+∞=-∞--.二、无穷小量 1.【定义2.9】以0 为极限的变量称为无穷小量.即对于0ε?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式y ε<恒成立，则称变量y 无穷小量.另一种定义：若lim ()0x f x λ→=,称()f x 当x λ→时为无穷小量,记作()(1)f x o =,(x λ→).注意：无穷小量并不是很小数，而是某一过程中极限为０的量．常数中只有０是无穷小量．例1 讨论下列无穷小量：（1）lim 20n -→∞= n , ∴ n →∞时，变量2n n y -=是无穷小量；即n →∞时，2(1)n o -=；(2) 1lim(1)0x x →-= , ∴ 1→x 时， 1-x )1(o =； (3) 1lim 0x x →∞= , ∴ ∞→x 时，x1)1(o =；(4) 21lim 01n n →∞=+ , ∴∞→n 时， 112+n )1(o =. （5）20li m 0x x →= , ∴ 0x →时，2x (1)o =.2．性质【定理2.5】变量y 以A 为极限y A a ?=+，其中a 是一个无穷小量. 即lim ()x f x A λ→=?()(1)f x A o =+ ?()(1)f x A o -=,x λ→.证明：lim ()lim[()]0x x f x A f x A λλ→→=?-= ()(1)f x A o ?-=()(1),f x A o x λ?=+→.【定理2.6】如果变量a 是一个无穷小量，()y f x =是个有界变量，则变量ay 是无穷小量.即(1)(1)(1)O o o ?=, x λ→.证：设变量y 是某个时刻后的有界变量，所以存在正数M ，在这一刻后恒有y M ≤.又因为 a 是一个无穷小量，所以对于0ε?>，总有那么一个时刻，在那个时刻以后恒有a M ε<.从而在那个时刻以后，恒有ay a y M M εε=?<=成立.故变量ay 是无穷小量. 另证明：设)1(O u =,)(λU x ∈?10,0M δ?>> ..t s M u ≤||,1(,)x U λδ∈ ；又设)1(o v =,那么0>?ε,20δ?>..t s 2(,)x U λδ∈ 时,M v ε<||,取12min{,}δδδ= ..t s 当(,)x U λδ∈ 时,有M u ≤||,M v ε<||, 于是εε=?<?≤MM v u uv ||||||, 所以)1(o uv = 即)1()1()1(o o O =, )(λ→x .例2 证明 01lim sin0x x x→?=. 证因为1sin 1x≤，所以1sin x 是有界变量，又因为0lim 0x x →=；故01lim sin 0x x x →?=. 【推论1】常量与无穷小量的乘积还是无穷小量.即(1)(1)C o o ?=, x λ→.【推论2】两个无穷小量的和是无穷小量，即(1)(1)(1),o o o x λ±=→.证明：设(1)u o =,(1)v o =，那么0ε?>,10δ?>..s t 1(,)x U λδ∈时,||2u ε<, 20δ?>..s t 2(,)x U λδ∈ 时,||2v ε<, 取{}12min ,δδδ= ..s t 当12(,)(,)(,)x U U U λδλδλδ∈= , 时, 同时有||2u ε<,||2v ε<,于是 ||||||22u v u v εε±≤+【推论3】有限个无穷小量的积仍是无穷小量.注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小.例11lim()10n n n →∞++=≠ ；314lim()0325n n n n→∞++=-. 【推论4】有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.即(1)(1)(1),o o o x λ?=→. (可推广至有限项)例3计算极限(1) sin lim 0x x x→∞= (2) 201lim sin 0x x x→=. 解：因0lim 0x x →=,1sin 1x≤(0)x ≠, 所以 201lim sin 0x x x→=. (3) arctan lim x x x→∞. 解：因1lim 0x x →∞=,arctan 2π≤, 所以 arctan lim 0x x x→∞=. (4★)lim (sin 1sin )x x x →+∞+- 解：由于sin 1sin x x +-112cossin 22x x x x +++-=，而 1cos 2x x ++ 是有界函数，且 1l i m s i n 2x x x →+∞+- 1lim sin 02(1)x x x →+∞==++，故 l i m (s i n 1s i n )0x x x →+∞+-=． (2) 由于cos x 是有界函数，而2lim01x x x →+∞=+，故 2c o s l i m 01x x x x →+∞=+．三、无穷大与无穷小的关系【定理2.7】在变量y 的变化过程中，（1）如果y 是无穷大量，则 1y是无穷小量；（2）如果(0)y y ≠是无穷小量，则 1y是无穷大量.另一种形式：在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，若()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大. 分析：（1）0ε?>,欲使1()f x ε<, 只需1()f x ε>，取1E ε=即可；（2）0E ?>,欲使()f x E >, 只需11()f x E <，取1E ε=即可. 例如由于11lim 1x x →=∞-，所以1x →时，1x -是无穷小量且非零，所以 11x -是无穷大量. 例4 根据定义证明：(1) 1y x =-为当1x →时的无穷小；证明：0ε?>,取0δε=>,当0|1|x δ<-<时,恒有|||1|y x ε=-<,所以 1y x =-为当1x →时的无穷小. (2) 1cosy x x=为当0x →时的无穷小. 证明：0ε?>,取0δε=>,当0|0|x δ<-<时, 恒有 1|0|cos||0y x x x x ε-=≤=-<, 所以1cosy x x =为当0x →时的无穷小. 例5 函数12x y x+=是当0x →时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使4||10y >？（1）证明：0E ?>,欲使1211||22||x y E x x x +==+≥->, 只需 10||2x E <<+ 即可. 取 102E δ=>+,则当0||x δ<<时, 恒有 12||x y E x+=>, 所以 0012lim lim x x x y x→→+==∞. (2) 欲使4||10y E >=,取41110210002δ==+, 则x 满足10||10002x << 即可. 例6 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22x k ππ=+,则(2)sin(2)2222y k k k ππππππ=++=+, 0,1,2,k =, 可见, 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内无界.(2)取x k π=,则sin()0y k k ππ==,1,2,k = ,可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.例7函数1siny x x=在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么? 解：(1)当0x >时,111sin||sin ||1x x x x x x≤≤=, 可见, 函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界. (2)因函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界, 可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.提问：当0x →时,下列变量中哪些是无穷小量？22223221100,,,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x x x x +-解 222231100,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x +-是无穷小量. 若改为x →∞时，回答上述提问.提问1：函数21(1)y x =-在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？解2111lim lim (1)x x y x →→==∞?-21(1)y x =-是1x →时的无穷大量；21lim lim 0(1)x x y x →∞→∞==?-,21(1)y x =-是x →∞时的无穷小量. 提问2：下列极限不正确的是( ).(A )e 10lim x x →=∞； (B )e 10lim 0xx -→=；(C )e 10lim x x +→=+∞； (D )e 1lim 1xx →∞=. 提问3：若lim (),lim ()x a x af xg x →→=∞=∞，则必有( D ). (A )lim[()()]x a f x g x →+=∞；(B )lim[()()]x af xg x →-=∞ (C )1lim0()()x a f x g x →=+；(D )lim ()x a kf x →=∞(k 为非零常数) 四、无穷小量的阶无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.例如当0x →时，2,2x x x 都是无穷小量，它们趋于0的速度的差别可以通过下表体现：x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 → 0 2x2 1 0.2 0.02 0.002 → 0 2x 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 → 0【定义2 .10】(无穷小的比较)设(),()x x ααββ==,为同一极限过程中的无穷小,且0α≠.则1)β是比α高阶的无穷小—— lim0x λβα→=, 记作()o βα=,()x λ→；2) β是比α低阶的无穷小—— lim x λβα→=∞；3) β与α是同阶无穷小——lim 0x C λβα→=≠, (C 为常数)；4)β是关于α的k 阶无穷小—— lim0kx C λβα→=≠, (C 为常数, 0k >)；5)β与α是等价无穷小—— lim 1x λβα→=,记作~αβ,()x λ→. 例8 (1) 203lim 0x x x→=, ∴23()x o x =, (0)x →. (2) 21lim 1n n n→∞=∞, ∴ 当n →∞时,1n 是比21n低阶的无穷小. (3) 239lim 63x x x →-=-, ∴当3x →时,29x -与3x -是同阶无穷小.(4) 2x x +；解： 200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=?2~x x x +,(0)x →. (等价无穷小)例9 当0x →时证明下列结论正确：(1) 22211~x x x +--.证明：因为 2222200112lim lim 11x x x x x x x→→+--=++- 211010==++-, 所以22211~x x x +--（当0x →时）.（2）111~n x x n+-,(0)x →.（常用作代换）证明：因 011lim 1n x x x n→+- 012(1)1lim 1[(1)(1)1]n n x n n n n x x x x n→--+-=+++++ 120lim (1)(1)1n n x n n n x x --→=+++++ 1111n n n ===+++所以 111~n x x n+-,(0)x →. 例10 (89.3) 设()232x x f x =+-.则当0x →时( B ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小量(B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 比x 较高阶的无穷小量(D) ()f x 比x 较低阶的无穷小量答选(B).因0000lim ()lim(232)2320x x x x f x →→=+-=+-=, 又 00()232lim lim x x x x f x x x →→+-=00(21)(31)lim lim x x x x x x →→--=+ln 2ln 31=+≠,小结: 1.弄清无穷大和无穷小的概念；注意无穷小量并不是很小数，常数只有零为无穷小量.无穷大量不是很大的数.2.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的.但是可以将无穷大的问题转化为无穷小，利用无穷小的性质解决无穷大问题.课后记：利用极限的性质求函数极限时概念不熟悉. 不能灵活运用等价无穷小量计算极限．。

判断无穷大量和无穷小量的方法在数学中，我们可以使用极限的概念来判断无穷大量和无穷小量。

1.无穷大量（Infinite Quantity）：
无穷大量是指当自变量趋向某个特定值时，函数或数列的取值趋近于正无穷或负无穷。

判断一个函数或数列是否为无穷大量，可以使用以下方法：
用极限符号表示：如果随着自变量逼近某个值，函数或数列的极限为正无穷或负无穷，可以表示为lim f(x)=±∞。

使用定义：根据函数或数列的定义，证明其在某个点附近取得无限大的值。

2.无穷小量（Infinitesimal Quantity）：
无穷小量是指当自变量趋向某个特定值时，函数或数列的取值趋近于零。

判断一个函数或数列是否为无穷小量，可以使用以下方法：
用极限符号表示：如果随着自变量逼近某个值，函数或数列的极限为零，可以表示为lim f(x)=0。

使用定义：根据函数或数列的定义，证明其在某个点附近取得无限接近于零的值。

需要注意的是，判断一个函数或数列是否为无穷大量或无穷小量需要通过数学证明和运算来确定，不能简单地根据直观感觉进行判断。

第三章函数极限5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：设f在U0(x0)内有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).若函数g在U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 记作f(x)=O(1) (x→x0).性质：1、两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例：当x→0时，x2是无穷小量，sin1x 为有界量，所以limx→0x2sin1x=0.结论：limx→x0f x=A limx→x0(f x−A)=0.二、无穷小量阶的比较设x→x0时，f与g均为无穷小量.1、若limx→x0f(x)g(x)=0，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量. 记作f(x)=o(g(x)) (x→x0).2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤f(x)g(x)≤L或limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.例：(1)当x→0时，1-cos x与x2皆为无穷小量. 又limx→01−cos xx2=12. 所以1-cos x与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)当x→0时，x与x2+sin1x 皆为无穷小量. 又1≤2+sin1x≤3. 所以x与x2+sin1x为当x→0时的同阶无穷小量.若无穷小量f与g满足关系式f(x)g(x)≤L，x∈U0(x0). 则记作f(x)=O(g(x)) (x→x0). 当f(x)=o(g(x)) (x→x0)时，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).o(g(x))=f|limx→x0f xg x=0；f(x)=o(g(x))，即f(x)∈f|limx→x0f xg x=0.3、若limx→x0f(x)g(x)=1，称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x sin1x和x2都是无穷小量，但它们的比1x sin1x或xsin1x当x→0时，都不是有界量，所以不能进行阶的比较。

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。

本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。

一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。

严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。

无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。

2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。

4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。

二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。

严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。

无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。

2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。

3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。

4. 无穷大量与零的积为无穷小量。

三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。

当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。

根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。

1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。

2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。

四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。

导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。

2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。

无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。

为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。

记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。

定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。

无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。

定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。