组合数学作业

学前数学简单组合练习题一、分类组合题1. 从一盒中有红、黄、蓝三种颜色的糖果共10个，若每个颜色的糖果至少有一个，问有多少种可能的组合？解：首先，根据题目要求每个颜色的糖果至少有一个，可以得出以下条件：红色糖果的数量：1 ≤ 红色糖果≤ 9黄色糖果的数量：1 ≤ 黄色糖果≤ 9蓝色糖果的数量：1 ≤ 蓝色糖果≤ 9接下来，我们可以通过列举所有可能的组合来计算：红黄蓝1 1 81 2 71 3 61 4 52 1 72 2 62 3 53 1 63 2 54 1 5共计有10种可能的组合。

2. 有4个不同的字母A、B、C、D，请问由这4个字母组成的不同三位数有多少个？解：由题意可知，每个位置都可以选择ABCD四个字母中的一个。

那么，我们可以分别计算每个位置的可能性，然后将结果相乘。

个位上的字母有4种选择（A、B、C、D）十位上的字母有4种选择（A、B、C、D）百位上的字母有4种选择（A、B、C、D）因此，总共有4 × 4 × 4 = 64种不同的三位数。

二、排列组合题1. 从1、2、3、4、5这5个数字中任选3个数字，可以组成多少个不同的三位数？解：首先，根据题目要求任选3个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：3个可选的数字：1、2、3、4、5接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有5 × 4 × 3 = 60个不同的三位数。

2. 从1、2、3、4、5、6这6个数字中任选4个数字，可以组成多少个不同的四位数？解：首先，根据题目要求任选4个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：4个可选的数字：1、2、3、4、5、6接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用6个数字中的其中一个数字作为千位数：6种选择使用剩下的5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有6 × 5 × 4 × 3 = 360个不同的四位数。

小学生数学组合练习题小学生数学是一门基础学科，对学生的思维发展和逻辑思维能力的培养具有重要意义。

组合数学是其中一部分，通过训练组合数学可以帮助学生提高逻辑思维和问题解决能力。

下面是一些小学生数学组合练习题，帮助孩子们巩固和拓展他们的组合数学知识。

1. 某班有5位男生和4位女生，请问从这9位同学中选择一位代表参加班级活动的是几种可能性？解析：根据组合数学的知识，我们可以得知从9个人中选择一位代表可以看作是从9个人中选1个人，即C(9,1)。

代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(9,1) = 9!/(1!(9-1)!)=9。

2. 某班的学生参加比赛，共有12人参赛。

请问从这12个人中选择3个人获得前3名，一共有几种可能性？解析：这是一个从12个人中选3个人的问题，即C(12,3)。

代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(12,3) = 12!/(3!(12-3)!)=220。

3. 一只口袋里有红球5个，蓝球3个，黄球2个。

如果从口袋中随机取出3个球，求以下情况的可能性：a) 取出的3个球全部为红球；b) 取出的3个球中至少有一个蓝球；c) 取出的3个球中恰好有一个黄球。

解析：a) 从5个红球中选3个红球的可能性为C(5,3) = 5!/(3!(5-3)!) = 10；b) 取出的球中至少有一个蓝球的情况为：取1个蓝球+2个非蓝球，或者取2个蓝球+1个非蓝球。

即C(3,1) * C(7,2) + C(3,2) * C(7,1) =3*21 + 3*7 = 84；c) 取出的球中恰好有一个黄球的情况为C(2,1) * C(8,2) = 2*28 = 56。

4. 九宫格填数问题：将数字1-9填入九宫格中，要求每行和每列的数字之和均为15。

请问一共有几种可能性？解析：这是一个排列组合问题。

将数字1-9分别填入九宫格的9个位置，可以看作是从9个数字中选择9个数字放入九宫格。

组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。

证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。

根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。

例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。

证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。

1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。

证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。

由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。

2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。

由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。

当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。

∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。

∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。

∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。

4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。

77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。

即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。

解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为r i。

∴0≤r i≤n-1如果存在i ，使得r i=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。

小学数学排列组合练习题简单在小学数学中，排列组合是一个重要的概念。

排列是指选取一定数量的元素进行排序的方式，而组合则是从一组元素中选择一部分元素的不同方式。

本文将为你提供一些简单的排列组合练习题，以帮助你更好地理解和掌握这个概念。

1. 排列练习题：1) 有5个小朋友排成一排，请问有多少种不同的排列方式？2) 有6本不同的数学书和4本不同的英语书，现在要将它们按照顺序放在一排书架上，请问共有多少种不同的放法？3) 有7只色彩不同的球，现在要排成一列，请问有多少种不同的排列方式？2. 组合练习题：1) 有8个小朋友，现在要从中选出3个小朋友组成一个小组，请问共有多少种不同的选法？2) 有10本书，其中4本是数学书，6本是英语书，现在要从中选出2本书，请问共有多少种不同的选法？3) 有5只红球和4只蓝球，现在要从中选出3只球，请问共有多少种不同的选法？3. 排列组合综合练习题：1) 有6个不同的字母A、B、C、D、E、F，请问可以组成多少个长度为4的不同排列？（注：每个字母只能使用一次）2) 有4个不同的数字1、2、3、4，请问可以组成多少个长度为3的不同排列？（注：每个数字只能使用一次）3) 有5个不同的颜色的球，请问可以从中选出多少种不同的组合？4) 有7个孩子抽奖，其中3个孩子抽中了一等奖，2个孩子抽中了二等奖，剩下2个孩子没有抽中奖，请问一等奖和二等奖的孩子分别有多少种不同的排列方式？排列组合是数学中的重要概念，通过练习题的方式可以帮助孩子们更好地理解这个概念。

希望以上的练习题能够对小学生们的数学学习和思维发展有所帮助。

通过这些简单而有趣的排列组合练习题，希望能够激发孩子们对数学的兴趣，提高他们的逻辑思维能力，让他们在解决问题的过程中得到成长和进步。

通过不断的练习和实践，孩子们可以逐渐掌握排列组合的概念和方法，并能够灵活运用到实际问题中。

这不仅有助于他们的数学学习，还可以培养他们的创造力和解决问题的能力。

组合数学大作业1. 用母函数法解决下面的问题。

从n 双互相不同的鞋中取出r 只（），要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？解：S={2×e1，2×e2，……，2×en}，同类两个ei 不同，故其r 重组合的母函数为G (x )＝(1+X+X)n ＝∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nr r r x r n 02故不同的取法共有r r r n a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=种）2.（Hanoi 塔问题）n 个圆盘按从小到大的顺序一次套在柱A 上。

规定每次只能从一根柱子上搬动一个圆盘到另一根柱子上，且要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上，而且只有A 、B 、C 三根柱子可供使用。

用表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需搬动圆盘的最少次数，试建立数列的递推关系。

解: 易知，a1=1，a2=3，对于任何n>=3，设计算法：第一步：将A 柱处最大盘之外的n-1盘移到B 柱，需要a n-1次第二步：将A 柱上最大盘移到C 柱，需要1次第三步：将B 柱上的n-1个盘移到C 柱上，需要a n-1次所以其递推关系为：=21-n a +13. 设G ＝{全部整数}，a, b G ，定义a*b ＝a ＋b －2，则G 关于运算*构成一个群。

试证明之。

证明：1.封闭性：a ∈G ，b ∈G, a*b=a+b-2 ∈G2.结合律：（a*b ）*c=（a ＋b －2）*c=a+b-2+c-2a*（b*c ）=a*（b+c-2）=a+b+c-2-2，所以（a*b ）*c=a*（b*c ）3.单位元：因为存在1∈G,有任意a ∈G ，a*1=a+1-2=1*a 成立4.逆元素：对任意a ∈G ，存在3-a ∈G ，使a*b=b*a=a+3-a-2=1所以G 关于运算*构成一个群。

4. 已知与是个正数，且，，求证：中存在一个值一定不大于。

n r ≤n a {}n a n a ∈n a a a ,,,21 n b b b ,,,21 n 2122221=+++n a a a 122221=+++n b b b n n b a b a b a ,,,22111证明：假设如果不存在一个不大于1的，即全>1,所以a（n）>b(n)，所以a1^2+a2^2+……+ a（n）^2>b1^2+b2^2+……+b(n)^2=1,与所给条件不符，所以假设不成立，即存在一个值一定不大于1.5.翻译下面一段文章。

组合（课后作业）
1.下面几个说法中，正确的是个数是（ ）
①组合数就是一个组合中元素的个数；
②两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；
③从n 个元素中抽取m(m ≦n)个元素的排列，可以看作先从n 个元素中抽取m 个进行组合，再对m 个元素进行全排列.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.下面各式中，不正确的是（ ）
A.0！=1
B.1n A =n
C.1=n n C
D.1C 1n =
3.计算24582A C +的值是（ ）
A.64
B.80
C.13464
D.40
4. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 .
5．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 .
6. 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.
（1）从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.
①构成多少个不同的分数？
②可以构成多少个不同的真分数？
（2）从10名同学在任选出3名同学.
①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ ②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）从10本不同的书中任选3本.
①3个同学每人一本，有多少种不同的借法？
②借给一个同学，有多少种不同的借法？。

组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。

它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。

本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。

根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。

2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。

根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。

3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。

根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。

二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。

根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。

2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。

根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。

3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。

根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。

四年级数学下册数字组合练习题数字组合是数学中的一个重要概念，通过对数字的排列和组合，我们可以得到不同的数学问题和答案。

本文将为四年级学生提供一些数字组合的练习题，帮助他们熟练掌握这一概念，并提高他们的数学运算能力。

题目一：排列组合1. 在数字1、2、3中任选两个数字，列出所有可能的组合。

2. 在数字1、2、3、4中任选三个数字，列出所有可能的组合。

题目二：数字的奇偶组合1. 在数字0、1、2、3中选取两个数字并排列，列出所有可能的组合。

2. 在数字0、1、2、3中选取三个数字并排列，列出所有可能的组合。

题目三：数字的个数组合1. 用数字1、2、3、4、5组成两位数，列出所有可能的组合。

2. 用数字1、2、3、4、5组成三位数，列出所有可能的组合。

题目四：数字的大小组合1. 用数字3、4、5、6组成两位数，列出所有可能的组合。

2. 用数字3、4、5、6组成三位数，列出所有可能的组合。

题目五：数字的重复组合1. 在数字0、1、2、2、3中任选两个数字，列出所有可能的组合。

2. 在数字0、1、2、2、3中任选三个数字，列出所有可能的组合。

通过以上练习题，学生们可以通过列举不同的数字组合，来提高他们对数字排列和组合的理解。

这些练习题旨在培养学生的逻辑思维能力，让他们在日常生活中能够更灵活地运用数学知识。

希望学生们能够认真对待这些练习题，亲自动手完成，如果遇到困难，可以寻求老师或家长的帮助。

只有通过实际操作和练习，才能真正掌握数字组合的技巧，提高数学能力。

通过这些练习题的不断练习，学生们将能够更好地理解数字的排列和组合，培养逻辑思维和创造力，进而在数学学习中取得更好的成绩。

希望本文提供的数学练习题能够为四年级学生的数学学习和提高提供帮助，同时也希望学生们在解题过程中能够保持耐心和毅力，相信通过努力，他们一定能够取得优异的成绩。

一年级数学组合练习题1. 小明有3个糖果和2个苹果，请问他一共有多少种不同的组合方式？解答：小明可以选择3个糖果中的0个、1个、2个或者3个，而对于苹果，他可以选择0个、1个或者2个。

因此，小明共有4种选择糖果的方式和3种选择苹果的方式。

根据乘法原理，小明一共有4 * 3 = 12 种不同的组合方式。

2. 有4个小朋友，他们要排成一排，其中两个小朋友喜欢站在一起，请问一共有多少种不同的排列方式？解答：首先，我们可以将这两个喜欢站在一起的小朋友看作一个整体。

那么，一共有3个小朋友和这个“小组”需要排列。

根据排列的原理，他们的排列方式为3! = 3 * 2 * 1 = 6种。

而在这个“小组”中，这两个小朋友互相交换位置不影响整体的排列方式。

因此，这两个小朋友的实际排列方式为2! = 2 * 1 = 2种。

最终，一共有6 * 2 = 12种不同的排列方式。

3. 一共有5个字母A、B、C、D、E。

请问一共有多少种不同的两个字母的组合方式？解答：我们可以用排列组合的方法来解答这个问题。

对于这5个字母，选择其中的2个字母进行组合，我们可以使用组合的公式C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)来计算。

其中，n代表可选择的字母的个数，r代表需要选择的字母的个数。

在这个问题中，n = 5，r = 2。

根据公式，C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10。

因此，一共有10种不同的两个字母的组合方式。

4. 小明手里有5种颜色的铅笔：红、黄、蓝、绿、紫。

请问他一共可以选择多少种不同的两支铅笔的组合方式？解答：小明可以从这5种颜色中任选2种颜色的铅笔。

根据组合的公式，C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10。

因此，小明一共可以选择10种不同的两支铅笔的组合方式。

组合数练习题组合数是高中数学中一个重要的概念，它在数学、概率和组合数学等领域中有着广泛的应用。

本文将为大家提供一些组合数的练习题，帮助大家更好地理解和掌握组合数的概念和计算方法。

1. 问题描述：有10个小球，从中选择3个小球，一共有多少种选择方式？解析：根据组合数的定义，选择3个小球的方式可以表示为C(10, 3)。

计算方法如下：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120因此，选择3个小球的方式共有120种。

2. 问题描述：有7个人排成一排，从中选择3个人，一共有多少种选择方式？解析：同样地，选择3个人的方式可以表示为C(7, 3)。

计算方法如下：C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35因此，选择3个人的方式共有35种。

3. 问题描述：某公司有10名员工，其中2名员工要参加一个会议，请问参加会议的员工可能的选择方式有多少种？解析：选择2名员工参加会议的方式可以表示为C(10, 2)。

计算方法如下：C(10, 2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45因此，参加会议的员工选择方式共有45种。

4. 问题描述：从数字1、2、3、4、5中选取3个数字，不放回地选择，请问一共有多少种选择方式？解析：这个问题可以看作是不计顺序地从5个数字中选择3个数字的问题，可以表示为C(5, 3)。

计算方法如下：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10因此，从数字1、2、3、4、5中选取3个数字的选择方式共有10种。

排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

组合问题练习题组合问题是离散数学中的一个重要概念，它在组合数学、图论、概率论等领域都有广泛的应用。

组合问题的解决往往需要一定的技巧和数学思维，下面是一些组合问题的练习题，帮助读者提升解决这类问题的能力。

1. 餐厅菜单上有10道菜，你要从中选择3道菜作为晚餐的主菜，请问你有多少种选择的可能性？2. 一副扑克牌有52张牌，你要从中选择5张牌作为手牌，请问你有多少种选择的可能性？3. 一家公司有8名员工，其中3名员工将被选为董事会成员，另外2名员工将被选为监事会成员，请问公司有多少种不同的人员组合方案？4. 一个有序序列中，有8个不同的元素。

从中选择4个元素组成一个子序列，请问有多少种不同的子序列组合方案？5. 在一个班级中，有8名男生和6名女生。

从中选择4名学生组成一个考试小组，请问有多少种不同的小组组合方案？以上是一些组合问题的练习题。

解决这些问题需要运用组合数学中的相关知识，例如排列组合、二项式系数等。

通过练习这些问题，读者可以熟悉组合问题的解决方法，并提升自己解决组合问题的能力。

组合问题的解决思路可以通过数学公式或者直接计数的方法来实现。

在计算组合问题的解的时候，常常需要注意是否需要考虑元素的顺序以及重复的情况。

组合问题在实际生活中有广泛的应用。

例如在排列座位、选择队伍、分配任务等场景中，经常需要考虑组合问题。

解决组合问题可以帮助我们更加合理地组织资源、安排任务，并且能够提高效率。

通过解决上述练习题，可以加深对组合问题的理解，并且提高解决组合问题的能力。

希望读者能够善于运用组合数学的知识，解决生活和工作中的实际问题，提升自己的数学思维能力。

组合问题是离散数学中的一个重要概念，它在组合数学、图论、概率论等领域都有广泛的应用。

第二十八讲 组合课后作业【1】有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点上分别填上从1到496中的一个整数（可以重复）。

证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

【2】任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

【3】设整数124,,,n n a a a n 是区间(0,2)n 内n 个不同的整数，证明：存在集合12{,,}n a a a 的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

【4】能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？【5】设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识，试求n 的最大值．第二十八讲 组合参考答案【1】有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点上分别填上从1到496中的一个整数（可以重复）。

证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

【解析】由于结果与直径两端的和有关，因此考虑直径两端数的和共有从1+1到496+496的991种情况，可以将这991种情况作为991个抽屉，而直径两端的和共有993个数，由抽屉原理，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。

【2】任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

【解析】注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。

以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。

任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。

【3】设整数124,,,n n a a a ≥n 是区间(0,2)n 内n 个不同的整数，证明：存在集合12{,,}n a a a 的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

习题二 2.1证明：（1）假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]。

(2) 分两种情况继续讨论：假设有1人谁都不认识. (3) 假设至少有两人谁都不认识.2.2 任意整数除以10的余数有10种情况,现在有11个整数,至少两个数余数相同，则差能被10整除。

2.3 坐标为分4种情况，即（偶，偶）、（偶，奇）、（奇，奇）、（奇，偶）. 2.6 设5个数为125,,,a a a 且mod3(1,2,5),i i a r i显然2,i r 现将0、1、2看做3个盒子，将125,,r r r 看做5个物体，则有三种情况讨论：（1）若有两个盒子是空的，即只有一个非空。

5个余数是相同的，任选3个。

（2）只有一个是空的，即有两个非空。

5个数分成两个盒子，一定有3个在一个盒子。

（3）三个盒子都不空。

分别从每个盒子中选一个，将它们对应的ai 相加，其和必被3整除。

2.7 解一共有9个连续的三天，它们的总数3*1800，推论： 3*1800/9=600 2.8(2.9) 同书2.10 共50*2=100天，最多99。

2.11将S 划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组. 2.12设70个数为1270,,;a a a 12704,4,4;a a a12709,9,9.a a a 取值范围209，共210个数。

2.13 清华大学出版社（第3版），问题简化1到16的16个数任意分成3个部分，其中必有一个部分中的一个元素是两个元素之差。

解：反证法：1到16的16个数任意分成3个部分P1,P2,P3无一满足所求，必有一部分至少有 6个元素。

（1） 不妨设6个元素a1<a2<a3<a4<a5<a6,它们组成集合A （属于P1），令A=｛a1,a2,a3,a4,a5,a6｝（根据假设，A 中不存在一个元素是两个元素之差）。

令 b1=a2-a1, b2=a3-a1, b3=a4-a1, b4=a5-a1, b5=a6-a1.则B=｛b1,b2,b3,b4,b5｝, b1,b2,b3,b4,b5都不属于P1，则属于P2或P3。

组合数学练习题第一章排列组合1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？本题分为四种情况:1位整数有4个: 2, 4, 6, 82位整数有4*4种方案, 有16个3位整数有4*4*3种方案, 有48个4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个总共有4+16+48+96=164个这样的整数.2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来就是结果.C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以方案数为--- 2 (n!)2(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数除以2n, 所以方案数为--- (n!)2/n(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以方案数为--- 2n n!/n4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 28005, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。

作业11.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。

所有相邻的囚室之间都有门相通。

一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。

问：该犯人能否得到自由？2.构造一个6阶幻方。

3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。

试推导：恰好存在8个3阶幻方。

4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。

当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。

往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。

确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。

获胜的策略是什么？作业21．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。

2．一个学生有37天用来准备考试。

根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。

她还希望每天至少学习1小时。

证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。

3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。

4．有一个100人的聚会。

每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。

证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。

5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。

(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）(2)顺牌（5张点数相连的牌）(3)同花（5张一样花色的牌）(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）(5)恰好两个对(6)恰好一个对6．15人围坐一个圆桌。

如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。