新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计一、教学目标1.掌握导数的基本概念和定义；2.了解导数的实际应用；3.学习计算函数在某一点的导数；4.能够运用导数计算实际问题。

二、教学重难点1.导数的实际应用；2.运用导数计算实际问题。

三、教学过程3.1 活动设计活动1：探究导数的实际应用1.学生组成小组，每组3人，每组分配一道题目。

2.题目如下：某物体的运动轨迹为 $y=3x^2-2x+5$，求运动轨迹在 $x=2$ 处的速度。

3.学生讨论并写出解题思路。

活动2：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。

2.再进行白板上讲解和梳理思路。

3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。

活动3：实际应用题的解决1.学生再次组成小组，每组3人，每组分配一道题目。

2.题目如下：某公司的年营业额可以用 $y=2x^3+3x^2+5x+10$（万元）表示，求当年销售达到最大值时的销售额和销售额的增长率。

3.学生讨论并写出解题思路。

活动4：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。

2.再进行白板上讲解和梳理思路。

3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。

3.2 内容讲解3.2.1 导数的定义1.引入导数的概念。

2.解释导数的几何意义。

3.讲解导数的定义及其计算方法。

3.2.2 导数的基本公式1.推导导数的基本公式。

2.讲解如何使用基本公式计算导数。

3.2.3 导数的实际应用1.归纳和总结导数的实际应用。

2.举例说明如何运用导数计算实际问题。

3.3 总结归纳1.回顾导数的定义和基本公式。

2.总结导数的实际应用。

3.小结本节课的内容。

四、教学评估1.向学生提供测验，检验学生对导数的理解程度。

2.评估学生在实际应用题的解决能力。

3.每个小组从小组成员中选出一人进行汇报，检验学生的口头表达能力。

五、教学资源1.铅笔、橡皮和计算器。

2.白板、黑板或者电子白板。

3.与导数相关的教学视频及素材。

导数的几何意义及其应用某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q（x１，y１），则切线方程为y—y１＝f′（x）（x—x１），再由切线过点P（x0，y0）得１y0—y１＝f′（x１）（x0—x１），１又y１＝f（x１），２由１２求出x１，y１的值，即求出了过点P（x0，y0）的切线方程．【例１】（１）曲线y＝x e x—１在点（１,１）处切线的斜率等于（）Ａ．２e Ｂ．eＣ．２Ｄ．１（２）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）[思路探究] （１）曲线在点（１,１）处的切线斜率即为该点处的导数．（２）由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．[解析] （１）y′＝e x—１＋x e x—１＝（x＋１）e x—１，故曲线在点（１,１）处的切线斜率为k＝２．（２）从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f（x）的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．[答案] （１）C （２）B１．已知曲线y＝错误!x３＋错误!.（１）求曲线在点P（２,４）处的切线方程；（２）求曲线过点P（２,４）的切线方程；（３）求斜率为４的曲线的切线方程．[解] （１）∵P（２,４）在曲线y＝错误!x３＋错误!上，且y′＝x２，∴在点P（２,４）处的切线的斜率k＝４．∴曲线在点P（２,４）处的切线方程为y—４＝４（x—２），即４x—y—４＝0．（２）设曲线y＝错误!x３＋错误!与过点P（２,４）的切线相切于点A错误!，则切线的斜率k＝x错误!.∴切线方程为y—错误!＝x错误!（x—x0），即y＝x错误!·x—错误!x错误!＋错误!.∵点P（２,４）在切线上，∴４＝２x错误!—错误!x错误!＋错误!，即x错误!—３x错误!＋４＝0，∴x错误!＋x错误!—４x错误!＋４＝0．∴x错误!（x0＋１）—４（x0＋１）（x0—１）＝0，∴（x0＋１）（x0—２）２＝0，解得x0＝—１或x0＝２，故所求的切线方程为４x—y—４＝0或x—y＋２＝0．（３）设切点为（x0，y0），则切线的斜率k＝x错误!＝４，∴x0＝±２．∴切点为（２,４）或错误!.∴斜率为４的曲线的切线方程为y—４＝４（x—２）和y＋错误!＝４（x＋２），即４x—y—４＝0和１２x—３y＋２0＝0．利用导数判断函数的单调性规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f（x）为增函数⇔f′（x）≥0且f′（x）＝0的根有有限个，f（x）为减函数⇔f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个．【例２】设函数f（x）＝x e a—x＋bx，曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝（e—１）x＋４．（１）求a，b的值；（２）求f（x）的单调区间．[思路探究] （１）利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．（２）利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] （１）因为f（x）＝x e a—x＋bx，所以f′（x）＝（１—x）e a—x＋b.依题设，错误!即错误!解得错误!（２）由（１）知f（x）＝x e２—x＋e x.由f′（x）＝e２—x（１—x＋e x—１）及e２—x＞0知，f′（x）与１—x＋e x—１同号．令g（x）＝１—x＋e x—１，则g′（x）＝—１＋e x—１．所以，当x∈（—∞，１）时，g′（x）<0，g（x）在区间（—∞，１）上单调递减；当x∈（１，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在区间（１，＋∞）上单调递增．故g（１）＝１是g（x）在区间（—∞，＋∞）上的最小值，从而g（x）>0，x∈（—∞，＋∞）．综上可知，f′（x）>0，x∈（—∞，＋∞），故f（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞）．２．（１）讨论函数f（x）＝错误!e x的单调性，并证明当x＞0时，（x—２）e x＋x＋２＞0；（２）证明：当a∈[0,１）时，函数g（x）＝错误!（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．[解] （１）f（x）的定义域为（—∞，—２）∪（—２，＋∞）．f′（x）＝错误!＝错误!≥0，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0，所以f（x）在（—∞，—２），（—２，＋∞）上单调递增．因此当x∈（0，＋∞）时，f（x）>f（0）＝—１．所以（x—２）e x>—（x＋２），即（x—２）e x＋x＋２>0．（２）g′（x）＝错误!＝错误!（f（x）＋a）．由（１）知，f（x）＋a单调递增．对任意a∈[0,１），f（0）＋a＝a—１＜0，f（２）＋a＝a≥0．因此，存在唯一x a∈（0,２]，使得f（x a）＋a＝0，即g′（x a）＝0．当0<x<x a时，f（x）＋a<0，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x>x a时，f（x）＋a>0，g′（x）>0，g（x）单调递增．因此g（x）在x＝x a处取得最小值，最小值为g（x a）＝错误!＝错误!＝错误!.于是h（a）＝错误!.由错误!错误!＝错误!＞0，得y＝错误!单调递增，所以，由x a∈（0,２]，得错误!＝错误!＜h（a）＝错误!≤错误!＝错误!.因为y＝错误!单调递增，对任意λ∈错误!，存在唯一的x a∈（0,２]，a＝—f（x a）∈[0,１），使得h （a）＝λ.所以h（a）的值域是错误!.综上，当a∈[0,１）时，g（x）有最小值h（a），h（a）的值域是错误!.利用导数研究函数的极值、最值围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．【例３】已知函数f（x）＝x３＋ax２＋b的图象上一点P（１,0），且在点P处的切线与直线３x＋y ＝0平行．（１）求函数f（x）的解析式；（２）求函数f（x）在区间[0，t]（0<t<３）上的最大值和最小值；（３）在（１）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[１,３]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] （１）由错误!求出a，b即可．（２）对t分0<t≤２与２<t<３两种情况求最值．（３）构造函数g（x）＝f（x）—c转化为g（x）在[１,３]上有实根求解．[解] （１）因为f′（x）＝３x２＋２ax，曲线在P（１,0）处的切线斜率为：f′（１）＝３＋２a，即３＋２a＝—３，a＝—３．又函数过（１,0）点，即—２＋b＝0，b＝２．所以a＝—３，b＝２，f（x）＝x３—３x２＋２．（２）由f（x）＝x３—３x２＋２，得f′（x）＝３x２—6x.由f′（x）＝0，得x＝0或x＝２．１当0<t≤２时，在区间（0，t）上f′（x）<0，f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）的最大值为f（0）＝２，f（x）的最小值为f（t）＝t３—３t２＋２．２当２<t<３时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x0（0,２）２（２，t）tf′（x）0—0＋＋f（x）２单调递减↘极小值—２单调递增↗t３—３t２＋２f（t）—f（0）＝t３—３t２＝t２（t—３）<0．所以f（x）的最大值为f（0）＝２．（３）令g（x）＝f（x）—c＝x３—３x２＋２—c，g′（x）＝３x２—6x＝３x（x—２）．在x∈[１,２）上，g′（x）<0；在x∈（２,３]上，g′（x）>0．要使g（x）＝0在[１,３]上恰有两个相异的实根，则错误!解得—２<c≤0．３．（２0１9·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x—ln（１＋x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（１）f′（x）在区间—１，错误!存在唯一极大值点；（２）f（x）有且仅有２个零点．[解] （１）设g（x）＝f′（x），则g（x）＝cos x—错误!，g′（x）＝—sin x＋错误!，当x∈—１，错误!时，g′（x）单调递减，而g′（0）>0，g′错误!<0，可得g′（x）在—１，错误!有唯一零点，设为α.则当x∈（—１，α）时，g′（x）>0；当x∈α，错误!时，g′（x）<0．所以g（x）在（—１，α）单调递增，在α，错误!单调递减，故g（x）在—１，错误!存在唯一极大值点，即f′（x）在—１，错误!存在唯一极大值点．（２）f（x）的定义域为（—１，＋∞）．（ⅰ）当x∈（—１,0]时，由（１）知，f′（x）在（—１,0）单调递增，而f′（0）＝0，所以当x∈（—１,0）时，f′（x）<0，故f（x）在（—１,0）单调递减．又f（0）＝0，从而x＝0是f（x）在（—１,0]的唯一零点．（ⅱ）当x∈0，错误!时，由（１）知，f′（x）在（0，α）单调递增，在α，错误!单调递减，而f′（0）＝0，f′错误!<0，所以存在β∈α，错误!，使得f′（β）＝0，且当x∈（0，β）时，f′（x）>0；当x∈β，错误!时，f′（x）<0．故f（x）在（0，β）单调递增，在β，错误!单调递减．又f（0）＝0，f错误!＝１—ln１＋错误!>0，所以当x∈0，错误!时，f（x）>0．从而，f（x）在0，错误!没有零点．（ⅲ）当x∈错误!，π时，f′（x）<0，所以f（x）在错误!，π单调递减．而f错误!>0，f（π）<0，所以f（x）在错误!，π有唯一零点．（ⅳ）当x∈（π，＋∞）时，ln（x＋１）>１，所以f（x）<0，从而f（x）在（π，＋∞）没有零点．综上，f（x）有且仅有２个零点．函数与方程的思想符号都比较容易的函数，如果证明f（x）＞g（x），x∈（a，b），可转化为证明F（x）＝f（x）—g（x）与0的关系，若F′（x）＞0，则函数F（x）在（a，b）上是增函数．若F（a）≥0，则由增函数的定义，知当x∈（a，b）时，有F（x）＞F（a）≥0，即f（x）＞g（x）成立，同理可证明f（x）＜g（x），x∈（a，b）．【例４】设函数f（x）＝２x３＋３ax２＋３bx＋8c在x＝１及x＝２时取得极值．（１）求a，b的值；（２）若对任意的x∈[0,３]，都有f（x）<c２成立，求c的取值范围．[思路探究] （１）利用f′（１）＝0，f′（２）＝0，列方程组求解．（２）转化为求函数f（x）的最大值问题．[解] （１）f′（x）＝6x２＋6ax＋３b.因为函数f（x）在x＝１及x＝２时取得极值，则有f′（１）＝0，f′（２）＝0，即错误!解得错误!（２）由（１）可知，f（x）＝２x３—9x２＋１２x＋8c，则f′（x）＝6x２—１8x＋１２＝6（x—１）（x—２）．当x∈[0,１）时，f′（x）>0；当x∈[１,２]时，f′（x）<0；当x∈（２,３]时，f′（x）>0．所以当x＝１时，f（x）取得极大值f（１）＝５＋8c，当x＝２时，f（x）取得极小值f（２）＝４＋8c，又f（0）＝8c，f（３）＝9＋8c.所以当x∈[0,３]时，f（x）的最大值为f（３）＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,３]，有f（x）<c２恒成立，所以9＋8c<c２，解得c<—１或c>9．故c的取值范围为c<—１或c>9．４．已知函数f（x）＝错误!，且f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．[解] （１）对函数f（x）求导，得f′（x）＝错误!＝错误!.因为f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．所以错误!即错误!所以a＝４，b＝１，所以f（x）＝错误!.（２）因为f′（x）＝错误!，所以直线l的斜率k＝f′（x0）＝错误!＝４错误!，令t＝错误!，t∈（0,１]，则k＝４（２t２—t）＝8错误!错误!—错误!，所以k∈错误!.定积分及其应用的几何意义、物理意义及微积分基本定理．可以解决不规则平面图形的面积及变力作功问题．【例５】设两抛物线y＝—x２＋２x，y＝x２所围成的图形为M，求M的面积．[思路探究] 求出两抛物线的交点，画出图象、利用定积分求解．[解] 函数y＝—x２＋２x，y＝x２在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．由图可知，图形M的面积S＝错误!（—x２＋２x—x２）d x＝错误!（—２x２＋２x）d x＝错误!错误!＝错误!.５．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５Ｂ．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５Ｄ．４＋５0ln ２[解析] 由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，在此期间行驶的距离为错误!v（t）d t＝错误!错误!d t＝错误!错误!＝４＋２５ln ５．[答案] C１．设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝x[解析] ∵ f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax，∴ f′（x）＝３x２＋２（a—１）x＋a.又f（x）为奇函数，∴ f（—x）＝—f（x）恒成立，即—x３＋（a—１）x２—ax＝—x３—（a—１）x２—ax恒成立，∴ a＝１，∴ f′（x）＝３x２＋１，∴ f′（0）＝１，∴ 曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．[答案] D２．函数y＝—x４＋x２＋２的图象大致为（）[解析] f′（x）＝—４x３＋２x，则f′（x）>0的解集为—∞，—错误!∪0，错误!，f（x）单调递增；f′（x）<0的解集为—错误!，0∪错误!，＋∞，f（x）单调递减．故选Ｄ．[答案] D３．若x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，则f（x）的极小值为（）Ａ．—１Ｂ．—２e—３Ｃ．５e—３Ｄ．１[解析] 函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１，则f′（x）＝（２x＋a）e x—１＋（x２＋ax—１）·e x—１＝e x—１·[x２＋（a＋２）x＋a—１]．由x＝—２是函数f（x）的极值点得f′（—２）＝e—３·（４—２a—４＋a—１）＝（—a—１）e—３＝0，所以a＝—１．所以f（x）＝（x２—x—１）e x—１，f′（x）＝e x—１·（x２＋x—２）．由e x—１>0恒成立，得x＝—２或x＝１时，f′（x）＝0，且x<—２时，f′（x）>0；—２<x<１时，f′（x）<0；x>１时，f′（x）>0．所以x＝１是函数f（x）的极小值点．所以函数f（x）的极小值为f（１）＝—１．故选Ａ．[答案] A４．已知函数f（x）＝２sin x＋sin ２x，则f（x）的最小值是________．[解析] f′（x）＝２cos x＋２cos ２x＝２cos x＋２（２cos２x—１）＝２（２cos２x＋cos x—１）＝２（２cos x—１）（cos x＋１）．∵ cos x＋１≥0，∴ 当cos x<错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当cos x>错误!时，f′（x）>0，f（x）单调递增．∴ 当cos x＝错误!时，f（x）有最小值．又f（x）＝２sin x＋sin ２x＝２sin x（１＋cos x），∴ 当sin x＝—错误!时，f（x）有最小值，即f（x）min＝２×错误!×错误!＝—错误!.[答案] —错误!５．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为５cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△E CA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm３）的最大值为________．[解析] 如图，连接O D，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝错误!BC.设OG＝x，则BC＝２错误!x，DG＝５—x，三棱锥的高h＝错误!＝错误!＝错误!，S△ABC＝错误!×２错误!x×３x＝３错误!x２，则三棱锥的体积V＝错误!S△ABC·h＝错误!x２·错误!＝错误!·错误!.令f（x）＝２５x４—１0x５，x∈错误!，则f′（x）＝１00x３—５0x４.令f′（x）＝0得x＝２．当x∈（0,２）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减，故当x＝２时，f（x）取得最大值80，则V≤错误!×错误!＝４错误!.∴三棱锥体积的最大值为４错误!cm３.[答案] ４错误!6．已知函数f（x）＝a e x—ln x—１．设x＝２是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间．[解] f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝a e x—错误!.由题设知，f′（２）＝0，所以a＝错误!.从而f（x）＝错误!e x—ln x—１，f′（x）＝错误!e x—错误!.当0<x<２时，f′（x）<0；当x>２时，f′（x）>0．所以f（x）在（0,２）上单调递减，在（２，＋∞）上单调递增．。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3 导数的实际应用课程设计一、课程设计背景高中数学是学生学习的重点科目之一，而导数是高中数学中的一个重要概念，在几何、物理以及工程学科中有着广泛的应用。

本课程设计旨在帮助学生更好地掌握导数的实际应用，提高学生的应用能力，增强学生的学科实践意识。

二、教学目标1.了解导数在几何、物理、工程等领域中的应用。

2.学会运用导数求解实际问题。

3.培养学生的应用能力和创新意识。

三、教学内容及步骤3.1 教学内容1.导数在几何中的应用2.导数在物理中的应用3.导数在工程中的应用3.2 教学步骤Step 1 导入通过图片或演示文稿引入导数的概念，提醒学生导数在几何、物理、工程等领域中的广泛应用，让学生能够体验到导数在实际应用中的重要性。

Step 2 导数在几何中的应用1.通过几何例题，引导学生体会导数在几何中的应用。

2.让学生在几何情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决几何问题。

3.给学生提供几个几何问题，让他们自己来计算解决。

Step3 导数在物理中的应用1.带领学生观察物理现象，引导学生发现其中涉及到导数的概念。

2.通过物理例题，引导学生了解导数在物理中的应用。

3.让学生在物理情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决物理问题。

4.给学生提供一些物理问题，让他们自己来计算解决。

Step4 导数在工程中的应用1.通过具体的工程案例，引导学生认识导数在工程中的应用。

2.让学生尝试着利用导数来解决工程问题。

3.让学生在工程情境中对导数进行解释，运用导数来解决实际问题。

4.给学生提供一些工程问题，让他们自己来计算解决。

Step 5 总结1.通过学生的解题情况，引导学生总结导数在实际应用中的重要性。

2.侧重点是让学生掌握导数在解决实际问题中的应用。

四、教学方法1.以实物观察的方式引入知识点，让学生自己体验导数在实际中的应用。

2.通过提供经典的例题，引导学生认识到导数在几何、物理、工程中的应用情况。

人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的定义和基本性质；2.掌握导数的实际应用；3.学会利用导数求解实际问题。

二、教学内容本单元主要介绍导数的实际应用，包括最值问题、曲率、变化率、弦与切线等概念。

2.1 最值问题1.求解函数的极值；2.利用导数求解函数的最值；3.求解优化问题。

2.2 曲率1.了解曲率的定义和相关概念；2.掌握求解曲率的方法；3.学会利用曲率求解实际问题。

2.3 变化率1.了解变化率的定义和相关概念；2.掌握如何利用导数求解函数的变化率；3.学会利用变化率求解实际问题。

2.4 弦与切线1.掌握弦与切线的概念和性质；2.学会利用导数求解函数的弦与切线；3.学会利用弦与切线求解实际问题。

三、教学重点和难点3.1 教学重点1.掌握导数的实际应用；2.学会利用导数求解实际问题。

3.2 教学难点1.如何将导数的概念与实际问题相结合；2.如何通过综合运用各种方法求解实际问题。

四、教学方法本课采用问答式教学，引导学生发现实际应用问题中的数学模型，并通过练习加深对导数实际应用的理解。

教学步骤如下：1.简要介绍导数的定义和基本性质；2.以最值问题为例，讲解如何利用导数求解函数的最值；3.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过导数求解最值问题；4.以曲率为例，讲解如何求解函数的曲率；5.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过曲率求解实际问题；6.以变化率为例，讲解如何利用导数求解函数的变化率；7.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过变化率求解实际问题；8.以弦与切线为例，讲解如何利用导数求解函数的弦与切线；9.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过弦与切线求解实际问题。

五、教学资源本次课程需要用到以下教学资源：1.导数概念展示PPT；2.最值问题PPT；3.曲率PPT；4.变化率PPT；5.弦与切线PPT；6.实际问题练习卷。

6．１．４求导法则及其应用学习目标核心素养１．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．（重点）２．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．（难点）３．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．（易混点）１．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．２．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数：（１）y＝x错误!；（２）y＝２x２＋sin x.问题：由此你能类比联想一下[f（x）＋g（x）]′的求导法则吗？１．导数的运算法则（１）和差的导数[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．（２）积的导数１[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；２[C f（x）]′＝C f′（x）．（３）商的导数错误!′＝错误!，g（x）≠0．拓展：１[f１（x）±f２（x）±…±f n（x）]′＝f′１（x）±f′２（x）±…±f′n（x）．２[af（x）＋bg（x）]′＝af′（x）＋bg′（x）（a，b为常数）．２．复合函数的概念及求导法则（１）复合函数的概念一般地，已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f （u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量．（２）一般地，如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则可以证明，复合函数的导数h′（x）与f′（u），g′（x）之间的关系为h′（x）＝[f（g（x））]′＝f′（u）g′（x）＝f′（g（x））g′（x）．这一结论也可以表示为y′x＝y′u u′x.思考：函数y＝log２（x＋１）是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y＝log２（x＋１）是由y＝log２u及u＝x＋１两个函数复合而成．１．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（１）函数f（x）＝错误!是复合函数．（）（２）函数f（x）＝sin（—x）的导数f′（x）＝cos（—x）．（）（３）y＝e２x的导数y′＝２e２x. （）（４）[f（x）g（x）h（x）]′＝f′（x）g′（x）h′（x）．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×２．函数f（x）＝x e x的导数f′（x）＝（）Ａ．e x（x＋１）Ｂ．１＋e xＣ．x（１＋e x）Ｄ．e x（x—１）A[f′（x）＝x′e x＋x（e x）′＝e x＋x e x＝e x（x＋１），选Ａ．]３．若函数f（x）＝ax２＋c，且f′（１）＝２，则a＝________.１[∵f（x）＝ax２＋c，∴f′（x）＝２ax，故f′（１）＝２a＝２，∴a＝１．]４．若y＝错误!，则y′＝________.错误![∵y＝错误!ln x，∴y′＝错误!·错误!＝错误!.]导数四则运算法则的应用（１）y＝x—２＋x２；（２）y＝３x e x—２x＋e；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—sin 错误!cos错误!.[解] （１）y′＝２x—２x—３.（２）y′＝（ln ３＋１）·（３e）x—２x ln ２．（３）y′＝错误!.（４）∵y＝x２—sin错误!cos错误!＝x２—错误!sin x，∴y′＝２x—错误!cos x.１．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．２．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．错误!１．已知函数f（x）＝（２x＋１）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）＝________.３[因为f（x）＝（２x＋１）e x，所以f′（x）＝２e x＋（２x＋１）e x＝（２x＋３）e x，∴f′（0）＝３．]２．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝２xf′（e）＋ln x（其中e为自然对数的底数），则f′（e）＝________.—错误![因为f（x）＝２xf′（e）＋ln x，所以f′（x）＝２f′（e）＋错误!.∴f′（e）＝２f′（e）＋错误!，即f′（e）＝—错误!.]复合函数的导数（１）y＝e２x＋１；（２）y＝错误!；（３）y＝５log２（１—x）；（４）y＝sin３x＋sin ３x.[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解] （１）函数y＝e２x＋１可看作函数y＝e u和u＝２x＋１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（e u）′（２x＋１）′＝２e u＝２e２x＋１.（２）函数y＝错误!可看作函数y＝u—３和u＝２x—１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（u—３）′（２x—１）′＝—6u—４＝—6（２x—１）—４＝—错误!.（３）函数y＝５log２（１—x）可看作函数y＝５log２u和u＝１—x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（５log２u）′·（１—x）′＝错误!＝错误!.（４）函数y＝sin３x可看作函数y＝u３和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin ３x可看作函数y＝sin v和v＝３x的复合函数．∴y′x＝（u３）′·（sin x）′＋（sin v）′·（３x）′＝３u２·cos x＋３cos v＝３sin２x cos x＋３cos ３x.１．解答此类问题常犯的两个错误（１）不能正确区分所给函数是否为复合函数；（２）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．２．复合函数求导的步骤错误!３．求下列函数的导数．（１）y＝错误!；（２）y＝log２（２x２—１）．[解] （１）y＝错误!＝错误!＝错误!＝１＋错误!.设y＝１＋错误!，u＝１—x，则y′＝y′u·u′x＝（１＋错误!）′·（１—x）′＝错误!·（—１）＝—错误!.（２）设y＝log２u，u＝２x２—１，则y′＝y′u·u′x＝错误!·４x＝错误!.导数运算法则的综合应用若点P是曲线y＝e x上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？[提示] 如图，当曲线y＝e x在点P（x 0，y0）处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线l的距离最小．设P（x0，y0），则y′|x＝x0＝e x0，由e x0＝１可知x0＝0，此时y0＝e0＝１．即P（0,１），利用点到直线的距离公式得最小距离d＝错误!.【例３】（１）设曲线y＝e ax在点（0,１）处的切线与直线x＋２y＋b＝0垂直，则a＝________.（２）曲线y＝ln（２x—１）上的点到直线２x—y＋３＝0的最短距离为________．[思路点拨] （１）错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!（１）２（２）错误![（１）因为y＝e ax，所以y′＝a e ax，由题意可知y′|x＝0＝a＝２可知a＝２．（２）设曲线y＝ln（２x—１）在点（x0，y0）处的切线与直线２x—y＋３＝0平行，又因为y′＝错误!，所以y′|x＝x0＝错误!＝２，解得x0＝１．∴y0＝ln（２—１）＝0，即切点坐标为（１,0），∴点（１,0）到直线２x—y＋３＝0的距离d＝错误!＝错误!，即曲线y＝ln（２x—１）到直线２x—y＋３＝0的最短距离是错误!.]正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.错误!４．已知函数f（x）＝ax２＋２ln（２—x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线为l，若直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相切，求实数a的值．[解] 因为f（１）＝a，f′（x）＝２ax＋错误!（x<２），所以f′（１）＝２a—２，所以切线l的方程为２（a—１）x—y＋２—a＝0．因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝错误!＝错误!，解得a＝错误!.１．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．２．求简单复合函数f（ax＋b）的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f （u），u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f（u）与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f（u），u＝ax＋b的形式是求解的关键．１．函数y＝（２0２0—8x）３的导数y′＝（）Ａ．３（２0２0—8x）２Ｂ．—２４xＣ．—２４（２0２0—8x）２Ｄ．２４（２0２0—8x）２C[y′＝３（２0２0—8x）２×（２0２0—8x）′＝３（２0２0—8x）２×（—8）＝—２４（２0２0—8x）２.]２．函数y＝x２cos ２x的导数为（）Ａ．y′＝２x cos ２x—x２sin ２xＢ．y′＝２x cos ２x—２x２sin ２xＣ．y′＝x２cos ２x—２x sin ２xＤ．y′＝２x cos ２x＋２x２sin ２xB[y′＝（x２）′cos ２x＋x２（cos ２x）′＝２x cos ２x＋x２（—sin ２x）·（２x）′＝２x cos ２x—２x２sin ２x.]３．已知f（x）＝ln（３x—１），则f′（１）＝________.错误![f′（x）＝错误!·（３x—１）′＝错误!，∴f′（１）＝错误!.]４．曲线y＝３（x２＋x）e x在点（0,0）处的切线方程为________．y＝３x[y′＝３（２x＋１）e x＋３（x２＋x）e x＝e x（３x２＋9x＋３），斜率k＝e0×３＝３，∴切线方程为y＝３x.]５．求下列函数的导数．（１）y＝cos（x＋３）；（２）y＝（２x—１）３；（３）y＝e—２x＋１.[解] （１）函数y＝cos（x＋３）可以看作函数y＝cos u和u＝x＋３的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（cos u）′·（x＋３）′＝—sin u·１＝—sin u＝—sin（x＋３）．（２）函数y＝（２x—１）３可以看作函数y＝u３和u＝２x—１的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（u３）′·（２x—１）′＝３u２·２＝6u２＝6（２x—１）２.（３）y′＝e—２x＋１·（—２x＋１）′＝—２e—２x＋１.。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。

三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。

（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。

2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。

四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。

五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。

人教版高中选修(B版)2-21.3.3 导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的基本概念和求导方法；2.理解导数在实际应用中的意义和作用；3.能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和求导方法；2.导数在实际应用中的意义和作用；3.导数的实际应用举例。

三、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授掌握基础概念和求导方法；2.问题导入法：通过引入实际问题导入，引发学生的兴趣并加深对导数的理解；3.分组探究法：通过分组合作，团队合作解决实际问题，增强合作意识，培养实际解决问题的能力；4.讨论法：通过讨论，深化对导数在实际应用中的理解。

四、教学重点和难点1.教学重点：导数的概念和求导方法，导数在实际应用中的意义和作用；2.教学难点：如何运用导数解决实际问题。

五、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引入实际问题，如汽车行驶中的加速度、弹簧自由振动等，引发学生对导数的兴趣，加深对导数的理解。

2. 讲授导数的概念和求导方法（10分钟）讲解导数的概念，刻画导数的几何意义，讲解导数的计算方法。

3. 分组探究导数的实际应用（20分钟）将学生分成小组，每组给出一个实际应用问题，让学生通过合作讨论，解决问题并展示给所有的学生，其他学生需要提出问题或建议。

例如：问题1：假如车速仪表是恒定的，用车速仪表中的读数作为车速，那么误差大小是多少？司机行驶一辆车，要求计算车速仪表的误差大小。

问题2：山顶上的标准重力加速度为9.8m/s2，端点高度为3000m的斜面为直角三角形，一铅球从山顶垂直落下并在斜面上滚动，求铅球运动学参数。

4. 讨论导数在实际应用中的作用（10分钟）通过讨论，总结导数在实际应用中的作用，如加速度的概念和计算、最大值和最小值的求解、曲线切线问题的求解等。

5. 总结与展望（5分钟）总结本节课的内容和重点，展望下节课的教学内容和目标。

六、教学反思通过本节课的设计，使学生加深了对导数的理解，并掌握了求导的方法。

导数的实际应用教学设计主要内容：本节是高三复习课《导数的应用》的第一课时，根据考纲要求，引导学生复习利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等。

并利用导数研究三次函数的图像与性质，一方面培养学生分析问题、解决问题的能力，另一方面有关函数零点在导数中的应用考点分析：导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。

学生情况分析：此前学生已复习过导数的概念、几何意义、导数的运算等。

课前要求学生对利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等概念进行预习。

教学目标：知识教学点：经过学习，学生能利用导数研究函数的图像、单调性、极值、最值等，掌握解题通法。

能力训练点：渗透数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想等。

德育渗透点：培养学生严谨的学习态度，勇于探索敢于质疑的学习精神。

教学重点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教学难点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教法引导、练习法等学法：讨论、数形结合、转化与化归等教具准备：多媒体辅助教学教学过程设计一、课前学案希望你带着以下的问题学习。

1、本节课你学会了哪些知识点？掌握了哪些技能？2、你在学习的过程中，用到了哪些数学思想和方法？3、你是否能积极参与课堂，能善于思考，能勇于质疑，能条理的表达思考过程？（设计说明：让学生在听课的过程中学会小结，有意识养成小结的习惯，从而帮助学生理清知识结构，并从知识、能力、学习态度三方面给予有效引导。

）二、引言导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。

导数作为工具是一道亮丽的风景线。

那么，在高考中，“导数的应用”重点考查什么呢？重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以及利用导数在零点中的应用导数的应用很广泛，今天我们的学习，主要导数中的零点和隐零点问题复习和总结。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用课程设计课程目标
•理解导数在实际问题中的应用
•能够用导数求解实际问题
•培养分析解决问题的能力
课程内容
1.导数的实际意义回顾
2.实际问题中的导数应用
3.实际问题中的导数求解
4.课堂练习
教学方法
本课程采用讲授-解题的模式进行。

教学步骤
第一步：导数的实际意义回顾
1.复习导数定义及其几何意义
2.讲解导数在实际问题中的意义，并通过例题进行讲解
第二步：实际问题中的导数应用
1.介绍一些实际问题及其背景
2.展示问题中导数的应用方式
3.通过例题进行讲解
第三步：实际问题中的导数求解
1.提供一些实际问题及其数学模型
2.教授导数求解方法，并通过例题进行讲解
第四步：课堂练习
1.提供多组实际问题及其数学模型
2.让学生通过导数求解实际问题
教学过程中需要注意的问题
1.给予足够的时间让学生理解导数在实际问题中的应用。

2.可以放慢授课速度，以确保学生能够跟上课程进度。

3.鼓励学生多思考，并加强实际问题的联系，提高学生的分析解决问题
的能力。

教学评估方式
采用教师打分+同学评价+自我评价的形式进行评估。

推荐作业
1.完成教师提供的课堂习题。

2.自行寻找实际问题，并用导数解析问题。

总结
导数是高中数学中的重点难点，本课程通过实际问题的引导，加深了学生对导数的理解和应用，同时培养了学生的分析解决问题的能力，对学生的成长具有显著的帮助。