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《组合数学》教案1章讲解组合数学教案第一章讲解一、教学目标：1.了解组合数学的基本概念和方法2.掌握排列和组合的计算方法3.学会应用排列和组合解决问题二、教学重点：1.排列和组合的基本概念2.排列和组合的计算方法三、教学难点：1.排列和组合的应用问题的解决四、教学准备：1.教材《组合数学》2.课件3.黑板、粉笔五、教学过程：1.导入通过举例引入排列和组合的概念，引发学生对组合数学的兴趣。
例如：小明有5本不同的书，他想从这些书中选出三本看。
那么他有多少种不同的选择方法？2.引入通过引入数学公式引出排列和组合的计算方法以及其应用。
首先引入乘法原理，介绍排列的概念和计算方法。
然后引入除法原理，介绍组合的概念和计算方法。
3.排列的概念和计算方法从实际问题中引出排列的概念，如小红有4个不同的糖果，她想把这些糖果排成一排，一共有多少种不同的排列方法？然后介绍排列的计算方法，如何计算排列的种数。
4.组合的概念和计算方法从实际问题中引出组合的概念，如小明有8个不同的苹果，他想从中选出3个苹果吃，一共有多少种不同的选择方法？然后介绍组合的计算方法，如何计算组合的种数。
5.排列和组合的应用问题解决通过实际问题的解决引出排列和组合的应用。
如有5个不同的音乐家，要从中选出3人组成一支乐队，一共有多少种不同的组合方法？然后引出组合计数原理，帮助学生解决应用问题。
6.练习和总结让学生通过练习巩固排列和组合的计算方法，解决应用问题。
然后总结排列和组合的基本概念和计算方法。
七、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了组合数学的基本概念和计算方法，掌握了排列和组合的计算方法，并学会应用排列和组合解决问题。
八、作业布置布置相关习题作业，巩固所学知识。
九、课后拓展鼓励学生自学相关拓展内容，如组合数学的其他应用等。
以上是《组合数学》第一章的教案讲解，通过本节课的学习，相信学生能够掌握排列和组合的基本概念和计算方法，并能够应用排列和组合解决问题。
初中数学知识归纳解组合数的问题组合数是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将对初中阶段学习的数学知识进行归纳总结，重点解析组合数的相关问题。
一、组合数的定义与性质组合数是从n个不同元素中取出m个元素（不考虑元素的顺序）所组成的集合的个数，通常用C(n,m)或者(n, m)表示。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 3 × 2 × 1。
组合数的性质有：1. C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个元素或者取出n个元素的组合数都等于1。
2. C(n,1) = C(n,n-1) = n，即从n个元素中取出1个元素或者取出n-1个元素的组合数都等于n。
3. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数与取出n-m个元素的组合数相等。
二、组合数的计算方法1. 利用组合数的计算公式直接计算。
例如，计算C(5,2)的值，按照组合数的计算公式，可以得到：C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5×4×3×2×1) / ((2×1)×(3×2×1)) = 10。
2. 利用递推关系进行计算。
根据组合数的递推关系，可以通过前一行组合数的值计算出下一行的组合数。
具体方法是，利用C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)的递推关系，逐次计算出所需要的组合数。
例如，计算C(5,3)的值，可以通过如下计算过程得到：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2) = (C(3,3) + C(3,2)) + (C(3,2) + C(3,1)) = 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 10。
作业11.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？2.构造一个6阶幻方。
3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。
往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。
确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。
获胜的策略是什么？作业21．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
2．一个学生有37天用来准备考试。
根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。
4．有一个100人的聚会。
每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。
证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。
5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。
(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）(2)顺牌（5张点数相连的牌）(3)同花（5张一样花色的牌）(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）(5)恰好两个对(6)恰好一个对6．15人围坐一个圆桌。
如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
第1章32 *第2章4, 16, 20 *第3章4, 5, 26 *第4章8, 15, 23, 33 *第5章可选: 27, 28第6章3, 5, 17, 25 *第7章6, 11, 21, 24, 38 *第8章第9章11, 12, 15, 16第10章12, 17, 43, 46 *第14章15, 20, 26, 32 *第一章1.32．证明：在具有奇数枚硬币且堆的数目是奇数的Nim取子游戏中，游戏人I总能够取胜。
注：原版题目为证明若在一个Nim取子游戏中，有奇数枚硬币的堆的数目是奇数，则游戏人I总能够取胜。
证明：设共有k堆硬币，且每堆中硬币的个数分别为n1, n2,…, n k, 令a1, a2,…, a k分别表示n1, n2,…, n k的二进制表示的最低位。
则a i=1当且仅当n i为奇数。
由于有奇数个a i等于1，所以最低位是非平衡的。
因此这是一个非平衡的Nim取子游戏。
所以游戏人I总能够取胜。
第二章2.4、证明：如果从{1，2，……，2n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，它们之间的差为1。
证明一：设取到n+1个数a1 < a2 < … < a n+1. 若没有两个数的差为1，则对于任意1≤ i ≤ n，a i+1－a i ≥ 2. 于是a n+1 ≥ 2n + a1 ≥ 2n+1，矛盾。
证明二：将{1,2,…,2n}分成n组数：{1,2}, {3,4}, …, {2n-1,2n}. 由鸽巢原理，取出的n+1个数必有两个属于同一组。
2.16、证明，在一群n>1个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人和他/她自己是熟人）。
证明：n个人中，每人认识的人数是0～n-1，但是若有一人A与0个人互相认识，则其它所有人至少与A不互相认识，所以不可能有人与n-1个人互相认识。
即n个人认识的人数中不可能同时有0和n-1. n个人认识的人数只有n-1种值，所以存在两人在这群人种有相同数目的熟人。
作业11.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？2.构造一个6阶幻方。
3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。
往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。
确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。
获胜的策略是什么？作业21．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
2．一个学生有37天用来准备考试。
根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。
4．有一个100人的聚会。
每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。
证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。
5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。
(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）(2)顺牌（5张点数相连的牌）(3)同花（5张一样花色的牌）(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）(5)恰好两个对(6)恰好一个对6．15人围坐一个圆桌。
如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
