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这里将列举 12 个基本初等函数的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之计算。
函数原函数导函数
常函数
（即常
（为常数）
数）
幂函数
指数函
数
对数函
数
（且，）
正弦函
数
余弦函
数
正切函
数
余切函
数
反正弦
函数
反余弦
函数
反正切
函数
反余切
函数
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（ e 为底时直接倒数， a 为底时乘以 1/lna ），指
不变（特其余，自然对数的指数函数圆满不变，一般的指数函数须乘以 lna ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式。
基本初等函数的导数公式推导过程初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
下面我们将推导这些函数的导数公式。
1.常数函数的导数：设f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
因为常数函数是一条平行于x轴的直线，斜率为0。
2.幂函数的导数：设f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
为了推导导数公式，我们可以使用导数的定义：f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h)-f(x))/h]。
对于幂函数，我们可以利用二项式定理展开f(x+h)：f(x+h) =(x+h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并且只有第二项包含h。
因此，(f(x+h)-f(x))/h = (nx^(n-1)h + ... + h^n) / h = nx^(n-1) + ... + h^(n-1)。
当h趋近于0时，除了第一项nx^(n-1)其余所有的项都会变为0，所以f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：设f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x) = a^x * ln(a)。
要推导指数函数的导数公式，可以采用自然对数的定义：ln(x) =∫[1,x] (1/t) dt。
首先将指数函数写为幂函数的形式：f(x) = exp(x*ln(a))，其中exp(x)表示e的x次方。
然后使用复合函数的求导法则，即f'(x) =(d/exp(x*ln(a)))/(dx*ln(x))。
再对(exp(x*ln(a)))的导数应用链式法则，得到f'(x) = ln(a) * a^(x*ln(a)) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的导数：设f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
