题型五：导数与其它知识综合
【例1】 函数20()(4)x
f x t t dt =-?在[1,5]-上的最大和最小值情况是（ ）
A ．有最大值0，但无最小值
B ．有最大值0和最小值323
- C ．有最小值32
3
-
，但无最大值 D ．既无最大值又无最小值 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】
【解析】 332
220
()(4)22033
x
x t x f x t t dt t x ??=-=-=- ????，2()4(4)f x x x x x '=-=-，
从而()f x 在[1,0]-上单调递增，在(0,4)上单调递减，在[4,5]上单调递增，
故()f x 在0x =时取到极大值0，在4x =时取到极小值32
3
-，
又732(1)33f -=-<-，25(5)03f =-<，故()f x 在区间[1,5]-上的最大值为0，最小值为32
3
-．
【答案】B
【例2】 设函数321()(2)232a
f x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间
(1,2)内，则
5
4
b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】
【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图
象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>??'?，即2030620b a b a b ->??--?，从而有2326b a b a b
+>??+
，
它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：
(4,5)
23
O
b
a
板块四.导数与其它知识综合
5
4
b a --表示的是区域内的点(,)a b 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小
值也取不到，但中间的值都能取到，从而5
4
b a --的取值范围为(1,5)．
【答案】(1,5)
【例3】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ?
?∈-∞- ??
?，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切
线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．
⑴ 证明：2
1212x x x a
=+；
⑵ 若对于任意的1,2a x ?
?∈-∞- ??
?，都有916a OM ON ?>u u u u r u u u r 成立，求a 的取值范围．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010，西城，二模，题18
【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，
故切线l 的斜率为12x a +，
由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．
令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a
+=-+=++．
⑵ 由(
)
2
11
1,M x x ax +，211,02x N x a ?? ?+??，得3
11
2x OM ON x a ?=+u u u u r u u u r ． 所以0a =符合题意，
当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ?
?∈-∞- ??
?．
对1()g x 求导数，得()()
()
21112
1432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ??=-
∈-∞- ???
． 当1,2
a x ?
?
∈-∞- ?
时，1()g x '的变化情况如下表：
所以，函数1()g x 在,4??-∞- ???上单调递减，在3,42a
a ??-- ???上单调递增，
从而函数1()g x 的最小值为2
327432
a g a ??-
= ???． 依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3??
+∞ ???
．
综上，a 的取值范围是2{0},3??
+∞ ???
U ．
【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3??
+∞ ???
U ．
【例4】 设12x x ，是32
1()32
a b f x x x x -=
++（0a b a ∈>R ，
，的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=， ⑴如果1224x x <<<，求证：(2)3f '->；
⑵如果2a ≥，且212x x -=，12()x x x ∈，时，函数2()()2()g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值．
⑶如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】
【解析】 ⑴2()(1)1f x ax b x '=+-+，12x x ，是方程()0f x '=的两个根，
由1224x x <<<且0a >得(2)0
(4)0f f '
'>?421016430
a b a b +-
+->?①②
，
(3)?-+①②得420a b ->，
∴(2)42(1)14233f a b a b '-=--+=-+>．
⑵∴()0f x '=的两个根是12x x ，，∴可设12()()()f x a x x x x '=--， ∴122212()()()2()()g x a x x x x x x a x x x x a
??
=--+-=--+ ??
?
，
∵12()x x x ∈，，∴20x x -<，10x x ->，又2a ≥，∴12
0x x a
-+>． ∴1212()()g x a x x x x a ?
?
=--+ ??
?
212()a x x x x a
??=--+ ??
?
2
2122x x a a ??-+ ? ? ? ?
??
≤21112a a a a ??=+=++ ???，
1()2g x a a ??
-++ ???
≥．
当且仅当212x x x x a -=-+，即12111
12x x x x a a
+=-=+-时取等号． ∴1()2h a a a ??=-+
+ ??
?（2a ≥）．当2a ≥时，21()10h a a ?
?'=--< ???
． ∴()h a 在[2)+∞，上是减函数．∴max 9
()(2)2h a h ==-．
⑶由第⑴问知121211b x x a
x x a -?
+=-????=??
，由120x x ≠，
两式相除得12121211(1)x x b x x x x +--=
=+，即12
11
1b x x =--+． ①当102x <<时，由121
0x x a
=
>20x ?>，∴212x x -=，即212x x =+．
∴1111
12
b x x =-
-++，1(02)x ∈，
． 令函数11
()1(0)2
x x x x ?=--+>+，则2211()0(2)x x x ?'=+
>+． ∴()x ?在(0)+∞，上是增函数．
∴当1(02)x ∈，时，1111()(2)1244b x ??=<=--+=，即1
4
b <．
②当120x -<<时，20x <，∴122x x -=，即212x x =-． ∴1111
12
b x x =-
-+-，1(20)x ∈-，
， 令函数11
()1(0)2
x x x x ψ=--+<-，则同理可证()x ψ在(0)-∞，
上是增函数． ∴当1(20)x ∈-，时，17
()(2)4b x ψψ=>-=．
综①②所述，b 的取值范围是17
44?
???
-∞+∞ ? ?????
U ，，
． 【答案】⑴略；⑵max 9()2h a =-；⑶b 的取值范围是1744????
-∞+∞ ? ?????
U ，，．
【例5】 已知函数3211
()34
f x ax x cx d =-++（a c d ∈R ，，）满足(0)0(1)0f f '==，，
且()0f x '≥在R 上恒成立． ⑴求a c d ，，的值；
⑵若231
()424
b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x '+<．
⑶是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx '=-在区间[2]m m +，上有最小值5-？
若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】
【解析】 ⑴2
1()2f x ax x c '=-+，∵(0)0(1)0f f '==，，∴01
02d a c =???-+=??，即0
12
d c a =??
?=-??， 从而211()22f x ax x a '=-+-．∵()0f x '≥在R 上恒成立，∴0
114042a a a >??
???
?=-- ?????≤， 即2
104a a >?????
-???
?
??≤，解得11044a c d ===，，． ⑵由⑴知，2111()424f x x x '=-+，∵231
()424
b h x x bx =-+-，
∴不等式()()0f x h x '+<化为2211131
0424424
b x x x bx -++-+-<，
即21022b
x b x ??-++< ???
，∴1()02
x x b ??
--< ??
?
（a ）若12b >，则不等式()()0f x h x '+<解集为1,2b ??
???；
（b ）若1
2b =，则不等式()()0f x h x '+<解集为空集；
（c ）若12b <，则不等式()()0f x h x '+<解集为1,2b ?
? ??
?．
⑶21
1
1
()()424g x f x mx x m x ??'=-=-++ ???
．
该抛物线开口向上，对称轴为12x m =+．
①若12m m +≤，即1m -≤时，21
11
()424g x x m x ??=-++ ???
在[2]m m +，上为增函数．
当x m =时，2min 1
11
()424
g x m m m ??=-++ ???
．
由已知得21
1115424m m m m -??
???
-++=- ?????
≤，解得3m =-． ②若122m m m <+<+，即11m -<<时，当12x m =+时，2min ()g x m m =--． 由已知得2
115
m m m -<
--=-?，无解．
③若12m m +≥，即1m -≥时，21
11
()424
g x x m x ??=-++ ??
?
在[2]m m +，上为减函数．
当2x m =+时，2min 111()(2)(2)424g x m m m ??
=+-+++ ???
2331424m m =--+．
由已知得21
331
5424
m m m -??
?--+=-??≥
，解得1m =． 综上所述，存在实数3m =-
或1m =，使函数()()g x f x mx '=-在区间[2]m m +，上有最小值5-．
【答案】⑴11044a c d ===，，．⑵若12b >，则不等式的解集为1,2b ??
???
；
若12b =，则不等式的解集为空集；若12b <，则不等式的解集为1,2b ?
? ??
?．
⑶存在，3m =-
或1m =．
【例6】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．
⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．
，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0
()(),0g x x q x f x x ?=?
≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数
221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2009，浙江，高考，题22
【解析】 ⑴32()()()(1)(5)1p x f x g x x k x k x =+=+-++-，
()232(1)(5)p x x k x k '=+-++．
因为()p x 在区间(03)，上不单调，
所以()0p x '=在(03)，上有实数解，且无重根． 由()0p x '=，得2(21)(325)k x x x +=--+，
即()2(325)391021214213x x k x x x -+??
=-=-++-??++??
，
令21t x =+，有()17t ∈，，记9
()h t t t
=+，
则()h t 在(]13，上单调递减，在[)37，上单调递增．所以，()[)610h t ∈，
． 于是()[)9
2161021
x x ++
∈+，，得(]52k ∈--，． 而当2k =-时，有()0p x '=在()03，上有两个相等的实根1x =，故舍去． 所以()52k ∈--，； ⑵由题意，得
当0x <时，()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时，()()22q x g x k x k ''==+． 因为当0k =时不合题意，所以0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形．
记{}()|0A g x x '=>，{}()|0B f x x '=<， 则()A k =+∞，，(5)B =+∞，．
（ⅰ）当10x >时，()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x <，且A B ?， 因此5k ≥；
（ⅱ）当10x <时，()q x '在(0)-∞，上单调递减，
所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x >，且B A ?，因此5k ≤． 综合（ⅰ）（ⅱ），得5k =． 当5k =时，有A B =． 则10x ?<，()q x B A '∈=，
即20x ?>，使得21()()q x q x ''=成立． 因为()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以2x 是惟一的．
同理．10x ?>，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得22()()q x q x ''=成立． 所以5k =满足题意．
【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．
【例7】 已知函数()f x 满足()3223f x x f x x C ??'=+-+ ???（其中23f ??
' ???
为()f x 在点23x =处的导数，C 为
常数）．
⑴求函数()f x 的单调区间；
⑵若方程()0f x =有且只有两个不等的实数根，求常数C ；
⑶在⑵的条件下，若103f ??
-> ???
，求函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】
【解析】 ⑴ 由()3223f x x f x x C ??'=+-+ ???，得()223213f x x f x ??
''=+- ???
．
取23x =，得2
22223213333f f ????????''=?+?- ? ? ? ?????????，解之，得213f ??
'=- ???，
∴()32f x x x x C =--+．从而()()21321313f x x x x x ?
?'=--=+- ??
?，
列表如下：
∴()f x 的单调递增区间是,3??-∞- ??
?
和()1,+∞；()f x 的单调递减区间是1,13??- ???
．
⑵ 由⑴知，()3
2
max
11115333327f x f C C ????????
=-=-----+=+?? ? ? ? ???????????
；
()()32
min 11111f x f C C ==--+=-+????．
∴方程()0f x =有且只有两个不等的实数根，等价于()max 0f x =????或()min 0f x =????． ∴常数5
27
C =-
或1C =． ⑶ 由⑵知，()325
27
f x x x x =---
或()321f x x x x =--+． 而103f ??
-> ???
，所以()321f x x x x =--+．
令()3210f x x x x =--+=，得()()2
110x x -+=，11x =-，21x =．
∴所求封闭图形的面积()1
1
3243211111414323
x x x dx x x x x --??
=--+=--+= ????．
【答案】⑴()f x 的单调递增区间是1,3??
-∞- ??
?
和()1,+∞；单调递减区间是1,13
??- ???
．
⑵527C =-
或1C =．⑶4
3
．
【例8】 ⑴已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C ．
①求函数()f x 的单调区间；
②证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点()()111P x f x ，处的切线交于另一点
()()222P x f x ，，曲线C 与其在点2P 处的切线交于另一点()()333P x f x ，，线段12P P ，23P P 与曲
线C 所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S 则
1
2
S S 为定值； ⑵对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++()0a ≠，请给出类似于⑴②的正确命题，并予以证明．
【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2010，福建，高考20
【解析】 解法一：
⑴①由()3f x x x =-得(
)2313f x x x x ?'=-=+ ?
???
．
当x ?
∈-∞-
?
?，
和?+∞????
时，()0f x '>，
当x ?∈ ??
时，()0f x '<． 因此，()f x
的单调递增区间为?-∞ ??，
和?+∞????
，单调递减区间为? ??
②曲线C 在点1P 处的切线方程为()()23
1111
31y x x x x x =--+-
即()2
31
1
312y x x x =--
由()23
113
312y x x x y x x
?=--??=-??得()
32311312x x x x x -=--
即()()2
1120x x x x -+=
解得1x x =或12x x =- 故212x x =- 进而有()1
1
21
3
2
342234
11
1
1111
21327322424
x x x S x x x x dx x x x x x x x
--??
=
-+=-+=
?
??? 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322x x =-和4
22274
S x = 又2120x x =-≠，所以4
21271604
S x ?=
≠，因此有12116S S =．
⑵记函数()()3
2
0g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线C '，类似于⑴②的正确命题为：若对于
任意不等于3b
a
-的实数1x ，曲线C '与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点
()()222P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲
线C '所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则1
2
S S 为定值． 证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心33b b g a
a ?
???-- ? ?????， 平移至坐标原点，因而不妨设()3g x ax hx =+，且10x ≠ 类似⑴ 的计算可得411274S ax =，4
21271604
S ax ?=≠ 故
121
16
S S = 解法二： ⑴ 同解法一
⑵ 记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线'C ，类似于⑴ （ⅱ）的正确命题为：若对于任意不等于3b
a
-的实数1x ，曲线'C 与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点
()()222P x g x ，，曲线'C 与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲线'C 所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则1
2
S S 为定值． 证明如下：
由32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠得()232g x ax bx c '=++，所以曲线'C 在点()11()x g x ，处的切线方程为2321111(32)2y ax bx c x ax bx d =++--+
由32
232
1111(32)2y ax bx cx d y ax bx c x ax bx d
?=+++??=++--+??得()()21120x x a x x b -++=???? ∴1x x =或12b x x a =--即212b
x x a
=--，故
()()4
1132232
111113
2
332212x ax b S ax bx ax bx x ax bx dx x a +??=--+++=?
?? 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322b
x x a
=--和()4
223
312ax b S a += 又212b x x a =--，且13b
x a
≠-
所以()()()444
21123333621630121212ax b ax b ax b S a a a +--+===≠，故121
16
S S =．
【答案】⑴①()f x 的单调递增区间为3?
-∞-
??，和3?+∞????，单调递减区间为33? ??
， ⑵记函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线C '，类似于⑴ 的正确命题为：若对于
任意不等于3b
a
-的实数1x ，曲线C '与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点
()()222P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则
1
2
S S 为定值．
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，
当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，
导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 导数大题专练 （2015年浙江省理15分）已知函数()2=++∈（ ），f x x ax b a b R ,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值. （1）证明：当|a |2时，M （a ，b ）2; （2）当a ，b 满足M （a ，b ）2，求|a |+|b |的最大值. ≥≥≤ （2015年浙江省文15分）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求b 的取值范围. 2 (),(,)f x x ax b a b R =++∈2 14 a b =+()f x [1,1]-()g a ()f x [1,1]-021b a ≤-≤ （2016理）已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）. （2016文）设函数=，.证明：（I）； （II）. （2017真）已知函数f(x)=（x e x-（ 1 2 x≥）. （Ⅰ）求f(x)的导函数； （Ⅱ）求f(x)在区间 1 [+) 2 ∞ ，上的取值范围. （2017押）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）当t>0时，若f(x)）在区间1-1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)-m(t)的最小值． 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 第一题：浙江省绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测数学试题 已知函数()x f x ae x -=+与21()(,)2 g x x x b a b R =+-∈（1）若(),()f x g x 在2x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有两个极值点1212,()x x x x >，且1230x x -≥，求实数a 的取值范围 第二题：浙江省2019年诸暨市高考适应性试卷数学 已知函数2()(0) x f x e ax a =->（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围； （2）若()f x 在12,x x x =处的导数相等，证明：122ln 2x x a +<（3）当12a =时，证明：对于任意11k e ≤+，若12 b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x y e =的交点在y 轴两侧） 第三题：浙江省2019年5月高三高仿真模拟浙江百校联考（金色联盟） 已知函数()ln(1)() f x x ax a a R =--+∈（1）求函数()f x 在区间[2,3]上的最大值； （2）设函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：1222 x x e +>+第四题：浙江省台州市2019届高三4月调研数学试卷 已知函数2()x f x x e =（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围； （2）若实数,m n 满足(2)m n f +=-，其中m n >，分别记：关于x 的方程()f x m =在(,0)-∞上两个不同的解为12,x x ；若关于x 的方程()f x n =在(2,)-+∞上两个不同的解为34,x x ，求证：1234x x x x ->-第五题：浙江省嘉兴、平湖市2018学年第二学期高三模拟(2019.05)考试数学已知函数2 ()ln ,()1(,)a f x x g x bx a b R x ==+-∈（1）当1,0a b =-=时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程； 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 浙江省高考数学一轮复习：13 导数与函数的单调性 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数 在开区间内有极小值点（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 2. （2分） (2020高二下·九台期中) 函数的单调递减区间为（） A . （-∞，0） B . (1，＋∞) C . (0，1) D . （0，＋∞） 3. （2分） (2020高二下·北京期中) 函数的增区间是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 函数f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（） A . B . C . D . 5. （2分）函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（） A . 5,-15 B . 5,-4 C . -4,-15 D . 5,-16 6. （2分） (2019高二下·余姚期中) 已知可导函数，则当时， 大小关系为（） A . B . C . D . 7. （2分）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2020高三上·双鸭山开学考) 定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2 +1＞0（为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（） A . （1，8） B . （2，+∞） C . （4，+∞） D . （8，+∞） 9. （2分）函数的单调递减区间是（） A . B . C . D . 10. （2分） (2019高二上·建瓯月考) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时， ，且则不等式的解集为（） A . （－∞，－2）∪（2，+∞） B . （－2，0）∪（0，2） C . （－2，0）∪（2，+∞） 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π??- ??? 有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。 （2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 。 首先来画一下函数图象。 )1ln(sin x x + = 从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间??? ??ππ ,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =- +， 21sin ())(1x 'x g x =-+ +. 当1,2x π??∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π??- ???有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α?π?∈ ??? 时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ??? 单调递减，而(0)=0f '，02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ??∈ ??? ，使得()0f 'β=， 2017年浙江省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2） 2．（4分）椭圆+=1的离心率是（） A．B．C．D． 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） — A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（） A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关 6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（） 。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A．B．C．D． 8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）（ 9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） 第三章 导数 1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等. 2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上. 一．选择题 1.(2019·浙江省高三月考)α，,22ππβ?? ∈-???? ，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是( ) A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．2 2 αβ> 【答案】D 【解析】 构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0, 2x π?? ∈???? 时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π?? ∈-???? 时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选 D.故本小题选D. 2.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知,R a b ∈，关于x 的不等式3 2 11x ax bx +++≤在[0,2]x ∈时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为( ) A ．[2]- B ．3 [2,]4 -- C ．3[]4 - D ．5 [,2]2 - - 【答案】A 高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。浙江导数大题专练
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