2020年广东省东莞市中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．计算|﹣2|的结果是（）
A．2B．C．﹣D．﹣2
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．我市2019年参加中考的考生人数约为52400人，将52400用科学记数法表示为（）A．524×102B．52.4×103C．5.24×104D．0.524×105
4．下列运算正确的是（）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．a6÷a2＝a3D．（x+y）2＝x2+y2
5．函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．﹣1≤x＜1
6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）
A．65°B．130°C．50°D．100°
7．实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
8．一个多边形每个外角都等于30°，这个多边形是（）
A．六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形9．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（）
A．B．
C．D．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y 与x之间函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共7小题）
11．实数81的平方根是．
12．分解因式：3x3﹣12x＝．
13．抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为．
14．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC等于度．
16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；
②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有．
三．解答题（共8小题）
18．计算：（）﹣1﹣4sin60°﹣（1﹣）0+．
19．先化简：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连结BD，若BD平分∠CBA，求∠A的度数．
21．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
23．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试
销发现，销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤12），求S与t的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，t为何值时，S最大？并求出S的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算|﹣2|的结果是（）
A．2B．C．﹣D．﹣2
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：|﹣2|的结果是2．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．我市2019年参加中考的考生人数约为52400人，将52400用科学记数法表示为（）A．524×102B．52.4×103C．5.24×104D．0.524×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：52400＝5.24×104，
故选：C．
4．下列运算正确的是（）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．a6÷a2＝a3D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对
各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a﹣2a＝﹣a，故错误；
B、正确；
C、a6÷a2＝a4，故错误；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故错误；
故选：B．
5．函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．﹣1≤x＜1
【分析】根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：，
解得x≥﹣1且x≠1，
故选：A．
6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）
A．65°B．130°C．50°D．100°
【分析】由P A与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C 的度数求出∠AOB的度数，在四边形P ABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P 的度数．
【解答】解：∵P A、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
7．实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，
4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，
这组数据的众数为：5；
中位数为：4．
故选：A．
8．一个多边形每个外角都等于30°，这个多边形是（）
A．六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形【分析】根据多边形的外角和为360°，而多边形每个外角都等于30°，可求多边形外角的个数，确定多边形的边数．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，360°÷30°＝12，
∴这个多边形是正十二边形，
故选：D．
9．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（）A．B．
C．D．
【分析】分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y 与x之间函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH＝CH，利用∠B＝30°可计算出AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，则BC＝2BH＝4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，DQ＝BQ＝x，利用三角形面积公式得到y＝x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4，DQ＝CQ＝（8﹣x），利用三角形面积公式得y＝﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝4cm，
∴BH＝CH，
∵∠B＝30°，
∴AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，
∴BC＝2BH＝4，
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，
在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，
∴y＝?x?x＝x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4
在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x），
∴y＝?（8﹣x）?4＝﹣x+8，
综上所述，y＝．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．实数81的平方根是±9．
【分析】首先根据平方根的定义可以求得结果．
【解答】解：实数81的平方根是：±＝±9．
故答案为：±9．
12．分解因式：3x3﹣12x＝3x（x﹣2）（x+2）．
【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）﹣﹣（提取公因式）
＝3x（x﹣2）（x+2）．
13．抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为（﹣2，4）．
【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．
【解答】解：x＝﹣＝﹣2，
把x＝﹣2代入得：y＝8﹣16+12＝4．
则顶点的坐标是（﹣2，4）．
故答案是：（﹣2，4）．
14．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD ＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝．
故答案为：．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC等于23度．
【分析】根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝67°、∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质
计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠D＝67°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣67°＝23°，
故答案为：23．
16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为12﹣．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．【解答】解：在直角△BCF中，∵∠F＝45°，BC＝6，
∴CF＝BC＝6．
又∵EF＝8，
则EC＝2．
在直角△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，
∴AC＝6，
则AE＝6﹣2，∠A＝30°，
∴EG＝AE＝6﹣，
阴影部分的面积为：（EG+BC）?EC＝×（6﹣+6）×2＝12﹣．
故答案是：12﹣．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；
②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有
①②③④．
【分析】由图象可知：a＜0，c＞0，根据对称轴及a与b的符号关系可得b＜0，则可判断①的正误；根据抛物线与x轴有两个交点，可得△＞0，则可判断②的正误；由对称轴是直线x＝﹣1，可判断③的正误；由当x＝﹣1时，y＞0，可判断④的正误；由当x ＝﹣3时，y＜0，可判断⑤的正误．
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共8小题）
18．计算：（）﹣1﹣4sin60°﹣（1﹣）0+．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣4×﹣1+2＝1．
19．先化简：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝，
当a＝﹣1，0，1时，分式无意义，
故当a＝2时，
原式＝．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连结BD，若BD平分∠CBA，求∠A的度数．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，再利用角平分线的性质求出即可．【解答】解：（1）如图所示，DE为所求作的垂直平分线；
（2）∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A，
∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A，
∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠ABD+∠A＝90°，
∴∠A＝30°．
21．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216°；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有180人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；
（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；
（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝216°，
故答案为：50、216°；
（2）B类别人数为50﹣（5+30+5）＝10人，
补全图形如下：
（3）估计该校学生中A类有1800×10%＝180人，
故答案为：180；
（4）列表如下：
女1女2女3男1男2
女1﹣﹣﹣女2女1女3女1男1女1男2女1
女2女1女2﹣﹣﹣女3女2男1女2男2女2
女3女1女3女2女3﹣﹣﹣男1女3男2女3
男1女1男1女2男1女3男1﹣﹣﹣男2男1
男2女1男2女2男2女3男2男1男2﹣﹣﹣
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为＝．
22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE ∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；
（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴，
∵＝，
∴，
∴．
23．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据总利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式，并配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将x＝20、y＝300和x＝30、y＝280代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+340（18≤x≤40）；
（2）根据题意，得：W＝（x﹣18）（﹣2x+340）
＝﹣2x2+376x﹣6120
＝﹣2（x﹣94）2+2716，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜94时，W随x的增大而增大，
∴在18≤x≤40中，当x＝40时，W取得最大值，最大值为8548．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE＝CE＝BC＝2，再证明△AOM ∽△ABE，则利用相似比得到＝，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE＝OM＝，所以BH ＝BE﹣HE＝，再根据垂径定理得到BH＝HG＝，所以BG＝1．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC＝6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴＝，即＝，解得r＝，