江苏省如皋中学高三数学暑期学情检测

f ：(a,b )→f (x )= acos 2x ＋bsin 2x 。

则点(1,3)的象f (x )的最小正周期为： A ．π B ．2π C ．π2 D ．π44．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是A.6SB. 11SC. 13SD. 12S5．编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m &n = k , m &(n + 1) = k + 2，则 1& 的输出结果为 （ ） A 4008 B 4006 C 4012 D 40106．给定下列命题：（1）y =sin x 在第一象限是增函数（2）△ABC 中三内角A 、B 、C 成等差的充要条件是B =60° （3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 是正三角形（4）函数y =A sin(ωx +φ)的周期是T =2πω，其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③D ．①②④7．不等式)10(2sin log ≠>>a a x x a 且对任意)4,0(π∈x 都成立，则a 的取值范围为（ B ）A 、)4,0(πB 、)1,4(πC 、)2,1()1,4(ππ⋃D 、[,1)4π8. 已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 等于(A) 11或18 (B) 11 (C) 18 (D) 17或189．若nxx )1(+展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 (A) 52104C (B) 52103C (C) 52102C (D) 51102C 10．设)(x f 为偶函数，对于任意的0>x 的数，都有)2(2)2(x f x f --=+，已知4)1(=-f ，那么)3(-f 等于(A) 2 (B) 2- (C) 8 (D) 8-二填空题11．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=______________ 。

江苏省南通市如皋中学2022-2023学年高三下学期4月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________()20221106741348T =++´=，A 正确，1000S =1002210021a a a -=-，B 正确，根据数列{}n b 的周期求和得到3033n =或3032n =，所以C 错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D 正确.【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列{}n b 为1，1，0，1，1，0，L ，则数列{}nb 为周期数列，且周期为3，所以()20221106741348T=++´=，故A 正确；因为1000129991000S a a a a =++++L 32431001100010021001a a a a a a a a =-+-++-+-L 1002210021a a a =-=-，故B 正确；因为()20221101011=++´，101133033´=，且30311b =，30321b =，30330b =，所以3033n =或3032n =，故C 错误；22222221235001223500a a a a a a a a a ++++=++++L L ()22222123500233500a a a a a a a a a =++++=+++L L 2499500500500501a a a a a ==+=L ，故D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.由抛物线定义可得：,PF PC QF QB ==因为2PF FQ =uuu r uuu r，不妨设QF m =，则QB 所以在直角三角形PQD 中，3,PQ m PD =()2222322PQ PD m m m -=-=.。

2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（文科）一．填空题（5×14=70分）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程是__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．5．a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的__________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）．6．设f（x）为偶函数，对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），已知f（﹣1）=4，那么f（﹣3）=__________．7．已知实数x，y满足，则当2x﹣y取得最小值时，x2+y2的值为__________．8．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为__________．9．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．10．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x3﹣3x2+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为__________．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为__________．13．已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是__________．14．若正实数a，b，c满足3a2+10ab﹣8b2=c2，且a＞b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为__________．二．解答题15．（14分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0．若直线l被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB 交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论．18．（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（文科）一．填空题（5×14=70分）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2， 3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线准线方程的求解，属基础题．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且 x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．5．a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的必要不充分条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则等价为“任意x∈[1，2]，x2≤a”为真命题，则a≥4，则a≥3”是“a≥4”的必要不充分条件，故选：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．6．设f（x）为偶函数，对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），已知f（﹣1）=4，那么f（﹣3）=﹣8．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意可得，f（1）=4，令x=1，可求得f（3）的值，f（x）为偶函数，从而可得f（﹣3）的值．【解答】解：∵对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），∴令x=1得：f（3）=﹣2f（1）．∵f（x）为偶函数，f（﹣1）=4，∴f（﹣3）=f（3）=﹣2f（1）=﹣2f（﹣1）=（﹣2）×4=﹣8故答案为：﹣8．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性，考查赋值法，属于中档题．7．已知实数x，y满足，则当2x﹣y取得最小值时，x2+y2的值为5．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出2x﹣y取得最小值时A点的坐标，将A点的坐标代入x2+y2，求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图，，令z=2x﹣y，则当直线z=2x﹣y经过直线x﹣y+1=0和直线x+y﹣3=0的交点A时，z取得最小值．此时A的坐标为（1，2），∴x2+y2=5，故答案为：5．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，求出2x﹣y取得最小值时的x，y的值是解题的关键，本题是一道中档题．8．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为4．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，用余弦定理求出|PQ|．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=，∴cos∠PO1Q=2cos2α﹣1=﹣，∴|PQ|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|PQ|=4．故答案为：4．【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．9．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x3﹣3x2+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，求出在原点处的切线．再根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，进而代入焦点到渐近线的距离，求得a和b，则双曲线的渐近线方程可得．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x+2．设切线的斜率为k．切点是原点，k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x，∴又∵∴c=2，∵c2=a2+b2∴a2=4 b2=16∴双曲线方程为故答案为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，还考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离，属于基础题．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为[0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可．【解答】解：由题意，奇函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的减函数，不等式f（1﹣m）+f （1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜f（m2﹣1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．13．已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，进行求解即可得k的范围．【解答】解：∵圆心为O（0，0），半径R=1．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO=R=，∴圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，即，即1+k2≥2，解得k≥1或k≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．14．若正实数a，b，c满足3a2+10ab﹣8b2=c2，且a＞b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为2．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】3a2+10ab﹣8b2=（3a﹣2b）（a+4b）=c2，设3a﹣2b=tc，则a+4b=c，t＞0，不等式5a+6b≥kc恒成立转化为k≤t+，利用基本不等式即可求出k的最大值．【解答】解：∵3a2+10ab﹣8b2=（3a﹣2b）（a+4b）=c2，设3a﹣2b=tc，则a+4b=c，t＞0，则5a+6b=（3a﹣2b）+2（a+4b）=tc+c≥kc，∵c＞0，∴k≤t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=1时取等号，∴k≤2，∴实数k的最大值2，故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是换元的思想，属于中档题．二．解答题15．（14分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：若函数在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，即p：0＜a＜1．若y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，则判别式△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或0＜a＜，即q：a＞或0＜a＜，若“￢p且q”为真命题，则￢p，q都为真命题，即p是假命题，q是真命题，则，解得a＞．【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f （x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时， f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0．若直线l被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB 交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；（2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C2的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为MN，写出圆C2的方程，化简后，令y=0求出圆C2过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C1的内部，得证；【解答】解：（1）圆C1：（x+4）2+y2=16﹣F，则圆心（﹣4，0）到直线2x﹣y+3+8=0的距离d==1根据垂径定理及勾股定理得：（）2+12=16﹣F，F=12∴圆C1的方程为（x+4）2+y2=4；（2）令圆的方程（x+4）2+y2=4中y=0得到：x=﹣6，x=﹣2，则A（﹣6，0），B（﹣2，0）设P（x0，y0）（y0≠0），则（x0+4）2+y02=4，得到（x0+4）2﹣4=﹣y02①∴k PA=则l PA：y=（x+6），M（0，）∴则l PB：y=（x+2），N（0，）圆C2的方程为x2+（y﹣）2=（）2完全平方式展开并合并得：x2+y2﹣2（）y+=0将①代入化简得x2+y2﹣（）y﹣12=0，令y=0，得x=±2，又点Q（﹣2，0），由Q到圆C1的圆心（﹣4，0）的距离d==4﹣2＜2，则点Q在圆C1内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆C2经过圆C1内一定点（﹣2，0）；【点评】本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用30°的直角三角形的边的关系及两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题．18．（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．20．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。

江苏省南通市如皋市2022届高三下学期第一次调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}2|430A x x x =-+<，11142xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ）． A ．∅ B ．(1,3) C ．(1,2] D ．[0,3)2．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且544S a =，则125S a =（ ）． A ．10B ．14C ．15D ．183．近年餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展一次问卷调查，目的是了解师生对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据．据统计此次问卷调查的得分X （满分：100分）服从正态分布()290,N σ，已知()88920.32P X <<=，()85P X m <=，则下列结论正确的是（ ）A ．00.34m <<B ．0.34m =C ．0.340.68m <<D ．0.68m =4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线20ax y -+=与圆C ：22230x y x +--=交于,A B 两点，若钝角ABC a 的值是（ ）．A ．34-B ．43-C ．34D ．435．已知向量m ，n 满足1m =，||2n =，若2|2|m n m n ⋅=-，则向量m ，n 的夹角为（ ）． A ．6πB ．3π C ．6π或πD ．3π或π 6．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A 、B 、C 、D 四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A 、B 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ） A ．24种B ．30种C ．66种D ．72种7．已知函数2()ln12x f x x+=+-，若关于x 的不等式()1e 22xf k f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围( )A ．1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．212,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．212,2e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．22,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦8．在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT △的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D 二、多选题9．若2log 31a =-，823b =，则下列结论正确的是（ ）． A ．2a b +=B ．1a b -<-C ．112a b+>D ．1ab >10．已知函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()y f x '=，则下列结论正确的是（ ）．A ．若()0f a '=，a ∈R ，则()y f x =在x a =处取得极值B ．若()y f x '=是偶函数，则()y f x =为奇函数C ．若()y f x =是周期为(0)a a >的周期函数，则()y f x '=也是周期为(0)a a >的周期函数D ．若()y f x =的图象关于直线x a =对称，则()y f x '=的图象关于点(,0)a 中心对称 111111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内(含边界)运动，则下列结论正确的是（ ）． A ．若点P 在1AD 上运动，则1PB A D ⊥ B ．若//PB 平面11B CD ，则点P 在1A D 上运动C ．存在点P ，使得平面PBD 截该正方体的截面是五边形 D ．若2PA PD =，则四棱锥P ABCD -的体积最大值为112．已知直线(01)y t t =<<与函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象相交，A ，B ，C 是从左到右的三个相邻交点，设AB AC λ=，102λ<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称B ．若13λ=，则12t =C ．若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上无最值，则ω的最大值为23D ．12t λ->三、填空题13．已知复数z 为纯虚数，若(2i)6i z a -=-（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为______． 14．设2022220220122022(12)x a a x a x a x +=+++⋯+，则31223222a a a -+- (2021)20222021202222a a +-=______．15．过抛物线C ：24x y =的准线l 上一点P 作C 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，设弦AB 的中点为Q ，则PQ 的最小值为______． 四、双空题16．在三棱锥P ABC -中，已知ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥平面ABC ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若异面直线MN 、PB 所成角的余弦值为34，则PA的长为______，三棱锥P ABC -的外接球表面积为______． 五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知5c =，2cos 2b C a c =-． (1)求角B 的大小；(2)若ABC的面积D 是BC 的中点，求sin sin BADCAD∠∠的值．18．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22a =，321n n n n a S a S +++-=-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记21n n n b a -=，数列{}n b 前n 项和n T ，求使不等式134722n nn T +<-成立的n 的最小值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为P A的中点，PA PD ==(1)求证：PC∥平面BMD；(2)求二面角M BD P--的大小．20．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率． ∥若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；∥若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++2.07221．在平面直角坐标系xOy 中，已知的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别是A ，B ，过右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，ABM 的面积最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线AM 与定直线(2)x t t =>交于点T ，记直线TF ，AM ，BN 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，若1k ，0k ，2k 成等差数列，求实数t 的值．22．已知函数()ln af x x x=+，其中R a ∈，e 为自然对数的底数，e 2.718.≈ (1)若函数()f x 在定义域上有两个零点，求实数a 的取值范围； (2)当1a =时，求证：e ()sin xf x x x<+参考答案：1．D 【解析】 【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】解：{}{}2|43013A x x x x x =-+<=<<，{}1110242xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，所以A B ⋃=[0,3). 故选：D. 2．C 【解析】 【分析】先由544S a =可得12a d =，然后利用等差数列的求和公式和通项公式对125S a 化简即可求得结果 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 因为544S a =， 所以115454(3)2a d a d ⨯+=+，得12a d =（0d ≠）， 所以11251121112246621546a dS d d a a d d⨯++===+，故选：C 3．A 【解析】 【分析】计算出()88P X <，可得出()()08588m P X P X <=<<<，即可得出结论. 【详解】因为8892902+=，则()()18892880.342P X P X -<<<==， 因此，()()085880.34m P X P X <=<<<=. 故选：A. 4．A 【解析】 【分析】由钝角ABCsin ACB ∠=，得到23ACB π∠=，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由圆22:230C x y x +--=，可得圆心坐标为(1,0)C ，半径为2r =，因为钝角ABC122sin 2ABCS ACB =⨯⨯∠解得sin ACB ∠=，所以23ACB π∠=，可得AB =又由圆的弦长公式，可得1d =，根据点到直线20ax y -+=的距离公式1d =，解得34a =-.故选：A. 5．B 【解析】 【分析】结合向量的数量积，两边同时平方得到关于cos θ的二次方程，进而求出答案，需要注意排除π这个答案. 【详解】因为2|2|m n m n ⋅=-，所以|4c 2os cos |2m n m n θθ⋅==-， 可得2222|2|44c 1os 88c c os 6os m n m m n n θθθ-=-+=-=，解得1cos 2θ=或1-，又2|2|0m n m n ⋅=->，故θ=3π.故选：B.【解析】 【分析】求出将四人分配到三个地区的分配方法种数，再求出A 、B 两人安排在同一地区的分配方法种数，利用间接法可求得结果. 【详解】先考虑将四人分配到三个地区，分组方法种数为24C 6=，所以，将A 、B 、C 、D 四名同志安排到三个地区，共有2343C A 36=种分配方法，接下来考虑A 、B 两人安排在同一地区，则共有33A 6=种分配方法，由间接法可知，A 、B 两人不安排在同一个地区且每个地区至少安排一人的分配方法种数为36630-=种. 故选：B. 7．C 【解析】 【分析】观察分析可构造函数()()21ln2xg x f x x+=-=-，根据g (x )的单调性和奇偶性将问题转化为即22e e x x x k <<对()0,2x ∈恒成立. 【详解】设()()21ln2xg x f x x+=-=-， 则()()11e 2e 11022x x f k f x f k f x ⎛⎫⎛⎫+->⇒-+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1e 02xg k g x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，由202xx+>-，解得22x -<<，即g (x )定义域关于原点对称， 又()()()()()()2222lnln ln ln102222x x x xg x g x x x x x +-+-+-=+===-+-+， 故g (x )是定义在(－2，2)上的奇函数. ()24lnln 122x g x x x +-⎛⎫==- ⎪--⎝⎭， y ＝412x ---在(－2，2)单调递增，y ＝ln x 在(0，﹢∞)单调递增，故g (x )在(－2，2)单调递则()1e 02x g k g x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭变为()1e 2xg k g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∥原问题转化为：()1e 2xg k g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭对()0,2x ∈恒成立，则0e 22x xk <<<对()0,2x ∈恒成立， 即22e ex x x k <<对()0,2x ∈恒成立. 令()()2,0,2e xt x x =∈， ∥()2e xt x =在()0,2上单调递减， ∥()()222e t x t >=，∥22e k ；令()(),0,22e x xh x x =∈， 则()12e xxh x -='， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当12x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，∥当1x =时，()h x 取最大值()112e h =，∥12ek >， ∥2122e e k <，即实数k 的取值范围是212,2e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C. 8．C 【解析】 【分析】作出图形，设1AF m =，利用三角形相似以及角平分线的性质可得出2m a =，可得出2ABF 为等边三角形，可得出1223F AF π∠=，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设1AF m =，因为122F F c =，23BT AF =，则2//AF BT ，所以，121F AF F BT △∽△， 所以，11221113AF F F AF BF FT BT ===，所以，13BF m =，24F T c =， 由双曲线的定义可得2122AF AF a m a =+=+，21232BF BF a m a =-=-， 因为2BF 经过1BFT △的内切圆圆心，即2BF 平分1F BT ∠，所以，122112212BF F BF TS BF F F S BTF T===△△，则126BT BF m ==，2123AF BT m ∴==， 所以，22m m a =+，则2m a =，则224AB m a AF ===，2324BF m a a =-=， 故2ABF 为等边三角形，则23BAF π∠=，故1223F AF π∠=， 在12F AF 中，12AF a =，24AF a =，122F F c =， 由余弦定理可得22212121222cos 3F F AF AF AF AF π=+-⋅， 即222214416162c a a a ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，可得c =，因此，该双曲线的离心率为ce a==故选：C. 9．AC 【解析】 【分析】由题意可得22238log 31log ,log 23a b =-==，对于A ，代入计算即可，对于B ，先求出-a b ，再判断1a b -+的正负即可，对于C ，利用基本不等式判断，对于D ，先求出a 的取值范围，然后将2b a =-代入ab ，化简后利用二次函数的性质求出其最值由题意可得22238log 31log ,log 23a b =-==，对于A ，22223838log log log log 422323a b ⎛⎫+=+=⨯== ⎪⎝⎭，所以A 正确， 对于B ，因为()()2222log 31log 8log 32log 34a b -=---=-，所以32222212log 33log 9log 2log 9log 80a b -+=-=-=->，所以1a b ->-，所以B 错误，对于C ，因为0,0a b >>，2a b +=，所以()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当a b =时取等号，而ab ，所以取不到等号，所以112a b+>，所以C 正确，对于D 322<，所以2223log log log 22<，所以213log 122<<，所以112a <<，因为2a b +=，所以2b a =-，所以()()2211ab a a a =-=--+，因为112a <<，所以()231114a <--+<，即314ab <<，所以D 错误，故选：AC 10．CD 【解析】 【分析】通过举反例判断选项AB 的真假，证明选项CD 正确即得解. 【详解】解：A. 如32(),()3,(0)0,f x x f x x f ''=∴==由于函数()f x 是增函数，所以0x =不是极值点，所以该选项错误；B. 如32()1,()3f x x f x x '=+∴=是偶函数，但是()y f x =不是奇函数，所以该选项错误；C. ()y f x =是周期为(0)a a >的周期函数，所以()(),()()f x f x a f x f x a ''=+∴=+，所以()y f x '=也是周期为(0)a a >的周期函数，所以该选项正确； D. ()y f x =的图象关于直线x a =对称，所以()()f a x f a x +=-，所以()()f a x f a x ''+=--，所以()y f x '=的图象关于点(,0)a 中心对称，所以该选项正确.11．ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理、面面平行的性质，结合正方体截面的性质、棱锥的体积公式逐一判断即可. 【详解】A ：因为AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，所以1AB A D ⊥，而11AD A D ⊥， 11,,AD AB A AD AB =⊂平面1ABD ，所以1A D ⊥平面1ABD ，因为点P 在1AD 上运动，所以PB ⊂平面1ABD ，因此1PB A D ⊥，所以本选项结论正确； B ：连接1,A B BD ，因为11//,BD B D BD平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，同理1//A D 平面11B CD ， 而11,,A DBD D A D BD =⊂平面1A BD ，因此平面1//A BD 平面11B CD ，当//PB 平面11B CD ，所以有点P 在1A D 上运动，因此本选项结论正确；C ：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，所以本选项结论不正确；D ：正方体ABCD 3=，当点P 在1DD 上时，高最长， 此时有：223PA PD =+，而2PA PD =，所以22431PD PD PD =+⇒=， 所以P ABCD -的体积最大值为13113⨯⨯=，本选项结论正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：运用正方体的性质、线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理和性质是解题的关键. 12．BCD 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇函数的定义即可判断A ；根据三角函数的周期性和图象中波峰的特点即可判断B ；根据题意可知()f x 在(0,)2π上是单调的，进而可得326262k k ππππππωπ+≤≤+≤+，求出ω的范围即可判断C ；根据B 选项的分析可得cos()t λπ-=，则11cos()t λπλλ-=+，构造函数11()cos()(0)2f x x x x π=+<<，利用导数讨论函数的单调性，即可判断D. 【详解】A ：将函数()f x 的图象向右平移6π个长度单位，则()sin[()]sin()6666g x x x ππππωωω=-+=-+，若()g x 图象关于原点对称，则()g x 为奇函数，有66k ππωπ-=(k Z ∈)，解得16k ω=-(k Z ∈)，又0>ω，得16k <， 所以当且仅当16k <且k Z ∈时，()g x 图象关于原点对称，故A 错误； B ：若13λ=，则13AB AC AC λ==，即13AB AC =，设123(,)(,)(,)A x t B x t C x t ，，，则212AC AB x x πω==-，，且2sin()6x t πω+=， 所以2112233x x ππωω-=⋅=，得2123x x πωω-=∥， 又点A 、B 的中点的横坐标为122x x +，则12sin()126x x πω+⋅+=， 所以12262x x k ππωπ+⋅+=+，即21223x x k πωωπ+=+∥， 由∥∥得，223x k πωπ=+，有2566x k ππωπ+=+，k Z ∈， 所以25sin sin (0)66t x k t ππωπ⎛⎫⎛⎫=+=+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，所以12t =，故B 正确； C ：由函数()f x 在(0,)2π上无最值，知()f x 在(0,)2π上是单调的，有6626x ππππωω<+<+，所以326262k k ππππππωπ+≤≤+≤+，k Z ∈， 解得13k ≤-，8023k ω<≤+，所以当1k =-时，ω取得最大值23，故C 正确；D ：由B 选项的分析可知，212x x ωωλπ-=，21223x x k πωωπ+=+， 两式相加，得23x k πωλππ=++，有262x k ππωλππ+=++，所以2sin si 2n cos()cos()6t x k k k Z ππωλππλππλπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，即cos()t λπ-=，所以11cos()t λπλλ-=+，令11()cos()02f x x x x π=+<<，， 则21()sin()f x x x ππ'=--，由102x <<，得02x ππ<<，所以0sin()1x π<<， 所以()0f x '<，则函数()f x 在1(0,)2上单调递减，所以1()()22f x f >=，即11cos()2t λπλλ-=+>，故D 正确.故选：BCD 13．3- 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，结合复数的乘法运算法则、复数相等进行求解即可. 【详解】因为复数z 为纯虚数，所以设i(0)z b b =≠，由(2i)6i (2i)i 6i 2i 6i 326b az a b a b b a a b b =⎧-=-⇒-⋅=-⇒+=-⇒⇒==-⎨=-⎩， 故答案为：3- 14．1 【解析】 【分析】先0x =，可得01a =，再令12x =-，可得答案. 【详解】由题意令0x =，可得01a = 令12x =-，可得20223202120221202320212022(11)22222a a a a a a -=-+-+⋯-+ 所以3202120221202320212022122222a a a a a a =-+-⋯+-= 故答案为：1 15．2 【解析】 【分析】利用导数求出抛物线在A 和B 的切线方程，根据切线过P 得A 和B 满足的方程，从而求得AB 所在直线方程，联立直线AB 方程与抛物线方程求出Q 点坐标，从而求出PQ 的表达式，根据表示式即可求其最小值. 【详解】 24x y =⇒21142y x y x ='=⇒， 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),1P m -，则2114x y =，2224x y =，则切线PA ：()211111111111122224222y y x x x y y x x x y y x x y y y x x -=-⇒-=-⇒-=-⇒+=， ∥切线P A 过P ，∥1122mx y =-， 同理，2222mx y =-，∥直线AB 方程为：22mx y =-.由24x y⎨=⎩得，()22210y m y -++=， 则2122y y m +=+，()221212224222222m y y m x x m m m m m+---+=+===，则2,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2222m PQ =+≥，即PQ 最小值为2. 故答案为：2. 16． 2 283π##283π 【解析】 【分析】以点M 为坐标原点，CM 、MB 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()20PA h h =>，利用空间向量法求出h 的值，可求得线段PA 的长，设三棱锥P ABC -的外接球球心为(),,O x y z ，根据已知条件建立关于x 、y 、z 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】连接CM ，则CM AB ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，以点M 为坐标原点，CM 、MB 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设()20PA h h =>，则()0,1,0A -、()0,1,0B 、()C 、()0,1,2P h -、()0,0,0M 、,2N h - ⎪ ⎪⎝⎭，1,2MN h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2PB h =-，由已知可得()22213cos ,421MN PBh MN PB h MN PB ⋅+<>===+⋅，解得1h =， 因此，22PA h ==，则点()0,1,2P -， 设三棱锥P ABC -的外接球球心为(),,O x y z ，由OA OB OA OC OA OP ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()()()(()()()222222222222222222111112x y z x y z x y z x y z x y zx y z ⎧+++=+-+⎪⎪+++=++⎨⎪⎪+++=+++-⎩，解得01x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为R OA ⎛==-= 因此，该三棱锥外接球的表面积为22843R ππ=. 故答案为：2；283π. 17．(1)3π； (2)75. 【解析】 【分析】(1)结合已知条件和正弦定理边化角，三角恒等变换即可求出B ；(2)根据三角形面积公式求出a ，根据余弦定理求出b .在ABD △和ACD △分别由正弦定理表示出sin BAD ∠和sin CAD ∠，根据BD CD =，sin sin BDA CDA ∠=∠即可得sin sin BAD ACCAD AB∠∠=.(1)∥2cos 2b C a c =-，∥由正弦定理得，2sin cos 2sin sin B C A C =-， 即()2sin cos 2sin sin B C B C C π=---，即()2sin cos 2sin sin B C B C C =+-，即2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B C B C B C C =+-， 即2cos sin sin B C C =，()0,C π∈，sin 0C ∴≠，1cos 2B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=；(2)11csin 5822a B a a =⋅⋅==，7b =. 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin sin sin AB BD BD BDABAD BDA BAD AB ∠∠∠∠⋅=⇒=，在ACD △中，由正弦定理得，sin sin sin sin AC CD CD CDACAD CDA CAD AC∠∠∠∠⋅=⇒=，BD CD =，sin sin BDA CDA ∠=∠，∥sin 7sin 5BAD AC b CAD AB c ∠∠===.18．(1)12n n a ；(2)2. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列前n 项和性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可； （2）运用错位相减法，结合指数函数的单调性进行求解即可. (1)设等比数列的公比为(0)q q >，因为22a =，所以1122a q a q=⇒=， 由3213123121n n n n n n n n n n n n a S a S a a S S a a a a ++++++++++⇒-=⇒-=+-=--2213120(2)0n n n n a a a a q q ++++⇒--=⇒--=，因为10n a +≠，所以220q q --=，因为0q >，所以解得2q ，即121a q==，所以数列{}n a 的通项公式为： 11122n n n a --=⋅=；(2)由（1）可知：12n n a ，所以121212n n n n n b a ---==， 所以2135211(1)222n n n T --=++++， 23113521(2)22222n nn T -=++++， (1)(2)-得：123111(1)1111121212212()121222222212n n n n n n n T -----=+++++-=+⋅--，所以12362n n n T -+=-，代入134722nn n T +<-中， 得11342723622122n n n n n n -+⇒+->⇒-<>，因为n *∈N ，所以n 的最小值为2. 19．(1)证明见解析； (2)30°. 【解析】 【分析】(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 由三角形中位线知MN ∥PC 即得证；(2)取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 说明OP 、OD 、ON 两两相互垂直，则分别以OD 、ON 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.O xyz -利用向量法即可求出二面角的大小. (1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∥N 是AC 的中点. 又M 是AP 的中点，∥MN 是APC △的中位线，MN PC ∥， ∥MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ， ∥PC ∥平面BMD ，(2)取AD 的中点O ，连接OP ，.ON在PAD △中，PA PD =，O 是AD 的中点， ∥OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面P AD ，平面PAD 平面ABCD AD =， ∥OP ⊥平面.ABCD在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点， ∥ON AD ⊥，∥OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(M -，∥(DM =-，(DP =-，(4,4,0).DB =- 设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z =， 则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,440,x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1(1,1n =，∥1(1,1n =是平面MBD 的一个法向量：同理，2(3,n =是平面PBD 的一个法向量， ∥121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅=设二面角M BD P --的大小为θ， 由图可知，1cos cos n θ=<，23n >=θ为锐角， ∥30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒ 20．(1)表格见解析，没有； (2)∥310；∥45.【解析】 【分析】（1）根据频率直方图求出得分不低于90分的人数，结合所给的公式和数据进行求解判断即可；（2）∥根据古典概型的计算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可； ∥根据对立事件的概率公式进行求解即可. (1)得分不低于90分的人数为：40(0.040.02)512⨯+⨯=，所以填表如下：所以2240(812416)0.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ⨯⨯-⨯=≈<++++， 因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关； (2)不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=， 直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.∥甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；∥甲的最终岗位等级为三级的概率为：131(1)255⨯-=，所以甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：14155-=. 21．(1)22143x y +=；(2)4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合三角形面积公式进行求解即可；（2）设出直线l 的方程与椭圆的方程联立，结合直线斜率公式、一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可. (1)由题意可知：(,0),(,0)A a B a -，设11(,)M x y ，显然1b y b -≤≤， ABM 的面积为：1122a y ab ⋅⋅≤，因为ABM的面积最大值为所以=ab 12，所以12c a =，于是有2222121ab a c b a c a b c⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩22143x y +=； (2)由（1）可知：(1,0)F ，(2,0)A -，由题意可知直线l 斜率不为零，所以设方程设为：1x my =+，与椭圆方程联立，得22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设22(,)N x y ， 所以12122269,3434m y y y y m m --+==++， 直线AM 的方程为：11112y y x x y x --=+，把x t =代入方程中，得11(2)2t y y x +=+，所以11(2)(,)2t y T t x ++，于是11101(2)2(2)1(2)(1)t y x t y k t x t +++==-+-，1112y k x =+，2122y k x =-， 因为1k ，0k ，2k 成等差数列， 所以112012112(2)22(2)(1)22t y y yk k k x t x x +=+⇒⋅=++-+-，化简，得1212(5)(2)(1)2t y y x t x +=+--，把11221,1x my x my =+=+代入化简，得121226(5)()(28)my y t y y t y =+++-，把12122269,3434m y y y y m m --+==++代入，得 226(4)(28)34m t t y m -=-+，因为m R ∈，所以有40280t t -=⎧⎨-=⎩，即4t =. 【点睛】关键点睛：利用代入法，正确的化简是解题的关键. 22．(1)10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对a 分类讨论，结合单调性及最小值，列出不等关系，求出实数a 的取值范围；（2）先进行简单放缩，构造函数，进行证明. (1)()f x 的定义域为()0,∞+，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在定义域上不可能有两个零点；当0a >时，令()0f x '>得：x a >，令()0f x '<得：0x a <<，故()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()f x 在x a =处取得极小值，也是最小值，()()min 1ln f x f a a ==+，要想函数()f x 在定义域上有两个零点，则1ln 0a +<，解得：10ea <<，又()10f a =>，当0x →时，()f x →+∞，由零点存在性定理可知：在()0,a 与(),1a 范围内各有一个零点，综上：实数a 的取值范围是10,e⎛⎫⎪⎝⎭.(2)证明：当1a =时，即证1e ln sin xx x x x+<+，（0x >）由于[]sin 1,1x ∈-，故e e sin 1x x x x x +≥-，只需证1e ln 1xx x x+<-，令()()1e ln 10x h x x x x x =+-+>，则()()()()22211e e 111xx x x h x x x x x---'=--=，因为0x >，所以1e 0x -<，令()0h x '>得：01x <<，令()0h x '<得：1x >，所以()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 12e<0h x h ==-，故()0h x <在()0,x ∈+∞上恒成立，结论得证. 【点睛】导函数证明不等式，常常需要对不等式进行变形放缩，常见放缩有三角函数有界性放缩，切线放缩，如()ln 10x x x ≤->，e e x x ≥，e 1x x ≥+等.。

2024届江苏省南通市如皋中学高三下学期适应性月考卷（三）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB⋅的最小值为（ ） A ．223-B ．1-C ．0D ．5232- 2． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋(k ∈Z)3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．124．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-55．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．566．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．237．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或98．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．16312．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2007-2008学年度第一学期高三暑期夏令营结营考试试题文 科 数 学 试 题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷1—2页，第II 卷3—8页，满分160分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题，共50分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必在答题卡姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号，并用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，将答题卡和第II 卷一并交回。

一．选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1、已知为等比数列，当时，则（ ）A 6B 7C 8D 9 2、已知｛n a ｝是等差数列，则由下列哪个式子确定的数列｛n b ｝也一定是等差数列（ ）A n n a b =B 2n n a b = C 3n n a b = D n n a b -=1 3、如果,2y lg x lg =+则y 1x 1+的最小值是 ( ) A. 2 B. 21 C. 51 D. 2014、正项等比数列｛a n ｝与等差数列｛b n ｝满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为 （ ） A 4a =4b B4a ＜4bC4a ＞4b D 不确定5、在如图的表格中右上角， 每格填上一个正数后，使每一横行成等比数列，每一纵行成等差数列，则a ＋b ＋c 的值为 （ ） A ．50 B ．94 C ．76 D ．1236、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为 （ ） A ．4 B ．11 C ．2 D ．127、若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是（ ）A ．S 17B ．S 15C ．S 8D ．S 78、若x 、y 满足约束条件00210x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．129、已知Sn 是公差为d 的等差数列{a n }(n ∈N+)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，则下列四个命题：①d<0；②S 11>0；③S 12<0；④S 13>0中为真命题的个数 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．310、某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为(不计利息税) ( ) A 7(1)a p + B 8(1)a p + C7[(1)(1)]ap p p+-+D()()811a p p p ⎡⎤+-+⎣⎦2007-2008学年度第一学期高三暑期夏令营结营考试试题文 科 数 学 试 题第II 卷(非选择题，共110分)注意事项：1、第II 卷共6页，用钢笔或原珠笔直接答在试卷上。

08届高三质量调研卷 07.11数学试卷一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中的横线上）1． 不等式103x x -≥-的解集是__________.2．抛物线212y x =-的焦点坐标是__________.3．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有__________条 4．已知向量)12,5(=→--OA , 将→--OA 绕原点按逆时针方向旋转90得到→--OB ,则与→--OB 同向的单位 向量是__________.5．已知201,(),xa a f x x a >≠=-且当(1,1)x ∈-时均有1()2f x <，则实数a 的取值范围 是__________. 6．函数113xy -=的值域是 ．7．函数y =____________________．8．实数,x y 满足350,(1,3]x y x --=∈，则2yx -取值范围是____________________． 9．关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是___________________．10．给出下列四个命题：⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ0(090θ<≤）角的直线一定有无穷多条；⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确命题的序号为_____________（请把所有正确命题的序号都填上）．11．依次写出数列：1a ，2a ，3a ，…， n a ，…，其中11a =，从第二项起n a 由如下法则确定：如果2-n a 为自然数且未出现过，则用递推公式21-=+n n a a 否则用递推公式11n n a a +=+，则2006a = ．12. 在复平面内，复数121,23z i z i =+=+对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，,.OP OA OB R =+λλ∈若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是__________.13.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 . 14.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为 .x －1 0 1 2 3 x e 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x + 1 2 3 4 5左视图俯视图主视图二、解答题：（本大题共5小题，满分85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分17分）设P ：关于x 的不等式：a x x <-+-|3||4|的解集是φ，Q ：函数)lg(2a x ax y +-=的定义域为R ． 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．16．（本小题满分17分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (sin ,cos )αα，其中3.22ππα<<⑴ 若AC BC =，求角α的值；⑵ 若1AC BC =-,求22sin sin 21tan ααα++的值．17．（本小题满分17分）已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点，⑴ 求证：平面EBD ⊥平面SAC ；⑵ 假设SA=4，AB=2，求点A 到平面SBD 的距离；18．（本小题满分17分）以数列}{n a 的任意相邻两项为坐标的点))(,(1*+∈N n a a P n n n 均在一次函数)0(,2≠+=k k x y 的图象上，数列}{n b 满足条件：1()n n n b a a n N *+=-∈，⑴求证：数列}{n b 是等比数列；⑵设数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若46T S =，95-=S ，求k 的值．19．（本小题满分17分）设曲线Ｃ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，右准线l 与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，其右焦点为Ｆ，且△PQF 为等边三角形。

江苏省如皋中学2022届高三数学下学期质量检测试题时间120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．（百校联考卷1改编）已知全集U =R ，集合A =(),0-∞，{}1,3,B a =--，若()U C A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ▲ ．2．若2()x i +是实数（i 是虚数单位），则实数x 的值为 ▲ ．3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500)范围内的人数为 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为 ▲ ． 5．已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线12:210,:10,l x y l ax by --=+-=则直线12l l ⊥的概率为 ▲ ． 6．（试题调研精选）设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为3，则其表面积等于 ▲ ．7．如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则∠CAE 的正切值为 ▲ ．8．在△ABC 中，若2AB AC AB CB •=•=，则边AB 的长等于 ▲ ．9．已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆的右焦点且与轴垂直的直线与椭圆交于，若PQM ∆为正三角形，则椭圆的离心率等于 ▲ ． 10．（老高三建议题）若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数的取值范围是 ▲ ．11．（扬州卷14改编）若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ▲ ．12．（原创）定义在R 上的()f x ，满足22()()2[()],,,f m n f m f n m n R +=+∈且(1)0f ≠，则(2012)f 的值为 ▲ ．13．（文科卷14改编）已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ． 14．设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a ,满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根,则数列}{n a 的通项公式为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。

绝密★启用前江苏省如皋中学、如东中学2020届高三毕业班下学期阶段性联合调研考试数学试题(解析版)注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}02A x x =<<，集合{}1B x x =>，则A B =______. 【答案】{}0x x >【解析】【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】{}{}02,1A x x B x x =<<=>，{}0A B x x ∴⋃=>.故答案为：{}0x x >.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,若复数3i ()12i a z a -=∈+R 为纯虚数,则a =___________. 【答案】2-【解析】【分析】根据复数的除法法则首先计算出221i 55a a z +-=+,根据纯虚数的概念列出方程,解出即可.【详解】i (i)(12i)221i 12i (12i)(12i)55a a a a z --++-===+--+, 由题可得20210a a +=⎧⎨-≠⎩,解得2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,已知复数的类型求参数的值,属于基础题.3.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=, 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.4.运行如图所示的伪代码,则输出的I 的值为_______.【答案】6【解析】。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/5C. 0.333...D. 2.252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 53. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则a - b > 0D. 若a > b，则ab > 04. 下列各式中，不是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 5, 8, 11, 14C. 1, 4, 9, 16, 25D. 3, 6, 9, 12, 155. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an的值为（）A. 29B. 31C. 33D. 356. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递增，则f(x)在区间[-1, 1]上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 不确定7. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，那么f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a和向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/29. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 25，那么该圆的半径为（）A. 5B. 10C. 15D. 2010. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，那么第5项an的值为（）A. 54B. 48C. 42D. 3611. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 212. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，b = 0，c < 0，则函数f(x)的图像是（）A. 单调递增的抛物线B. 单调递减的抛物线C. 顶点在y轴上的抛物线D. 顶点在x轴上的抛物线二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试
数学试卷
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（
C. 46
π
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C ：，下列结论中正确的有（ ）A ．若，则C 是椭圆，其焦点在轴上B ．若，则C C ．若，则C 是双曲线，其渐近线方程为D ．若，，则C 是两条直线的轨迹长度为外接球的表面积为
221mx ny +=0m n >>x 0m n =>0mn <y =0m =0n >2π32π3
15. 已知函数．(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
()2e (1)x f x x =+()f x ()f x [,1](3)t t t +>-()g t
111
⎥⎦BDP
，
，对于D ，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面
，
连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
M 1A D AMD V ABCD ⊥11ADD A AC BD O 2OM OA OB OC OD ====M ABCD -AC BD
（舍去）或，
．故答案为：相切，则实数a 的取值范围
443k =-422,0,33⎡
⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥
⎣
⎭⎝⎦
，
，，240m -≠2254
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2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程是__________．3．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为__________．4．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．5．a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的__________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）．6．设f（x）为偶函数，对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），已知f（﹣1）=4，那么f（﹣3）=__________．7．已知实数x，y满足，则当2x﹣y取得最小值时，x2+y2的值为__________．8．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为__________．9．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．10．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．11．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为__________．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为__________．13．已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是__________．14．若正实数a，b，c满足3a2+10ab﹣8b2=c2，且a＞b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0．若直线l被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB 交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论．18．（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线准线方程的求解，属基础题．3．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0，2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；当m=1时，两条直线分别化为：x﹣y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx﹣4，y=x+，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=2．综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直．故答案为：0，2．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．4．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．5．a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的必要不充分条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则等价为“任意x∈[1，2]，x2≤a”为真命题，则a≥4，则a≥3”是“a≥4”的必要不充分条件，故选：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．6．设f（x）为偶函数，对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），已知f（﹣1）=4，那么f（﹣3）=﹣8．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意可得，f（1）=4，令x=1，可求得f（3）的值，f（x）为偶函数，从而可得f（﹣3）的值．【解答】解：∵对于任意的x＞0的数，都有f（2+x）=﹣2f（2﹣x），∴令x=1得：f（3）=﹣2f（1）．∵f（x）为偶函数，f（﹣1）=4，∴f（﹣3）=f（3）=﹣2f（1）=﹣2f（﹣1）=（﹣2）×4=﹣8故答案为：﹣8．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性，考查赋值法，属于中档题．7．已知实数x，y满足，则当2x﹣y取得最小值时，x2+y2的值为5．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出2x﹣y取得最小值时A点的坐标，将A点的坐标代入x2+y2，求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图，，令z=2x﹣y，则当直线z=2x﹣y经过直线x﹣y+1=0和直线x+y﹣3=0的交点A时，z取得最小值．此时A的坐标为（1，2），∴x2+y2=5，故答案为：5．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，求出2x﹣y取得最小值时的x，y的值是解题的关键，本题是一道中档题．8．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为4．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，用余弦定理求出|PQ|．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=，∴cos∠PO1Q=2cos2α﹣1=﹣，∴|PQ|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|PQ|=4．故答案为：4．【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．9．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．11．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为[0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可．【解答】解：由题意，奇函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的减函数，不等式f（1﹣m）+f （1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜f（m2﹣1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．13．已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，进行求解即可得k的范围．【解答】解：∵圆心为O（0，0），半径R=1．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO=R=，∴圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，即，即1+k2≥2，解得k≥1或k≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．14．若正实数a，b，c满足3a2+10ab﹣8b2=c2，且a＞b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为2．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】3a2+10ab﹣8b2=（3a﹣2b）（a+4b）=c2，设3a﹣2b=tc，则a+4b=c，t＞0，不等式5a+6b≥kc恒成立转化为k≤t+，利用基本不等式即可求出k的最大值．【解答】解：∵3a2+10ab﹣8b2=（3a﹣2b）（a+4b）=c2，设3a﹣2b=tc，则a+4b=c，t＞0，则5a+6b=（3a﹣2b）+2（a+4b）=tc+c≥kc，∵c＞0，∴k≤t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=1时取等号，∴k≤2，∴实数k的最大值2，故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是换元的思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：若函数在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，即p：0＜a＜1．若y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，则判别式△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或0＜a＜，即q：a＞或0＜a＜，若“￢p且q”为真命题，则￢p，q都为真命题，即p是假命题，q是真命题，则，解得a＞．【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f （x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0．若直线l被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB 交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；（2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C2的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为MN，写出圆C2的方程，化简后，令y=0求出圆C2过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C1的内部，得证；【解答】解：（1）圆C1：（x+4）2+y2=16﹣F，则圆心（﹣4，0）到直线2x﹣y+3+8=0的距离d==1根据垂径定理及勾股定理得：（）2+12=16﹣F，F=12∴圆C1的方程为（x+4）2+y2=4；（2）令圆的方程（x+4）2+y2=4中y=0得到：x=﹣6，x=﹣2，则A（﹣6，0），B（﹣2，0）设P（x0，y0）（y0≠0），则（x0+4）2+y02=4，得到（x0+4）2﹣4=﹣y02①∴k PA=则l PA：y=（x+6），M（0，）∴则l PB：y=（x+2），N（0，）圆C2的方程为x2+（y﹣）2=（）2完全平方式展开并合并得：x2+y2﹣2（）y+=0将①代入化简得x2+y2﹣（）y﹣12=0，令y=0，得x=±2，又点Q（﹣2，0），由Q到圆C1的圆心（﹣4，0）的距离d==4﹣2＜2，则点Q在圆C1内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆C2经过圆C1内一定点（﹣2，0）；【点评】本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用30°的直角三角形的边的关系及两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题．18．（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．20．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。

2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合{}21x A x =>，{}2log 0B x x =<，则AC B =A.()0,1 B.(]0,1 C.()1,+∞ D.[)1,+∞2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（）A.1i +B.1i -+C.1i-- D.1i-3.向量()()1,2,1,0a b ==-，则b 在a上的投影向量是（）A .55-B.C.1255⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D.1255⎛⎫ ⎪⎝⎭，4.声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110xf x -=⨯．火箭发射时，声音的等级约为160dB ；一般噪音时，声音的等级约为90dB ，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（）A.510倍B.610倍C.710倍D.810倍5.已知F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，P 为其右支上一点，点()0,6A -，则APF 周长的最小值为（）A.4+B.4+C.6+D.6+6.已知()00,P x y 是:40l x y -+=上一点，过点P 作圆22:5O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（）A.B.2C.2D.47.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知sin sin 12αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则()cos αβ-=A. B.12-C.12D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A .对于圆O ，其“太极函数”有1个B.函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C.函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D.函数())lnf x x =+是圆O 的一个“太极函数”11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（）A.()00f = B.()y f x =是奇函数C.()f x 在[],m n 上有最大值()f n D.()10f x ->的解集为(),1∞-12.已知异面直线a 与直线b 所成角为60 ，平面α与平面β的夹角为80 ，直线a 与平面α所成的角为15 ，点P 为平面αβ、外一定点，则下列结论正确的是（）A.过点P 且与直线a b 、所成角均为30 的直线有3条B.过点P 且与平面αβ、所成角都是30 的直线有4条C.过点P 作与平面α成55 角的直线，可以作无数条D.过点P 作与平面α成55 角，且与直线a 成60 的直线，可以作3条三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有___________种.14.已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.15.已知函数5π()sin cos(),(0)6f x x x ωωω=++>在[0,π]上的值域为[,1]2-，则ω的取值范围为_________.16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），且2FB AF =，则椭圆的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()ln ()R f x x a x a =-∈（1）求()f x 的极值；（2）若()1f x ≥，求a 的值，并证明：()2.x f x x e >-18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c B c C a A ++=．（1）求角A ；（2）求22sin sin B C +的最小值．19.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC上任意一点．（1）求证：AM BD ⊥；（2）若M 是棱1CC 的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．20.已知数列{}n a 中，11a =，()12N 2nn na a n a ++=∈+.（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.21.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P .假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.22.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12S S 为定值.2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}21x A x =>，{}2log 0B x x =<，则A CB =A.()0,1 B.(]0,1 C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】D 【解析】【分析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B ，再利用补集的定义直接求解即可.【详解】{}{}{}{}2210log 001x A x x x B x x x x =>=>=<=<<，，则{}1A C Bx x =≥故选D.【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（）A.1i+ B.1i-+ C.1i-- D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据题意11z i =-，2z i =，121z z i z ==--，再计算共轭复数得到答案.【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11zi =-，2z i =，()122111i i z i z i z i i ---====---，故1z i =-+.故选：B .【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.3.向量()()1,2,1,0a b ==-，则b 在a上的投影向量是（）A.5-B.5C.1255⎛⎫-- ⎪⎝⎭， D.1255⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】C 【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,2,1,0a b ==-，所以b 在a 上的投影向量是212，5155a b a a a⎛⎫⋅⋅=--- ⎪=⎝⎭,故选：C 4.声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110xf x -=⨯．火箭发射时，声音的等级约为160dB ；一般噪音时，声音的等级约为90dB ，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（）A.510倍B.610倍C.710倍D.810倍【答案】C 【解析】【分析】根据声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110x f x -=⨯．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为160dB ，所以11210lg160110x -=⨯，解得4110x =；因为一般噪音时，声音的等级约为90dB ，所以21210lg 90110x -=⨯，解得3210x -=，；所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的71210x x =倍，故选：C 5.已知F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，P 为其右支上一点，点()0,6A -，则APF 周长的最小值为（）A.4+ B.4+ C.6+ D.6+【答案】B 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为M ，由双曲线方程可求出a ，b ，c 的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出APF 的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为M ，由双曲线的方程可得：224,5ab ==，则2,3a bc ===，所以(3,0),(3,0)F M -，且||||24PF PM a -==，所以||||4PF PM =+，APF 的周长为||||||||||4|PA PF AF PA PM AF ++=+++∣444PA PM AM =++++++，当且仅当M ，P ，A 三点共线时取等号，则APF 周长的最小值为4+B ．6.已知()00,P x y 是:40l x y -+=上一点，过点P 作圆22:5O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（）A.B.2C.302D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接,,OA OB OP ，由,PA PB 切圆O 于,A B 知，,,OA PA OB PB OP AB ⊥⊥⊥，因为直线AB 与l 平行，则OP l ⊥，||OP =，而圆O于是||PA ==，由四边形OAPB 面积2OPA S S = ，得11||||2||||22AB OP OA AP =⨯，所以2||||||||2OA AP AB OP ===.故选：C7.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q>”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C8.已知sin sin 12αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则()cos αβ-=A.B.12-C.12D.2【答案】D 【解析】【详解】由已知可得22227sin sin -2sin sin 4{2sin sin +2cos cos 1cos cos 2cos cos 4αβαβαβαβαβαβ+=-⇒=+-=()cos -=2αβ⇒，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A.对于圆O ，其“太极函数”有1个B.函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C.函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D.函数())lnf x x=是圆O 的一个“太极函数”【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，当0x ≥时，()()2f x x x f x -=-+=-，当0x <时，()()2f x x x f x +-==-，故()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为奇函数，故根据对称性可知函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为圆O 的一个“太极函数”，故正确；对于C 选项，函数定义域为R ，()()33f x x x f x -=-+=-，也是奇函数，故为圆O 的一个“太极函数”，故错误；对于D 选项，函数定义域为R ，()))()lnln ln x x f x f x ⎛⎫=-==-=--，故为奇函数，故函数())lnf x x=+是圆O 的一个“太极函数”，故正确.故选：BD11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（）A.()00f = B.()y f x =是奇函数C.()f x 在[],m n 上有最大值()f n D.()10f x ->的解集为(),1∞-【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对；对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-，故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对.故选：ABD.12.已知异面直线a 与直线b 所成角为60 ，平面α与平面β的夹角为80 ，直线a 与平面α所成的角为15 ，点P 为平面αβ、外一定点，则下列结论正确的是（）A.过点P 且与直线a b 、所成角均为30 的直线有3条B.过点P 且与平面αβ、所成角都是30 的直线有4条C.过点P 作与平面α成55 角的直线，可以作无数条D.过点P 作与平面α成55 角，且与直线a 成60 的直线，可以作3条【答案】BC 【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义判断A ；利用线面角的意义判断B ；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD 作答.【详解】因为异面直线a 与直线b 所成角为60 ，显然过点P 分别与直线,a b 平行的直线,a b ''的夹角为60 ，在直线,a b ''确定的平面内过点P 与,a b ''都成30 角的直线只有1条，所以过点P 与直线,a b 所成角均为30 的直线只有1条，A 错误；因为平面α与平面β的夹角为80，则过点P 与平面,αβ所成角都是80402=和18080502-= 的直线各有一条,m n ，若过点P 与平面,αβ所成角都是30 ，则在直线m 的两侧各有一条，在直线n 的两侧各有一条，因此共224⨯=条，B 正确；以P 为顶点，母线与底面成55 角的圆锥底面所在平面为α，满足点P 在α外，且过点P 的直线与平面α成55 角，如图，圆锥每条母线与平面α都成55 角，因此可以作无数条，C 正确；过点P 作//PZ a ，交平面α于点Z ，过点Z 及圆锥底面圆心O 的直线与圆锥底面圆交于点12,Q Q ，显然121270,40,110Q PQ ZPQ ZPQ ∠=∠=∠= ，设Q 为圆锥底面圆周上任意一点，于是40110ZPQ ≤∠≤，因此圆锥母线中与直线PZ 成60 的直线有2条，即与直线a 成60 的直线有2条，D 错误.故选：BC【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有___________种.【答案】40【解析】【分析】放置方法：6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3），第一步选空盒子，然后把放入三个盒子．【详解】第一步选空盒子，第二步6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3）进行放置，方法数为：131433C (A 1C )40++=．故答案为：40．14.已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.【答案】28【解析】【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．【详解】11()(416)32833VS S h '=++=⨯+⨯=故答案为：28．【点睛】本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．15.已知函数5π()sin cos(),(0)6f x x x ωωω=++>在[0,π]上的值域为[,1]2-，则ω的取值范围为_________.【答案】55[,]63【解析】【分析】根据给定条件，化简函数()f x ，再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.【详解】依题意，1π()sin cos sin()223f x x x x ωωω=-=-，由[0,π],0x ω∈>，得ππππ333x ωω-≤-≤-，函数sin y x =在ππ[,32-上单调递增，函数值集合为[,1]2-，在π4π[,]23上单调递减，函数值集合为[,1]2-，因为函数()f x 在[0,π]上的值域为[,1]2-，则有ππ4ππ233ω≤-≤，解得5563ω≤≤，所以ω的取值范围为55[,63.故答案为：55[,]6316.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），且2FB AF = ，则椭圆的离心率为___________.【答案】23【解析】【分析】利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且112F B AF =转化求解椭圆的离心率即可．【详解】解：设(),0,0Fc c ->，由题意知，l 的斜率为tan 451︒=，则直线方程为y x c =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和椭圆的方程得22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22222222()20a b y cb y c b a b +-+-=，则212222cb y y a b +=+，22221222c b a b y y a b -=+，且112F B AF = ，可得212y y =-，则21222cb y a b -=+，222221222c b a b y a b --=+，所以222222222222()cb c b a b a b a b --=++，可得2292c a =，所以3c e a==故答案为：23．【点睛】关键点睛:本题的关键是由向量的关系得两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进行求解．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()ln ()R f x x a x a =-∈（1）求()f x 的极值；（2）若()1f x ≥，求a 的值，并证明：()2.x f x x e >-【答案】（1）当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值；（2）1，证明见解析.【解析】【分析】(1)先求导函数,再对参数进行分类讨论,即可求出极值.(2)由(1)得,()ln 1f x x x =-≥,即ln 1x x ≤-，故要证()2x f x x e >-，只要证21xx e -<，构造函数，求导即可求解.【详解】解：（1）()1(0)a x af x x x x-∴=-=>'①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增.()f x ∴在()0,∞+上无极值.②当0a >时，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<.()f x ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.()f x ∴的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.（2）由（1）可知，①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)1f =，∴当(0,1)x ∈时，()1f x <，即()1f x ≥不恒成立.②当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.min ()()ln 1.f x f a a a a ∴==-≥令()ln (0)g a a a a a =->，则()1(ln 1)ln .g a a a '=-+=-当(0,1)a ∈时，()0g a '>，()g a 在(0,1)上单调递增；当(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，()g a 在(1,)+∞上单调递减.()(1) 1.g a g ∴≤=1.a ∴=设()()2ln (0)x x h x f x x e x x e x =-+=--+>，下面证明()0.h x > 当1a =时，()ln 1f x x x =-≥，即ln 1.x x ≤-ln 21,x x x ∴+≤-∴只要证21(*).x x e -<令()21,0x q x e x x =-+>，则'() 2.x q x e =-∴当(0,ln 2)x ∈时，'()0q x <，()q x 在(0,ln 2)上单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0q x >，()q x 在(ln 2,)+∞上单调递增.3()(ln 2)3ln 4ln ln 40.q x q e ∴≥=-=->(*)∴式成立，即()2x f x x e >-成立.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c B c C a A ++=．（1）求角A ；（2）求22sin sin B C+的最小值．【答案】（1）2π3A =；（2）12.【解析】【分析】（1）根据()sin sin sin b c B c C a A ++=，利用正弦定理得到222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解；（2）根据π3B C+=，利用三角恒等变换，将问题转化为221πsin sin 1sin 226B C B ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）因为()sin sin sin b c B c C a A ++=，由正弦定理得()22b c b c a ++=，即222b c a bc +-=-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,πA ∈，所以2π3A =．（2）因为π3B C +=，所以2221cos π21cos 23sin sin 32π2B B B B ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭+-⎛⎫ ⎝+⎪⎭=111π1cos2sin21sin 222226B B B ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π52,666Bππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则π1sin 2(,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2262B ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当π6B =时等号成立，所以22sin sin B C +的最小值为12．19.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC 上任意一点．（1）求证：AM BD ⊥；（2）若M 是棱1CC 的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【小问1详解】证明：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为1222AA AB BC ===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,A B D M m ，02m ≤≤，()()1,1,,1,1,0AM m BD ==-，()()1,1,1,1,0110AM BD m ⋅=⋅-=-+=，所以AM BD ⊥；【小问2详解】M 是棱1CC 的中点，故()()1,1,0,1,1,1C M ，则()()1,1,1,0,1,0AM BC ==，设异面直线AM 与BC 所成角的大小为θ，则cos cos ,3AM BC AM BC AM BCθ⋅====⋅，故异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3.20.已知数列{}n a 中，11a =，()12N 2nn na a n a ++=∈+.（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【答案】（1）234212,,325aa a ===，21n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，分别令1,2,3n=，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式.（2）将给定的递推公式两边取倒数，再利用等差数列的定义推理作答.【小问1详解】在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，令1n=，得1212222213a a a ===++；令2n =，得2322122a a a ==+；令3n =，得3432225a a a ==+；所以234212,,325aa a ===，猜想数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.【小问2详解】由12()N 2n n na a n a ++=∈+，11a =，得0n a ≠，1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=，所以数列1{}n a 是以111a =为首项，12为公差的是等差数列.21.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.【答案】（1）1027（2）1514331556P =-⨯，甲队开球的概率大于乙队开球的概率．【解析】【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解；（2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解．【小问1详解】在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况，对应的概率分别为1221433327P =⨯⨯=，221113329P =⨯⨯=，311213239P =⨯⨯=，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率41110279927P =++=；【小问2详解】根据全概率公式得12111(1)3262i i i i P P P P +=+-=+，即1313565i i P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，易知10P =，所以35i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以35-为首项，16为公比的等比数列，所以1331556i i P -=-⨯，故1514331556P =-⨯，因为14151414113166021056106P --=-⨯=>⨯，所以1512P >，而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．【点睛】方法点睛：甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P，由全概率公式得12111(1)3262i i i i P P P P +=+-=+，问题转化为数列的递推公式，通过构造等比数列，求出通项.22.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12S S 为定值.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知,a b ，然后可知方程（2）假设直线方程2x ny =+，并与双曲线方程联立，可得关于y 的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得,P Q 坐标并表示出12S S ，简单计算即可.【详解】解：（1）由题意可得，因为一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，解得1a =，则双曲线的方程为2214y x -=；（2）证明：可得()1,0A -，()10B ,，设直线l ：2x ny =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()224116120n y ny -++=，可得1221641n y y n +=--，1221241y y n =-，即有()121234nyy y y =-+，设直线MA ：11(1)1y y x x =++，可得110,1y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，设直线NB：22(1)1y y x x =--，可得220,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭，又3AT =，1BT =，所以()()1121122122311331y y ny x S S y ny y x ++==+-()()12112112212234333334y y y ny y y ny y y y y y -+++==+-++12123339y y y y -=-+1=.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算.。

文科数学一．填空题（共14题，每题5分） 1．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是 ．2．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ．3．设n S 是等差数列{a n }(+∈N n )的前n 项和，且,11=a 74=a ，则5S = .4．已知 ⎝⎛⎪⎭⎫∈23,ππα ，2tan =α，则αcos = .5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)= ．6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=0,30,2)(2x x x x x x f ，则不等式)4()(f x f <的解集为_ _．7．若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上单调减，则实数a 的范围是8．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题的序号是 .①若//l m ，//m n ，则//l n .②若l α⊥，//n α，则l n ⊥. ③若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. ④若//l α，//n α，则//l n .9．若,0≠x 则xx 1+的取值范围为 . 10．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则x y z 4+=的范围是 ．11．已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调增,则不等式)31()12(f x f <-的解集 为 ．12．不等式：0232≥+-ax x 在[]1,1-∈a 时恒成立，则x 的取值范围 _．13．如图，有一底面半径等于圆锥的高的圆锥形容器，若 以9πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 cm/s ．14．已知1a <<则方程x x a -=-222的相异实根的个数是 .5分,共70分) ．___________ 4．___________5．___________ 6．___________ 7．___________ 8．___________ 9．___________ 10．__________ 11．___________ 12．___________13．___________ 14．___________二．解答题：本大题共6小题，满分90分，须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． 函数()()()613122+-+-=x a xa x f .（1）若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若()x f 的定义域为[]1,2-，求实数a 的值.16．如图在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .17．在斜ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且()AA C A ac c a b cos sin cos 222+=--.(1)求角A ； (2)若2cos sin >CB，求角C 的取值范围.18. 设数列}{n a 的前n 项的和为n S ，点*))(,(N n nS n n∈均在函数23-=x y 的图像上. (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设n n n n T a a b ,31+=是数列}{n b 的前n 项的和，求使得20mT n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m .19． 如图，ABCD 是正方形空地，边长为m 30，电源在点P 处，点P 到边AB AD ,距离分别为m m 3,9．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点N M ,分别在边AB AD ,上，设()m x AN =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为()2mS ．(1) 用x 的代数式表示AM ；（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； （3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？20．已知函数b x ax x x f +--=8ln 6)(2，其中b a ,为常数且3=x 是)(x f 的一个极值点。

一、选择题1. 答案：C解析：根据等差数列的性质，an = a1 + (n-1)d，代入n=5，得到a5 = a1 + 4d。

由题意知a5 = 5a1，所以5a1 = a1 + 4d，解得d = 4a1/4 = a1。

因此，a1 = a1，符合等差数列的定义。

2. 答案：A解析：由题意知，f(x) = x^2 - 4x + 4，化简得f(x) = (x-2)^2。

当x=2时，f(x)取得最小值0，因此f(x) ≥ 0。

3. 答案：B解析：根据向量数量积的性质，a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

由题意知，|a|=3，|b|=4，且a和b的夹角θ为60°，所以a·b =3×4×cos60° = 6。

4. 答案：D解析：由题意知，函数y = log2x在(0, +∞)上单调递增，所以y = 2log2x在(0, +∞)上单调递增。

又因为f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2，所以f(x)在x=1时取得最小值0。

因此，当x>1时，f(x) > 0。

5. 答案：C解析：由题意知，|z-1| = |z+1|，即z在复平面上到点1和-1的距离相等。

因此，z位于点1和-1的中垂线上，即z = -1/2。

二、填空题6. 答案：-4解析：由题意知，|x-1|+|x+1| = 0，即x-1=0且x+1=0，解得x=1。

7. 答案：3解析：由题意知，函数y = 2^x在定义域上单调递增，所以y = 2^x + 1在定义域上单调递增。

当x=0时，y取得最小值2，因此y ≥ 2。

8. 答案：-1解析：由题意知，向量a和向量b的夹角为120°，所以a·b = |a||b|cos120° = -1/2|a||b|。

9. 答案：π/2解析：由题意知，sinθ = cos(π/2 - θ)，所以θ = π/2 - θ，解得θ =π/4。

江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则A B =I （ ）A ．()1,1B ．{}1C ．(){}1,1D ．{}1,1x y ==2．已知椭圆C ：()22210x y a a+=>，则“a =是“椭圆C ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知一组数据1，2，3，4，x 的下四分位数是x ，则x 的可能取值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．24．已知*x ∈N ，若20241213x y =+，013y ≤<，则y =（ ） A ．1B ．6C ．7D ．125．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件M ：至少一个红球，事件N ：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ） A ．M N N += B ．MN N = C ．M 与N 互斥D ．M 与N 独立6．已知函数()f x 图象如图所示，则()1f x -的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知三棱锥P ABC -满足3AB =，4BC =，5AC =，且其表面积为24，若点P （正投影在ABC V 内部）到AB ，BC ，AC 的距离相等，则三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C．D ．8．若()211mm n m n aa a a +--+≥>，则（ ）A ．m n =B ．m n ≥C ．m n ≤D ．无法确定二、多选题9．已知一组数据1，2，3，5，5，6，则特征量为5的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差10．已知随机事件B ，A ，则（ ）A ．()()1P P A AB B +=∣∣ B ．若()()P BA PB =∣，则A ，B 独立C ．若()()P BA P AB =∣∣，则A ，B 互斥 D ．若()()P BA PB A =∣∣，则()()P B P B = 11．已知函数()f x 的定义域为R ，若满足()()211f x f x -+-=-，且函数()f x 图像关于()1,0中心对称，则（ ）A ．()01f =-B ．()20242023f =C ．()()2024f x f x +=D ．()202420244049i f i =-=-∑三、填空题12．曲线()21e 2x f x x =-在0x =处的切线方程为13．双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>的两焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 为双曲线上一点，且满足2PF c =，12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为.14．已知数据125,x x x ⋅⋅⋅的均值为6，方差为5.数据1210,y y y ⋅⋅⋅的均值为3，方差为2.则数据125,x x x ⋅⋅⋅，1210,y y y ⋅⋅⋅的方差为四、解答题15．《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表.在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2.(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？ (2)从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布及数学期望16．在四棱锥P ABCD -中，已知PCD △是正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PCD ⊥平面ABCD .若AB .(1)证明：⊥BC 面PCD ；(2)求二面角面P BD C --的余弦值.17．已知函数()()2ln f x x a x =+.(1)若12a =时，求()f x 的最小值； (2)若()21f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ()0,1A 在C 上.(1)求C 的方程；(2)设C 的右顶点为B ，点P ，Q 是椭圆上的两点（异于顶点），若直线AP ，AQ 与x 轴交于点E ，F ，若BE BF =，求证：直线PQ 恒过定点.19．甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,n P n n ≥∈N 为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求3P ，4P ； ②证明：1n n P P +≤.。