9.6因式分解之分组分解法

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。

解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。

可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。

解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。

观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。

解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。

分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。

解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。

2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。

（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。

（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法班级________姓名________【学习目标】1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义，会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。

2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。

【学习过程】I.分组分解法一、分解因式：（1）ax+ay+ab+ac （2）ax+ay+bx+by二、新知探索：把下列多项式分解因式：1.按字母特征分组：（1）a+b+ab+1 （2）a²-ab+ac-bc2.按系数特征分组：（1）2x²+3y+xy+6x （2）2ac-6ad+bc-3bd3.按指数特点分组：（1）a²-b²+2a-2b （2）x²+x-4y²-2y4.按公式特点分组：（1）a²-2ab+b²-c²（2）a²-4b²+12bc-9c²小结：分组分解法的步骤：（1）________________________（2）________________________（3）________________________练习1：把下列各式分解因式：（1）x²+6y-3x-2xy （2）a²+ab-3a-3b （3）4x²-4xy-a²+y²（4）1-m²-n²+2mnII ．十字相乘法一、情境创设：1.口答计算结果： （1）（x+2）（x-1） （2）（x+2）（x+1） （3）（x+3）（x+2） （4）（x+2）（x-3）（5）（x-2）（x+1） （6）（x-2）（x+3） （7）（x-2）（x-1） （8）（x-2）（x-3）2.想一想：你怎样将这类题目算得又快有准确呢？二、探索尝试：根据上面的公式将多项式写成两个一次因式相乘的形式：x ²+（2 +3）x+ 2 × 3 = x ²+（-1-2）x+（-1）×（-2）= x ²+（-1+2）x+（-1）× 2 = x ²+（ 1-2）x+ 1 ×（-2）= 小结：对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,， 则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++三、例题讲解：将下列各式因式分解（1）x ²+7x+6 （2）x ²-5x-6 （3）x ²-5x+6练习2：把下列各式分解因式：（1）x ²-7x+6 （2）a ²-4a-21 （3）t ²-2t-8（4）x ²+xy-12y ² （5）x 2+5x-6 （6）a ²-11ab-12b ²III.自主检测：分解因式 1．1--+b a ab2．22441b ab a --- 3．by bx ay ax 3322--+4．1072+-x x 5．x x x +-232 6．2)(3)(2++-+y x y x ()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++课后作业姓名____________班级____________一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．分解结果等于(x ＋y －4)(x ＋y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(2++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(2++-+y x y x 二、填空题1．=-+1032x x __________．2．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 3．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．4．22____)(____(_____)+=++a mna ． 5．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题1.把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)2287b b a a --；(4)1+--y x xy (5)315523+--x x x (6)x xy y x 21372-+-2．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x(3)2222)332()123(++-++x x x x (4)60)(17)(222++-+x x x x(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a(7)xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+ (8)b a bx ax bx ax ++--+223．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2622=+y x ，求a 的值．5. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足02222=++-+-y xy x y x ，求长方形的面积。

因式分解一一分组分解法教案3 .按指数特点分组(1)a 2 - 9 b 2 + 2 a - 6 b4 .按公式特点分组解法一：第一、二项为一组;第三、四项为一组。

解：原式=(2ax -10ay ) + (5by - bx ) =2 a (x - 5 y ) - b (x - 5 y ) =(x - 5y )(2a - b ) 练习1:分解因式1、a 2 - ab + ac - bc解法二：第一、四项为一组; 第二、三项为一组。

原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5by )=x(2a - b) - 5 y (2a - b ) =(2a - b )(x - 5y )2、xy - x - y +1(二)分组后能直接运用公式例3：分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、 能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(x 2-y 2) + (ax + ay )=(x + y )(x - y ) + a (x + y ) 四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就=(x + y )(x - y + a) 例4、分解因式：a 2 - 2ab + b 2 - c 2 解：原式=(a 2-2ab + b 2)-c 2=(a - b )2 - c 2 =(a - b - c )(a - b +c )练习：分解因式2、4、x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz例5： 把下列多项式分解因式: 1.按字母特征分组 (1) a + b + ab +1(2) a 2-ab +ac 一 bc2 .按系数特征分组(1)7 x 2 + 3 y + xy + 21(2)2ac - 6ad + bc - 3bd(2)四、总结规律1.合理分组（2+2型）；2.组内分解（提公因式、平方差公式）3.组间再分解（整体提因式）4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。

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板块一：分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式, 这就是分组分解法.【例1】分解因式：% 2 + ax 2 + x + ax一 1 一a【例2】分解因式：期一% -y+1【例3】分解因式：ax一by - bx + ay【例4】分解因式：ac2 + bd2 -ad2 -bc22T y+x—2x【例5】分解因式：7【例7】分解因式：X4 + X3 + X2 -1【例8】分解因式：ax +bya xy-2【例9】分解因式：Xxzr-) y(y a )［例10］分解因式：(x2+1)2+Xx-2)(x2+x+1)-x2【例11】分解因式：(ax+颇ay-x 2x2cy2 【例12】分解因式：x(x-1)(x-2)-6【例14】分解因式：axy^^3）b^ba-2y）【例15】分解因式：K如⑼2—ax【例16】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数. 【例17】分解因式：2x2「a肝（4a的）【例18】分解因式：b2以）「ad 2ad【例19】分解因式：x3 + bx2 + ax- b【例21】分解因式：a2b -a2 -b2 +12xy-却【例23】分解因式:6a2 -9a xy+【例24】分解因式：5x3-15x2-x 3【例25】分解因式：5a2 m-15am+3abm-9bm【例26】分解因式：x3——xx + 2 + x5— 2 x 4 【例28】分解因式：3+^(+ +&— +旗—+d2【例29】分解因式：x2—^^一3y【例30】分解因式：笫+y5T x性产)1 1x2 n + x n y 4 m + —9 4【例32】分解因式：【例33】分解因式：31—须—12 b— 2【例34】分解因式：落+第—y —*【例35】分解因式:ax3 + x+a+1【例36】分解因式：a4 一 a ba b + b 【例37】分解因式：x3 +++x2 2y+ 2【例39】分解因式：XXXXX4 + 3 + 2 + +11【例40】分解因式：@+bXa一（x+bya+（3一一X x3y）=因式分解一-分组分解、拆添项法【例41】分解因式：3+纱+°+怎+( +须+原+b+G[例42] 分解因式：axb-+xb x-ax+a-b【例43】分解因式：ax-ay+bx+cy-cx-by板块二:拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例44】已知g+拉-儡b+13 = 0 ,求帅的值.【例45】分解因式：％4+寿2X2+X+1【例46】分解因式：的+2 ^b+3a2-bu+2加+加 =,【例47】分解因式：％4-3^+1【例48】分解因式：-^-23x2+1 ；【例49】分解因式：a4 + a 2 b2+ 加【例50】分解因式：x12—3x6 +1【例51】分解因式：x8 +x4 +1【例52】分解因式：x4-7x V +8故【例53】已知n是正整数，且n4-16n2 +100是质数，那么〃 = 【例54】分解因式：（1+亨》2x2 QQ x4 0—y >【例55】分解因式：x4-20 +3x珀㈤2分解 因式：-a 4 -b 4 -c 4 +++2b 2b 2c 2 2c 2a 模块二:拆项与添项【例61】分解因式：g-4a +3【例62】分解因式：%3 + 2x 2-65 x 【例56】 分解因式：落0+)一以x 或〃-b )+赵b ) 【例57】 把刑例分解因式. 【例58】 分解因式:%，+ 64 【例59】证明：在mn 都是大于l 的整数时,隰+4.是合数. 【例60】【例63】分解因式： X 3 +3x 2 -4【例64】分解因式：X 2 + 6x -7【例65】分解因式:*-9x +8【例66】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 3 + 6X 2 +11x +6【例67】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 4 + 2x 3 - 9X 2 -+8【例68】若x +产-1 ，则 x 4 +5x 3y +x 2>+8x 2* x 2 +5x 3+ y 的值等于（） A.0 B.-i C.1 D.3【例70】分解因式：+^+1【例71】分解因式：a + a4+1【例72】分解因式：a3 +如c 3abc 。