控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析

总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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2019/12/30
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30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2

2n s

2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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(3.6)
根据式(3.6)，可以求得其时间响应曲线，如图所示，它是一 条单调下降的指数曲线。
图3.4 一阶惯性环节的单位脉冲响应曲线
3.2.4 线性定常系统时间响应的性质
已知单位脉冲信号 t 、单位阶跃信号1 t 以及单位速度
信号 t 之间的关系为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
d dt
1t
1t d t
dt
s1,2ζω njωd
(2) 当ζ=1时，称二阶系统为临界阻尼系统，其特征方程的根 是两个相等的负实根，即具有两个相等的负实数极点
s1,2 ωn
(3) 当ζ>1时，称二阶系统为过阻尼系统，其特征方程的根是 两个不相等的负实根，即具有两个不相等的负实数极点
s1,2nn 21
(4) 当ζ=0时，称二阶系统为零阻尼系统，其特征方程的根 是一对共轭虚根，即具有一对共轭虚数极点
入信号来进行时，那么在实际输入的情况下，系统响应的特性一
般是能够满足要求的。
同时，对于同一个系统，无论采用哪种输入信号，由时域分
析所表示的系统本身所固有的特性是一致的，即
GsX Xoi11ssX Xoi22ss
(3.2)
或写成
x i 1 t x o 2 t x i2 t x o 1 t (3.3)
其中Gs为系统的传递函数，xi1t 和 xi2t 分别为输入信号1和
因此，为了评价一个控制系统性能的优劣，人们约定了一些 典型的输入信号，在这些典型输入信号的作用下，求得系统各项 性能指标，进行比较和评价。在控制工程中，人们通常使用的典 型信号有：阶跃信号、速度信号、加速度信号、脉冲信号和正弦 信号等。这些典型输入信号都是简单的时间函数，数学处理很方 便，而且在实际工程中也可以实现或近似地实现，即可以进行实 验研究。

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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析

3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
50
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
51
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
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3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
71
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
72
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
73
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
74
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
75
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
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3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
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3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
78
3.6 稳态误差分析与计算
79
3.7 根轨迹法
80
3.7.1 根轨迹的基本概念
是指开环传递函数某一参 量由零变到无穷大时，闭 环极点在s平面上变化的 轨迹。
3.7 根轨迹法
81
3.7.2 幅值条件和相角条件
3.2 一阶系统时域分析
13
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
14
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
15
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标
3.2 一阶系统时域分析
16
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标

1 s
T Ts 1
1 s
1 s 1
T
(3-14)
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
对式(3-14)两边进行拉氏反变换，得单位阶跃响应h(t)为
h(t)
xo(t)
1
t
eT
t 0
(3-15)
由上式可以看出，输出量h(t)的初始值等于零，而最终将 趋于1。常数项“1”是由1/s反变换得到的，由于它在稳态过 程中仍起作用，因此称为稳态分量（稳态响应）。式 (3-15)中，第二项由1/(s+1/T)经拉氏反变换得到，随着时间t 的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零，称为瞬态响应。可见， 阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
wt
1 T2
e
t T
t≥0
(3-12)
出一阶特别系地统，的在单t位=0脉时冲刻响，应w曲0线 如 图T132。 -3根 所据 示式。由(3图-1可1)见可，以响绘
应曲线是一条单调下降的指数曲线。时间响应的初始值为1/T， 当自变量t趋于无穷时输出量趋近于零，故对应的稳态分量为0。
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
(1) 信号具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情
(2) (3) 根据上述试验信号选用原则，实际应用中常用的典型输入 信号有如下几种。
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
1. 单位脉冲信号如图3-1（a）所示，表示为
(t)
0
t 0 t 0
且
(t)dt 0 (t)dt 1
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
实际系统的输入信号常具有随机性质，预先无法知道，而 且难以用简单的解析式表示。因而常预先规定一些特殊的试验 输入信号，然后比较各种系统对这些试验输入信号的响应，以 此作为依据比较各种系统的性能。因为系统对典型试验输入信 号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着 一定的关系，所以采用试验信号来评价系统的性能是合理的。

3.3 二阶系统的瞬态响应 二阶系统的传递函数
2 X 0 (s) n G(s) 2 2 X i (s) s 2 n s n

1 T 2 s 2 2Ts 1
E(s)
Tn
X0(s)
1
方框图
Xi(s)
1 Ts Ts 2
3.3 二阶系统的瞬态响应
t 0
t

t
0
x0 (t )dt
t T
xi (t ) 1dt t
0
t
(1 e

)dt t T (1 e

t T
)
作业：P108. 3-2、3-5
3.3 二阶系统的瞬态响应
•
二阶系统的传递函数和方框图
•
• •
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的单位斜坡响应 二阶系统的单位脉冲响应
t
与实际输入中，输入随时间线性变化对应，分析中常用三角波近似代替 a=1为单位斜坡。
3.1 时域响应以及典型输入信号 3．加速度函数：
at 2 xi (t ) 0 t0 t0
xi(t) a t xi(t)
对应于实际中加速度输入情况， a=1/2为 单位加速度函数。
a lim 0 t t0 x i (t ) t0 0 t 0 4．脉冲函数： 0 t 0或t t 0
3 时域瞬态响应分析
3.1 时域响应以及典型输入信号 3.2 一阶系统的瞬态响应
3.3 二阶系统的瞬态响应
3.4 时域分析性能指标
3.1 时域响应以及典型输入信号
一、时域响应的基本概念 二、使用典型输入信号的目的 三、典型输入信号有哪几种？ 四、典型输入信号的数学模型、图像？ 五、典型输入信号之间有何关系？

一阶系统时域分析无零点的一阶系统时间常数画图时取k1t05ht0632hh3t095hh2t0865hh4t0982h二二阶系统阶跃响应的特征量二二阶系统阶跃响应的特征量第一次达到稳态值时间上升时间trtr峰值时间tptp调节时间tsts最大超调量mp常用相对量描述mpctpcc100第一次进入误差带不再出来的时间峰值时间t响应曲线的最大峰值与稳态值之差
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响 应的积分。
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统
Φ(s)=
k Ts+1
, T 时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
k(t)=
1 T
e-
t T
r(t)= δ(t)
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
峰值时间tp: 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
➢瞬态性能指标
最大超调量 Mp：
响应曲线的最大 峰值与稳态值之 差。通常用百分 数表示：
M
p
c(t p ) c() 100 % c()
调整时间ts: 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的 ±2%或±5%）内所需的时间。
)
2
六、一阶系统响应小结
闭环传递 输入信号
函数
时域
输出响应
ess
(t)
1
t
eT
(t 0)
0
T
1
1(t)
t
1 e T
t 0
0
TS 1
t
t
T
t T Te T t 0
1 t2
无穷大 1
t2
Tt
T

线性定常系统的重要性质
. 自控控制理 c n
论
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入 信号响应的导数。 系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输 入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的 初始条件确定。
注意：性质只适用于任何线性定常系统，不适用 于线性时变系统和非线性系统。
单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升衰减振荡一对共轭复根左半平面等幅周期振荡一对共轭虚根无阻尼发散振荡一对共轭复根右半平面单调发散两个互异正实根自控控制理论me
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 典型输入信号 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应 3.4 时域分析性能指标 3.5 高阶系统的瞬态响应 3.6 应用MATLAB进行系统时域分析
xi(t)
1 Ts 1
. 自控控制理 c n
论
xo (t)
x ( t ) ( t ) X () s 1 i i
输出为 X 0 ( s ) G ( s ) X i ( s )
1 Ts 1 s 1 T
1 t 1 T t) e (t 0 ) 单位脉冲响应为 x 0( T
p
p
1
1
p
2
2
n
p
特征根位于s平面的右半部
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
2 p j 1 1 ,2 n n
. 自控控制理 c n
论
1）0 < ξ < 1（欠阻尼）一对实部为负的共轭复根
2 1 n X ( s ) ( sX ) ( s ) o i 2 2 s 2 s s n n s 1 n n 2 2 2 2 2 2 s ( s ) ( 1 ) ( s ) ( 1 ) n n n n

(3)经过时间3T〜4T，响应曲线已达稳态值的95％ 〜 98％，在工程上可以认为其瞬态响应过程基本 结束，系统进入稳态过程。由此可见，时间常数T 反映了一阶惯性环节的固有特性，其值越小，系 统惯性越小，响应越快。
4 因为 dx t 1
0
Байду номын сангаас
dt
t 0

T
e
1 t T t 0
1 T
1 t T
t 0
3.5
一阶惯性环节在单位速 度信号作用下的输入 i t 与输出x0 t 之间 x 误差et 为 :
1 t et xi t x0 t t t T Te T 1 t T 1 e T 则有 lim et T 这就是说， 一阶惯性环节在单位速 度信号 t
X 01 s X 02 s G s X i1 s X i 2 s
3.2
3．2
一阶系统的时间响应
▲凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它 的典型形式是一阶惯性环节，其传递函数为：
X 0 s 1 G s X i s Ts 1
其中T为时间常数。 3．2．1 一阶惯性环节的单位阶跃响应
▲系统在单位阶跃信号作用下的输出称为单位阶跃响应。 单位阶跃信号Xi(t)=1(t)的拉氏变换为Xi(S)=1/S，则一 阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为:
1 1 1 1 X 0 s G s X i s 1 Ts 1 s s s T X 0 s 1 G s X i s Ts 1
n 2 X 0 (s) 2 s ( s 2 2 n s n ) s n d 1 2 2 2 2 s s n d s n d2 1

图3-5a 一阶系统的时间响应
c() c(t )
t
1
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
把t = T代入式(3-3)可得 c(T ) 1 e1 0.632 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要 的时间。 从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。 时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。 在图3-3所示系统中 ， T f / k
§3-2 一阶系统的时间响应
时间响应从零值到终值呈指 数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
d c(t ) 1 T c(0) e d t t 0 T
t

t 0
1 T
可见，时间常数T是一阶系统 重要的特征参数。它表征了系统 过渡过程的品质，T越小，惯性越 小，系统的响应越快。 系统响应的稳态值为
1 R( s) 为单位阶跃函数 R(s) s C (s) 1 1 1 T C (s) R(s) R( s) Ts 1 s s Ts 1
对上式进行拉氏反变换，得出
(3-2)
c(t ) 1 et T ( t ≥ 0 )
时间响应曲线见图3-5a。
(3-3)
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
2%
1 0.9
td
Mp
允许误差
5%
c t
t d ：延迟时间

则
Xo s
Xo Xi
s s

Xi
s

1 1 Ts 1
1
T
s

1 T
进行拉氏反变换
xo
(t)


1 T
1t
eT
1t


xo(t)


1 T
1t
eT
1t


3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
1. 单位斜坡响应 xot(t)tTTeT 1t 1t 2. 单位阶跃响应 xo1(t)1eT1t 1t
1
1
1 2( 2
2 11) 2( 2

2 11)
s s n n 2 1 s n n 2 1
进行拉氏反变换，得


x o (t) 1 2212 1 1e 2 1 n t 2212 1 1e 2 1 n t 1t

n
1 2
3. 求取最大超调量
Mp
将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
Mp xo (tp ) 1
=

1-
-n
e

n
1- 2


sin
arctan

1- 2


=e =e
-n

n


1- 2
xo
(t)

1t 1e T
1t


常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。
Lg[1-xo(t)] t

第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。
☆ 瞬态响应和稳态响应
根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方 程的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。
二 瞬态响应和稳态响应
系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随 着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳 态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。
③阻尼比ζ 和无阻尼自 然频率ωn 确定了系统 动态特性
阻尼比ζ确定了系统响应振荡特性—响应平稳性。 ζ越小，响应振荡越剧烈；ζ越大，响应越缓慢呆滞。 无阻尼自然频率 ωn 确定了系统瞬态响应过程时间的 长短—响应快速性。ωn越小，即时间常数T越大，响 应就慢，反之，ωn越大，即时间常数T越小，响应就 越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。
二 高阶系统的时域响
应
m
不失一般性，
K (s zi )
高阶系统的闭环传
C(s)
i 1
其中，
递函数可表示为： R(s)
q
r
(s p j )
(s
2
2 nk
s
2 nk
)
n q 2r
j 1
k 1
当输入为
阶输跃出函可数表时示，为：C(s)
A0 s
q j 1
Aj s pj
r k 1
Bk (s k nk ) Ck nk
当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于 自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。
若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点， 仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就 是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。

S 1t
− A2 e
S 2t
) ⋅ 1(t )
S1
S2
0
Response curves
二、二阶系统的单位阶跃响应
X o ( s) ω = 2 2 X i ( s ) s + 2ζω n s + ω n
2 n
特征方程 特征根
2 s 2 + 2ζω n s + ω n = 0
S1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
S1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1 (两个不相等的负 3.当ζ>1时，
实根)，称为过阻尼状态，响应仍没有超调。
Xo (s) 1 A1 A2 X o (s) = ⋅ Xi (s) = − − s s + ζωn + ωn ζ 2 −1 s + ζωn −ωn ζ 2 −1 Xi (s)
j
x o (t ) = (1 − A1e
“准”：稳态误差 ess 调整时间，Settling Time(ts):(∞) 峰值时间，Peak Time(tp): ess = xi (∞) − xo 上升时间，Rising Time(tr)： 响应曲线第一次进入允许误差范 系统响应从零到达第一个峰值所用的时间 系统响应第一次到达期望输出（稳态值）所用的时间 围内的时间
S 4.当ζ=0时， 1,2 = ± jωn (两个共轭虚根)，称为零 阻尼状态，此时系统响应是等幅振荡。 j
X (s) 1 s X o (s) = o ⋅ X i (s) = − 2 X i (s) s s + ω n2
S1
x o (t ) = (1 − cos ω n t ) ⋅ 1(t )
可见，只有二阶欠阻尼(0< <1)系统的 可见，只有二阶欠阻尼(0<ζ<1)系统的 单位阶跃响应有可能从“ 单位阶跃响应有可能从“稳”、“快” 三方面综合地调节好。 、“准”三方面综合地调节好。