学习
目
标核心素养
１．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点）
２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养．
２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
导数在实际生活中的应用
１．最优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．
２．用导数解决最优化问题的基本思路
１．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）
Ａ．6 m Ｂ．8 m
Ｃ．４m Ｄ．２m
[解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．
[答案] C
２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
[解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）
＝—x２＋２３0x—6 000，
S′（x）＝—２x＋２３0，
由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．
[答案] １１５
面积、体积的最值问题
示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）．
（１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？
（２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0．
（１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800，
所以当x＝１５时，S取得最大值．
（２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）．
由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0．
当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0．
所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．
此时错误!＝错误!，即包装盒的高与底面边长的比值为错误!.
１．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
２．解决优化问题时应注意的问题
（１）列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
（２）一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点或函数f（x）在开区间上只有一个点使f′（x）＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
１．将一张２×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求１至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，５⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m３.
（１）写出y关于x的函数关系式；
（２）x取何值时，水箱的容积最大．
[解] （１）由水箱的高为x m，
得水箱底面的宽为（２—２x）m，长为错误!＝（３—x）m.
故水箱的容积为y＝２x３—8x２＋6x（0（２）由y′＝6x２—１6x＋6＝0，
解得x＝错误!（舍去）或x＝错误!.
因为y＝２x３—8x２＋6x（0所以当x的值为错误!时，水箱的容积最大．
用料最省、成本（费用）最低问题
【例２】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
[思路探究] 可设CD＝x k m，则C E＝（３—x）k m，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
[解] 设CD＝x k m，则C E＝（３—x）k m.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝错误!＋错误!（0≤x≤３），
从而l′＝错误!—错误!.
令l′＝0，即错误!—错误!＝0，
解得x＝１．２或x＝—6（舍去）．
因为在[0,３]上使l′＝0的点只有x＝１．２，
所以根据实际意义，知x＝１．２就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为１．２k m处时，所需电线总长最短．
１．用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．２．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值．
２．甲、乙两地相距４00千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过１00千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/时）的函数关系是P＝错误!v４—错误!v３＋１５v，（１）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；
