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《数学分析》14无穷小量与无穷大量

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无穷小量和无穷大量(IV)

无穷小量和无穷大量(IV)

04
无穷小量和无穷大量的 应用
在数学分析中的应用
极限理论
无穷小量和无穷大量是极限理论 中的重要概念，用于描述函数在 某点或无穷远处的行为。
连续性和可微性
通过无穷小量和无穷大量，可以 研究函数的连续性和可微性，以 及函数的各种性质。
积分和级数
无穷小量和无穷大量在积分和级 数的理论中也有广泛应用，例如 在求解定积分和无穷级数的收敛 性分析中。
03
无穷小量和无穷大量的 关系
无穷小量是无穷大量的极限状态
01
无穷小量是指在某一变化过程中，绝对值无限趋近于0的变 量，表示为lim x→a 0/0型未定式。
02
无穷大量则是指在某一变化过程中，绝对值无限增大的变 量，表示为lim x→a +∞或lim x→-∞。
03
无穷小量是无穷大量的极限状态，即当一个变量在某一过程中 无限趋近于0时，这个过程可以看作是该变量相对于另一无穷
无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
如果$f(x)$是有界量，$g(x)$是无穷小量，则$f(x) cdot g(x)$仍为无穷小量。
无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量是趋于零的量，而无穷大量是趋于无穷大的量。两者在研究极限理论中具有重要 地位，它们之间的关系可以通过洛必达法则等工具进行探讨。
性质证明
大量变化的极限过程。
无穷小量和无穷大量的关系证明
利用极限的性质和运算规则，可以证 明无穷小量和无穷大量之间存在一定 的关系。例如，利用极限的运算法则， 可以证明无穷小量是无穷大量在一定 条件下的极限状态。
具体来说，对于任意给定的正数ε，存 在一个正数N，当x>N时，有|f(x)|>ε。 因此，当x趋于正无穷或负无穷时， f(x)可以看作是无穷大量。

无穷小无穷大

无穷小无穷大

即lim 2 arctan x 0
x ?
即lim arctan x
x ?

2
1 只有当x ,即 lim x 2 arctan x
作

业
习题二 (P73) 5. 6.（3）（4） 7.（3）（4）
一.无穷小量
极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。 性质1： 性质2： 性质3： 推论：
推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim cy = c lim y （ c 为常数）。 推论3：如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y n (limy)n 如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y (limy )
1 n 1 n
f(x) 法则3：若 lim f(x) = A， limg(x) = B 0，则 lim 存在， g(x) f(x) lim f (x) A 且 lim g(x) lim g( x ) B
x x0 x x0
a0 x n a1 x n1 ... an f ( x0 ) 0 0
3 x 1 (注：对于有理分式函数，首先 例2：求 lim 2 x2 x 6 要验证分母极限是否为零。)
解： 因为 lim( x 2 6) (lim x )2 lim 6 22 6 10 0
大。因此，无穷大可有如下定义： 若 正数 M（无论多么大），变量 y 在某变化 过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有 | y |>M 成立，则称变量 y 在该变化过程中为无穷大。
练习:
1 当x ?时, 是无穷小量. ln(3 x )
1 解:若 是无穷小, 则 ln(3 x )应该为无穷大. ln(3 x )

无穷大量和无穷小量

无穷大量和无穷小量
f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
前页 后页 返回
设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作 或者g(x)是f(x)的低阶无穷小
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
f ( x) f ( x) g( x ) lim lim lim 1 . x x0 h( x ) x x0 g ( x ) x x0 h( x )
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
前页 后页 返回
sin x 1 与 2 均为 x 时的无穷小量, 却不能 x x
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
1 1 lim x sin lim x lim sin 0 . x 0 x x 0 x 0 x
前页 后页 返回
1 从几何上看，曲线 y x sin 在 x 0 近旁发生无 x
限密集的振动，其振幅被两条直线 y x 所限制.
y
0.1
§5 无穷大量与无穷小量
由于
x x0
lim f ( x ) 等同于 A
x x0
因 lim[ f ( x ) A] 0,
此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是
相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 分析”.
一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线
f ( x) 注 ： 阶 穷 不 意 同 无 小 一 定 lim 要 存 在 x x0 g ( x ) 2 sin x 1 如f ( x ) , g ( x) , x x f ( x ), g ( x )是x 时 无 小 但 的 穷 ， f ( x) lim 不 在 存 ， x x0 g ( x ) f ( x) 但 1 2 sin x 3. g ( x) 所 f 和 g是 x 时 同 无 小 以 的 阶 穷 量 . 前页 后页 返回

无穷小量无穷大量

无穷小量无穷大量

正无穷大量 : lim f ( x)
负无穷大量 : lim f ( x)
1 例 证明 lim 1 . x 1 x 1
1 证 : 设 G是任意给定的正数 , 要使 G, x 1 1 只要 | x 1| . G y 1 1 取 , 则当 0 | x 1| 时 , 0 G
错！ 错！
1 1 1 （1）错解： lim lim x lim x lim sin 1 ， ； 正解： ∵ x sin 0 ，而 sin 0 x0x0 x x0 x0x x
1 ∴ lim x sin 0 。 x x0
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctan x ， 2 x x
(3)若lim X ， limY , 则lim(X Y) (4) 若lim X ， Y, 则limY X (5)若lim X ，则lim （ X )
1 (6) 若lim X ，则lim 0; X 1 反之，若lim X 0，且X 0, 则lim X
5
1 就有 G. x 1 1 所以 lim . x 1 x 1
-4
-2
-5 -10
2
4
6
x
又如 用无穷大的定义可以证明 :
当x 时, e x 是无穷大量,即 lim e x
x
当x 0 时, e 是无穷大量,即 lim e
x 0
1 x
1 x
在下面的定义和定理中, 总设 及 是在同一 个自变量的变化过程中的 无穷小 , 且 0 .
定义 3 设 lim X lim Y 0
X （1）若 lim 0 , 则称 X 是比 Y 高阶的无穷小 , Y 而称 Y 是 X 的低阶无穷小 ; 记为X o(Y );

14-15无穷大与无穷小极限运算法则 共50页

14-15无穷大与无穷小极限运算法则 共50页
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。
一、无穷小
1. 定义
极限为零的变量称为无穷小量,简称 无穷小.
如, 当x0时, 函数 sinx是无穷小;
当x时,函数sinx 是无穷小; x
当x2时,函数 x2是无穷小;
当x1时,
解 lim ( x1x) x
四、极限运算法则
lim f (x)泛指任一种极限
定理1 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 (1) lim[ f (x) g(x)] A B; (2) lim[ f (x) g(x)] A B; (3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ?
例 ,{ x n } :如 0 ,2 ,0 ,4 , ,0 ,2 n ,0 , ,x n n ( 2 1 ) n n . 不 N 取 论 ,当 多 n N 时 ,总 么0 的 有 大项 等
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
例1 求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
解 n时,是无穷小之先和变．形再求极限.
l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 ) l n i1 m 2 n 2 n

无穷小量无穷大量

无穷小量无穷大量

02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系

2.4 无穷大量与无穷小量

2.4 无穷大量与无穷小量
x → x0
x →∞
x→ x 0
x→ x 0
lim f ( x ) = ∞ ⇔ lim f ( x ) = ∞ 且 lim f ( x ) = ∞；
x → +∞ x → −∞
( 无穷小量与函数极限的关系 ) 例
证明： lim 证明： f ( x ) = A 的充分必要条件是
x→ X
f ( x ) − A = o(1) ( x → X ) 必要性： 证明 必要性：由 lim f ( x ) = A 及四则运算法则知
lim g ( x )u( x ) = A ,
v( x ) lim =B x→ X g( x )
则
v( x ) lim f ( x )u( x ) = A, lim = B. x→ X x→ X f ( x )
乘 运 的 限 可 等 无 小 替 不 变 在 除 算 极 中 用 价 穷 量 换 改 极 值 称 等 无 小 换 其 限 ， 为 价 穷 代 。
α β 且lim = A， ≠ 0 x→X β 的高阶的无穷小量. (1)如 A = 0 则称 α 是 β 的高阶的无穷小量 果 ，
记 α = o(1)⋅ β = o(β )( x → X) 为
的低阶的无穷小量. 则称 α 是 β 的低阶的无穷小量 (2)如 A = ∞， 果 是同阶的无穷小量. (3)如 A ≠ 0 ∞， 果 ， 则称 α 与 β 是同阶的无穷小量 特别地， 果 特别地，如 A= 1 则称 α 与 β 是等价的无穷小量 是等价的无穷小量. ，
x 5 是x 2的高阶无穷大量； x 2与2x 2 是同阶无穷大量。 的高阶无穷大量； 是同阶无穷大量。
1 1 练 ：当 →∞时 2 习(1) x ， 和 是 价 穷 ， 等 无 小 ax + bx x +1 则 数 ,b为 少 常 a 多 ？

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。

它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。

本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。

一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。

通常用符号"ε"或者"δ"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。

无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。

2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。

4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。

这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。

二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。

通常用符号"∞"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。

无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。

2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。

3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。

无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。

三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。

当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。

14第四节无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxiao

14第四节无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxiao
x x0
或
或lim f x x
。
注 无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种
状态，若函数趋于无穷大，则必无界。
例如 lim 1 ,则称 1 是当x 1 时无穷大量。
x1 x 1
x 1
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说明 若 lim f x ，则直线
X是比 tan x sin x 低阶无穷小量。
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思考与练习 •填空题
1、lim sin x 0 x x
3、 lim x sin 1 0
x0
x
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2、 lim x sin 1 1
x
x
4、 lim xsin x不存在 x
例11 求 lim x2 3x 2 x 山东水利职业学院数理化教研室
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解
因为 x2 3x 2 的倒数
x2
1 3x

当x 2


时是无穷小
所以
lim x2 3x 2
x
四、无穷小量的比较
引例
当 x 0时，x、x2、sin x 都是无穷小，而
的垂直渐近线xx。0
x x0 为曲线y＝f(x)
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或x 时，f(x)为无穷大量,
1
则f(x)为f 无 x穷 为小无量，穷且小量；反f 之 x， 如0,果则当f为1 xx无穷x大0 或量x。时，
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小 来讨论。
lim x2 0, lim x , lim sin x 1

11.4_无穷小量与无穷大量

11.4_无穷小量与无穷大量

ii）. 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 但无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
iii).（局部）有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设u为局部有界函数,即 x ( x0 , 1 ) , u M
lim ( x ) 0 ,即 0 , 2 0 , 当 x ( x0 , 2 ) 又设 x x
特别，常数与无穷小的乘积是无穷小 .
2. 无穷小的阶
例
x lim 2 0 , x 0 x
问： 无穷小的商的极限如何？ 1 2 3 x 0 时 , 3 x , x , x , x sin 都是无穷小, 有 x 3 2 2
1 x lim 2 , x 0 3 x 3
x lim 3 x 0 x

sin x ~ x.
例6
解:
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan5x 5x o( x),
1 cos x
1 2 x o( x 2 ). 2
sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 o( x ) 1 o( x 2 ) 2 5 x 5 x o( x ) x o( x ) 5 x 2 x 2 . lim 原式 lim x 0 o ( x ) x 0 3 3 x o( x ) 3
x 1 是当 x 1 时的无穷小量 . 1 是当 x 时的无穷小量 . x x 2 , sinx, tan x 都是当 x 0 时的无穷小量 .
【注】 1).函数是无穷小,必须指明自变量的变化过程. 2).任何非零常数都不是无穷小量. 3).零是可以作为无穷小的唯一的数.
4).同样有
作分母的无穷小 不能为零. 有的无穷小 没有阶数

第四节 无穷小(量)和无穷大(量)

第四节 无穷小(量)和无穷大(量)
1
无穷小和极限的关系: 无穷小和极限的关系: 定理 变量 y 以A为极限的充分必要条件是：变量 为极限的充分必要条件是： 为极限的充分必要条件是 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 与一个无穷小量的和。 lim u = A ⇔ u = A+α ， + 其中α 是无穷小 。 证略. 证略 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质： 无穷小量的性质： 定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； ° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； ° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。 ° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
9
四、无穷小量的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 2 lim = 0, x 比3 x要快得多 ; 观 x→0 3 x 察 各 sin x sin x与x大致相同 ; lim = 1, 极 x→0 x 限 x 2 lim 2 = ∞ ， x比x 要慢得多 . x →0 x
3、如果 lim
x→0
α
x
k
= C (C ≠ 0, k > 0), 则称α是x的k阶
无穷小.
12
1 1 1 , 例7 当 n → ∞ 时 , , 都是无穷小 , 由于 n n2 n 1 1 1 n = n→∞, n2 = 1 → 0 , n = 1 → 0 , 1 1 1 n n n n n 1 1 1 1 比高阶的无穷小， 故 2 = o( ), 即 2 是 比高阶的无穷小， n n n n
7
三、无穷大量与无穷小量的关系

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 54332-+, (x →0，x →∞)；(2) u (x ) = x x x x524323+- (x →0，x →∞)；(3) u (x ) = x3+x23(x →0+，x →+∞)；(4) u (x ) = x x x++(x →0+，x →+∞)；(5) u (x ) = 13+x- 123+x(x →0，x →+∞)；(6) u (x ) = x21+ - x (x →+∞)；(7) u (x ) = -32x (x →0+)；(8) u (x ) =1+x x-e2x(x →0+)；(9) u (x ) = ln cos x - arc tan x2(x →0)；(10) u (x ) =xtan 1+ -1-sin x(x →0)。

解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。

（2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～)(31∞→x x 。

（3）)(x u ～)0(32+→x x ；)(x u ～)(23+∞→x x 。

（4）)(x u ～)0(81+→x x ；)(x u ～)(21+∞→x x 。

（5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～)(321+∞→x x 。

（6）)(x u ～)(211+∞→-x x。

（7）)(x u ～)0(21+→x x 。

（8）)(x u ～)0(2+→-x x 。

（9）)(x u ～)0(232→-x x 。

（10）)(x u ～)0(→x x 。

2. (1) 当x →+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。

ax(a ＞1),xx,xα(α＞0)， ln k x(k ＞0)， [x ]!；(2) 当x →0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。

《数学分析》14无穷小量与无穷大量

《数学分析》14无穷小量与无穷大量

§５ 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。

若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。

记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin ,1cos kx k x x =-都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。

2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin (1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。

无穷小与无穷大无穷小的比较

无穷小与无穷大无穷小的比较

2.4.2 无穷大
定义1.10 如果 x x0(或 x )时，
相应的函数值的绝对值 f ( x ) 无限增大，则称
f ( x ) 当 x x0(或 x )时为无穷大量无穷
大量，简称无穷大.
如果函数 f ( x) 当 x x0 ( x )时为无 穷大，按通常意义来说，极限是不存在的， 但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是 无穷大”并记为
1 当 x 时, f ( x) 为无穷小 x
1 x
当 x 1 时, f ( x) 就不是无穷小
3
定理1.2 函数 f ( x) 以 A 为极限的充分 必要条件是： f ( x) 可以表示为 A 与一个无穷 小量 之和．即
lim f ( x) A f ( x) A 其中 lim 0．
2 1 ， x x
x
1 10 1 0.1 2 0.2 1 0.01
100 0.01 0.02
1/ x 2/ x
1/ x
2
1 ， 2 趋于零的情况 x 1 000 10 000 0.001 0.000 1
0.002 0.000 2

0 0 0

0.00 01 0.000 001 0.000 000 01
量；
1 x sin ． 例2 求 lim x 0 x 1 1 解 因为 sin 1 ，所以 sin 是有界变 x x
当 x 0 时，x 是无穷小量． 1 根据性质1.2，乘积 x sin 是无穷小量．即 x 1 lim x sin 0 ． x 0 x
练习二 求下列函数的极限
1 (1)lim x sin 0 x 0 x arctan x 0 ( 2)lim x x sin 2 x (3)lim 0 2 n x cos n 2 ( 4)lim 0 n n

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

f (x)
f (x) g(x)
lim
lim
lim
1 .
xa h( x) xa g( x) xa h( x)
前面讨论了无穷小量阶旳比较, 值得注意旳是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶旳比较. 例如
sin x 与 x
1 x2
均为 x
时旳无穷小量,
却不能
按照前面讨论旳方式进行阶旳比较. 这是因为
例6
计算
lim
x 0
tan x sin x sin x3
.
解
lim
x 0
tan x sin x sin x3
lim
x 0
tan
x sin x3
x
sin
x(
1 cos
x
1
)
lim x 0
x3
lim
x 0
sin
x(1 cos x3 cos x
x)
lim
x 0
x
x2 2
x3
1. 2
xa f ( x)
(2) 能够类似地证明. 上述定理 告诉我们，在求极限时，乘积中旳因子
可用等价无穷小量替代，这是一种很有用旳措施. 例5 计算 lim arctan x .
x 0 sin 2 x 解 因为 arctan x ~ x , sin 2x ~ 2x ( x 0), 所以
lim arctan x lim x 1 . x 0 sin 2 x x 0 2 x 2
时的有界量.
例如: 1 x2 为 x 1 时的无穷小量 sin x(x )为有界量.
性质1 若函数 f ( x)与g( x)( x a) 都是无穷大， 则函数 f ( x)g( x)( x a) 是无穷大.

14无穷小与无穷大

14无穷小与无穷大
注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。
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2
例如：
limcos x 1, lim cos x 0
x0

x
lim 1 0, x x
2
(1)n
lim
0,
n n
x
例1 用定义证明
lim 0 x0 x 1
证明：x 0,取 1, x (1,1),即 x 1
2)lim f (x) x
M 0, X 0, 当 x X时，有 f ( x) M .
故 lim f (x) x
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注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增 大的变量；
注5 函数是无穷大量，必须指明其变化
趋势。 比如
lim 1 , lim 1 0
,
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故 lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定 是无穷小。
例４：
n
n
n
lim(
nLeabharlann n2n2
2
...
n2
n
)1
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定理２ 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 设g(x)在某定义域内有界，lim f ( x)存在，
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五 小结与判断题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 内容: 无穷小量和无穷大量，及其倒数关系 判断题
（1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小.
（3） 无界变量是无穷大.
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0, 0, 当 x x0 时，

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

写成其极限值与一个无穷小量之和的形式． 解 因为
f ( x) x 1 1 1 x x
其中当x→ ∞时，
1 0 x
即函数 f (x) 为常数 1 与无穷较量 1/x 的和
lim f ( x ) lim
x
x
x 1 1 x
例2 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大，无穷小量 (1)
lim[f(x) ±g(x)]=limf(x) ±limg(x) lim[f(x) · g(x)]=limf(x) · limg(x) lim[C· f(x)]=C ·limf(x)
性质1 性质2 性质3
有限个无穷小的代数和是无穷小量． 有限个无穷小的积仍是无穷小． 常数与无穷小的积是无穷小． -C· f (x) h (x) · f (x) C· f (x) 若 -C h (x) C, f ( x ) →0 且不妨设 f (x) 0
y ln x
当x→0+ 或x→+∞时是 y 无穷大量.
0
+∞
解 由图像 x
当x→1 ,时, y→0. 为无穷小量. 当x=1/2 时，分 母为零.
－∞
1
+∞
(2)
y
1 2x 1
解
当x→1/2 时，2x-1是无穷小量， 当x→∞ ,时, y→0. 为无穷小量.
y 是无穷大量.
4．无穷小量的运算性质
性质4 无穷小与有界量的积是无穷小．
0
例31
求
lim x 2 sin
x 0
1 x
解
因为当 x→ 0 时，x2 →0， sin(1/x) 有界， 所以
1 | sin | 1 x
1 x sin x
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§５ 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。

若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。

记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin ,1cos kx k x x =-都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。

2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。

这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。

（２）性质性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。

性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

性质３ 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如；21lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申：同为无穷小量，20lim 0x x x →=，而20lim x xx→不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。

这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。

就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于０的速度越快。

这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度。

所以其变化结果以2x 为主。

此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量。

一般地，有下面定义：１． 无穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似） 设当0x x →时，,f g 均为无穷小量。

（１）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()0(())()f x g x x x =→. 即0()0(())()f x g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例 10lim 0k k x x x +→=⇒10()(0)k kx x x +=→，001cos lim lim tan 01cos 0(sin )(0)sin 2x x x x x x x x →→-==⇔-=→.问题 2111limlim(1)01x x x x x →→-=-=+，此时是可说210(1)(1)x x x -=+→？ 引申 与上述记法：0()0(())()f x g x x x =→相对应有如下记法：0()(())()f x O g x x x =→，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f 与g 满足关系式00(),()()f x L x U xg x ≤∈，则记作0()(())()f x O g x x x =→. 例如，（１）21cos ()(0)x O x x -=→，(2sin )()(0)2x x O x x +=→.（２）若00()0(())()()(())()f x g x x x f x O g x x x =→⇒=→.注 等式0()0(())()f x g x x x =→，0()(())()f x O g x x x =→等与通常等式的含义不同的。

这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“∈”。

例如：1cos 0(sin )(0)x x x -=→，其中0()0(sin )|lim 0()x f x x f g x →⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，而上述等式表示函数1cos x -∈0()|lim 0()x f x f g x →⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。

为方便起见，记作1cos 0(sin ).x x -=（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某00()U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量。

但需要注意：0()lim()x f x g x →不存在，并不意味着f 与g 不全为同阶无穷小量。

如001lim lim (2sin )0x x x x x →→=+=，001(2sin )1limlim(2sin )x x x x x x→→+=+不存在。

但1(2sin )13x x x +≤≤，所以x 与1(2sin )x x+为当0x →时的同阶无穷小量。

由上述记号可知：若f 与g 是当0x x →时的同阶无穷小量，则一定有：0()(())()f x O g x x x =→。

（３）若0()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量，记作0()()()f x g x x x →.例如：１）0sin lim 1sin (0)x xxx x x→=⇒→; ２）2202(1cos )lim 11cos (0)2x x x x x x→-=⇒-→. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。

定理 设函数f 、g 、h 在00()U x 内有定义，且有0()()()f x g x x x →. (1) 若lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；(2) 若0()lim,()x x h x B f x →=，则0()lim.()x x h x B g x →= 例１． 求0limsin 4x x arctgxx→.例２． 求极限03sin lim sin x x tgx xx→-. 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。

３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。

无穷小量比较。

两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。

但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。

例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量１．问题 “无穷小量是以０为极限的函数”。

能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”。

答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。

所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”。

但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近。

例如：１）1()f x x =，当0x →时，1x 与∞越来越接近，而且只要x 与０充分接近，1x 就会无限增大；２）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性。

在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞。

其精确定义如下： ２．非正常极限定义２（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作lim ()x x f x →=∞。

注：１）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作0lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出。

例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.３．无穷大量的定义定义３．对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。

例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)xa a >当x →+∞时是无穷大量。

注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。

例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。

４．利用非正常极限定义验证极限等式 例３ 证明201limx x→=+∞.例４ 证明；当1a >时，lim xx a →+∞=+∞。