导数的综合应用个性化辅导讲义

导数及其应用复习讲义（解析版）考点一、导数的概念及运算 1.导数的概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．2.导数的运算①．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． ③．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【1】若()3ln f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意21()3f x x x'=+，所以(1)134f '=+=，所以()00(12)(1)(12)(1)lim2lim 2182x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选D ．【2】已知函数()()ln 1f x ax =-的导函数是f x ，且()22f '=，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．23 C ．34D ．1【答案】B【解析】求导得()1a f x ax '=-，则()2221a f a ='=-，解得23a =．故选B ． 【3】．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足1()2(1)ln f x xf x'=+，则(1)f =（ ）A ．-eB ．2C ．-2D ．e【答案】B【解析】因为()()121ln f x xf x'=+，所以()()()11121211f x f f x x x'⎛⎫'''=+⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()1211f f ''=-，()11f '=，所以()12lnf x x x=+，()12ln12f =+=．故选B ．【4】已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*n ∈N ，则()2023f x =（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --【答案】D【解析】因为()1sin cos f x x x =+，所以21()'()cos sin f x f x x x ==-，324354()'()sin cos ,()'()cos sin ,()'()sin cos f x f x x x f x f x x x f x f x x x==--==-+==+……可知()n f x 的解析式周期为4，因为202350543=⨯+，所以()20193()sin cos f x f x x x ==--，故选D ．考点二 导数的几何意义及应用几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．【5】函数()3ln f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．430x y --=B ．430x y +-=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A【解析】因为函数()3ln f x x x =+，所以()213f x x x'=+，所以()()11,14f f '==， 所以图象在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=-，即430x y --=，故选A 【6】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.【7】已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B【8】己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1. 【9】设曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为20x y b ++=，则a b -=（ ） A ．0 B ．1 C ．-2D ．2【答案】D【解析】由题得221()11a f x a x x ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭，则切线的斜率为()11f a '=--． 又()12f a =-，曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()()211y a a x --=---，即()1210a x y a ++-+=．又切线方程为20x y b ++=，所以比较系数得1221a a b +=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．所以2a b -=．故选D ．【10】若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线1y x =-的距离的最小值为（ ） A ．1 B 2 C ．22D 3【答案】C【解析】设平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点为(,)P x y ，由2ln ,0y x x x =->，则12y x x'=-， 令121x x-=，整理得(1)(21)0x x -+=，解得1x =或12x =-（舍去），由1x =，可得21ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)P ， 又由点到直线10x y --=的距离公式，可得2211121(1)d --==+- 即点P 到直线1y x =-的距离的最小值为22．故选C ．考点三 导数与函数的单调性 1.求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.2.函数单调性与导数的关系()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值． 【11】已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()02, B ．[)0,1 C ．()0,∞+ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】∵()32132a f x x x x =--，∴()21f x ax x '=-- ∵函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数 ∴()210f x ax x '=--=在区间()0,1上有根∴当a ＝0时，x ＝－1不满足条件当0a >时，∵()010f '=-<，∴()120f a '=->，∴2a >.故选：D ．【12】设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]0,3 C ．[)4,+∞D ．(],2-∞【答案】A【解析】由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤， 故选A．【13】已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞【答案】A【解析】()()220xf x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，即()22min 2123a x x ≤+=+=，故选A ．【14】设()f x 的定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，且满足()()0f x xf x '+>，若(1)a f =，2(2)b f =，3(3)c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数， 所以(1)(2)(3)g g g <<，即(1)2(2)3(3)f f f <<，故选B ．【15】已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A【解析】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21x x a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-， 所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦．故选A ．【16】已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈．求函数()f x 的单调区间；【解析】221()2ln 2f x a x x ax =-++ 22(2)()()a x a x a f x x a x x+-'∴=-++=，0x > ∴ ① 当0a =时，()0f x x '=> ，()f x ∴仅有单调递增区间，其为：(0,)+∞② 当0a >时，20x a +>，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴ 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a③ 当0a <时，0x a ->，∴当(0,2)x a ∈-时()0f x '<；当(2,)x a ∈-+∞时()0f x '> ()f x ∴的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -综上所述：当0a =时，()f x 仅有单调递增区间，单调递增区间为：(0,)+∞ 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a 当0a <时，()f x 的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -【17】已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．考点四 导数与函数的极值、最值 1.求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值． 2．函数的最值一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【18】函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0 【答案】B【解析】：f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.【19】已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．【答案】1或3【解析】依题意，()223216f x x m x m '=+-，因()f x 在x ＝2处取得极小值，则()22416120f m m '=-+=，解得m =1或m =3，经检验，当m ＝1或m ＝3时，()f x 在x＝2处均取得极小值，所以m 的值为1或3. 【20】当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【解析】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-． 故选：B.【21】已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()321132f x x ax x =-+，导函数()21f x x ax '=-+.因为()f x 在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，所以()0f x '=在1,32⎛⎫⎪⎝⎭内应有两个不同的异号实数根．()10230132202a f a f f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎨<<⎪⎪⎪⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩'''，解得：522a <<，实数a 的取值范围52,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C ．【22】已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下： x(),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x ' +-+()f x增 极大值 减极小值 增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【23】已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．(1)若3c =，求a ，b ；(2)若()ln ≥f x x 在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：()(0)b f x ax c a x=++>，∴2()bf x a x '=-，所以()11f a b '=-=，即1b a =- 又()1121f a a c a c =+-+=-+． 又点()()1,1f 在切线1y x =-上，210a c ∴-+=，所以12c a =-，又3c =，所以1a =-，2b =-． (2)解：1()12(0)a f x ax a a x-=++->， ()ln ≥f x x 在[1，)∞+上恒成立，设()()ln g x f x x =-，则()()ln 0g x f x x =-在[1，)∞+上恒成立，min ()0g x ∴，又22221(1)()11(1)(1)()aa x x a a x x a g x a x x x x -------'=--==，而当11a a -=时12a =．11 1︒当11aa -≤即12a ≥时，()0g x '在[)1,+∞上恒成立， ∴1()(1)02min g x g a ==⇒；2︒当11aa ->即102a <<时，()0g x '=时1a x a -=，且当11ax a -<时，()0g x '<，当1ax a ->时，()0g x '>；则1()0min a gx g a -⎛⎫= ⎪⎝⎭①，又1()(1)210ag g a a -≤=-<与①矛盾，不符题意，故舍去． ∴综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

11.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性【知识提炼】函数的单调性与其导数符号的关系 设函数y=f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是_______，(a ，b)为f(x)的___________. (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是_______，(a ，b)为f(x)的___________. 【题型探究】类型一 判断或证明函数的单调性【典例】1.已知函数f(x)=x +lnx ，则有 ( )A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)2.证明：函数y=lnx+x 在其定义域内为增函数.类型二 利用导数求函数的单调区间【典例】找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间.类型三 已知函数单调性求参数的取值范围【典例】1.已知函数f(x)=x 3-kx 在区间(-3，-1)上不单调，则实数k 的取值范围是 . 2.已知函数f(x)=x 3-ax+6在(1，+∞)上为增函数，求a 的取值范围.易错案例 利用导数求函数的单调区间 【典例】函数f(x)=lnx+x1的单调减区间是 ( ) A.(-∞，0)，(1，+∞) B.(-∞，1) C.(1，+∞)D.(0，1)【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?提示：单调区间应是定义域的子区间，因此要先求定义域，再利用导数求单调区间，确保单调区间在定义域内.【自我矫正】选D.函数的定义域为(0，+∞)，2因为=')(x f 211x x -， 令0)(<'x f ，即0112<-xx ，解得x<1， 因为函数的定义域为(0，+∞)， 所以0<x<1，故函数的定义域为(0，1). 【跟踪训练】1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是( )2.函数f(x)=x·e -x 的一个单调递增区间是( )A.(1，+∞)B.(-∞，1)C.[1，2]D.[0，2]3.设函数f(x)=ln(1+x)-x ，记a=f(1)，b=f(3)，c=f(7)，则( )A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b 4.函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，则( )A.a≥31B.a=1C.a=2D.a≤05.若函数y=f(x)在R 上可导，且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a<b ，则下列不等式一定成立的是( )A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)6.函数f(x)=2x 2-lnx 的单调减区间是 .7.已知函数f(x)=21++x ax 在(-2，+∞)内是减函数，则实数a 的取值范围为 . 8.设f(x)=ax x x 2213123++-.若f(x)在),32[∞+上存在单调递增区间，则a 的取值范围为 .9.求下列函数的单调区间：(1)f(x)=x-x 3. (2)f(x)=x 2-lnx.10已知函数f(x)=ax 3+bx 2的图象经过点M(1，4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a ，b 的值.(2)若函数f(x)在区间[m ，m+1]上单调递增，求m 的取值范围.【链接高考】 （2016课标全国I ，12）若函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.[]1,1-B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1（2014课标全国II ，11）若函数x kx x f ln )(-=在区间()+∞,1单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(]2,-∞-B.(]1,-∞-C.[)+∞,2D.),1[∞+1.3.2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值【知识提炼】1.函数极值的定义满足条件：已知函数y=f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，存在__________________.(1)极大值点与极大值①条件：对于开区间内所有点x，都有__________；②结论：f(x)在点x处取得_______，为函数f(x)的一个极大值点；③记作：y极大值=_____.(2)极小值点与极小值①条件：对于开区间内所有点x，都有__________；②结论：f(x)在点x处取得_______，为函数f(x)的一个极小值点；③记作：y极小值=_____.(3)极值与极值点①极值：_______________统称为极值；②极值点：___________________统称为极值点.2.函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点且f(x)在x=x0是可导的①f′(x0)=__；②x∈(a，x0)时，f′(x)__0，f(x)是_____的；③x∈(x0，b)时，f′(x)__0，f(x)是_____的.(2)x0是(a，b)上的极小值点且f(x)在x=x0是可导的①f′(x0)=__；②x∈(a，x0)时，f′(x)__0，f(x)是_____的；③x∈(x0，b)时，f′(x)__0，f(x)是_____的.3.求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)求导数_______.(2)求方程_________的所有实数根.(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的_______，导函数f′(x)的符号如何变化.①如果f′(x)的符号_________，则f(x0)是极大.值②如果f′(x)的符号_________，则f(x0)是极小值.③如果在f′(x)=0的根x=x0的左右侧_________，则f(x0)不是极值.【题型探究】类型一求函数的极值点和极值【典例】1.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y=x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则()A.f(x)极大值为，极小值为f( B.f(x)极大值为f(，极小值为C.f(x)极大值为f(-3)，极小值为f(3)D.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(-3)2.已知函数4431)(3+-=xxxf.求函数的极值，并画出函数的大致图象.类型二已知函数极值求参数的值(范围)【典例】已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，求常数a，b的值.34类型三 函数极值的综合应用【典例】1已知f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=1与x=23-时都取得极值.若f(-1)=32则f(x)的单调减区间是 .2.已知函数f(x)= 21313+x (a-1)x 2+ax(a ∈R).(1)若f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的单调增区间.(2)若f(x)在区间(0，1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.【跟踪训练】1.函数y=f(x)是定义在R 上的可导函数，则下列说法不正确的是( )A.若函数在x=x 0时取得极值，则f′(x 0)=0B.若f′(x 0)=0，则函数在x=x 0处取得极值C.若在定义域内恒有f′(x)=0，则y=f(x)是常数函数D.函数f(x)在x=x 0处的导数是一个常数 2.函数y=1+3x-x 3有( )A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-2，极大值2D.极小值-1，极大值33.已知函数f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极值，则实数a 的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>64.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2在x=1时有极值10，则a ，b 的值为( )A.a=3，b=-3或a=-4，b=11B.a=-4，b=2或a=-4，b=11C.a=-4，b=11D.以上都不对5.已知f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1，0)，则f(x)的极值情况是( )A.极大值为f )31(，极小值为f(1)B.极大值为f(1)，极小值为f )31(C.极大值为f )31(，没有极小值D.极小值为f(1)，没有极大值6.函数f(x)=x 3+3mx 2+nx+m 2在x=-1时有极值0，则m+n= .7.设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为 . 8.若函数f(x)=x+asinx 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 . 9.已知函数f(x)=e x (4x+4)-x 2-4x ，求：(1)f(x)的单调区间. (2)f(x)的极大值.10.已知函数f(x)=ln(x+a)-x 2-x 在x=0处取得极值，(1)求实数a 的值. (2)若关于x 的方程f(x)=25-x+b 在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.第2课时利用导数研究函数的最值【知识提炼】1.函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的最值(1)前提条件：在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线.(2)结论：函数y=f(x)必有最大值和最小值，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在或取得.2.求可导函数y=f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使=0的点.(2)计算函数f(x)在区间内使=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为，最小的一个为.【题型探究】类型一求函数的最值【典例】求函数f(x)=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值.类型二含参数的最值问题【典例】设函数0,ln)(>+=mxmxxf.求)(xf的最小值为2时m的值.类型三与函数最值有关的综合问题【典例】已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性.(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+∞)内有唯一解.56【跟踪训练】1.函数f(x)=lnx-x 在区间[0，e]上的最大值为( )A.-1B.1-eC.-eD.02.已知函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9在x=-3时取得极值，则a=( )A.2B.3C.4D.53.函数f(x)=x+2cosx 在区间]0,2[π-上的最小值是( )A.2π-B.2C.36+πD.13+π4.函数f(x)=x 2·e x+1，x ∈[-2，1]的最大值为( )A.4e -1B.1C.e 2D.3e 25.已知f(x)=2x 3-6x 2+m(m 为常数)在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对6.函数f(x)=11+x +x(x ∈[1，3])的值域为 . 7.函数f(x)=ax 4-4ax 2+b(a>0，1≤x≤2)的最大值为3，最小值为-5.则a= ，b= . 8.f(x)=e ax -x-1，其中a≠0，若对于一切实数x ∈R ，f(x)≥0恒成立，则a 的取值范围是 . 9.已知函数f(x)=2alnx-x 2+1.(1)若a=1，求函数f(x)的单调减区间.(2)若a>0，求函数f(x)在区间[1，+∞)上的最大值.10.已知f(x)=x 321-x 2-2x+5，当x ∈[-1，2]时，f(x)<a 恒成立，求实数a 的取值范围.【延伸探究】把本题中的条件“f(x)<a”改为“f(x)≥a”，求实数a 的取值范围.1.3.3 导数的实际应用【知识探究】知识点生活中的最优化问题观察如图所示内容，回答下列问题：问题：利用导数解决生活中的最优问题的思路是什么?【题型探究】类型一平面几何中的最值问题【典例】横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比. 要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？类型二立体几何中的最值问题【典例】如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器. 为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？类型三实际生活中的优化问题角度1：实际应用中的最大值问题【典例】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108,100,3018.10)(22xxxxxxR(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.78角度2：实际应用中的最小值问题【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=)100(53≤≤+x x k(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元. 设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.【跟踪训练】1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=31-x 3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件2.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A.3B.4C.6D.53.某箱子的体积与底面边长x 的关系为V(x)=x 2)260(x-(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A.30B.40C.50D.604.已知球O 的半径为R ，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于( )A.332R B.33R C.23RD.3R5.某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)=1200+752x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100万件这样的产品时单价为50万元，产量定为( )时总利润最大.A.23万件B.25万件C.50万件D.75万件6.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高应为 .7.某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30，t ∈Z)的关系大致满足f(t)=t 2+10t+12，则该超市前t 天平均售出(如前10天的平均售出为10)10(f )的月饼最少为 . 8.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为 .【链接高考】（2013年重庆，20，12分） 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方体，假设建造成本仅与表面积有关，侧面是建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）. （1）将V 表示成r 的函数V(r)，并求定义域. （2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.1.4 定积分与微积分基本定理91.4.1 曲边梯形面积与定积分【知识提炼】 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形的概念曲线与平行于____的直线和____所围成的图形. (2)曲边梯形面积的求法求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S 的方法 ①分割；②近似代替；③求面积的和； ④取极限S=_____________. 2.弹簧在拉伸过程中所做的功弹簧在拉伸过程中，力的函数为F=f(x)(x 为伸长量)，当a≤x≤b 时也可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法求弹簧拉力的变力所做的功W=____________. 3.定积分的有关概念与基本性质 (1)函数定积分的定义设函数y=f(x)定义在区间[a ，b]上(如图)，用分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b ，把区间[a ，b]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i =x i+1-x i ，i=0，1，2，…，n-1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n =__________.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作__________. (2)定积分的定义式()()n 1biiai 0f x dx lim f x .-λ→==ξ∆∑⎰(3)定积分的相关名称(4)①⎰badx x cf )(= (c 为常数).②⎰+badx x g x f )]()([= .【题型探究】类型一 定积分的概念及应用 【典例】1.定积分⎰abdx x f )(的大小 ( )A.与f(x)和积分区间有关，与ξi 的取法无关B.与f(x)有关，与区间及ξi 的取法无关C.与f(x)及ξi 的取法有关，与区间无关D.与f(x)、积分区间和ξi 的取法都有关2.求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成的区域的面积.类型二 利用性质求定积分 【典例】1.已知定积分⎰=68)(dx x f ，且)(x f 为偶函数,则⎰-66)(dx x f =( )A.0B.16C.12D.82.已知⎰⎰==ee e dx x e xdx 003223,2,求下列定积分的值:(1)⎰+edx x x 02)2(;(2) ⎰+-edx x x 02)12(.类型三 利用定积分的几何意义求定积分 【典例】利用定积分的几何意义求下列各式的值.(1)dx x ⎰--2224= .(2) ⎰+20)12(dx x = .易错案例 计算定积分【典例】定积分⎰---22))1(1(dx x =.【失误案例】10【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗? 提示：错误的根本原因是没有正确理解定积分的几何意义，即当f(x)≤0时定积分与面积的关系理解有误.【自我矫正】曲线y=2)1(1---x 表示圆心在点(1，0)，半径为1的圆在x 轴下方的部分，⎰---22))1(1(dx x 等于在积分区间[0，2]上，由x=0，x=2，y=0及2)1(1---=x y 围成的半圆面积的相反数.所以2121)1(1(22ππ-=⨯⨯-=-=---⎰S dx x .答案：2π-【跟踪训练】 1.函数f(x)=x 2在区间]1,1[nn i -上( ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变化D.当n 很大时，f(x)的值变化很小 2.定积分dx ⎰-31)3(等于() A.-6B.6C.-3D.33.函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b ，把区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i-1，x i ]上任取一点ξi (i=1，2，…，n)，作和式∑=∆=ni in x f S 1)(ξ(其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A.与f(x)和区间[a ，b]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B.与f(x)，区间[a ，b]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C.与f(x)，区间[a ，b]和分点的个数n ，ξi 的取法都有关D.与f(x)，区间[a ，b]和ξi 取法有关，与分点的个数n 无关4.已知函数f(x)=sin 5x+1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求⎰-22)(ππdxx f 的值，结果是（ ）A.261π+B.πC.1D.05.设⎰⎰⎰===1132131,,dx x c dx x b dx x a ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b6.定积分⎰015201422014dx = .7.如图所示阴影部分的面积用定积分表示为 .8.求定积分dx x )12(12⎰-+= .9.已知⎰=1341dx x ，⎰=213415dx x ，⎰=21237dx x ，⎰=422356dx x ， 求：(1)⎰233dx x (2)⎰4126dx x (3)⎰-2132)23(dx x x .10.根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)⎰-11xdx . (2)⎰π20cos xdx . (3)dx x ⎰-11.111.4.2 微积分基本定理【知识提炼】 微积分基本定理1.条件:F′(x)=f(x),且f(x)在［a,b ］上可积.2.结论:⎰badx x f )(= .3.符号表示:⎰badx x f )(= = .【题型探究】 类型一 求定积分 【典例】计算：（1）⎰411dx x（2）⎰+22)1(dx x类型二 定积分基本定理的应用 【典例】1.设函数f(x)=ax 2+c(a≠0).若⎰≤≤=10010),()(x x f dx x f ，则0x 的值为 .2.已知t>0，f(x)=2x-1，若⎰=tdx x f 06)(，则t= .类型三 利用定积分求面积【典例】（1）求x y sin =在],0[π上阴影部分的面积S.(2)求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积S.【变式训练】 求由曲线x y =，x y -=2，x y 31-=围成图形的面积．【跟踪训练】1计算⎰--22)cos 1(ππdx x =（ ）A.π+2B.π2-C.πD.2-2.若⎰=+102)2(dx k x ，则k 等于( )A.0B.1C.2D.33.已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=,1,1,10,)(x xx x x f 则⎰20)(dx x f =( )A.29B.2ln 221+ C.2ln 21+ D.2ln 45- 4.由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积为( )A.310B.4C.316D.6125.若⎰=2121dx x s ，s 2=⎰211dx x，s 3=⎰21dx e x 则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A.s 1<s 2<s 3B.s 2<s 1<s 3C.s 2<s 3<s 1D.s 3<s 2<s 16.⎰-2)1(dx x =.7.如图所示，函数y=-x 2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 .8.已知函数y=x 2与y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为34，则k= .9.计算下列定积分.(1)dx x ⎰-+342. (2)⎰+-1211e dx x .10.求曲线y=x 2，直线y=x ，y=3x 围成的图形的面积.【链接高考】（2015天津11）曲线2x y =与直线x y =所围成封闭图形的面积为 .。