高考数学讲义导数及其应用.板块四.导数与其它知识综合5-其它.教师版

1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即知识内容板块一.导数的概念 与几何意义x 0xyxOD CB A000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)︒︒， B ．(060)︒︒， C ．(6090)︒︒， D ．(60180)︒︒，【考点】极限与导数 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 如图所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是过底面正三角形ABC 的中心且垂直于底面的垂线段．当0SO →时，相邻两个侧面的夹角趋近于180︒，当SO →+∞时，正三棱锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无限接近60︒，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为(60180)︒︒，．OBS【答案】D【例2】 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）A ．2ππn n -⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1ππn n -⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．21ππn n nn --⎛⎫ ⎪⎝⎭，【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 当底面的高0→时，相邻两侧面所成的二面角→π；当底面的高→+∞时，相邻两侧面所成的二面角→正n 边形的内角2πn n-． 【答案】A【例3】对于任意π02ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有（ ）A ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ<<B ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ>>C ．sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ<<D ．sin(sin )cos cos(sin )ϕϕϕ<<【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 当0ϕ→时，cos 1ϕ→，而cos(cos )cos11ϕ→<，排除A ；同理可排除B ；当π2ϕ→时，sin(sin )sin1ϕ→，cos 0sin1ϕ→<，排除D ，故选C ．典例分析要证明C ，需得用π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π0sin 2x x <<<（可利用导数的性质或利用三角函数线）， 此时有cos(sin )cos x x >，同时有sin(cos )cos x x <．【答案】C【例4】若0()lim1x f x x →=，则0(2)lim x f x x→=________．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 00(2)(2)lim 2lim 22x x f x f x x x→→==．【答案】2【例5】 若1(1)lim 11x f x x →-=-，则1(22)lim 1x f x x →-=-_______．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 11(22)(22)lim (2)lim 2122x x f x f x x x→→--=-⋅=---．【答案】2-【例6】 设()f x 在0x 可导，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x ' 【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=． 【答案】D【例7】 若000(2)()lim 13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ∵0000000(2)()(2)()33()limlim 2232x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．【答案】B【例8】设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()limx f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 000()()()()()()lim lim lim ()()x x x f x a x f x b x f x a x f x f x f x b x a b f x x x x∆→∆→∆→+∆--∆+∆---∆'=+=+∆∆∆．【答案】B【例9】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim 2h f h f h→--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 00()()()()11lim lim ()1222h h f a h f a f a h f a f a h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭．【答案】1-【例11】 已知函数2()8f x x x=+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无 【解析】 【答案】20-【例12】 已知1()f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x∆→+∆-∆的值是（ ）A ．14-B ．2C ．14D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 0(2)(2)lim (2)x f x f f x ∆→+∆-'=∆，21()f x x '=-，故1(2)4f '=-．【答案】A【例13】 若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 200(1)(1)2()(1)lim lim 1x x f x f x xf x x∆→∆→+∆-∆+∆'===∆∆．【答案】1【例14】 已知函数()f x 在0x x =处可导，则22000[()][()]lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x 'B ．0()f xC ．20[()]f x 'D ．002()()f x f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 220000000000[()][()]()()lim lim [()()]2()()x x f x x f x f x x f x f x x f x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'=⋅+∆+=∆∆．【答案】D【例15】 计算32lim43n n n →∞-=+________．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 23323lim lim 34344n n n n n n→∞→∞--==++． 【答案】34【例16】 222lim 23n n nn →∞+=-_______．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 2222121lim lim 32322n n n n n n n→∞→∞++==--． 【答案】12【例17】 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ．【考点】极限与导数【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，上海，高考11【解析】 直线2l 与3l 的交点坐标为,11n n n n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，从而121211nn n S n n =⋅⋅⋅=++，从而lim 1n n S →∞= 【答案】1【例18】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭L （ ） A ．53B ．32C ．2D ．不存在 【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】2010，江西，高考4【解析】121111133lim 1lim 1333213n n n n +→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫++++== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭L 【答案】B【例19】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【例20】 22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭______． 【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 原式1111232(2)11lim lim lim (1)(2)(1)(3)(1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫---=-==-=- ⎪---------⎝⎭． 【答案】12-【例21】 若1()n n n a n =+-，则常数a =_______．【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 11212()n n n an a n n a an n a n a n→∞++++====⇒=+-；【答案】2【例22】 πx x →=-_____．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】π(1)x x x →→=-=-【答案】-【例23】 2123lim n nn →∞++++=L _________【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 22111(1)123112lim lim lim lim 222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++++====L ； 【答案】12【例24】 012lim (2)x x x x →⎛⎫-=⎪+⎝⎭________． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 00121lim lim (2)(2)2x x x x x x x x →→⎛⎫-== ⎪++⎝⎭． 【答案】12【例25】 211lim 34x x x x →-=+-__________．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 11111limlim (1)(4)45x x x x x x →→-==-++．【答案】15【例26】 2241lim 42x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭（ ） A ．1- B ．14- C ．14D ．1 【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】2010，重庆，高考3【解析】 【答案】B【例27】1x →= ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】2009，北京，高考【解析】112x x →→==，极限中的常规题． 【答案】12【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++L ，其中12n a a a n +∈∈R N L ，，，，，已知对一切x ∈R ，有()sin f x x ≤和0sin lim 1x xx→=，求证：1221n a a na +++L ≤．【考点】极限与导数 【难度】6星 【题型】解答【关键词】第七届美国普特南数学奥林匹克竞赛【解析】 由于12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++L ，则12()cos 2cos2cos n f x a x a x na nx '=+++L ，所以12(0)2n f a a na '=+++L ． 由于000sin ()(0)()(0)limlim lim 1x x x x f x f f x f x x x∆→∆→∆→∆∆-∆'===∆∆∆≤， 故有1221n a a na +++L ≤．【答案】【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，则((0))f f = ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 由图可知2402()22x x f x x x -+⎧=⎨-<⎩≤≤≤6，根据导数的定义知0(1)(1)lim (1)2x f x f f x ∆→+∆-'==-∆．【答案】22-，【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（）B.A.【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 根据可导的定义，函数在1x =处可导，则极限0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆存在，此时0x ∆→，故必有(1)(1)0f x f +∆-→（即函数在该点处连续），排除A ，D ；又x ∆可正可负，B 中x ∆为正时，(1)(1)1f x f x +∆-=-∆，x ∆为负时，(1)(1)1f x f x+∆-=∆，故极限不存在，B 排除．并不是所有的函数都是可导的，只是我们平时遇到的可以写出解析式的连续函数一般都是可导的．课本淡化极限与可导的理论，在这里可以结合这几个函数的图象形象地说明一下，不必深究．【答案】C【例32】 函数2()21f x x =+在闭区间[11]x +∆，内的平均变化率为（ ）A ．12x +∆B ．2x +∆C ．32x +∆D ．42x +∆【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 2(1)(1)2(1)1342f x f x x x x+∆-+∆+-==+∆∆∆．【答案】D【例33】 求函数y =0x到0x x +∆之间的平均变化率． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】∵222y ∆==∴yx∆=∆【答案】yx ∆=∆【例34】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【例35】 求函数2()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 函数()f x 在1x =-处的平均变化率为：2(1)(1)(1)(1)23y f x f x x x x x x∆-+∆----+∆+-+∆+===-∆∆∆∆， 1-处的瞬时变化率与导数相等，为00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆． 【答案】3x -∆，3,3【例36】 求函数3()2f x x x =-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 函数()f x 在1x =处的平均变化率为：3(1)(1)(1)2(1)(12)y f x f x x x x x ∆+∆-+∆-+∆--==∆∆∆322()3()()31x x xx x x∆+∆+∆==∆+∆+∆， 1处的瞬时变化率与导数相等，为2000(1)(1)(1)lim lim lim(()31)1x x x y f x f f x x x x∆→∆→∆→∆+∆-'===∆+∆+=∆∆．【答案】2()31x x ∆+∆+，1，1【例37】 已知某物体的运动方程是3199s t t =+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无 【解析】 【答案】12【例38】 已知某物体的运动方程是22232t s t t-=+，则3t =时的瞬时速度是_______． 【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】 【答案】12【例39】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【例40】 物体运动方程为4134s t =-，则2t =时瞬时速度为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 3v s t '==，2t =时，8v =．【答案】D【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过ts 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8．【答案】D【例42】 如果某物体做运动方程为22(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）A ．0.88-m/sB ．0.88m/sC ． 4.8-m/sD ．4.8m/s 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 4s t '=-， 1.2t =时， 4.8v s '==-．【答案】C【例43】求y =在0x x =处的导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】yx∆==∆，当x ∆无限趋近于0，∴0()f x '=．【答案】0()f x '=题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)limx f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x =+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭，00(1)limlim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦； ⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【例45】已知曲线1y x=上一点(12)A ，，用斜率定义求：⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x．⑴记1()f x x ，(1)(1)y f x f ∆=+∆-121x=-+∆，001111lim lim x x y x x x ∆→∆→⎛⎫+- ⎪∆+∆= ⎪∆∆ ⎪ ⎪⎝⎭01lim 1x x ∆→⎫=-⎪+∆⎭11122=-=-． ⑵切线方程为12(1)2y x -=--，即250x y +-=．【答案】⑴12-，⑵250x y +-=【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<．【答案】B【例47】 求函数()af x ax x=+(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，的切线方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2()()()(1)a xf a x f a a a x a a x a x a x∆+∆-=+∆+-+=∆-+∆+∆， ()()1y f a x f a a x x a x∆+∆-==-∆∆+∆， ∴01lim x y a x a ∆→∆=-∆，即过点A 的函数图象的切线方程为211()y a a x a a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 即2(1)20a x ay a --+=．【答案】2(1)20a x ay a --+=【例48】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=．【答案】C【例49】 求曲线1y x=在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】解答【关键词】 【解析】【答案】1l ：2y x =-+；2l ：2y x =--．【例50】 函数1y x =-在点122⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．4(1)y x =+ D ．24y x =+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 点122⎛⎫- ⎪⎝⎭，在函数的图象上，21y x '=，142y ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故切线方程为1242y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．【答案】B【例51】 已知曲线214y x =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______． 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】填空【关键词】【解析】 【答案】1【例52】 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】2008，全国Ⅰ，高考【解析】 232y x '=-，1x =时，1tan 45y '==︒．【答案】B【例53】 过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 点(11)，可能是切点，也可能是切线经过(11)，点．【答案】320x y --=或3410x y -+=【例54】 曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】 【解析】【答案】21y x =-+【例55】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）A B ． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =．【答案】A【例56】 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，全国Ⅰ，高考【解析】 211y x =+-，22(1)y x '=--，于是1(3)2y '=-，由题意得：1()12a -⋅-=-2a ⇒=-．【答案】D【例57】 设曲线2y ax =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ）A ．1B ．12C ．12- D ．1-【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2y x ax '=，(1)221y a a '==⇒=．【答案】A【例58】 若曲线4y x =的一条切线l 与直线48y x =+平行，则l 的方程为______________． 【考点】导数的几何意义【难度】1星【题型】填空【关键词】 【解析】【答案】43y x =-【例59】 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在切点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(11)，处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A ．【答案】A【例60】 设P 为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】 【解析】 【答案】[13]，【例61】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【例62】 曲线21xy x =-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=D ．450x y --=【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009，全国Ⅱ，高考【解析】 1x y ='=212121(21)x x xx =--=--，故切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．【答案】B【例63】 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=．【答案】A【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009，北京，高考【解析】 由偶函数的图象关于y 轴对称知，在对称点处的切线也关于y 轴对称，故所求切线的斜率为1-．也可由特殊函数y x =得到此题答案．【答案】1-【例65】 函数sin y x =的图象上一点π3⎛⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．1 BCD ．12【考点】导数的几何意义 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 cos y x '=，π1cos32=． 【答案】D【例66】 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）AB ．C ．D ．0【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 221y x '=-，令2221x =-得1x =，故曲线ln(21)y x =-过点(1,0)的切线2(1)y x =-与直线230x y -+=平行，结合图象知，点(1,0)到直线230x y -+=的距离即为所求的最短距离，故最短距离为d ==【答案】A【例67】 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 令23102y x '=-=，解得2x =±，又点P 在第二象限，故P 点的横坐标为2．【答案】(2,9)-【例68】 抛物线2y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 2y x b '=+，于是2b b +=-，解得1b =-，又点(1,2)在抛物线上，故12b c ++=，解得2c =，要求切线到其平行线的距离，即求点(1,2)到其平行线20x y -++=的距离，故d =【例69】 若0y =是曲线3y x bx c=++的一条切线，则32()()32b c+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 设切线0y =的切点为0(,0)x ，由23y x b '=+知，3200003x bx c x b ++==+，于是203b x =-，302c x =，故326600()()032b c x x +=-+=．【答案】B【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2k k a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．【考点】导数的几何意义【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，江苏，高考8 【解析】 【答案】21【例71】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【考点】导数的几何意义【难度】3星【题型】选择【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124xx e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【例72】 曲线2xy x =+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =--D ．22y x =--【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】2010，全国Ⅰ，高考3【解析】 【答案】A【例73】 若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，全国Ⅱ，高考10【解析】 曲线在点12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，的切线方程为()132212y a a x a --⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是12133186422S a a a -=⋅⋅=⇒=．【答案】A【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是 ． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，丰台，一模【解析】 ()e 11e e xf x='==，∴所求的切线方程为()()()e e e y f f x '-=-， 即()1lne e ey x -=-，化简为e 0x y -=．【答案】e 0x y -=【例75】 设曲线()1*n y x n +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋅L 等于（ ）A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【考点】导数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，陕西，高考【解析】 对1n y x +=求导得(1)n y n x '=+，令1x =得在点(11)，处的切线的斜率1k n =+，在点(11)，处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =，得1n nx n =+， 则12123123411n n x x x n n =⨯⨯⨯⨯=++L L ，故选B ． 【答案】B【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1± 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 设切点为00()x y ，，则01k x =，于是知0000110ln y x x x =⋅-==，故01x =，1k =． 【答案】C【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【考点】导数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，全国Ⅰ，高考【解析】 设切点00()P x y ，，则001y x =+，00ln()y x a =+，又∵0011x x y x a='==+，∴01x a +=，00y =，01x =-．∴2a =，选B ．【答案】B【例78】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009，江苏，高考【解析】 231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，故2x =-，点P 坐标为(215)-，．【答案】(215)-，【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x=和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-， 当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【例80】 已知函数21()()5g x f x x =+的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 2(5)(5)5(5)215g f f '''=+⨯=+=-(5)3f '⇒=-；又P 点的坐标为(53)，，故(5)3(5)5(5)2g f f ==+⇒=-，从而(5)(5)235f f '+=--=-．【答案】5-【例81】 设曲线1cos sin x y x +=在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 22sin sin (1cos )cos 1cos sin sin x x x x x y x x -⋅-+--'==，于是π12y ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故111a a =-⇒=-． 【答案】A【例82】 已知函数()log a f x x =和()2log (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x =处的切线互相平行，则t =_______． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 1()ln f x x a'=，4()(22)ln g x x t a '=+-，于是有142ln (42)ln a t a =+-，∵1a ≠，解得6t =． 【答案】6【例83】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=． 注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【例84】 已知曲线31433y x =+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2004，重庆，高考【解析】 设切点为00()x y ，，由2y x '=，故切线斜率20k x =， 从而切线方程3200014()33y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又切线过点(24)P ，，故3200144(2)33x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 解得01x =-或2，故填：20x y -+=或440x y --=． 本题点(24)P ，在曲线上，但切点可能是P 点也可能不是P 点．【答案】20x y -+=或440x y --=．【例85】 已知曲线s ：33y x x =-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 易知点P 在曲线上，设在点00()x y ，的切线过点P ，∵233y x '=-，于是知直线320000(3)(33)()y x x x x x --=--过点(22)-，，由此得2002(2)(1)0x x -+=，解得01x =-或02x =．故过点P 可以向曲线s 引两条切线．【答案】2【例86】 曲线1y x=和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 两曲线方程联立得21y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，∴交点坐标为(11)，． ∵对于函数2y x =，2y x '=，∴切线方程为210x y --=，令0y =得12x =； ∵对于函数1y x=，21y x '=-，∴切线方程为20x y +-=，令0y =得2x =；∴11312224S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．【答案】34【例87】 曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，海南，高考【解析】 112211e e 22x x y x '⎛⎫'=⋅= ⎪⎝⎭，2e (4)2y '=，于是切线的方程为22e e (4)2y x -=-，令0x =得2e y =-；令0y =得2x =，故所求三角形的面积为2212e e 2⨯=．【答案】D【例88】 曲线3y x=在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则a = ．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 ∵23y x '=在3()a a ，处的切线为323()y a a x a -=-，令0y =，得切线与x 轴交点203a ⎛⎫⎪⎝⎭，，切线与直线x a =交于3()a a ，，∴曲线3y x =在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为34121236S a a a a =⋅-⋅=，令16S =，解得1a =±． 【答案】1±【例89】 曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ． 29 C ．13D ．23【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2007，全国Ⅰ，高考【解析】 21y x '=+，(1)2y '=，于是曲线在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为42(1)3y x -=-，令0x =得23y =-；令0y =得13x =，于是所求的三角形的面积为12112339S =⨯-⨯=．【答案】A【例90】 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 设切点为00()P x y ，，则2(21)4y x x ''=-=，于是044x =，解得01x =．当01x =时，01y =，故切点P 的坐标为(11)，． ∴所求切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=．【答案】430x y --=【例91】 若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009，福建，高考【解析】 由题意可知21()3f x ax x'=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，上述等价于方程2130ax x +=在(0)+∞，内有解，显然可得31(0)3a x=-∈-∞，．【答案】(0)-∞，【例92】 曲线cos y x =在点π4P ⎛ ⎝⎭处的切线方程是 ． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 π104x --=；sin y x '=-，π4y ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，于是所求切线的方程为：π4y x ⎫-=-⎪⎝⎭，即π104x +--=．【答案】π104x --=【例93】 函数cos2y x =在点π04⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是（ ） A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y --= D ．42π0x y +-=【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 sin 222sin 2y x x '=-⋅=-，ππ2sin 242y ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，于是点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的方程为：π024y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 【答案】D【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【例95】 已知曲线C ：4323294y x x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 3212618y x x x '=--，(1)32944y =--+=-，(1)1261812y '=--=-，故曲线C 上过横坐标为1的点的切线的斜率为12-，且过点(14)-，， 故所求的切线方程为412(1)y x +=--，即128y x =-+．【答案】128y x =-+【例96】 已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b 、c 的值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 ∵曲线2y ax bx c =++过(11)P ，，(21)Q -，，∴1a b c ++= ①， 421a b c ++=- ② ∵2y ax b '=+，∴(2)4y a b '=+，∴41a b += ③ 联立解①、②、③得3119a b c ==-=，，．【答案】3119a b c ==-=，，【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线y x =的切线，求此二切线之间的距离． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 322y x x x =-++，2322y x x '=-++，令1y '=即23210x x --=，解得13x =-或1x =．于是切点为(12)P ，，114327Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 过点P 的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=．显然两切线间的距离等于点Q=【例98】 已知曲线32()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 经验证点P 在曲线上．⑴切点恰为点P ，由2()34f x x x '=-，得切线的斜率(2)4k f '==， 故切线方程为14(2)y x -=-，即470x y --=；⑵设切点为320000(21)(2)Q x x x x -+≠，，则切线的斜率2000()34k f x x x '==-． 故切线方程3220000(21)(34)(2)y x x x x x --+=--， 点P 在切线上，代入得32200001(21)(34)(2)x x x x x --+=--， 即220000(2)(34)(2)x x x x x -=--，解得0002x x ==，（舍去） 故切线方程为1y =．综上，经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程是470x y --=与1y =．【答案】470x y --=与1y =．【例99】 已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴由32y x x =+-，得231y x '=+，由已知得2314x +=，解之得1x =±．当1x =时，0y =；当1x =-时，4y =-．又∵点0P 在第三象限，∴切点0P 的坐标为(14)--，．⑵∵直线1l l ⊥，1l 的斜率为4，∴直线l 的斜率为14-，∵l 过切点0P ，点0P 的坐标为(14)--，，∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+，即4170x y ++=．【答案】⑴(14)--，；⑵4170x y ++=．【例100】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由函数()f x 的图象过原点，得0b =，又2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，()f x 在原点处的切线斜率是3-，则(2)3a a -+=-，所以3a =-，或1a =．【答案】3a =-或1a =．0b =【例101】 已知函数x x e a e x f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ） A ．ln 2 B ．2ln - C ．22ln D ．22ln -【考点】导数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 ()x x f x e ae -'=-是奇函数，故(0)01f a '==-，从而1a =，()x x f x e e -'=-．由3()2x x f x e e -'=-=，变形得(2)(21)0x x e e -+=，故2x e =．【答案】A【例102】 已知函数32()c f x x bx x d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()y f x =的解析式． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 由32()f x x bx cx d =+++的图象过点(02)P ，，2d =知，所以32()2f x x bx cx =+++，2()32f x x bx c '=++，由在(1(1))f --，处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f '-=，∴326121b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩，即023b c b c -=⎧⎨-=-⎩，解得3b c ==-． 故所求的解析式为32()332f x x x x =--+．【答案】32()332f x x x x =--+。

导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。

一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。

如果导数存在，则称f(x)在该点可导。

2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。

3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。

b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。

4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。

b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。

2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。

掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。

本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。

一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。

二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。

因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。

幂函数的导数是指数函数。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。

指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数是关于自变量的倒数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。

三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。

切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。