无穷小量无穷大量和Stolz定理

stolz定理上极限
摘要：
1.Stolz 定理的概述
2.Stolz 定理的证明
3.Stolz 定理的应用
4.Stolz 定理的局限性
正文：
【1.Stolz 定理的概述】
Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 分别于1922 年和1890 年独立发现的。

它是一种求极限的方法，特别适用于求解形如“1/x”、“1/x^2”等当x 趋近于0 时的极限。

【2.Stolz 定理的证明】
Stolz 定理的证明过程相对简单。

假设我们有一个数列{a_n}，它的极限是A，另一个数列{b_n}，它的极限是B，那么当a_n/b_n 的极限存在时，我们可以得到：
lim (a_n/b_n) = A/B
这个定理的证明可以通过将两个数列的极限定义代入，进行简单的化简和变形得到。

【3.Stolz 定理的应用】
Stolz 定理在求极限时十分实用。

比如，当x 趋近于0 时，sinx/x 和
x/sinx 的极限都可以通过Stolz 定理求解。

又如，当x 趋近于0 时，
x^2/sinx^3 的极限也可以通过Stolz 定理求解。

【4.Stolz 定理的局限性】
虽然Stolz 定理在求解某些极限问题时十分有效，但它也有局限性。

首先，它只能应用于求解正数和负数序列的极限，对于非单调的数列，Stolz 定理并不能提供有效的解决方法。

其次，Stolz 定理只能求解一类特殊的极限问题，对于其他类型的极限问题，它并不能提供帮助。

数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理是一个非常有用的定理，可以用来证明一些极限问题，尤其是对于那些比较复杂的数列，它的应用非常广泛。

在使用stolz定理时，我们通常需要将数列化为分数的形式，这样才能更好地进行推导计算。

一般来说，stolz定理适用于以下两种情况：
1. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列收敛于0。

2. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列单调递增/递减。

除了这些基本情况外，我们还可以通过一些较为复杂的推导来推广stolz定理的应用。

例如，我们可以将分母数列替换为另一个数列，只要这个数列的极限存在并不为0，那么stolz定理同样适用。

另外，我们还可以将stolz定理用于函数极限的证明，这时我们需要将函数化为数列的形式，然后再进行推导计算。

总之，stolz定理是一个非常重要的数学工具，在数列极限和函数极限的证明中都有着广泛的应用。

掌握这个定理对于理解和解决一些复杂的极限问题非常有帮助。

- 1 -。

stolz定理上极限Stolz定理（或称为Stolz-Cesàro定理）对于求解极限是非常有用的定理之一。

它用于处理形式为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题。

Stolz定理可以陈述如下：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个实数序列，并假设$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$存在（其中$b_n$单调增加），那么如果存在$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$，则有$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$。

通过Stolz定理，我们可以将形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题转化为两个序列的极限问题，更容易求解。

举个例子，考虑求解极限$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{3^n}$。

我们可以定义$a_n=n^2$和$b_n=3^n$，那么根据Stolz定理，我们只需计算$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2-n^2}{3^{n+1}-3^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3^n(3-1)}=\frac{2}{3}$。

因此，根据Stolz定理，我们有$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{2}{3}$。

Stolz定理在处理一些具体问题时非常有用，可以帮助简化计算和理解极限的性质。

stolz定理的证明和推广Stolz定理是数学中的一个重要定理，它描述了数学空间的某种结构特征。

在20世纪90年代，德国数学家Friedrich Stolz发现了这个定理，被称为Stolz定理。

它在后来的时间里，在很多领域中得到了广泛的应用，包括几何学，微分几何，变换理论，数学物理，概率论等等，受到了学者们的深入研究和讨论。

本文将详细地介绍Stolz定理的证明和推广，并对定理的应用进行分析。

一、Stolz定理的证明Stolz定理关于数学空间的某种结构特征的描述是这样的：定理：设$M$为一个自发的，完备的度量空间，$K$为$M$中的各种可渐变的无穷曲线，则$K$的单个空间$X$的标准性质（一般情况下均是抛物线，下同）在$M$中具有一致性。

Stolz定理的证明是由Friedrich Stolz发现的，证明步骤如下：首先，引入函数$f(x)$，它在曲线$K$上有连续性，它是一种可渐变的函数，其曲线表示为$y=f(x)$。

其次，证明$K$的单个空间$X$的抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$中具有一致性。

在这里，需要用到这样一个定理：定理：若对函数$f(x)$，在$K$上存在一个$gamma$，当x增加时，$f(x)$以$gamma$作为极限，则$f(x)$是$K$上的一条抛物线；再者，证明$X$空间中抛物线$y=f(x)$分布在$M$空间中具有一致性。

这是指给定一个抛物线$y=f(x)$，则可以找到抛物线$y=g(x)$，使得$g(x)$在$M$空间中和$f(x)$在$X$空间中具有一致性。

最后，当$M$空间中的抛物线$y=g(x)$的函数存在的时候，证明抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$空间中具有一致性。

根据上述证明，Stolz定理得到了证明。

二、Stolz定理的推广Stolz定理最初只针对一个自发的，完备的度量空间$M$和一个可渐变的无穷曲线$K$，但是后来，学者们对它进行了推广，使其适用于更多的度量空间和曲线等。

Stolz施笃兹定理及其推论资料
Stolz施笃兹定理是数学分析中非常重要且常用的一种极限求解方法，它的应用范围
比较广，尤其是在求复杂极限时常常被使用。

下面我们将从定理的定义、证明以及推论方
面进行介绍。

1. 定义
Stolz施笃兹定理本质上是一种比值极限，它是指对于一个数列 a(n) 和 b(n)，若最终 a(n) 和 b(n) 均趋近于无穷大或无穷小，则极限 lim a(n)/b(n) 存在并等于若干项之差的极限，即：
若 lim a(n)/b(n) 没有意义（无穷大或无穷小），则上式不成立。

2. 证明
Stolz施笃兹定理的证明并不难，下面我们只需简要证明一下。

对于数列 a(n) 和 b(n)，假设：
因此，我们可以根据夹逼原理得到：
这是一个比值极限，因此可以通过利用L'Hospital法则进行求解：
也就是：
3. 推论
Stolz施笃兹定理在数学证明中具有广泛的应用，也是众多极限问题求解的有效方法。

下面我们以推论的形式展开。

（1）若lim n→∞a(n) = ∞ 或lim n→∞ a(n) = 0，且lim n→∞ b(n) = ∞，
则有：
lim n→∞a(n)/b(n) = lim n→∞(a(n) - a(n-1))/(b(n) - b(n-1))
上述的推论都可以直接利用 Stolz施笃兹定理进行推导，有了这些推论，不仅能更好地理解Stolz施笃兹定理，而且在实际应用被使用时也更加灵活和高效。

f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。

f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。

（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。

只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。

）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。

*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。

4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。

二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。

（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。

（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。

6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。

Stolz 定理设{}n y 是严格单调增加的正无穷大量,且11lim n n n n n x x a y y -→∞--=-(a 可以为有限量,+∞与-∞)则lim n n nx a y →∞=重要结论:如lim n n a a →∞=,则1lim n n a a a n→∞++= 例1:设lim n n a a →∞=,求122lim ()2n n a a a na n →∞+++ 例2:设k 为正整数,求极限11112lim ()k k k k n n n k +→∞++++ 例3:证明：22223135(21)4lim 3n n n →∞+++++= 求极限22223135(21)4lim 3n n n n →∞⎛⎫+++++- ⎪⎝⎭ 性质设()f x 在[,]a b 内具有一阶连续导数,则1()lim ()()[()()}2n b a n k b a k b a b a n f x dx f a f a f b n n →∞=---⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑⎰Stolz 定理应用:设11(0,1),(1),(1,2,),n n n x x x x n +Î=-= 证明：lim 1n n nx =证明：易知n x 单调降且趋于零，下用Stolz 定理证lim 1n nnx =.11111111lim lim lim lim (1)n n n n n n n n n n x x x nx n n n x x ---÷ç÷===-ç÷ç÷--因1111111111(1)(1)(1)111(1)n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=-Þ=Þ=+--Þ-+-因此11111lim lim 1lim 11n nn n n n n nx x x x --÷ç÷-==Þ=ç÷ç÷-证明如下结论:(i)结定数列{}n a ,证明lim n n a 存在的充要条件是()11n n n a a ¥-=-å收敛(ii)设111ln 2n a n n=+++- ,证明lim n n a 存在证明:(i)级数收敛充要条件是该级数的部分和序列{}n S 收敛()101nn k k n k S a a a a -==-=-å{}n S 收敛,即{}0n a a -收敛的充要条件是lim n n a 存在.(ii)()1111111ln ln(1)ln(1)n n n n n a a n n n n n-===-=-+-=+-(但此级数不是正项级数,除有限项外都是负的),而211ln(1)1lim 12n nn n ---=与111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå与211n n ¥=å有相同敛散性,故111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå收敛.故111ln(1)n n n ¥=÷ç+-÷ç÷çå收敛,因此由(i)知:lim n n a存在设012(1)0,2n n n x x x x ++>=+，求lim n n x →∞解：易知02n x <≤，如n x 有极限a ，则lim 2n n x →∞=（可从02(1)0,2a x a a +>=+得）关键在：证n x 有极限。

3n 2 n 2-3-3数列极限的几种计算方法1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重 要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线，它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是 从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又 是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数 列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二计算方法 1定义法设为数列，a 为任一常数，若对任给的；7,总存在N>0,使得当n>N 时,有a. - a c s 则称数列牯,收敛于a ,或称数列以为极限a.注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值 的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题， 常用的基本方法有：适当 放大法，条件放大法.3n 2例题1用定义法证明数列极限冋厂弋 分析由于 9n 一3 .n因此，对任给的；0,只要9 ：：：；,便有n3n 2 n 2-33即当？：：：；时,左边的式子成立•又由于（1）式是在n —3的条件下成立的，故应取n9N 二 max{3, —}.z9 证明 任给；0,取N = max{3, -}. z根据分析，当n • N 时3n 2n 2-3于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限lim a n 与lim b n 均存在，则nn _po(1) lim a n士b n= lim a n士 lim b n;n — %f n —sc n _咨(2) lim a nb n=lima nlimb n;n — * * n —sc(3) lim ca n= clim a n;n ^^ n _iClim a n--limb n";注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况， 而不能推广到无限个数列 或不定个数的数列上去.1 1 c2 2 5 6 = 2n 5n -n n 解 lim 2limn------- -- n「n 3n 4 n「3 ]4 q n n 2( 1 1 )lim2 5 - -6 飞 n1 n n 2( 1 1 \ lim 13 4 2nn n 23利用数列的一些特征计算数列极限a nb nlimb n n/n _ac2n 25n - 6例题2求极限lim 2nTc n +3n +4分析由于n r "，，所以有-r 0， n数列极限四则运算法计算即可.4 > 0.于是给分子分母同时除以n 2，再利用 n4利用夹逼准则计算数列极限设 lim a n ，lim g 均存在，且 lim a “ 二 A,lim g 二 A ，若数列｛c n｝满足 a n_c n — b n，则有n ^^ n ^^ n _^c11 111111lim c n = A.n _j :注4利用夹逼准则求极限的关键是：将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，贝U 原数列的极限值存在且等于新数列的极限值 .111 1例题 4 计算数歹U 极限 lim —^=2+ / 2+ /2 = +，''十 』2 :f &n 2 +1 J n 2+2 J n 2+3 J n 2+n 丿分析 括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关 键是找到极限值相等的数列｛a n｝与｛b n｝，进而可以用夹逼准则来计算数列极限注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限 •方法只适用于些特殊的数列，不具有一般性.例题 f 1 1 13计算极限lim + ++' ■■+J X 2 2x3 3x41（n —1" n 』 f n 1 、 1分析 观察数列，可以看出数列极限为lim = —1—，通项a 」=―1—，由(i —1)如， (n — 1)x n- --，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限(n -1) n n -1 nlimn L :（n 一1）汉 n y-•丄2 2解5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a) 如果数列｛a n｝单调增加且有上界，即存在数M,使得a^M n = 1,2….那么lim a n* * n^ic存在且不大于M.(b) 如果数列｛a n｝单调递减且下界，即存在数m,使得a n_ m n =1,2…，那么lim a.存在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限人-2, x2 - • 2 • . 2 ,…,x n = 2 x n,求lim x n分析(1)通过观察可以看出x, ::：x2…x^即数列｛x n｝单调增加；(2)X1 ：：：2,X2「WE —W2 =2，…,X n 二-.2 •X n',厂2 =2,即数列｛x n｝有上界. 所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim = a，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim焉二a,V X n =逗:x 4所以给等式两边取极限得］叫& jm广2也，也即a二庞―a,解出a =2或a =T.又由于X n 0,所以取a =2.例题6设捲=丄,y i =1,X n =族川」,丄J 丄+丄,证明数列｛焉｝ , ｛ y .｝收敛, 2 y n 2Mn 」 y n 」丿 且有相同的极限•分析 因数列｛X n ｝与数列｛y n ｝之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利 用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等又：X n 二JX^i y nd j X n-i X n 」二X n" 数列仇｝单调递减，且有0 ：：：：：：为=1且有1二力”：y n ，于是1二力疳y 2疳…”：y n 疳x .：：：…：：：捲=1.2所以 数列｛X n ｝单调递减有下界，数列｛Y n ｝单调增加有上界; 由单调有界准则知两个数列的极限均存在设 lim x n = a,lim y n 二 b. n ^^ n ^c 于是有a= ab,^ - 1 1 , 求出a = b. b 2 (a b 丿 即两个数列有相等的极限.6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限:0,k clk亠k -1 I Ii..a°n +dn + …+ azn+ak a 。

Stolz定理（Stolz theorem）是数学分析中的一个重要定理，它是由奥地利数学家奥斯卡·斯托尔茨（Oskar Stolz）于1884年提出的。

该定理是关于极限的一个重要结果，它提供了一种计算极限的方法。

Stolz定理的表述如下：设有两个数列{a_n}和{b_n}，其中{b_n}是一个严格递增的正整数数列，且满足以下两个条件：
1. 当n趋向于正无穷时，有b_n→+∞；
2. 当n趋向于正无穷时，有a_n+1 - a_n / b_n+1 - b_n →L （其中L可以是实数或正负无穷）。

则有lim(n→∞) a_n / b_n = L。

简单来说，Stolz定理给出了一种计算形如a_n / b_n的极限的方法，只需要计算a_n+1 - a_n和b_n+1 - b_n的极限，就可以得到a_n / b_n的极限。

Stolz定理在数学分析中有广泛的应用，特别是在计算一些复杂的极限时非常有用。

它可以简化计算过程，使得极限的求解更加方便和快捷。

关于stolz定理的一个证明Stolz定理是一个数学理论，它可以用来证明函数在收敛时会有无穷多的零点。

Stolz定理被认为是微积分的基础，它的数学公式是：\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0Stolz定理证明方法简洁明了，但明白证明道理的基本步骤并非那么容易。

如果简单的阅读相关的数学文章而不去了解其中的基本概念，那么学习Stolz定理的过程会相当费时费力，甚至可能无法理解。

下面介绍Stolz定理的证明过程，帮助读者更加清楚地理解Stolz定理。

首先，推导Stolz定理需要假设函数f(x)在(a,∞)上是连续的，这意味着，不存在任何的实数c使得该区间上f(x)在c处取得极值。

证明用到的另一种假设是f(x)满足在区间[a,b]上的连续(即f在[a,b]上关于b可导)。

从上述假设中可知，当a<b时，即在[a,b]上有f(x)的导数存在。

因此，当x取得一系列取值，使f(x)在[a,b]上可导，其中x取值范围为[a,b]时，使f(x)关于x可导，令f'(x)表示关于x的导数。

手上有这样一系列取值，令y1=f(x)，其中x取值范围为[a,b]时，将函数分成n等分，令其中的等分点为y1,y2,…,ym，特别的，在m＝1的情况下，y1＝f(a)。

又因为f(x)关于x可导，令f’(xi)=(y(i+1)-y1)/(xi–x1),即i＝1,2,…,(m-1)，此时，当i＝1时，xi＝a。

假设f’(x)在[a,b]是连续的，又f(x)在[a,b]的连续性使得f’(x)是连续的，则可以把[a,b]划分为m段，其中1＝xi,2＝x2,…,m ＝xm，使得f’(xi)=f’(x(i+1))，即在第i段上使f’(xi)=f’(x(i+1))。

当上述任务完成以后，就可以发现每段分割的a,b之间都有一个f’(x)的零点存在，而在(a,b)上，零点个数无穷多，而在m取得足够大时，将函数f（x）等分为m段时，每一段之间皆可发现一个f’(x)的零点，从而达到存在无穷多的f’(x)的零点。

o'stolz定理关于O’ stolz定理，我们可以从一些物理学家、数学家、数学爱好者或科学迷那里得到一些关于它的猜测。

例如：在1913年，物理学家哈根曾经提出过这样一个定理：物体越重，它下落时获得的动能就越大；而物体的质量越大，速度就越小。

O’ stolz定理是说，与物体受力成正比的是重量与质量的乘积，这也符合牛顿第二定律的原理。

由此，我们也知道了许多质量巨大的人都拥有超高速度，但并不是每个超高速运动员都具有庞大的身躯和无穷的力气。

这也进一步说明了物体的重量跟它的速度没有必然的联系。

在这个基础上，又有人提出了另外一种说法，即物体的重量与它所具有的惯性质量的平方成正比。

因为，在相同的力作用下，如果物体的质量增大，它的惯性质量也会随之增加，而惯性质量大的物体，就能抵抗更大的力量。

O’ stolz定理的应用范围非常广泛，例如火箭，也是一种利用物体的重力来推进飞行器前进的装置，因为它可以克服地球引力。

在地面上向天空发射火箭时，使用的能源是燃料，燃料是油、煤或木头等。

燃烧时，油、煤或木头释放出热量，产生大量的气体。

气体在上升过程中，冲破火箭壳体，膨胀后再冲破气壳继续上升，从而产生反作用力，推动火箭前进。

这种现象就是反冲原理。

这种推进方式的名称叫做冲力火箭。

这种火箭的箭体内壁，涂有可爆炸性燃料。

一旦点燃，引起连锁反应，以巨大的推动力把载荷送上高空，进入预定轨道。

这种火箭已被用于通信卫星、气象卫星及导弹等各种科学试验。

其实，这种观点完全违背了O’ stolz定理的原理，是一种毫无意义的臆想。

虽然它们有时候可以保证某种推进器的前进速度远远超过发动机的工作效率，但是不可能推动物体的整体速度变快。

因为当物体在靠近地球表面的低层大气中运动时，它的摩擦阻力要大大超过物体所受到的重力，所以这种靠物体自身的动能来推进的火箭推进速度极慢，比自然界中的风、水流的速度都慢。

并且，火箭尾部的黑烟造成污染，影响人类的视线，给人们的生活带来危害。

stolz定理上极限【最新版】目录1.Stolz 定理的概述2.Stolz 定理的证明方法3.Stolz 定理的应用举例4.Stolz 定理的局限性正文【1.Stolz 定理的概述】Stolz 定理，又称为 Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家 Otto Stolz 和意大利数学家 Ernesto Cesàro 分别于 1922 年和 1890 年独立发现的。

它是一种求解数列极限的方法，尤其适用于求解形如“1/n”、“1/n^2”等形式的极限。

Stolz 定理以其简洁的表达形式和广泛的应用范围在数学领域中具有重要地位。

【2.Stolz 定理的证明方法】Stolz 定理的证明方法相对简单。

假设我们有一个数列{a_n}，它的极限是 L，即 lim(n→∞) a_n = L。

同时，我们还有一个与{a_n}相关的数列{b_n}，它的极限是 0，即 lim(n→∞) b_n = 0。

若数列{a_n+b_n}的极限也是 L，则数列{a_n}的极限也是 L。

【3.Stolz 定理的应用举例】Stolz 定理在求解数列极限时具有很好的应用价值。

例如，求解极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。

我们可以将这个极限转化为 Stolz 定理的形式。

令 a_n = (1+1/n)^n，b_n = 1/n，那么{a_n+b_n}就是(1+1/n+1/n)^n，其极限为e^n。

由于lim(n→∞) e^n = ∞，b_n = 1/n的极限为0，根据Stolz定理，我们可以得出lim(n→∞) (1+1/n)^n = ∞。

【4.Stolz 定理的局限性】虽然 Stolz 定理在求解数列极限时具有很好的应用价值，但它并非万能的。

它仅适用于具有特定形式的数列，如{a_n+b_n}的极限存在且为 L，{b_n}的极限为 0。

对于其他类型的数列，我们需要采用其他方法来求解极限，如洛必达法则、泰勒展开等。

Stolz 定理1． {}n y 是严格单调增加的正无穷大量，且1n 1lim n n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞) 则n lim n nx a y →∞= 证：(1) 考虑a = 0的情况 由1n 1lim 0n n n n x x y y -→∞--=-，有11,,(),n n n n x x N n n N y y εε---∀∃∀><- 即 11n n n n x x y y ε---<-则 1121n n n n n N N N x x x x x x x x ---+=-+-++-+1121n n n n N N N x x x x x x x ---+≤-+-++-+ 1121n n n n N N N y y y y y y x ε---+≤⎡-+-++-⎤+⎣⎦ n y 是严格单调增加的，因此1121N n n n n n N N n n nx x y y y y y y y y y ε---+-+-++-≤+ N n n N n n nx x y y y y y ε-≤+ N n n nx x y y ε≤+ n y 是正无穷大量22,(),Nn x N n n N y ε∃∀><取'2N max(,)1N N =+，'()n n N ∀>有2n n x y ε≤ 所以n lim 0n nx y →∞=(2) 当a 是非零有限数时，令'n n n x x ay =-，于是由''11n n 11lim lim 0n n n n n n n n x x x x a y y y y --→∞→∞----=-=-- 得到'n lim 0n nx y →∞=，从而'n n lim lim n n n n x x a a y y →∞→∞=+= (3) a =+∞的情况首先'11,(),n n n n N n n N x x y y --∃∀>->-说明{n x }也严格单调增加，且从n N n N x x y y ->-可知{n x }是正无穷大量 将前面的结论应用到n n y x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得到11lim lim 0n n n n n n n n y y y x x x -→∞→∞--==- 因而 n lim n nx y →∞=+∞ (4) 对于a =-∞的情况，证明方法类同2． {}n x ，{}n y 都是无穷小量，且{}n y 是严格单调减少数列，且1n 1lim n n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)，则n limn n x a y →∞= 证：(1) a 为有限量 因11n n 11lim lim n n n n n n n n x x x x a y y y y +-→∞→∞+---==--，所以 11,,(),22n n n n x x N n n N a a y y εεε++-∀∃∀>-<<+-，其中10n n y y +-> 111()()()()22n n n n n n a y y x x a y y εε+++--<-<+- 采用类似定理1的证明，可以得到 ()()()()22n n p n n p n n p a y y x x a y y εε+++--<-<+- 令p →+∞，且0n p x +→，0n p y +→()()22n n n a y x a y εε-<<+ 22n n x a a y εε-<<+ 所以n lim n nx a y →∞= (2) a =+∞的情况11n n 11lim lim n n n n n n n n x x x x y y y y +-→∞→∞+---==+∞-- 则110,,(),2n n n n x x A N n n N A y y ++-∀>∃∀>>- 类似上面的证明可以得到，2()n n p n n p x x A y y ++->-令p →+∞，且0n p x +→，0n p y +→2n n x Ay > 2n nx A A y ≥> 所以有n lim n n x y →∞=+∞ (3) 对于a =-∞的情况，证明方法类同注：以上证明详见 高等教育出版社--数学分析--陈纪修，於崇华，金路 清华大学出版社--数学分析--徐森林，薛春华。

Stolz定理的若干应用Stolz定理的若干应用XXXX(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)摘要极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法则，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．关键词Stolz定理；数列；函数；极限1 引言极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系．极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法．本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz 定理，并对Stolz 定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz 定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．本文先叙述有关Stolz 定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz 定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易．Stolz 定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形．2 序列形式的Stolz 定理 2.1 ∞∞型Stolz 公式定理2.1 (∞∞型Stolz 公式) 设{}n x 严格递增(即N ∈∀n 有1+<n n x x )，且 +∞=∞→n n x lim ．若a x x y y n n n n n =----∞→11lim ，则a x y nn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(a 为有限数的情况)因为{}n x 严格递增，所以N ∈∀n ，01>--n n x x ．记 a x x y y n n n n n ---=--11α． (1)按已知条件有0lim =∞→n n α，即0>∀ε，0>∃N ，当N n ≥时，有2εα<n ．由(1)得.)()()( ))(())(( ))(())(( ))((1111111211211N n n n n N N N N n n n N N N N n n n n n n n n n n n n x x a x x x x y x x a x x a y x x a x x a y x x a y y -+-++-+=-+++-++==-++-++=-++=-++-++-------ααααααα两边同时除以n x ，再同时减去a ，得 .2 2 111εεαα+-<-+-<-++-+-≤--++n N N n N n n N N nn n n N N N n N N n n x ax y x x x x ax y x x x x x x ax y a x y因为+∞=∞→n n x lim ，故N N >∃1，使得1N n >时有2ε<-n N N x ax y ． 于是εεε=+<-22a x y n n ．所以a x y nn n =∞→lim ． 2°(+∞=a 的情况) 因为+∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，所以对1=M ，0>∃N ，当N n >时，111>----n n n n x x y y ，即 N n >时，011>->---n n n n x x y y ． (2) 且有 0lim 11=----∞→n n n n n y y x x ． 所以当N n >时，{}n y 严格递增．(2)式中令k N N n ,,2,1 ++= ，然后相加，可得0>->-N k N k x x y y ．令∞→k ，知+∞→k y ，即+∞=∞→n n y lim ．于是 {}n y 严格递增，+∞=∞→n n y lim ，且0lim 11=----∞→n n n n n y y x x ．由1°的结论得0lim lim 11=--=--∞→∞→n n n n n n n n y y x x y x ，故+∞=∞→nn n x y lim ．3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中的情况．注 ∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，一般推不出∞=∞→n n n x y lim ．例如 {}{} , , ,3 ,2 ,1n x n =，{}{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0222=n y ． 这时虽然∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，但{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n x y 不趋向∞． 注 若a a n n =∞→lim ，在Stolz 定理中设n x n =，n n a a a y +++= 21．因为 a a x x y y n n n n n n n ==--+∞→+++∞→111lim lim ，所以a na a a n n =+++∞→ 21lim ．因而Stolz 定理是它的推广形式．2.2 00型Stolz 公式定理2.2 (00型Stolz 公式) 设∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．若a x x y y n n n n n =----∞→11lim ，则a x y nn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(a 为有限数的情况)因为∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．所以01>-+n n y y ，01>-+n n x x ． 按已知条件a x x y y n n n n n =----∞→11lim ，可知0>∀ε，0>∃N ,当N n >时，有 εε+<--<-++a x x y y a n n n n 11． 即 ))(())((111+++-+<-<--n n n n n n x x a y y x x a εε．可得 ))(())((p n n p n n p n n x x a y y x x a +++-+<-<--εε．令∞→p ，得 n n n x a y x a )()(εε+<<-，即ε<-a x y n n ． 所以a x y n n n =∞→lim ． 2°(+∞=a 的情况) 因已知+∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，所以对0>∀M ，0>∃N ，当N n >时，有M x x y y n n n n >--++11． 推得)(p n n p n n x x M y y ++->-．令∞→p ，得n n Mx y ≥，即M x y n n ≥ )(N n >．故+∞=∞→n n n x y lim ． 3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中+∞=a 的情况．注 Stolz 定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要．例如n x n n 1)1(4321--++-+-= ，2n y n =),3,2,1( =n ． 虽然11lim --+∞→--n n n n n y y x x 不存在，但是却有0lim =∞→nn n y x ．另外，定理2.1其名为∞∞型，其实只要求分母n x ↗∞+(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．定理2.2是名副其实的00型．因为定理要求分子、分母都以0为极限．因此，Stolz 定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具．2.3 序列形式的Stolz 定理应用Stolz 定理，对于求序列的极限十分有用．例1 应用Stolz 定理求极限： (1) 32222)12(531lim n n n +++++→∞ ；(2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++∞→34)12(531lim 32222n n n n ． 解 (1) 由Stolz 定理，得34)1()12(lim )12(531lim 33232222=--+=+++++∞→∞→n n n n n n n ． (2) 因为232223222234])12(31[334)12(531n n n n n n -++++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++ ， 所以，由Stolz 定理，得.n n n n n n n n n n 4)1(33])1([4)12(3lim 34])12(31[3lim 2233223222=-----+=-++++=∞→∞→ 原式 例2 设101<<x ，)1(1n n n x x x -=+),3,2,1( =n ．证明：1lim =∞→n n nx ．证 设{}α== ,2,1|inf n x n ，则0≥α．0>∀ε，+N ∈∃m ，使得εαα+<≤m x ．由于021<-=-+nn n x x x ，故{}n x 单调减．因此，当m n >时，有εαα+<<≤m n x x ， 可知α=∞→n n x lim ．令∞→n ，对递推公式取极限，得0=α．即{}n x 是单调减的无穷小量，利用Stolz 定理1111lim 1limlim 1=-==+∞→∞→∞→nn n n n n n x x x n nx ． 例3 设数列{}n a 收敛于a ，则当)1,0(∈q 时，有qaa q a q qa a n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 ． 证 由Stolz 定理，有.1111lim 1111)(lim 122100221 qa q q a q q a q a q a q a a q a q qa a n n n nn n n n n n n n n -=-=++++=++++-∞→--∞→ Stolz 定理，必要时可以重复使用．例4 设k n nk n C x ∑==0ln ，其中!)1()1(k k n n n C kn +--=，求2lim nx n n ∞→． 解 由于{}2n 单调增且发散于∞+，由Stolz 定理{}.21)111ln(21lim 2)1ln()1ln()2ln()1(lim Stolz 12ln )1ln(lim1211lnlim12ln ln lim )1(lim lim1111012212 n n n n n n n kn n n k n n n CCn n x x n x n n n nk n nk n nk k nn k kn n nn n n n =++=+-+-++=+-+=++-+=+-=-+-=+∞→∞→=∞→=∞→=+=+∞→+∞→∞→∑∑∑∑定理再用有时问题经过处理之后，方能应用Stolz 定理． 例5设0)(lim 1=--∞→n n n A A n ．试证：极限nA A A nn +++∞→ 21lim存在时，nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．证 因n A A A n A A A A A n n n n ++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= 2121，只须证明第一项趋于零． 为了利用0)(lim 1=--∞→n n n A A n ，特令11A a =，122A A a -=，…，1--=n n n A A a ，…，则知0lim =∞→n n na ，且11112211)()()(a a a A A A A A A A A n n n n n n n +++=+-++-+-=---- ．于是.01lim )1()1(lim )Stolz ( )1(2lim )()()(lim lim 32212112121 a n nn n a n na n a a n a a a a a a a a a n A A A A n n n n nn n n n n n n =⋅⋅-=---=-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→∞→∞→∞→∞→定理应用所以nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．例6 设∑==nk k n a A 1，当∞→n 时有极限；{}n p 为单调增的正数数列，且+∞→n p )(∞→n ．证明：0lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p ．证 设a A n →)(∞→n ．由于1--=k k k A A a ，所以.112321211122112211)()()()()( A p A p p A p p A p p A A p A A p A p a p a p a p n n n n n n n n nn +-++-+-=-++-+=+++---由Stolz 定理，得.0)(lim )()()(lim lim111112321212211 a p p A p p A p A p p A p p A p p p a p a p a p n n n n n n n n n n n n nnn n =+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+-=+++---∞→--∞→∞→ 例7 求2112132212122122122lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→--n n n n n ． 解 先取对数，再求极限．.122ln 2122ln 2122ln 21122ln 21122ln 21122ln 21ln 123221132221 x n n n n nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=-++-+-=------ 应用Stolz 定理，得21ln2121ln lim 22122ln 2lim ln lim 12112=-=--=-∞→----∞→∞→n n n n nn n n n n x ． 故21lim ==∞→n n x 原式． 例8 设数列{}n a ，{}n b 满足：n n n b a a +=+λ1，+N ∈n ，其中1<λ．证明：0lim 0lim =⇔=∞→∞→n n n n a b ．证 ""⇐显然成立．""⇒设0lim =∞→nn b ．若0=λ，显然有0lim =∞→nn a．若0≠λ，则10<<λ．+N ∈∀n ．, )( )(112211122111122231222112111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++++==+++=+++=++=++=+=---------------+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n b b b b a b b b b a b b b a b b b a b b a b b a b a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤+ 1 1 1 22111n n n n b b b a a λλλλ ． 令nn n b b b a z λλλ1112211++++= ，nn y λ1=．由10<<λ知，{}n y 是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz 定理得.b b y y z z y z b b b a n n n n n n n nn n n n n n n n n n n 01lim 111lim lim lim 1 1 1 lim 1111112211=-=-=--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→+++∞→++∞→∞→∞→λλλλλλλλ 所以0lim 1=+∞→n n a ，即0lim =∞→n n a ．例9 设p 为自然数，求下列各极限：(1) 1321lim ++∞→++++p pp p n n n ；(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++∞→121lim p n n n p p p n ； (3) 1)12(31lim ++∞→-+++p pp n n n ；(4) lim 2n n an ∞→)1(>a ．解 (1) 设∑==nk p n k x 1，1+=p n n y ．因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 1111!2)1()1(1111!2)1()1(1)1()1(111111 n p nn p p p n n p n p p n p pn pn n n n n y y x x ppp p p p p p pn n n n ∞→+→++⋅++++++=+++++++++=-++=----++++ 于是，由Stolz 定理得11lim 21lim lim 111+=--=+++=+++∞→+∞→∞→p y y x x n n y x nn n n n p p p n n n n ． (2) 因为pp p p p p p n p n n p p n n n )1(]21)[1(1211+-++++=+-++++ ， 现设1]21)[1(+-++++=p p p n n n p x ，p n n p y )1(+=． 因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 2111!2)1()1(1)1()1(!31!212)1(1!2)1()1()1()1(!31!212)1(]1!2)1()[1(]1!2)1()1[(]1!2)1()[1(]1!2)1()[1(])1)[(1(])1[()1)(1(11212121121211111 n n n p p p p n pn p p p p p n p p pn p p n p p p n p p n p p pn p n p p n p n p p pn p n p p pn n p n n p n n n p y y x x p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n n n n ∞→→++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⋅-++++-+⎪⎭⎫⎝⎛-++=++-+++++++-++-++++-+++=-++-+-++=---------------++++故由Stolz 定理得：当p 为自然数时21lim 121lim 11=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++∞→∞→n n n n n p p p n y y x x p n n n ． (3) 设p p n n x )12(31-+++= ，1+=p n n y ．则{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为.)( 1211!2)1()1(11221)1(!2)1()1(1)2()2()2()1()12(1111111 n p nn p p p n n p n p n p p n p n p n p n n n n y y x x p ppp p p p p p p p pn n n n ∞→+→+++++++=++++++++++=-++=-----++++ 所以，由Stolz 定理12lim )12(31lim 111+=--=-+++++∞→+∞→p y y x x nn pn n n n n p p p n ． (4) 设2n x n =，n n a y =．则由1>a 知，{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为n n n n n n a n a a a n y y x x 1211)1(1211+⋅-=-+=--++，所以n n n n n n n an a y y x x 12lim 11lim 11+-=--∞→++∞→． 注意na n 12+仍为∞∞型)(∞→n ，且满足Stolz 定理条件 0)1(2lim )12(1)1(2lim 12lim1=-=-+-++=+∞→+∞→∞→a a a a n n a n n n nn n n n ．可知0lim 11=--++∞→nn n n n y y x x ．故0lim lim 112=--=++∞→∞→n n n n n n n y y x x a n ．3 函数形式的Stolz 定理为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz 定理的基础上，给出了Stloz 定理的推广定理，并对定理进行了证明．3.1 ∞∞型Stolz 公式定理3.1 (∞∞型) 若0>T 为常数， (ⅰ) )()(x g T x g >+)(a x ≥∀；(ⅱ) +∞→)(x g (当+∞→x 时)，且f ，g 在),[+∞a 内闭有界(即指：a b >∀，f ，g 在],[b a 上有界)；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．则l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)按已知条件+∞→)(x g (当+∞→x 时)，及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim知0>∀ε，0>∃A ，当A n ≥时有0)(>x g ，2)()()()(ε<--+-+l x g T x g x f T x f ． (1)记 l T n x g nT x g T n x f nT x f n --+-+-+-+=))1(()())1(()(α． (2)则.)]()([)])1(()([ )]()2([)())]()1(()([ ))](2()3([ ))](()2([)())]()1(()([ ))]()2(())1(([))2(())]()1(()([))1(()(2321 T x g nT x g l T n x g nT x g T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T x g T x g l T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T n x g T n x g T n x f l T n x g nT x g T n x f nT x f n n n n n +-++-+-++++-+++=+-+-+++++-++++-+++==+-+-+++-+--++-+=+-+-++-+=+-αααααααα在除以)(nT x g +，减去l ，得{}.))1(()( )()2( )(1)()()()()(2T n x g nT x g T x g T x g nT x g nT x g nT x g l T x f l nT x g nT x f n -+-++++-+⨯++++⋅-+≤-++αα由(1)式知 2εα<k ),,2,1(n k =，因为)()(x g T x g >+)(a x ≥∀，.2)()()( )()()(2)()()( nT x g T x g l T x f nT x g T x g nT x g nT x g T x g l T x f εε+++⋅-+≤++-++++⋅-+≤上式右端按条件，)()(T x g l T x f +⋅-+在],[T A A +上有界，即0>∃M ，使得M T x g l T x f ≤+⋅-+)()(．于是2)(ε++≤nT x g M 上式右端．但+∞→)(x g (当+∞→x 时)，故0>∃N ，当N n >时有2)(ε<+nT x g M ．所以εεε=+≤-++22)()(l nT x g nT x f ．(3) 故NT A y +>∀，总N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=． 从而由(3)式知ε<-l y g y f )()(． 即l y g y f x =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=+∞→)(lim x g n 及+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，故0>∀M ，a A >∃，当A x >时，0)(>x g ，M x g T x g x f T x f 2)()()()(>-+-+．从而N ∈∀n ，有M T n x g nT x g T n x f nT x f 2))1(()())1(()(>---+---+．由此.)]()([2)()])1(()([2 )]()([2)()])1(()([2 )])2(())1(([2))2(()])1(()([2))1(()( x g nT x g M x f T n x g nT x g M x g T x g M x f T n x g nT x g M T n x g T n x g M T n x f T n x g nT x g M T n x f nT x f -++=-+-+++-++>>-+-++-+--++-+>-+-++-+>+两边同时除以)(nT x g +，得)()(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++．注意到)(2)(x Mg x f -在],[T A A +上有界，而∞→+)(nT x g ，所以0>∃N ，N n >时，M nT x g x Mg x f ->+-)()(2)(．于是M M M nT x g nT x f =->++2)()(．因NT A y +>∀，N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．故M nT x g nT x f y g y f >++=)()()()(． 即+∞=+∞→)()(limy g y f x ． 3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.2 00型Stolz 公式定理3.2 (00型) 设T>0，且(ⅰ) )()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀； (ⅱ) 0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．则l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)因为)()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀．所以0)()(>+-T x g x g ．按已知条件l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim，可知0>∀ε，a X ≥∃，当X x >时，有)]()()[()()()]()()[(T x g x g l T x f x f T x g x g l +-+<+-<+--εε．对N ∈∀n ，由此可得)]()()[()()()]()()[(nT x g x g l nT x f x f nT x g x g l +-+<+-<+--εε．因为0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ，令∞→n ，得)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-．即ε<-l x g x f )()(．故l x g x f n =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，所以0>∀M ，a X ≥∃，当X x >时，M x g T x g x f T x f >-+-+)()()()(．推得)]()([)()(nT x g x g M nT x f x f +->+-．令∞→n ，得)()(x Mg x f ≥，即M x g x f ≥)()(．故+∞=∞→)()(lim x g x f n ．3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.3 函数形式的Stolz 定理应用有些问题应用上述定理可变得十分容易．如例1 (Cauchy 定理) 若f 在),(+∞a 内有定义，且内闭有界(即),(],[+∞⊂∀a βα，f 在],[βα上有界)，则 (1) )]()1([lim )(lim x f x f xx f x x -+=+∞→+∞→； (2) )()1(lim )]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→ )0)((>≥c x f ， 当右边极限存在时成立．证 (1) 令x x g =)(，则)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ． 又)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当)()1()()1(lim )1()()1(lim )]()1([lim x g x g x f x f x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=-++∞→+∞→+∞→存在时，可知 )()(lim )(lim x g x f x x f x x +∞→+∞→=存在，且有 )]()1([lim )(lim x f x f xx f x x -+=+∞→+∞→． (2) 已知0)(>≥c x f ，令)(ln )(x f x F =，x x g =)(，则)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ． 由于)(x f 在),(+∞a 上内闭有界，则)(x F 在),(+∞a 上也内闭有界．又)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当存在)()1(lim x f x f x ++∞→，从而也存在)()1()()1(lim )1()(ln )1(ln lim )()1(ln lim x g x g x F x F x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=++∞→+∞→+∞→时，可知 )()1(lim )(ln lim )]([lim 1x g x F x x f x f x x xx +==+∞→+∞→+∞→存在，且有 )()1(lim )]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→． 例2 设f 在),[+∞a 上有定义，内闭有界，l xx f x f n x =-++∞→)()1(lim (l =有限数，∞+或∞-)．则1)(lim1+=++∞→n l x x f n x ． 证.11121)1()1()()1(lim 121)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim 1111 n l x x n n n x x f x f x n n x n x f x f x x x f x f x x f n n x n n x n n x n x +=++⋅+++-+=++⋅+++-+=-+-+=+∞→-+∞→+++∞→++∞→(l 为∞+，∞-也成立)．例3 设函数)(x f 和)(x g 在区间),(+∞a 上满足(1) +∞=+∞→)(lim x g n ； (2) )(x f 、)(x g 可导，且0)('≠x g ； (3) l x g x f n =+∞→)(')('lim ． 则l x g x f x g x f n n ==+∞→+∞→)(')('lim )()(lim ． 证 由条件(2)可知，0)('>x g ，),(+∞∈a x ．以下验证)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上满足定理3.1(∞∞型)的条件(取1=T )． 1) 由条件(2)，利用Lagrange 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有0)(')()1(>=-+εg x g x g ，),()1,(+∞⊂+∈a x x ε，即)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x 成立． 而由条件(1)，已成立+∞=+∞→)(lim x g n ． 2) 由条件(2)知，)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上连续，从而内闭有界．3) 由条件(2)和(3)，利用Cauchy 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有)(')(')()1()()1(ξξg f x g x g x f x f =-+-+，),()1,(+∞⊂+∈a x x ξ成立． 从而有l g f x g x g x f x f n n ==-+-++∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(lim ξξ． 由定理3.1(∞∞型)，得证在上述条件下成立 l x g x f x g x g x f x f x g x f n n n ==-+-+=+∞→+∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(lim )()(lim ．结 论Stolz 定理与L’Hospital 法则是数学分析中处理“∞∞”型和“00”型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形．Stolz 定理实质上是已知数列{}n y 与正无穷大数列{}n x 的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得n n x y 的极限．这与求函数极限时，已知)(')('x g x f 的极限来求)()(x g x f 的极限(∞∞型)的情形(L’Hospita l 法则)有相似之处． Stolz 定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件．在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz 定理可连续使用．对于可导函数来说“∞∞”型和“00”型可以互相转化，L’Hospita l 法则是求待定式极限的一个有力工具，但是对非导函数而言，求待定式极限的值比较复杂．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理还可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易，此定理为推广求非导函数的待定式的极限提供一种非常有效的方法．因此，Stolz 定理是求解证明数列和函数极限存在性的重要定理．讨论Stolz 定理在求解数列和函数极限问题中的应用是一件很有意义的工作，我们应掌握并灵活运用Stolz 定理．致谢在本次毕业论文的撰写过程中xxx老师给予了我极大的帮助和支持．在此，我谨对xxx老师的细心指导和帮助表示由衷的感谢!参考文献1 江泽坚，吴智泉，周光亚．数学分析．北京：人民教育出版社，19782 常庚哲，史济怀．数学分析教程．南京：江苏教育出版社，19983 华东师范大学数学系．数学分析．北京：高等教育出版社，19864 孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法．长沙：湖南科学技术出版社，19815 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，20026 刘泽庆．数学分析的典型方法与例题选讲．大连：大连海事大学出版社，19977 李惜雯．数学分析例题分析及难点注释(上册)．西安：西安交通大学出版社，20048 赵显曾，黄安才．数学分析中的方法与题解．西安：陕西师范大学出版社，20059 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析学习指导书(上册)．北京：高等教育出版社，200410 李成章，黄玉民．数学分析上册(第二版)．北京：科学出版社，200411 李克典，马云苓．数学分析选讲．夏门：夏门大学出版社，2006附录A 外文参考文献（译文）函数的极限4.1 定义 令X 和Y 是度量空间，假设X E ⊂，f 将E 映入Y 内．且p 是E 的极限点．凡是我们写当p x →是q x f →)(，或q x f px =→)(lim (1) 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个0>ε，存在着0>δ，使得 ε<)),((q x f d Y (2) 对于满足δ<<),(0p x d X (3) 的一切E x ∈成立．记号X d 和Y d 分别表示X 和Y 中的距离．如果X 和(或)Y 换成实直线，复平面或某一欧氏空间k R ，那么，距离X d 和Y d 自然该换成绝对值或相应的范数．应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求p 是E 的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f px →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令X ，Y ，E ，f 和p 是定义4.1说的那些，那么q x f px =→)(lim (4) 当且仅当q p f n x =∞→)(lim(5)对于E 中合于p p n ≠，p p n x =∞→lim (6) 的每个序列{}n p 成立．证 假定(4)成立，取E 中满足(6)的{}n p ．给定了0>ε，那么就有0>δ，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有N 使得当N n >时，δ<<),(0p p d n X ．这样，对于N n >，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了(5)成立．反过来，假定(4)不成立．这时便有某个0>ε，使得对于每个0>δ，都有点E x ∈(依赖于δ)，对这个x 来说，ε≥)),((q p f d n Y 但δ<<),(0p x d X ．取n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n 我们就在E 中找到一个满足(6)，但使(5)式不成立的序列．推论 如果f 在p 有极限，那么这极限是唯一的．这可以由定理3.2(b)及定理4.2推出来．4.3 定义 设有定义在E 上的两个复数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给E 的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f ，约定商只定义在E 的那些使0)(≠x g 的点x 上．如果f 给E 的每点x 配置同一个数c ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每一个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥．类似地，如果f 和g 把E 映入k R 内，便用)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅来定义g f +及fg ；再若λ是实数，便定义)(f ))(f (x x λλ=．4.4 定理 假设X E ⊂，X 是度量空间，p 是E 的极限点，f 与g 是E 上的复函数，而且A x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ． 那么(a) B A x g f px +=+→))((lim ， (b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，假定0≠B ． 证 依照定义4.3，这些论断可以从序列的类似性质(定理3.3)直接推出来． 评注 如果如果f 与g 将E 映入k R 内，那么(a)仍然成立，而(b)就要变为(b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (参看定理3.4．)为了使我们能在广义实数系中作运算，我们用领域的说法把定义4.1重述一遍，借以扩大它的范围．对于任一实数x ，我们已经定义了x 的领域就是任一开区间),(δδ+-x x ．4.5 定义 对于任一实数c ，合于c x >的实数x 的集叫做∞+的一个领域，记作),(+∞c ．类似地，集),(c -∞是∞-的一个领域．4.6 定义 设f 是定义在E 上的实函数，A 与x 在广义实数系中．如果对于A 的每个领域U 存在着x 的一个领域V ，使得E V 不空，并且对一切E V t ∈，x t ≠，有U t f ∈)(．我们说当x t →时 A x f →)(稍一考虑即可看出，当A 和x 是实数时，这与定义4.1是一致的．同定理4.4类似的定理仍然成立．它的证明并没有什么新的东西．为了完备起见，我们把它叙述出来．4.7 定理 设f 与g 定义在E 上，假定当x t →时A t f →)(，B t g →)(；那么(a) ')(A t f →则有A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((只要(b)，(c)，(d)的右端有定义．注意∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A 是没有定义的．附录B 外文参考文献（原文）Limits oF Functions4.1 Definition Let X and Y be metric spaces ；suppose X E ⊂，f maps E into Y ，and p is limit point of E ．We write q x f →)( as p x →，or q x f px =→)(lim (1)if there is a point Y q ∈ with the following property ：For every 0>ε there exists a 0>δ such thatε<)),((q x f d Y (2) for all points E x ∈ for whichδ<<),(0p x d X ． (3) The symbols X d and Y d refer to the distances in X and Y ，respectively ．If X and/or Y are replaced by the real line ，the complex plane ，or by someeuclidean space k R ，the distances X d ，Y d are of course replaced by absolute values ，or by norms of differences ．It should be noted that X p ∈，but that p need not be a point of E in the above definition ．Moreover ，even if E p ∈，we may very well have )(lim )(x f p f px →≠． We can recast this definition in terms of limits of sequences ：4.2 Theorem Let X ，Y ，E ，f ，and p be as in Definition 4.1．Then q x f px =→)(lim (4)if and only ifq p f n x =∞→)(lim(5)for every sequence {}n p in E such thatp p n ≠，p p n x =∞→lim ． (6) Proof Suppose (4) holds ．Choose {}n p in E satisfying (6)．Let 0>ε be given ．Then there exists 0>δ such thatε<)),((q x f d Y if E x ∈ and δ<<),(0p x d X ．Also ，there exists N such that N n > impliesδ<<),(0p p d n X ．Thus ，for N n >，we have ε<)),((q p f d n Y ，whice show that (5) holds ．Conversely ，suppose (4) is false ．Then there exists some 0>ε such that for every 0>δ there exists a point E x ∈(depending on δ)，for which ε≥)),((q p f d n Y but δ<<),(0p x d X ．Taking n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n ，we thus find a sequence in E satisfying (6) for which (5) is false ．Corollary if f has a limit at p ，this limit is unique ．This follows from Theorems 3.2(b) and 4.2．4.3 Definition Suppose we have two complex functions ，f and g ，bothdefined onE ．By g f + we mean the the function which assigns to each point x of E the number )()(x g x f +．Similary we define the difference g f -，the product fg ，and the quotient g f of the two functions ，with the understanding that the quotient is defined only at those points x of E at which 0)(≠x g ．If f assigns to each point x of E the same number c ，then f is said to be a constant function ，or simply a constant ，and we write c f =．If f and g are real function ，and if )()(x g x f ≥ forevery E x ∈，we shall sometimes write g f ≥，for brevity ．Similarly ，if f and g map E into k R ，we define g f + and fg by)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅；And if λ is a real number ，)(f ))(f (x x λλ=．4.4 Theorem Suppose X E ⊂，a metric space ，p is a limit point of E ，f and g are complex functions on E ，andA x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ． Then(a) B A x g f px +=+→))((lim ， (b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，if 0≠B ． Proof In view of Theorem 4.3，these assertions follow immediately from the analogous properties of sequences (Theorem 3.3)．Remark If f and g map E into k R ，then (a) remains true ，and (b) becomes (b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (Compare Theorem 3.4．)To enable us operate in the extended real number system ，we shall now enlarge the scope of Definition 4.1，by reformulating it in terms of neighborhoods ．For any real number x ，we have already defined a neighborhood of x to be any segment ),(δδ+-x x ．4.5 Definition For any real c ，the set of real numbers x such that c x > is called a neighborhood of ∞+ and is written ),(+∞c ．Similarly ，the set ),(c -∞ is a neighborhood of ∞-．4.6 Definition Let f be a real function defined on R E ⊂．We say thatA x f →)( as x t →，where A and x are in the extended real number system ，if for every neighborhood U of A there is neighborhood V of x such that E V is not empty ，and such that U t f ∈)( for all E V t ∈，x t ≠．A moment’s consideration will show that this coincides with Definition 4.1 when A and x are real ．The analogue of Theorem 4.4 is still true ，and the proof offers nothing new ．We state it ，for the sake of completeness ．4.7 Theorem Let f and g be defined on R E ⊂．SupposeA t f →)(，B t g →)( as x t →．Then(a) ')(A t f → implies A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((，provided the right members of (b)，(c)，and (d) are defined ．Note that ∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A are not defined ．。

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。

极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。

极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。

极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。

函数的极限等等。

本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限及函数极限在求解方法上的区别及联系，以做到能够举一反三，触类旁通。

1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。

数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。

1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。

若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作或)(,∞→∞→n a n 读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要，便有即当n ε9>时，（2）试成立。

又因为（1）式是在3≥n 的条件下也成立，故应取在利用数列的N -ε定义时，应意识到下几点1.ε的任意性 定义中的正数ε的作用在于衡量数列通项{}n a 及定数a 的接近程度，ε越小，表示接近的愈好；而正数ε可以任意的小，说明{}n a 及a 可以接近到任何程度。