江苏省南通市如皋中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题

2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A 【解析】【分析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得a 的值，进而求得A B È. 【详解】由于{}1A B?，故21,3a a -==，所以{}1,2B =，故{}0,1,2A B ?，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题. 2.【答案】C 【解析】【分析】直接利用扇形面积公式，计算得出结果. 【详解】由扇形面积公式得22112π612π223S R a =?创=.故选C. 【点睛】本小题主要考查扇形的面积公式，考查运算和求解能力，属于基础题. 3.【答案】A 【解析】【分析】利用偶次方根的被开方数为非负数和对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意得2030x x ì+?ïí->ïî，解得23x -?，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查两个集合的交集的求解.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果. 4.【答案】B 【解析】【分析】先求得12a b +与2a kb -，然后利用两个向量平行的坐标表示，列方程，解方程求得k 的值. 【详解】依题意152,22a b 骣琪+=琪桫，()()()22,22,322,23a kb k k k k -=-=--，由于两个向量平行，故()()52232202k k ?-?=，解得1k =-. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，包括加法和减法的坐标表示，考查两个向量平行的坐标表示，还考查了向量数乘的运算，属于基础题.对于两个向量()()1122,,,a x y b x y ==，()1212,a bx x yy ?北，()12,a x x l l l =，若两个向量平行，则有12210x y x y -=，若两个向量垂直，则有12120x x y y +=.5.【答案】D 【解析】【分析】先排除选项中的奇函数，再根据函数在()0,+?的单调性选出正确选项.【详解】A 选项函数是奇函数，首先排除.当0x >时，cos y x =有递增也有递减区间，C 选项不符合题意. 当0x >时，1222x x x y --===为减函数，B 选项不符合题意. 当0x >时，ln ln y x x ==为增函数，符合题意，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性.对于含有绝对值函数的单调性，可先令0x >，去掉绝对值，判断出0x >时的单调性，然后利用奇偶性得到0x <时的单调性. 6.【答案】B 【解析】【分析】直接利用夹角公式计算出两个向量的夹角余弦值，根据这个余弦值求得夹角的大小.【详解】设向量a b +与a b -的夹角为q ，故()()c o s a b a ba b a b q +?=+-22a b a b a b -=+-110a b a b-==+-.故两个向量的夹角为π2，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量,a b 的夹角公式为cos ,a ba b a b×=×，属于基础题.事实上，由于两个向量是单位向量，故以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，而a b +和a b -的几何意义是这个菱形的两条对角线，而菱形的对角线相互垂直，所以它们两者的数量积为零.也即题目给定的“夹角为π3”这个条件可以换成其它的值，结果还是一样的. 7.【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期，求得w 的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图像与性质，对四个选项进行逐一排除.【详解】依题意得2ππT w==，解得2w =，所以()1πsi n 223f x x 骣琪=+琪桫.由于π1ππ1sin 2sin π032332f 骣骣琪琪=?==琪琪桫桫，故π3x =是函数()f x 的零点，所以A 选项错误.当π12x =时，πππsin 2sin 11232骣琪?==琪桫，故π12x =是函数()f x 的对称轴，所以B 选项错误.由上述分析可知，当π12x =时，函数取得最大值，故C 选项错误. 函数()f x 的图像向右平移512p个单位，为15ππ1π1sin 2sin 2cos 22123222x x x 轾骣骣犏琪琪-+=-=-琪琪犏桫桫臌为偶函数，故D 选项正确. 【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图像变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置. 8.【答案】B 【解析】【分析】将22a b +=两边平方，化简后代入已知条件列方程，由此求得b .【详解】将22a b +=两边平方得，22442a a b b +?=，即244c o s 1352bb ++=，22220b b -+=，()220b -=，2b =.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量模的有关运算，考查平面向量数量积模的表示，属于基础题. 9.【答案】A 【解析】【分析】 利用诱导公式化简2πsin 3a 骣琪-琪桫，然后利用同角三角函数关系式求得三角函数的值. 【详解】依题意有2πππππsin sin cos cos 32666a a a a 骣骣骣骣琪琪琪琪-=+-=-=-琪琪琪琪桫桫桫桫，由于π2πa <<，故5ππ11π666a <-<，而π1sin 063a 骣琪-=>琪桫，故5πππ66a <-<，所以πcos 63a 骣琪-=-=-琪桫.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.在已知角的正弦值求余弦值的题目中，要注意根据角终边所在象限确定三角函数值的符号.10.【答案】C 【解析】【分析】 先求得()f g x 轾臌的表达式，根据函数的定义域以及单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知()()112ln 22f g x f x x x骣骣轾琪琪=-=-?琪琪臌桫桫，当2x ³时，12x-是减函数，故31222x ?<，由于ln y x =是单调递增函数，故13ln 2ln ,ln 22x 骣轹琪?-?ê琪?ê桫滕.属于选C. 【点睛】本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查函数的单调性以及值域的求法，属于中档题. 11.【答案】C 【解析】【分析】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故将()20192019,2f f 骣琪琪桫通过周期性转化为0x <内的自变量来求得函数值.【详解】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故()()201932019210041250422f f f f 骣骣琪琪+=?+?琪琪桫桫()312f f 骣琪=+琪桫，根据()()f x f x -=-以及()()11f x f x +=-，可得()312f f 骣琪+琪桫()1112f f骣琪=--++琪桫()1112f f 骣琪=--+-琪桫()112f f 骣琪=--+-琪桫112==.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性.对于有关年份的题目，往往可以利用周期性将较大的数，转化为已知解析式的范围来求解，属于中档题. 12.【答案】A 【解析】【分析】 画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像，同时画出y m =的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值. 【详解】画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像以及y m =的图像如下图所示，令πsin 16x 骣琪+=琪桫，解得π3x =，令πs i n 16x 骣琪+=-琪桫，解得4π3x =.由图像可知关于直线π3x =对称，23,x x 关于直线4π3x =对称，故122π3x x +=，238π3x x +=，所以1232π8π10π2333x x x ++=+=.【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【分析】 利用诱导公式，将330-转化为()0,90内的角来求得三角函数值.【详解】依题意得()()3cos 330cos 36030cos30-=-+==. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 14.【答案】32【解析】【分析】 由于BC AC AB =-，结合题目已知AB AC BC +=可知三角形为直角三角形，根据三角形的边长，求得相应的角度，由此求得题目所求的结果. 【详解】由于BC AC AB =-，故A B A CA C AB +=-，根据向量加法和减法的几何意义可知，以,AB AC为邻边的平行四边形的对角线相等，即这个四边形是矩形.故AB AC ^，根据题意1,3AB AC ==，故π6C?，所以π3cos62CA CB CA CB×=?. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15.【答案】-63p p或【解析】【分析】 将π3j +代入正切函数的对称中心，利用π2j <求得j 的值. 【详解】由于π,03骣琪琪桫是函数的对称中心，故πππ,π3223k k j j +==-，由于π2j <，故取0,1k =时，π6j =或π3j =-符合题意. 【点睛】本小题主要考查正切函数的对称性，属于基础题.正切函数tan y x =的对称中心是π,02k 骣琪琪桫，值的注意的是π,02骣琪琪桫虽然不在函数的图像像上，但它是正切函数的对称中心.16.【答案】()【解析】【分析】令()4f x x =，将问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点问题来解决.当1x £时，解()4f x x =求得函数有一个零点.当1x >时，化简()4f x x =，利用二次函数有两个零点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】令()4f x x =，问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点.当1x £时，由()4f x x =得6514x x -+=，解得35x =.故函数在1x >时，有两个根，由()4f x x =得3294x ax x x -+=，即()250x x ax -+=，由于1x >，故250x ax -+=在区间()1,+?上有两个零点，令()25h x xax =-+，依题意可得()220016002a h a a ìïD=->ïï=->íïï>ïî，解得()a Î.故a的取值范围是(). 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二次函数零点分布的解决方法.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）()2(2)6f x sin x p =-；（2）,33p p 轾-犏犏臌 【解析】【分析】（1）根据函数的最高点求得A 的值，根据图像得到函数的周期，并求得w 的值，代入点,23p骣琪琪桫求得j 的值.由此求得函数的解析式.（2）利用三角函数图像变换的知识求得()g x 的表达式，利用正弦函数的单调区间求得函数()g x 的所有递增区间，然后求得在给定区间5,36p p轾-犏犏臌上的单调增区间. 【详解】（1）依题意，22,4,2312A T p p pp w w 骣琪==-===琪桫，故()()22f x sin x j=+.将点,23p骣琪琪桫的坐标代入函数的解析式可得2sin 13pj 骣琪+=琪桫， 则()26k k Z p j p =-?，πj <又，故=6pj -， 故函数解析式为()226f x sin x p骣琪=-琪桫. （2）()2sin 6g x x p骣琪=+琪桫由22,262k x k k Z p p p p p -+???，得222,33k x k k Z p pp p -+＃+?又5,36x p p 轾?犏犏臌，所以33x pp-＃ 所以函数()g x 在5,36p p轾-犏犏臌上的增区间为,33p p 轾-犏犏臌 【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.利用三角函数图像求三角函数的解析式有三个关键点，一个是通过最值点得到A 的值；二个是通过图像上体现出来的函数的周期，求得w 的值，这个条件可能是两个对称轴间的距离，可能是两个零点的距离，也可能是零点和对称轴间的距离；三个是利用特殊点来求得j 的值. 18.【答案】（1）见解析；（2）2；（3）32【解析】【分析】 （1）由于CP 是三角形的中线，根据平行四边形法则，CP 是以,CA CB 为邻边的平行四边形的对角线的一半.（2）将（1）得到的式子两边平方，化简后可求得BC 的值.（3）利用（1）的结论，将所求式子变为()1•2CA CB CB +，展开后可求得相应的数量积. 【详解】(1) 因为P 是AB 的中点，所以()12CP CA CB =+.(2)因为22242?CP CA CA CB CB =++,21816CB CB =-+,所以2BC =.（3）()21113•••2222CP CB CA CB CB CA CB CB =+=+=. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查利用数量积求模，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）利用换元法，求得函数的解析式，再根据对数的真数大于零，列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）任取()12,2,2x x ?，且12x x <，通过计算()()120f x f x -<证得函数为增函数.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()log 2log 2a a f t t t =+-- 即()()()log 2log 2a a f x x x =+--，由2020x x ì+>ïí->ïî，解得22x -<< 所以()()()log 2log 2a a f x x x =+--，其定义域为()2,2-. （2）当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数. 证明如下：当1a >时，()()()2log 2log 2log 2a a a xf x x x x+=+--=- 设任意的()12,2,2x x ?，且12x x <，则()()()()()()12121212122222log log log 2222a a ax x x x f x f x x x x x +-++-=-=---+ ()()()1221122112124422log log 142222a x x x x x x x x x x x x 骣--+-琪==+琪+---+桫 因为1222x x -<<<，所以120x x -<，120x ->，220x +> 即()()()121241122x x x x -+<-+又因为1a >时，log a y x =在()0,+?上是增函数，所以()()()12124log 1022x x x x骣-琪+<琪-+桫，即()()12f x f x < 所以当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数.【点睛】本小题主要考查利用换元法求函数的解析式，考查函数定义域的求法，考查利用定义法证明函数的单调性.属于中档题. 20.【答案】（1）24sin 2156h t p p骣琪=-+琪桫，0t ³；（2）见解析 【解析】【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据O 距离水面的高度得到0P 点的坐标.利用三角函数来表示P 点的坐标，将角速度代入P 点的纵坐标，在加上2，可求得h 的表达式.（2）令0h >，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.【详解】（1）以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，()02P -则06P Oxp ?，所以以Ox 为始边，为OP 终边的角为6pq -, 故4cos ,4sin 66P p pq q 骣骣骣琪琪琪--琪琪琪桫桫桫点P 在t 秒内所转过的角q =215t p，所以24sin 2156h t p p 骣琪=-+琪桫，0t ³（2）令0h >，得21sin 1562t p p 骣琪->-琪桫，所以2722,61566k t k k Z p p p pp p -+<-<+? 即151015,k t k k Z <<+? 又015t＃，所以010t <<即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P 点离开水面.【点睛】本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 21.【答案】（1）2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z pp =+?；（2）()6,9- 【解析】【分析】（1）当9a =-，利用平方关系化简()f x 表达式后，利用十字相乘法求得函数的零点.（2）利用平方关系化简()f x 为只含sin x 的表达式，利用换元法，将函数变为二次函数，用分类讨论的方法讨论函数的最小值，根据最小值为正数，求得a 的取值范围.【详解】（1）当9a =-时，令()0f x =得22cos 9sin 60x x --+=因为22cos 1sin x x =-，所以22sin 9sin 40x x -+=即()()2sin 1sin 40x x --= 因为1sin 1x -＃，所以1sin 2x =因为x R Î，所以2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z p p =+?. （2）令sin t x =，则1,12t 轾?犏犏臌，函数()224h x t at =++，对称轴4a t =- 讨论①当142a -?即2a ³，()min 102g t g 骣琪=->琪桫得9a <，所以29a ?②当1124a -<-<即42a -<<，令()min 04a g t g 骣琪=->琪桫得a -＃42a -<< ③当14a -?即4a ?，令()()min 10g t g =>得6a >-，所以64a -<? 综上：为实数a 的取值范围为()6,9-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系，考查一元二次方程十字相乘法求零点，还考查了化归与转化的数学思想方法以及分类讨论的思想.在第二问中，现将余弦转化为正弦，然后利用换元法转化为二次函数，在根据二次函数的对称轴进行分类讨论，难度较大.22.【答案】（1）见解析；（2）344b -<?（3）见解析 【解析】【分析】（1）当1a b =-时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得出不等式的解集.（2）当21a b =-时，利用二次函数的对称轴、判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围.（3）当1a b =-时，构造函数设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，通过计算()()120g x g x ?，利用零点的存在性定理可证得方程在区间()12,x x 内有一个实根.【详解】（1）()()()2111f x x bx b x b x =-+-=-+- 当2b =时，x R Î；当2b >时，(][),11,x b ?ト-+?； 当2b <时，(][),11,x b ????.(2) ()221f x x bx b =-+-01因为()()21202010b f f ì-<<ïïïD?íï->ïï>î所以04b <? 02因为()()210f f -?，所以304b -<< 03当34b =-时，235042x x +-=解得125,24x x ==-符合题意 04当0b =时，210x -=解得121,1x x ==-符合题意综上，实数b的取值范围为344b -<? （3）设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，则 ()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=-臌臌， ()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=--臌臌， ()()()()2121229g x g x f x f x 轾?--臌 因为()()12f x f x ¹，所以()()120g x g x ?，又函数()g x 在区间[]12,x x 上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的的判定定理可得：()0g x =在()12,x x 内有一个实数根. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题，考查利用零点存在性定理证明存在零点的方法.属于中档题.。

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁UA= ．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= ．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A= {2} ．U【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A={2}．U故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 3 ．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为 4 ．【解答】解：∵f（）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0 ．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），∴g（）=2sin（2++φ），∵g（）为偶函数，因此+φ=π+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为 1 ．【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为 3 ．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2 ．【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，==1+．l（θ）ma答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．【解答】（1）证明：设1，2是区间（0，）上的任意两个实数，且1＜2，则f（1）﹣f（2）=2（1﹣2）+（﹣）=，因为0＜1＜2＜，所以1﹣2＜0，0＜12＜，故212﹣1＜0，所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），所以函数f（）在（0，）上单调递减，函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，即2•（4）2﹣3•4+1=0，解得：4=1或4=，所以=﹣或0；综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，=g（0）=3，所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）min所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，所以f（t）min当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…【解答】解：（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

2018-2019学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆A B ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误； 对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.3．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( )A ．B ．10C ．D ．4【答案】C【解析】试题分析：()2223369a b a ba ab b +=+=+⋅+r r rr rr r r ,,所以.【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.4．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由()2fx ﹣2f （x ）=0，得f （x ）=0或f （x ）=2，根据函数f （x ）是分段函数，再分类讨论求解. 【详解】 因为()2fx ﹣2f （x ）=0，所以f （x ）=0或f （x ）=2， 当x <0时，f （x ）1x=<0，∴()0f x ≠且()2f x ≠， 当0x ≥时，f （x ）=|x ﹣2|，令f （x ）=0得，x =2；令f （x ）=2得，x =4或0， 综上：方程()2f x ﹣2f （x ）=0的根的个数是3个，故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数与方程问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A ．12B 3C ．0D ．12-【答案】A【解析】由函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .，将问题转化为11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 再求解. 【详解】因为函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x . 所以11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 又当0x π≤<时，f （x ）=0， 所以506f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以1155511sin 0666622πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求值问题，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15 B 15C 6D ．6【答案】C【解析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解. 【详解】 ∵3m =2n =k ，∴m =log 3k ，n =log 2k ，∴32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2， ∴k 2=6， 又0k >Q ∴6k = 故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3- B ．6-C ．2-D ．83-【答案】B【解析】如图建立坐标系，()()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=--⋅--=+-u u u v u u u v u u u v()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B ．点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用．坐标法后得到函数关系，求函数的最小值．向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法．8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S > 【答案】A【解析】由题意得,弧AQ 的长度与AP 相等,利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积12,S S ,比较其大小,即可求得答案. 【详解】设线段OP 与圆O 交于点B ,Q 直线l 与圆O 相切,∴ OA AP ⊥ ∴12AOP S OA AP =⋅⋅V 又Q »12AOQ S AQ OA =⋅⋅扇形,»AQ AP = ∴AOP AOQ S S =V 扇形∴ AOP AOQ AOB AOB S S S S -=-V 扇形扇形扇形即12S S = 故选:A. 【点睛】本题考查了求阴影部分的之间关系,解题关键是掌握扇形面积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜0【答案】C【解析】根据分段函数的单调性；首先使各段单调递减a +1≤0、a ＜0，再使整体单调递减32(1)1a ++…，解不等式组即可.【详解】根据题意，若函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+2（a +1）x +4递减，有a +1≤0， 当x ＞1时，f （x ）=a x 为减函数，必有a ＜0，综合可得：10032(1)1a a a +⎧⎪<⎨⎪++⎩„…，解可得﹣2≤a ≤﹣1；故选：C ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意使函数整体单调递减，属于易错题.10．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070【答案】D【解析】根据代数式的结构，探究f （2﹣x ）+f （x ）=-4，得到函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，令12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，再用倒序相加法求解. 【详解】∵f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sin π（2﹣x ）﹣3+x +sin πx ﹣3=2﹣x ﹣sin πx ﹣3+x +sin πx ﹣3=﹣4，∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称， 设12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ， 则f （40352018）+f （40342018）+…+f （22018）+f （12018）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018）+f （40352018）]=4035×（﹣4），∴S =﹣2×4035=﹣8070， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及倒序相加法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.【答案】{1，3}【解析】先根据韦恩图，得到阴影部分表示的集合为U N M I ð再求解. 【详解】因为集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，由韦恩图得，阴影部分表示的集合为U N M I ð所以{}1,3UN M ⋂=ð 故答案为：{1，3} 【点睛】本题主要考查了集合中的韦恩图，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.12．已知,αβ都是锐角，21sin ),22ααβ=+=则cos β=_____. 【答案】264【解析】试题分析： 因为,αβ都是锐角，221sin cos cos(),(0,)23(0,)sin()2αααβαβππαβαβ==+=+∈∴+∈∴+=Q则cos cos[()]cos()cos sin()sin 12322622224ββααβααβαα=+-=+++=⨯+=26+ 【考点】本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用．点评：解决该试题的关键是构造角的思想，注意已知中角的范围的限制，对于求解函数值的正负号，有着关键性的作用．13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223fm f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知向量a r =（2，sinθ），b r =（1，cosθ），若a r ∥b r ，则221sin cos θθ+的值为______．【答案】23. 【解析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==r r ，a b r r ∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.【答案】52-【解析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，再用数量积公式求解. 【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以12AM BC ⋅=u u u u r u u u r （AB AC +u u u r u u u r ）⋅（AC AB -u u u r u u u r ）12=（22AC AB -u u u r u u u r ）52=-，故答案为：52-. 【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ∈R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 【答案】103π【解析】根据题意，令f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，解得零点为x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），易知相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，再根据f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，来确定b ﹣a 的最小值. 【详解】因为函数f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1， 令f （x ）=0，则2sin （2x 3π-）﹣1=0，所以s in （2x 3π-）12=，解得：x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），因为相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π， 所以若f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点， 则b ﹣a 的最小值为21034333πππ⨯+⨯=， 故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()R A B ⋂ð； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}R A B x x =-<<I ð；(2) ()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R A B ⋂ð，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案． 【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=，又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}R A B x x =-<<I ð； （2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆， 分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数()261f xx x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（ⅰ）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （ⅱ）求6sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）11,32-；（2）（ⅰ）3；（ⅱ322+. 【解析】（1）令()2610f x x x =+-=，解一元二次不等式即可.（2）由α为锐角，得13sin α=.（ⅰ）利用诱导公式将原式化简再求值. （ⅱ）由两角和的正弦公式求解.【详解】 （1）令()2610f x x x =+-=，解得13x =或12x =-，所以函数的零点是13 和12- .（2）因为α为锐角， 所以13sin α=. （ⅰ）()()()132tan cos tan cos sin sin sin cos sin πααααπααααπα+⋅-⋅===⋅⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭. （ⅱ） 由α为锐角，所以223α=cos ， 所以132213226332sin πα+⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1-，f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1]. 【解析】（1）根据()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，得到f （x ）是奇函数， 则f （x ）+f （﹣x ）=0，恒成立，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为x 2（a 2﹣1）=0求解.根据a 的值，f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），再利用复合函数的单调性确定单调区间.（2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，转化为k 11x x +=--x ，在[2，3]上有解，再求得g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]值域即可. 【详解】（1）因为()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称， 所以f （x ）为奇函数， 所以f （x ）+f （﹣x ）=0， 即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以1﹣a 2x 2=1-x 2， 即x 2（a 2﹣1）=0， 所以a =﹣1或a =1（舍去），所以f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），定义域为（﹣∞，﹣1）U （1，+∞）. 所以f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解， 即11x x +=-x +k ，得k 11x x +=--x ， 令g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]， 则g （x ）=121x +--x 在x ∈[2，3]上单调递减，且f （2）=1，f （3）=﹣1， 所以k 的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围.【答案】（1）22；（2）[1242-，1242+]. 【解析】(1)根据题意设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-22），表示出向量+u u u r u u u r OC OD 的坐标，再利用模的公式求解.（2）设OC =u u u r（cosα，sinα），E （0，12-），D （12，0），分别表示出向量CE u u u r 与向量DEu u u r 的坐标，由数量积公式得到CE DE ⋅uur uuu r2=（α4π+）14+，再用三角函数的图象和性质求解. 【详解】(1)设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22）， ∴OC OD +=u u u r u u u r（t 22-，22）， 2+u u u r u u u r OC OD =（t 22-）212+，（0≤t ≤1），∴t 22=时，OC OD +u u u r u u u r 的最小值为22. （2）设OC =u u u r（cosα，sinα），0≤α32π≤，E （0，12-），D （12，0），∴CE =u u u r （﹣cosα，12--sinα），DE =uuu r （12-，12-），∴12CE DE ⋅=u u u r u u u r cosα12+sinα1242+=sin （α4π+）14+，∵032πα≤≤， ∴4π≤α744ππ+≤， ∴sin （α4π+）∈[﹣1，1]， ∴22sin （α4π+）14+∈[124-，124+]. ∴CE DE ⋅uur uuu r 的取值范围是：[124-，124+]. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100m ，BC =503m ，欲在这块草屏内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°.（1）设∠BOE =α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]；（2）当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为400002+1）元.【解析】（1）在Rt △BOE 中，求得50OE cos α=，在Rt △AOF 中，求得500F sin α=，再根据∠EOF =90°，利用勾股定理求得2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，然后求得周长.结合图形，当点F 在点D 时，角α最小，点E 在点C 时，角α最大，求得定义域.（2）根据题意，铺路总费用最低，则△OEF 的周长l 的最小，即求l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]，的最小值. 【详解】（1）在Rt △BOE 中，OB =50，∠B =90°，∠BOE =α∴50OE cos α=， 在Rt △AOF 中，OA =50，∠A =90°，∠AFO =α，∴500F sin α=，又∠EOF =90°，∴2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=， ∴l =OE +OF +EF 505050cos sin cos sin αααα=++， 即l ()501sin cos cos sin αααα++=，当点F 在点D 时，角α最小，此时求得6πα=；当点E 在点C 时，角α最大，此时求得3πα=，故此函数的定义域为[6π，3π]； （2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可， 由（1）得，l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]， 设si nα+cosα=t ，则212t sin cos αα-⋅=，所以()()2501501100112αααα+++===--sin cos t l t cos sin t ， 因为α∈[6π，3π]，所以5712412πππα≤+≤，所以13sin cos 2sin [,2]42t πααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，31121t -≤-≤， 121311t ≤≤-， 当4πα=，即BE ＝50时，)10021min l =，∴当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为400002+1）元. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了建立函数和运算求解的能力，属于中档题.22．已知a ∈R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤. 【解析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∵f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1， ∴f （x ）在[1，a ]上单调递减， ∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，即x |2ax ﹣5|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立， 令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]， 所以g （x ）max =g （25）258=， 所以258a ≥. 令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7， 所以7a ≤. 综上：2578a ≤≤. 【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）质检数学试卷（三）（12月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{0, 1}，B ＝{a −2, 2}，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝（ ） A.{0, 1, 2} B.{1} C.{0, 1, 2, 3} D.{1, 2}2. 已知扇形的圆心角为2π3，半径为6，则扇形的面积为（ ） A.24π B.2π C.12π D.4π3. 函数y =√x +2+lg (3−x)的定义域为（ ） A.[−2, 3) B.(3, +∞)C.[−2, 3]D.(−∞, −2]4. 已知向量a →=(1, 1)，b →=(2, 3)，若向量a →+12b →与2a →−kb →平行，则实数k 的值为（ ）A.2B.−1C.−2D.15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0, +∞)上单调递增的函数是（ ） A.y ＝−x 3 B.y ＝2−|x|C.y ＝cos xD.y ＝ln |x|6. 已知|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为π3，则向量a →+b →与a →−b →的夹角为（ ） A.π4 B.π2C.πD.07. 设函数f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）A.函数f(x)的图象关于直线x =π3对称B.函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称 C.函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D.将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是偶函数8. 已知向量a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，|2a →+b →|=√2，则|b →|为（ ） A.1 B.√2 C.√3 D.39. 若sin (α−π6)=13，其中α∈(π, 2π)，则sin (2π3−α)的值为（ ）A.−2√23B.2√23C.13 D.−1310. 已知函数f(x)＝ln x ，g(x)=2−1x ，则函数y ＝f[g(x)]，x ∈[2, +∞)的值域为（ ）A.(−∞, ln 2)B.[ln 32,+∞)C.[ln 32,ln 2)D.(0,ln 32]11. 已知函数f(x)的定义域为R ，当x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)；当x >0时，f(x +1)＝f(x −1)，则f(2019)+f(20192)的值为（ ）A.√2+12B.12C.√2−12D.√2−112. 已知函数f(x)=sin (x +π6)−m ，x ∈[0,7π3]有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1+2x 2+x 3的值为（ ） A.10π3B.4πC.11π3D.不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）cos (−330∘)的值为________．在△ABC 中，若AB ＝1，AC =√3，|AB →+AC →|＝|BC →|，则CA →⋅CB →|CB →|=________．已知函数f(x)＝tan (x +φ)，|φ|<π2的图象的一个对称中心为(π3,0)，则φ的值为________．设函数f(x)={|6x −5|+1,x ≤1x(x 2−ax +9),x >1 ，若存在互不相等的3个实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=4，则实数a 的取值范围为________√5<a <6 ．三、解答题（本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |ϕ|<π)，它的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数y ＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)，x ∈[−π3,5π6]的单调递增区间．在△ABC 中，P 是线段AB 的中点，已知|CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18．（1）用向量CA →，CB →表示向量CP →；（2）求|BC →|；（3）求CP →⋅CB →．已知函数f(x)满足f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)，a >0且a ≠1． （1）求函数f(x)的解析式及定义域；（2）当a >1时，判断函数f(x)的单调性并给予证明．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点P 0）开始计算时间．（1）将点P 距离水面的高度ℎ（米）表示为时间t （秒）的函数；（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？已知函数f(x)＝−2cos 2x +a sin x +6，a 为常数． （1）当a ＝−9时，求函数y ＝f(x)的零点；（2）当x ∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0，求实数a 的取值范围．已知a ，b 为常数，函数f(x)＝x 2−bx +a ．（1）当a ＝b −1时，求关于x 的不等式f(x)≥0的解集；（2）当a ＝2b −1时，若函数f(x)在(−2, 1)上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）当a ＝b −1时，对于给定的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明：关于x 的方程f(x)=13[f(x 1)+2f(x 2)]在区间(x 1, x 2)内有一个实根．参考答案与试题解析2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）质检数学试卷（三）（12月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】 并集及其运算 【解析】根据A ∩B ＝{1}即可得出B ＝{1, 2}，然后进行并集的运算即可． 【解答】∵ A ∩B ＝{1}； ∴ 1∈B ； ∴ a −2＝1； ∴ B ＝{1, 2}；∴ A ∪B ＝{0, 1, 2}． 2. 【答案】 C【考点】 扇形面积公式 【解析】利用扇形的弧长、面积公式，即可得出结论． 【解答】∵ 一扇形的圆心角为2π3，半径为6，∴ l =2π3×6＝4π，∴ S =12×4π×6＝12π． 3. 【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【解答】由{x +2≥03−x >0，解得−2≤x <3． ∴ 函数y =√x +2+lg (3−x)的定义域为[−2, 3)． 4.【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】先求出向量a →+12b →与2a →−kb →的坐标，再根据向量a →+12b →与2a →−kb →平行，两个向量共线的性质，求得k 的值． 【解答】∵ 向量a →=(1, 1)，b →=(2, 3)，若向量a →+12b →=(2, 52)，2a →−kb →=( 2−2k, 2−3k)， 又 向量a →+12b →与2a →−kb →平行，∴ 2(2−3k)−52⋅(2−2k)＝0，∴ k ＝−1， 5. 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易看出选项A 的函数为奇函数，选项B ，C 的函数在(0, +∞)上都不单调递增，从而得出选项A ，B ，C 都错误，只能选D ． 【解答】A ．y ＝−x 3是奇函数； ∴ 该选项错误；B ．y ＝2−|x|在(0, +∞)上单调递减； ∴ 该选项错误；C ．y ＝cos x 在(0, +∞)上没有单调性； ∴ 该选项错误；D ．y ＝ln |x|是偶函数，且在(0, +∞)上单调递增； ∴ 该选项正确． 6. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意计算(a →+b →)(a →−b →)＝0，得出a →+b →与a →−b →的夹角为π2． 【解答】由|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为π3， 则(a →+b →)(a →−b →)=a →2−b →2=1−1＝0，所以向量a →+b →与a →−b →的夹角为π2． 7.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，可求ω，然后根据正弦函数法性质即可进行求解． 【解答】∵ f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π， ∴ ω＝2，f(x)=12sin (2x +13π)，由于f(13π)=12sin π=0，根据正弦函数在对称轴处取得最值，故A 错误；由于f(π12)=12sin 12π=12，根据正弦函数对称中心处取得函数值0可知B 错误；令−12π+2kπ≤2x +13π≤12π+2kπ可得，−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ，k ∈Z 可知函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递增，C 错误；将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是g(x)＝sin (2x −12π)=−12cos 2x 为偶函数．D 正确 8. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，对|2a →+b →|=√2两边平方即可得出|b →|2−2√2|b →|+2=0，解出|b →|即可． 【解答】∵ a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，|2a →+b →|=√2；∴ (2a →+b →)2=4a →2+4a →⋅b →+b →2=4−2√2|b →|+|b →|2=2； ∴ |b →|2−2√2|b →|+2=0；∴ |b →|=√2． 9. 【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin (2π3−α)＝cos (α−π6)的值． 【解答】∵ α∈(π, 2π)，∴ α−π6∈(5π6, 11π6)，又 sin (α−π6)=13，∴ α−π6∈(5π6, π)，∴ cos (α−π6)=−√1−sin 2(α−π6)=−2√23．则sin (2π3−α)＝cos (2π3−α−π2)＝cos (α−π6)=−2√23， 10.【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】由x 的范围求得g(x)的范围，再由对数函数的单调性求解． 【解答】∵ x ∈[2, +∞), ∴ 1x∈(0, 12]，则g(x)∈[32, 2)．令t ＝g(x)，则y ＝f[g(x)]＝f(t)＝ln t ，t ∈[32, 2)． ∴ y ∈[ln 32, ln 2)．11.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据xx >0时，f(x +1)＝f(x −1)即可得出f(x +2)＝f(x)，即得出f(x)在(0, +∞)上的周期为2，再根据当x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)即可求出f(2019)=12,f(20192)=√22−1，从而求出答案． 【解答】∴ f(x +2)＝f(x)(1)∴ f(x)在(0, +∞)上的周期为2(2)又x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)(3)∴ f(2019)＝f(1+1009×2)＝f(1)=−f(−1)=−(2−1−1)=12，f(20192)=f(1009+12)=f(−12+1010)=f(−12)=2−12−1=√22−1(4)∴ f(2019)+f(20192)=12+√22−1=√2−12． 故选：C ．12.【答案】A【考点】三角函数的最值正弦函数的图象【解析】令f(x)=sin(x+π6)−m=0，则sin(x+π6)=m，由条件知函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点，然后根据函数的图象的对称性可得结果．【解答】令f(x)=sin(x+π6)−m=0，则sin(x+π6)=m，∵函数y=sin(x+π6)的对称轴为x=π3+kπ，k∈Z，s∴当x∈[0,7π3]时，x=π3或x=4π3．∵函数f(x)=sin(x+π6)−m，x∈[0,7π3]有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，∴函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点，∴由函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上的图象知当y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点时，x1+x22=π3，x2+x32=4π3，∴x1+2x2+x3=2π3+8π3=10π3．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】√32【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．【解答】cos(−330∘)＝cos(−360∘+30∘)＝cos30∘=√32．【答案】32【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】可知BC→=AC→−AB→，从而得出|AB→+AC→|=|AC→−AB→|，两边平方即可得出AB→⋅AC→=0，这样对|AB→+AC→|= |BC→|两边平方即可得出|CB→|=2，也可求出CA→⋅CB→=CA→⋅(CA→+AB→)=3，从而求出CA→⋅CB→|CB→|=32．【解答】∵BC→=AC→−AB→；∴|AB→+AC→|=|AC→−AB→|；∴(|AB→+AC→|)2=(|AC→−AB→|)2；∴2AB→⋅AC→=−2AB→⋅AC→；∴AB→⋅AC→=0；∴(|AB→+AC→|)2=|BC→|2，且AB=1,AC=√3；∴|BC→|2=4；∴|BC→|=2；又CA→⋅CB→=CA→⋅(CA→+AB→)=CA→2−AB→⋅AC→=3；∴CA→⋅CB→|CB→|=32．【答案】−π3或π6【考点】正切函数的奇偶性与对称性【解析】由题意可得π3+φ=kπ2，k∈Z，结合φ的范围取k值得答案．【解答】∵函数f(x)＝tan(x+φ)的图象的一个对称中心为(π3,0)，∴π3+φ=kπ2，k∈Z，则φ=−π3+kπ2，k∈Z．又|φ|<π2，取k＝0，得φ=−π3；取k＝1，得φ=π6．∴φ的值为−π3或π6．【答案】2【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得f(x)＝4x有3个不同实根，讨论x≤1时，x>1时，由解方程和二次方程实根的分布，解不等式即可得到所求范围．【解答】由题意可得f(x)＝4x有3个不同实根，当x≤1时，|6x−5|+1＝4x，解得x＝0.6（2舍去），当x>1时，x(x2−ax+9)＝4x即x2−ax+5＝0有两个不等的大于1的实根，即有a2−4×5>0，且a2>1，且1−a+5>0，解得2√5<a<6，三、解答题（本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】由图可知，A＝2，T4=π3−π12=π4，则T＝π，∴ω＝2，由2×π12+φ＝0，得φ=−π6．∴f(x)＝2sin(2x−π6)；将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得y＝2sin(x−π6)，再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)＝2sin(x+π6)，由−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z．取k＝0，可得−2π3≤x≤π3，∴函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间为[−π3,π3]．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由图象可得A，T，进一步求得ω，再由五点作图的第一点求φ，则函数解析式可求；（2）利用函数的伸缩变换与平移变换求得y＝g(x)的解析式，再由复合函数的单调性求函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间．【解答】由图可知，A＝2，T4=π3−π12=π4，则T＝π，∴ω＝2，由2×π12+φ＝0，得φ=−π6．∴f(x)＝2sin(2x−π6)；将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得y＝2sin(x−π6)，再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)＝2sin(x+π6)，由−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z．取k＝0，可得−2π3≤x≤π3，∴函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间为[−π3,π3]．【答案】如图，P是线段AB的中点；∴CP→=12(CA→+CB→)；∵|CP→|=3√22，|CA→|＝4，cos∠ACB=−18；∴CP→2=14(CA→2+2|CA→||CB→|cos∠ACB+CB→2)=14(16−|CB→|+|CB→|2)=92；∴|CB→|2−|CB→|−2=0；解得|CB→|=2或|CB→|=−1（舍去）；CP →⋅CB →=12(CA →+CB →)⋅CB →=12CA →⋅CB →+12CB →2 =1|CA →||CB →|cos ∠ACB +1CB →2 =12×4×2×(−18)+12×4 =32．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据P 是边AB 的中点即可得出CP →=12(CA →+CB →)；（2）根据|CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18对CP →=12(CA →+CB →)两边平方，进行数量积的运算即可求出|BC →|=2；（3）将CP →=12(CA →+CB →)带入CP →⋅CB →并进行数量积的运算即可． 【解答】如图，P 是线段AB 的中点；∴ CP →=12(CA →+CB →)；∵ |CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18；∴ CP →2=14(CA →2+2|CA →||CB →|cos ∠ACB +CB →2)=14(16−|CB →|+|CB →|2)=92； ∴ |CB →|2−|CB →|−2=0；解得|CB →|=2或|CB →|=−1（舍去）；CP →⋅CB →=12(CA →+CB →)⋅CB →=12CA →⋅CB →+12CB →2 =12|CA →||CB →|cos ∠ACB +12CB →2 =12×4×2×(−18)+12×4 =32．【答案】∵ f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)； ∴ f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)； 解{x +2>02−x >0得，−2<x <2； ∴ f(x)的定义域为(−2, 2)；a >1时，f(x)是增函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(−2, 2)，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)＝log a (x 1+2)−log a (2−x 1)−log a (x 2+2)+log a (2−x 2) ＝[log a (x 1+2)−log a (x 2+2)]+[log a (2−x 2)−log a (2−x 1)]； ∵ x 1<x 2；∴ x 1+2<x 2+2，2−x 2<2−x 1； 又a >1；∴ log a (x 1+2)<log a (x 2+2)，log a (2−x 2)<log a (2−x 1)； ∴ log a (x 1+2)−log a (x 2+2)<0，log a (2−x 2)<log a (2−x 1)； ∴ f(x 1)<f(x 2)；∴ f(x)在(−2, 2)上是增函数． 【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)，把x 换上x −1即可得出f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)，而解{x +2>02−x >0即可求出f(x)的定义域； （2）根据对数函数的单调性即可判断a >1时，f(x)是增函数，根据增函数的定义证明：在f(x)的定义域上任取x 1，x 2，并设x 1<x 2，然后作差，根据对数函数的单调性说明f(x 1)<f(x 2)即可． 【解答】∵ f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)； ∴ f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)； 解{x +2>02−x >0得，−2<x <2； ∴ f(x)的定义域为(−2, 2)；a >1时，f(x)是增函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(−2, 2)，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)＝log a (x 1+2)−log a (2−x 1)−log a (x 2+2)+log a (2−x 2) ＝[log a (x 1+2)−log a (x 2+2)]+[log a (2−x 2)−log a (2−x 1)]； ∵ x 1<x 2；∴ x 1+2<x 2+2，2−x 2<2−x 1；又a>1；∴loga (x1+2)<loga(x2+2)，loga(2−x2)<loga(2−x1)；∴loga (x1+2)−loga(x2+2)<0，loga(2−x2)<loga(2−x1)；∴f(x1)<f(x2)；∴f(x)在(−2, 2)上是增函数．【答案】以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，P0(2√3,−2)则∠P0Ox=π6，所以以Ox为始边，为OP终边的角为θ−π6，故P(4cos(θ−π6),4sin(θ−π6))点P在t秒内所转过的角θ=2π15t，所以ℎ=4sin(2π15t−π6)+2，t≥0令ℎ>0，得sin(2π15t−π6)>−12，所以−π6+2kπ<2π15t−π6<7π6+2kπ,k∈Z即15k<t<10+15k，k∈Z又0≤t≤15，所以0<t<10即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P点离开水面．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系．根据O距离水面的高度得到P0点的坐标．利用三角函数来表示P点的坐标，将角速度代入P点的纵坐标，在加上2，可求得ℎ的表达式．（2）令ℎ>0，通过解三角不等式可求得离开水面的时间．【解答】以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，P0(2√3,−2)则∠P0Ox=π6，所以以Ox为始边，为OP终边的角为θ−π6，故P(4cos(θ−π6),4sin(θ−π6))点P在t秒内所转过的角θ=2π15t，所以ℎ=4sin(2π15t−π6)+2，t≥0令ℎ>0，得sin(2π15t−π6)>−12，所以−π6+2kπ<2π15t−π6<7π6+2kπ,k∈Z即15k<t<10+15k，k∈Z又0≤t≤15，所以0<t<10即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P点离开水面．【答案】f(x)＝−2cos2x+a sin x+6＝2sin2x+a sin x+4，当a＝−9时，f(x)＝2sin2x−9sin x+4＝(2sin x−1)(sin x−4)，令f(x)＝0，则sin x=12或sin x＝4（舍），∴x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ,k∈Z，∴y＝f(x)的零点为π6+2kπ或5π6+2kπ,k∈Z；∵当x∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0等价于f(x)min>0在当x∈[−π6,π2]上成立．令t＝sin x，∵x∈[−π6,π2]，∴t＝sin x∈[−12,1]，∴f(t)＝2t2+at+4，∴f(t)的对称轴为x=−a2，∴当−a2≥1，即a≤−2时，f(x)在[−12,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a+6>0，∴a>−6，∴−6<a≤−2；当−12≥−a2，即a≥1时，f(x)在[−12,1]上单调递增，∴f(x)min=f(−12)=92−a2>0，∴a<9，∴1≤a<9；当−12<−a2<1，即−2<a<1时，f(x)在(−12,−a2)上单调递减，在(−a2,1)上单调递增，∴f(x)min=f(−a2)=4>0恒成立，∴−2<a<1综上，a的取值范围为(−6, 9)．【考点】三角函数的最值【解析】（1）当a＝−9时，f(x)＝2sin2x−9sin x+4＝(2sin x−1)(sin x−4)，然后令f(x)＝0，解出方程即可；（2）令t＝sin x，则f(t)＝2t2+at+4，然后根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】f(x)＝−2cos2x+a sin x+6＝2sin2x+a sin x+4，当a ＝−9时，f(x)＝2sin 2x −9sin x +4＝(2sin x −1)(sin x −4)， 令f(x)＝0，则sin x =12或sin x ＝4（舍）， ∴ x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ,k ∈Z ，∴ y ＝f(x)的零点为π6+2kπ或5π6+2kπ,k ∈Z ；∵ 当x ∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0等价于f(x)min >0在当x ∈[−π6,π2]上成立． 令t ＝sin x ，∵ x ∈[−π6,π2]，∴ t ＝sin x ∈[−12,1]， ∴ f(t)＝2t 2+at +4，∴ f(t)的对称轴为x =−a2， ∴ 当−a2≥1，即a ≤−2时，f(x)在[−12,1]上单调递减， ∴ f(x)min ＝f(1)＝a +6>0，∴ a >−6，∴ −6<a ≤−2； 当−12≥−a2，即a ≥1时，f(x)在[−12,1]上单调递增， ∴ f(x)min =f(−12)=92−a2>0，∴ a <9，∴ 1≤a <9；当−12<−a2<1，即−2<a <1时，f(x)在(−12,−a2)上单调递减，在(−a2,1)上单调递增， ∴ f(x)min =f(−a2)=4>0恒成立，∴ −2<a <1综上，a 的取值范围为(−6, 9)．【答案】f(x)＝x 2−bx +b −1＝(x −b +1)(x −1)， 当b ＝2时，x ∈R ；当b >2时，x ∈(−∞, 1]∪[b −1, +∞)； 当b <2时，x ∈(−∞, b −1]∪[1, +∞)； f(x)＝x 2−bx +2b −1，①因为{−2<b2<1△≥0f(−2)>0f(1)>0 ，所以0<b ≤4−2√3； ②因为f(−2)f(1)<0，所以−34<b <0；③当b =−34时，x 2+34x −52=0，解得x 1=54,x 2=−2符合题意； ④当b ＝0时，x 2−1＝0解得x 1＝−1，x 2＝1符合题意； 综上所述，实数b 的取值范围为(−34,4−2√3]；证明：设g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，则g(x 1)=f(x 1)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=23[f(x 1)−f(x 2)]，g(x 2)=f(x 2)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=−13[f(x 1)−f(x 2)]，∴ g(x 1)g(x 2)=−29[f(x 1)−f(x 2)]2，∵ f(x 1)≠f(x 2)，∴ g(x 1)g(x 2)<0，又函数g(x)在区间(x 1, x 2)上为连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得g(x)＝0在区间(x 1, x 2)内有一个实根．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）当a ＝b −1时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得到不等式的解集；（2）当a ＝2b −1时，利用二次函数的对称轴，判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围；（3）当a ＝b −1时，构造函数g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，利用零点的存在性定理可证得方程在区间(x 1, x 2)内有一个实根． 【解答】f(x)＝x 2−bx +b −1＝(x −b +1)(x −1)， 当b ＝2时，x ∈R ；当b >2时，x ∈(−∞, 1]∪[b −1, +∞)； 当b <2时，x ∈(−∞, b −1]∪[1, +∞)； f(x)＝x 2−bx +2b −1，①因为{−2<b2<1△≥0f(−2)>0f(1)>0 ，所以0<b ≤4−2√3； ②因为f(−2)f(1)<0，所以−34<b <0；③当b =−34时，x 2+34x −52=0，解得x 1=54,x 2=−2符合题意； ④当b ＝0时，x 2−1＝0解得x 1＝−1，x 2＝1符合题意； 综上所述，实数b 的取值范围为(−34,4−2√3]；证明：设g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，则g(x 1)=f(x 1)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=23[f(x 1)−f(x 2)]， g(x 2)=f(x 2)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=−13[f(x 1)−f(x 2)]， ∴ g(x 1)g(x 2)=−29[f(x 1)−f(x 2)]2，∵ f(x 1)≠f(x 2)， ∴ g(x 1)g(x 2)<0，又函数g(x)在区间(x 1, x 2)上为连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得g(x)＝0在区间(x 1, x 2)内有一个实根．。

2018-2019学度南通如皋高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁UA＝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为、7、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为、9、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是、〔〕【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、2016－2017学年江苏省南通市如皋市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁A＝｛2｝、U【解答】解：全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，A＝｛2｝、那么∁U故答案为：｛2｝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝3、【解答】解：由题意可得：最小正周期T＝＝，解得：ω＝3、故答案为：3、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、【解答】解：设幂函数的解析式为y＝xα，其函数图象过点〔2，4〕，那么4＝2α，解得α＝2，所以y＝x2，所以函数y的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、故答案为：〔﹣∞，0〕、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为4、【解答】解：∵f〔x〕＝，∴f〔﹣〕＝2＝2＝2，f【f〔﹣〕】＝f〔2〕＝22＝4、故答案为：4、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、【解答】解：∵⊥，∴•＝sinB＋cosB＝0⇒tanB＝﹣1，∵B∈〔0，π〕，∴B＝、故答案为：、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为0、【解答】解：原式＝log281×log41＝0，故答案为：07、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、【解答】解：图象向左平移得到f〔x＋〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∴g〔x〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∵g〔x〕为偶函数，因此＋φ＝kπ＋，又0《φ《π，故φ＝、故答案为：、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为1、【解答】解：f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，∴，解得m＝1故答案为：19、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、【解答】解：∵sin〔α﹣〕＝，∴sin〔2α＋〕＝cos【﹣〔2α＋〕】＝cos〔2α〕＝cos【2〔α﹣〕】＝1﹣2sin2〔α﹣〕＝1﹣2×〔〕2＝、故答案为：、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为3、【解答】解：∵sin〔α＋β〕＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin〔α﹣β〕＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，那么＝＝＝3，故答案为：3、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、【解答】解：由题意可得，α＋θ＝，tanα＝4，∴tan〔α＋θ〕＝﹣1，即＝﹣1，即＝﹣1，求得tanθ＝，故答案为：、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是0《a《1或1《a《2、【解答】解：由题意，关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么f〔x〕＝a2﹣2a有三个不同的交点，∵f〔x〕＝，∴﹣1《a2﹣2a《0，∴0《a《1或1《a《2，故答案为0《a《1或1《a《2、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝π、【解答】解：由题意，M，N关于点〔，0〕对称，∴｜＋｜＝2×＝π，故答案为π、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是【﹣，】、〔〕【解答】解：设＝，，∴，；那么•＝＋＝，当λ＝0时，f〔λ〕＝最大为，当时，f〔λ〕＝最小为﹣；那么•的取值范围是【﹣，】，故答案为：【﹣，】，【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、【解答】解：〔1〕由f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋可得，x﹣1》0且2﹣x≥0，解得1《x≤2，故A＝｛x｜1《x≤2｝；…〔2分〕假设a＝，那么y＝2x＋，当x≤0时，0《2x≤1，《2x＋≤，故B＝｛y｜《y≤｝；…〔5分〕所以A∪B＝｛x｜1《x≤｝、…〔7分〕〔2〕当x≤0时，0《2x≤1，a《2x＋a≤a＋1，故B＝｛y｜a《y≤a＋1｝，…〔9分〕因为A∩B＝∅，A＝｛x｜1《x≤2｝，所以a≥2或a＋1≤1，…〔12分〕即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0、…〔14分〕16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、【解答】〔此题总分值为14分〕解：〔1〕据函数y＝f〔x〕的解析式及其图象可知A＝2，…〔2分〕且T＝﹣〔﹣〕＝π，其中T为函数y＝f〔x〕的最小正周期，故T＝2π，…〔4分〕所以＝2π，解得ω＝1，所以f〔x〕＝2sin〔x﹣〕、…〔6分〕〔2〕由f〔α＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sinα＝，因为α∈〔0，〕，所以cos＝＝、…〔8分〕由f〔β＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sin〔x＋〕＝，故cosβ＝，因为β∈〔0，〕，所以sin＝，…〔10分〕于是cos〔α＋β〕＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×﹣×＝、…〔12分〕因为α，β∈〔0，〕，所以α＋β∈〔0，π〕，所以α＋β＝、…〔14分〕17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、【解答】解：〔1〕因为｜＋｜＝2，所以｜＋｜2＝4、即以2＋2＋2•＝4、，…〔2分〕又｜｜＝1，｜｜＝m，所以、…〔3分〕由｜＋2｜＝3，所以所以｜＋2｜2＝9、即以2＋42＋4•＝9，所以1＋4×＋4m2＝9，解得m＝±1，…〔6分〕又｜｜≥0，所以m＝1、…〔7分〕〔2〕因为，｜｜＝1，｜｜＝m，所以｜﹣｜2＝2＋2﹣2•＝1﹣2×＋m2＝2m2﹣2，｜﹣｜＝、…〔9分〕又因为＋与﹣的夹角为，所以〔＋〕•〔﹣〕＝以2﹣2＝｜＋｜×｜﹣｜cos即，所以1﹣m2＝2×，解得m＝±，…〔13分〕又｜｜≥0，所以m＝、…〔14分〕18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、【解答】解：〔1〕过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA、在Rt△MAN中，sinθ＝＝，故NA＝2sinθ，在Rt△PND中，∠PND＝θ，sinθ＝＝，cosθ＝＝，故PD＝sinθ，ND＝cosθ、在Rt△PDA中，PA＝＝＝，所以l〔θ〕＝，函数l〔θ〕的定义域为〔0，〕、〔2〕由〔1〕可知，l〔θ〕＝，即l〔θ〕＝＝＝＝＝，又θ∈〔0，〕，故2θ﹣∈〔﹣，〕，所以当2θ﹣＝，即θ＝时，sin〔2θ﹣〕取最大值1，＝＝1＋、l〔θ〕max答：当θ＝时，l〔θ〕有最大值，最大值为1＋、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g 〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、【解答】解：〔1〕因为t＝sinx＋cosx＝，x∈【0，】，所以t ∈【1，】，sinxcosx＝、…〔2分〕所以g〔t〕＝mt﹣4•＝﹣2t2＋mt＋2、…〔5分〕〔2〕因为关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，据〔1〕可知g〔t〕＝﹣2t2＋mt＋2≥0对所有的t∈【1，】恒成立，…〔6分〕所以，得m≥、所以实数m的取值范围是【，＋∞〕、…〔10分〕〔3〕因为关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数解，据〔1〕可知关于t的方程﹣2t2＋mt＋2﹣2m＋4＝0在t∈【1，】上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt＋2m﹣6＝0在t∈【1，】上有实数解，…〔11分〕所以△＝m2﹣16〔m﹣3〕≥0，即m≤4或m≥12、令h〔t〕＝2t2﹣mt＋2m﹣6，开口向上，对称轴t＝，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递减，故，解得m不存在、…〔13分〕②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递增，故，解得2＋≤m≤4、…〔15分〕综上所述，实数m的取值范围是【2＋，4】、…〔16分〕20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、【解答】〔1〕证明：设x1，x2是区间〔0，〕上的任意两个实数，且x1《x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＝2〔x1﹣x2〕＋〔﹣〕＝，因为0《x1《x2《，所以x1﹣x2《0，0《x1x2《，故2x1x2﹣1《0，所以f〔x1〕﹣f〔x2〕》0，即f〔x1〕》f〔x2〕，所以函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，函数f〔x〕的单调递增区间为〔，＋∞〕、〔2〕解：①当a＝4时，4｜x｜＋2•4x＝3，〔ⅰ〕当x≥0时，4x＋2•4x＝3，即4x＝1，所以x＝0；〔ⅱ〕当x《0时，4﹣x＋2•4x＝3，即2•〔4x〕2﹣3•4x＋1＝0，解得：4x＝1或4x＝，所以x＝﹣或0；综上所述，方程g〔x〕＝3的解为x＝0或x＝﹣；②〔ⅰ〕当x≥0时，g〔x〕＝3a x，其中a》1，＝g〔0〕＝3，所以g〔x〕在【0，＋∞〕上单调递增，g〔x〕min所以g〔x〕在【0，＋∞〕上的值域为【3，＋∞〕；〔ⅱ〕当x∈【﹣1，0〕时，g〔x〕＝a﹣x＋2a x，其中a》1，令t＝a x，那么t∈【，1〕，g〔x〕＝2t＋＝f〔t〕，〔ⅰ〕假设1《a≤，那么≥，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，1〕上单调递增，所以f〔〕≤f〔t〕《f〔1〕，且f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，此时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【a＋，3〕；〔ⅱ〕假设a》，那么《，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，〕上单调递减，在〔，1〕上单调递增，＝f〔〕＝2，又f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，所以f〔t〕min当f〔〕≥f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，a＋】，当f〔〕《f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，3〕；综上所述，当1《a≤时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【a＋，＋∞；当a》时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【2，＋∞〕、。

2018-2019学年江苏省南通中学高一（上）段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（3分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）3．（3分）函数y＝sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝4．（3分）已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角5．（3分）已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对6．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，则f（1）的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．17．（3分）函数的最小正周期为（）A．1B．C．2πD．π8．（3分）下列各值中，比tan大的是（）A．tan（﹣）B．tan C．tan35°D．tan（﹣142°）9．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．（3分）如图所示，函数的解析式为（）A．B．C．D．11．（3分）在边长为1的正三角形ABC中，|﹣|的值为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知偶函数f（x），且f（x+1）＝f（﹣x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则y ＝f（x）﹣lgx的零点个数是（）A．8B．9C．16D．18二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．（3分）把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为．14．（3分）已知cosα＝3sinα，则1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝．15．（3分）已知，则＝．16．（3分）已知函数f（x）＝的最大值是M，最小值为N，则M+N＝．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．18．（6分）如图，设，，又，试用，表示．19．（8分）如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过17m．20．（10分）设a＞0，0≤x＜2π，若函数y＝cos2x﹣a sin x+b的最大值为0，最小值为﹣4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．21．（10分）已知：关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1）+的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（1）当c＝b时，解关于x的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）的值域为[1，+∞），关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），求实数a的值；（3）设g（x）＝，函数f（g（x））的最大值为1，且当时，恒成立，求b2+c2的取值范围．2018-2019学年江苏省南通中学高一（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M＝（﹣∞，1]，又全集为R，所以∁R M＝（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．3．（3分）函数y＝sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝【分析】根据正弦函数的对称性即可得到结论．【解答】解：由2x＝+kπ，得x＝，k∈Z，当k＝0时，x＝﹣，故x＝﹣是函数的一条对称轴，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的对称性，由正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．4．（3分）已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【分析】写出终边相同的角的集合，然后求出所在象限即可．【解答】解：∵α是第二象限角，∴+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴+kπ＜＜+kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，是第三象限角，∴是第一或第三象限角．故选：D．【点评】本题考查象限角、轴线角，注意k为奇数、偶数的情况，由此可以确定α在其它象限的情况，是基础题．5．（3分）已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对【分析】利用题设条件可推断出θ为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．【解答】解：∵sinθ＜0，tanθ＞0∴θ为第三象限角∴＝|cosθ|＝﹣cosθ故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题．考查了基础知识的灵活运用．6．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，则f（1）的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】推导出f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），从而f（1）＝f（5），由此能求出结果．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴f（1）＝f（5）＝3﹣5＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（3分）函数的最小正周期为（）A．1B．C．2πD．π【分析】f（x）解析式分子分母同时除以cos x，利用同角三角函数间的基本关系变形得到一个关系式，再利用特殊角的三角函数值变形后，利用两角和与差的正切函数公式变形得到最简结果，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝＝＝tan（x+），∵ω＝1，∴T＝＝π，则函数f（x）的最小正周期为π．故选：D．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（3分）下列各值中，比tan大的是（）A．tan（﹣）B．tan C．tan35°D．tan（﹣142°）【分析】使用正切函数周期性和单调性比较大小．【解答】解：tan＝tan36°．对于A，tan（﹣）＝﹣tan＜0，而tan＞0，故tan（﹣）＜tan．对于B，tan＝tan，∵0＜，∴tan tan．对于C，∵0°＜35°＜36°＜90°，∴tan35°＜tan36°．对于D，tan（﹣142°）＝tan38°，∵0°＜36°＜38°＜90°，∴tan38°＞tan36°，故选：D．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．9．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】由关于x轴的对称性可知，函数的增区间为函数的减区间，根据余弦函数的单调递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到所求函数的递增区间．【解答】解：由题意可知，的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），即2kπ≤﹣≤2kπ+π，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+π，则函数的单调递增区间是．故选：D．【点评】此题考查了余弦函数的单调性，以及关于x轴对称的两函数之间的关系．理解函数的增区间为函数的减区间是解本题的突破点．10．（3分）如图所示，函数的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由函数图象可求周期，利用周期公式求出ω，即可判断得解．【解答】解：根据函数图象，开设函数解析式为：y＝A sin（ωx+φ），由图象可得：A＝1，可得：•＝﹣（﹣），解得：ω＝4，结合选项可得A，B，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω是解题的关键，属于基础题．11．（3分）在边长为1的正三角形ABC中，|﹣|的值为（）A．1B．2C．D．【分析】直接由，然后展开利用平面向量的数量积求得答案．【解答】解：如图，|﹣|＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了向量模的求法，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．12．（3分）已知偶函数f（x），且f（x+1）＝f（﹣x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则y ＝f（x）﹣lgx的零点个数是（）A．8B．9C．16D．18【分析】由f（x+1）＝f（﹣x+1），再由偶函数的定义得f（x+2）＝f（x），即函数y＝f （x）的周期为2，作出函数y＝f（x）和y＝lgx的图象，利用数形结合法进行求解．【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x），又f（x）为偶函数，即有f（﹣x）＝f（x），则f（x+2）＝f（x），函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（﹣x）＝x2，由函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝x2＝f（x）即f（x）＝x2，x∈[﹣1，0]，作出f（x）的图象如图，由y＝f（x）﹣lgx＝0，则f（x）＝lgx，函数y＝f（x）的周期为2，当x＞10时，y＝lgx＞1，此时函数y＝lgx与y＝f（x）无交点，由图象可知两个图象的交点个数为9个，即函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个，故选：B．【点评】本题主要考查周期函数与对数函数的图象，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．（3分）把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为．【分析】直接利用平移变换的应用求出结果．【解答】解：函数先向右平移个单位得到y＝sin（）＝sin（x﹣），再向下平移2个单位得到y＝sin（x﹣）﹣2．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．（3分）已知cosα＝3sinα，则1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：∵cosα＝3sinα，∴tanα＝，∴1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．（3分）已知，则＝．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：因为，则＝sin[π﹣（﹣x）]+sin2[﹣（﹣x）]＝sin（x+）+cos2（x+）＝sin（x+）+1﹣sin2（x+）＝+1﹣（）2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．16．（3分）已知函数f（x）＝的最大值是M，最小值为N，则M+N＝2．【分析】化简函数可得f（x）＝+1，可判g（x）＝为奇函数，由奇函数的性质可得结论．【解答】解：∵f（x）＝＝+＝+1，令g（x）＝，可得g（﹣x）＝＝＝﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数，∴g（x）的最大值与最小值之和为0，∴f（x）的最大值与最小值之和为2，即M+N＝2，故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性与最值，突出考查转化思想、创新思维与综合运算能力，属中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．【分析】先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴＝＝tanα＝【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．18．（6分）如图，设，，又，试用，表示．【分析】利用三角形法则即可求解．【解答】解：∵，由已知可得：，所以，故．【点评】本题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．（8分）如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过17m．【分析】（1）根据题意，求出t时摩天轮上某人所转过的角度，计算此人相对于地面的高度h；（2）根据高度h（m）的解析式，求出此人相对于地面的高度不超过17m的时间【解答】解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为t＝t，故在t时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t+12（t≥0）．（2）由10sin t+12≤17，得sin t≤，则0≤t≤25，125≤t≤300．故此人有200s相对于地面的高度不超过17m．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20．（10分）设a＞0，0≤x＜2π，若函数y＝cos2x﹣a sin x+b的最大值为0，最小值为﹣4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．【分析】通过同角三角函数的平方关系进行化简，然后进行配方法，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a，b的值，从而得到解析式，最后求出相应最值时的x的值即可．【解答】解：f（x）＝y＝cos2x﹣a sin x+b＝﹣sin2x﹣a sin x+b+1＝﹣+因为a＞0所以﹣＜0，（ⅰ）当，即0＜a≤2时y max＝＝＝0①y min＝f（1）＝b ﹣a＝﹣4②由①②解得或（舍去）（ⅱ）当﹣，即a＞2时y max＝f（﹣1）＝a+b＝0③y min＝f（1）＝b﹣a＝﹣4④由③④解得（舍去）综上，∴f（x）＝cos2x﹣2sin x﹣2＝﹣（sin x+1）2当时，y取得最小值；当时，y取得最大值【点评】本题主要考查了三角函数的最值，以及同角三角函数的关系和配方法，同时考查了分类讨论的数学思想．21．（10分）已知：关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1）+的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．【分析】（1）由题意得，再根据三角函数的恒等变换化简+为sinθ+cosθ，从而求得结果．（2）由sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝以及同角三角函数的基本关系可得1+m＝，由此解得m的值．（3）由以上可得，sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，解得sinθ和cosθ的值，从而求得故此时方程的两个根及θ的值．【解答】解：（1）由于关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，故有，∴+＝+＝＝sinθ+cosθ＝．（2）由sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝，即1+m＝，解得m＝．（3）由以上可得，sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，解得sinθ＝，cosθ＝；或者sinθ＝，cosθ＝．故此时方程的两个根分别为、，对应θ的值为或．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，三角函数的恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（1）当c＝b时，解关于x的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）的值域为[1，+∞），关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），求实数a的值；（3）设g（x）＝，函数f（g（x））的最大值为1，且当时，恒成立，求b2+c2的取值范围．【分析】（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a的值，（3）由题意将c表示为含有b的等式，然后求得实数b的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b2+c2的取值范围．【解答】解：（1）当c＝b时，由f（x）＞1得x2+bx+b﹣1＞0，即（x+b﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b＞﹣1，即b＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b，+∞），当b＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b）∪（﹣1，+∞）．（2）由f（x）的值域为[1，+∞），得，因为关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），所以m，m+4是方程f（x）＝a的两个实根，即x2+bx+c﹣a＝0的两根之差为4，所以，则，得a＝5．（3），则，则x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，又，因为f（g（x））的最大值为1，所以f（x）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f（x）图象开口向上，得，即，则c＝3b﹣8，且b≤5，此时由x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，得x2+bx+3b﹣8≥0恒成立，且f（﹣2）≥0，得b≥4，要满足x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则Δ≤0，b2﹣4（3b﹣8）≤0，解得4≤b≤8，综上，4≤b≤5，此时b2+c2＝b2+（3b﹣8）2＝10b2﹣48b+64∈[32，74]．【点评】本题主要考查二次不等式的解法，韦达定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．。

江苏省南通市如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试化学试卷一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）1．食品脱氧剂应无毒、无味、及环境友好。

下列可用作食品包装袋中作脱氧剂的是（）A．硅胶B．铁粉C．CaO2．为防止缺碘，可在食盐中加入少量KIO3，KIO3属于（）A．单质B．氧化物C．酸3．下列物质属于纯净物的是（）A．氨水B．漂白粉C．液氯4．下列物质属于含有共价键的离子化合物的是（）A．MgCl2B．H2O C．Na2SO45．下列过程中，没有发生化学变化的是（）A．铝热反应B．液溴挥发C．浓硫酸脱水6．下列反应类型中，不可能属于氧化还原反应的是（）A．化合反应B．分解反应C．置换反应7．含有Ba2+、NH4+、NO3﹣、Fe3+溶液中，能大量共存的离子是（A．K+B．OH﹣C．SO42﹣8．下列有关化学用语表示正确的是（）A．O2﹣的结构示意图：B．氯化钠的电子式：C．中子数为8的碳原子：CD．NaOH的电离方程式：NaOH═Na++OH﹣9．下列试剂的保存正确的是（）A．过氧化钠保存在潮湿的环境中B．保存NaOH的试剂瓶用玻璃塞C．新制氯水保存在棕色瓶中D．金属钠保存在CCl4中10．下列关于铝及其化合物的叙述正确的是（）D．KMnO4D．盐D．碘酒D．N2D．碘化银分解D．复分解反应）D．SCN﹣A．铝在常温下不会被氧气氧化B．氧化铝可用于冶炼金属铝C．氢氧化铝不能与NaOH溶液反应D．明矾可用于饮用水消毒11．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是（）A．Al2O3熔点高，可用作耐高温材料B．FeCl3溶液呈酸性，可用于腐蚀CuC．铝导热性好，可用铝罐贮运浓硝酸D．浓硫酸具有强氧化性，可用于干燥CO212．下列离子方程式中书写正确的是（）A．Na2CO3稀溶液中通入少量CO2：CO2+CO32﹣+H2O═2HCO3﹣B．向氯化铁溶液中加入铁粉：Fe3++Fe═2Fe2+C．大理石溶于盐酸：CaCO3+2HCl═Ca2++CO2↑+H2O+2Cl﹣D．铁粉投入稀硝酸：Fe+2H+═Fe2++H2↑13．在给定条件下，下列选项中所示的物质间转化能一步实现的是（）A．Fe Fe2O3Fe（OH）3B．Mg（OH）2MgCl2溶液MgC．NH3 D．SO2NO（NH4）2SO4NO2BaSO414．下列实验装置原理正确且能达成实验目的的是（）A．制SO2B．分离乙醇和水C．收集NO2D．制作喷泉15．下列说法正确的是（）A．相同温度时，气体分子间的距离相等B．2gH2和2gO2能恰好反应生成4gH2OC．32gO3中含有的氧原子数是1.204×1024个D．I mol•L﹣1MgCl2中含Cl﹣的数目为1.204×1024个不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。

2018-2019学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=．2．（5分）计算10lg3+log525=．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=0．【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．故答案为：0．2．（5分）计算10lg3+log525=5．【解答】解：原式=3+2=5．故答案为：5．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为﹣2．【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为7．【解答】解：若{1}⊊A⊆{1，2，3，4}，则A={1，2}或{1，3}或{1，4}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}显然这样的集合A有7个，故答案为：7．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣22+2=﹣2，f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．故答案为：3．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，可得1+b≤0，求得b≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ=，∴sin（2θ﹣）=====．故答案为：．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=4．【解答】解：∵⊥，且||=2，∴=0，则．故答案为：4．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=﹣1008．【解答】解：∵函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），∴令x=0，y=0 得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，令y=﹣x 代入得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0 所以原函数是奇函数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），∴f（n）=nf（1），∵f（1）=，∴f（﹣2016）=﹣f（2016）=﹣2016×f（1）=﹣2016×=﹣1008．故答案为：﹣1008．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），∴+==．故答案为：．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，综上：0≤a＜1，故答案为：[0，1）．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．【解答】解：∵，是单位向量，且•=，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．∵•=•=2，∴x=2，y=2，解得y=．∴=（2，）．则||==．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，sin（2x﹣）=，解得：x=或x=，（k∈Z）．故相邻的零点之间的间隔依次为，．y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，m＞m+2，无解；当B≠∅时，，解得1≤m≤2．∴m的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，∴•=•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=5，||2=2=（+）2=2+2•+2=22+2×2×1×cos60°+1=7，∴||=，cos∠BAC===；（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．∴=+，=﹣，∵=λ+，∴+=λ（+）+μ（﹣），∴，解得：，∴λ+μ=17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；（2）令x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，故f（x）=；故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，故lga＞1或lga＜﹣1，解得：a＞10或0＜a＜．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，故g（x）在[，）递增，在（，]递减，故g（x）max=g（）=，令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，故h（x）在x∈[，]递减，h（x）min=h（）=7，综上：≤a≤7．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=，∴PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α﹣）=100tan（﹣α），∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==100×100tanα+100tan（﹣α）==，其中α∈[0，]，∴当sin（2α+）=1时，即θ=时，S取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，在△ABP中，tanα=，在△ADQ中，tanβ=，∴tan（α+β）==，∵PB+DQ=PQ，∴100﹣x+100﹣y=，整理可得：x+y=100+，∴tan（α+β）===1，∴α+β=，∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωx+φ），（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．∵x∈[，]上，则2x﹣∈[0，]．故sin（2x﹣）∈[0，1]．当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=；当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去．故得满足题意的λ的值为．（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω==．点（，1）在图象上，可得：+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ=﹣不符合题意．舍去．当==3π，解得：T=．∴ω=．点（，0）在图象上，+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ=，∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）点（，1）在图象上，验证：sin（）=sin=1符合题意．故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．。

江苏省南通市（通州区、海门市、启东三县）2018-2019 学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O按逆时针方向旋转3弧度后所得角的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限[答案]B[解析]由题意，因为，所以弧度角的终边在第二象限，故选：B．2.已知集合，0，1，3，，则中的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4[答案]C[解析]由题意，因为集合奇数，0，1，3，，1，，所以中的元素个数为3．故选：C．3.在下列区间上，方程无实数解的是A. B. C. D.[答案]B[解析]由题意，令，易知在R上连续，，且，，，故在，，上有零点，故方程在区间上没有零点．故选：B．4.下列函数是周期函数的是A. B.C. D.[答案]D[解析]对于选项：A中，函数：，故函数为常量函数，错误．对于选项：B中，函数为偶函数，图象关于y轴对称，由图象可知不是周期函数，错误．对于选项：C中，函数，由定义域不是R，所以不是周期函数，错误.以上选项都不满足，对于选项：D，函数为分段函数，由函数的图象可判定是周期函数，错误．故选：D．5.对于定义在R上的函数，给出下列四种说法：若，则函数是奇函数；若，则函数是偶函数；若，则函数在R上不是单调减函数；若函数在一，上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数．其中，正确说法的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3[答案]B[解析]①中，若，则函数不一定是奇函数，不一定满足奇函数的定义，所以不正确．若，则函数不一定是偶函数；不一定满足偶函数的定义，所以不正确．若，不满足函数的单调减函数的定义，则函数在R一定不是单调减函数，所以正确；若函数在一，上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在R上不一定是单调增函数，所以不正确，例如函数，在一，上是单调增函数，在上也是单调增函数，但在R上不是单调递增函数，所以不正确；故选：B．6.要得到函数的图象，只需要把函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度[答案]C[解析]由题意，把函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，故选C．7.已知函数为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数中，分别具有性质、、、的函数序号依次为A. ，，，B. ，，，C. ，，，D. ，，，[答案]D[解析]由图可知，对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数，对应于幂函数中的一次函数．由，可得；由且，可得；由且，可得；由，可得．分别具有性质、、、的函数序号依次为，，，．故选：D．8.在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，，给出下列四组等式，，，，其中，能使，为常数的组数是A. 1B. 2C. 3D. 4[答案]A[解析]由题意，设，，则，又，，为常数，则，即，满足题意的只有，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.在平面直角坐标系xOy中，已知幂函数的图象过点，则的值为______．[答案][解析]在平面直角坐标系xOy中，因为幂函数的图象过点，所以，解得，故答案为．10.已知，均为锐角，，，则的值为______.[答案][解析]已知，均为锐角，，，则，所以：，故．故答案为：．11.已知关于实数x的不等式的解集为，则的值为______．[答案][解析]由题意知一元二次不等式的解集是，即，是方程的两根，由根与系数关系得：，即，，所以．故答案为：.12.已知，，则______用a，b表示[答案][解析]由题意，因为，，所以．故答案为：．13.九章算术中记载了弧田（圆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式，其中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为的弧田按此公式计算所得的面积为，则该弧田的实际面积为______．[答案][解析]如图所示，弦长，设，则弧田的面积为，即，所以，所以，解得或不合题意，舍去；设，则，所以，解得，所以，该弧田的实际面积为．故答案为：．14.如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，点A，B 分别在直线m，n上，且，则的最大值为______．[答案]4[解析]由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线m、n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：则由题意可得点，直线n的方程为，设点、点，所以、，所以．所以，所以，所以，或舍去．当时，，当时，取得最大值，最大值为4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．求函数的对称轴方程；求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的x的值．解：由题意，函数，令，整理得：，所以函数的对称轴方程为：．由得：，由于：，所以，则，所以，当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，求证：且．设向量，，且，求实数t的值．证明：，所以，因为，所以；（2）解：因为，所以；由得：，所以，解得或4．17.在中，已知，，且．求的值；求证：．（1）解：由题意，因为，，所以，所以证明：因为，可得：，，，又，所以，在单调递减，且，，，即得证18.如图为大型观览车主架示意图点O为轮轴中心，距地面高为即巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高即，巨轮转动一周需某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点．试建立点距地面的高度关于转动时间的函数关系，并写出定义域；求转动过程中点超过地面45m的总时长．解：如图所示，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间转动至终边所形成的角为，则点的纵坐标为，所以点距地面的高度为，；当点超过地面45m时，，即，所以，，即，；因为，所以，所以总时长为15分钟，即点超过地面45m的总时长为15分钟．19.设是定义在R上的奇函数，且当时，，且．求函数在R上的解析式；判断并证明函数在上的单调性；若对任意的，，，求实数m的最大值．解：（1）由题意知，函数是定义在R上的奇函数，，，设，则，，，．在上单调递增，理由如下：设，，且，,当时，，，则，当时，，，则，，即，在上单调递增.对任意的，，，，，，当且仅当时取等号，，即m的最大值为220.设a为实数，函数，.若，求不等式的解集；是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；写出函数在R上的零点个数不必写出过程解：（1）由题意，当时，，当时，，即，故不存在这样的实数x，当时，，即，解得：，故不等式的解集是；，若，则在递增，在递减，在递增，函数在上既有最大值又有最小值，，，从而，即，解得：，故不存在这样的实数a；若，则在递增，在递减，在递增，函数在区间上既有最大值又有最小值，故，，从而，即，解得：，故不存在这样的实数a；若，则为R上的递增函数，故在上不存在最大值又有最小值，综上，不存在这样的实数a；当或时，函数的零点个数为1，当或时，函数的零点个数为2，当时，函数的零点个数为3．。

南通市一中2018-2019学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆AB ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)23．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( ) A ．B ．10C ．D ．44．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．设函数f （x ）（x ⊆R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．32C ．0D ．12-6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15B ．15C ．6D ．67．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3-B ．6-C ．2-D ．83-8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S >9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜010．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2⊆D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.12．已知,αβ都是锐角，21sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=_____. 13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f（2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.14．已知向量a r=（2，sinθ），br =（1，cosθ），若a r ⊆br，则221sin cos θθ+的值为______． 15．⊆ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ⊆R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()RA B ⋂ð；（2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．18．已知函数()261fx x x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（⊆）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （⊆）求6sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围.21．如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100m，BC=503m，欲在这块草屏内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且⊆EOF=90°.（1）设⊆BOE=α，试求⊆OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.22．已知a⊆R，函数f（x）=x2﹣2ax+5.（1）若a>1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2| 1对x⊆[13，12]恒成立，求实数a的取值范围.解析南通市一中2018-2019学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆A B ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2 D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.3．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( )A ．B ．10C ．D ．4【答案】C【解析】试题分析：()2223369a b a ba ab b +=+=+⋅+r r rr rr r r ,,所以.【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.4．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由()2f x ﹣2f （x ）=0，得f （x ）=0或f （x ）=2，根据函数f （x ）是分段函数，再分类讨论求解. 【详解】 因为()2f x ﹣2f （x ）=0，所以f （x ）=0或f （x ）=2，当x <0时，f （x ）1x=<0，∴()0f x ≠且()2f x ≠， 当0x ≥时，f （x ）=|x ﹣2|，令f （x ）=0得，x =2；令f （x ）=2得，x =4或0， 综上：方程()2f x ﹣2f （x ）=0的根的个数是3个，故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数与方程问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 5．设函数f （x ）（x ⊆R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．32C ．0D ．12-【答案】A【解析】由函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .，将问题转化为11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 再求解. 【详解】因为函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x . 所以11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 又当0x π≤<时，f （x ）=0， 所以506f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以1155511sin 0666622πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求值问题，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15 B ．15C ．6D ．6【答案】C【解析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解. 【详解】 ∴3m =2n =k ，∴m =log 3k ，n =log 2k ， ∴32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2， ∴k 2=6， 又0k>Q∴6k =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3- B ．6-C ．2-D ．83-【答案】B【解析】如图建立坐标系，()()()0,23,2,0,2,0AB C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v， ()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=--⋅--=+-u u u v u u u v u u u v()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B ．点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用．坐标法后得到函数关系，求函数的最小值．向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法．8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S >【答案】A【解析】由题意得,弧AQ 的长度与AP 相等,利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积12,S S ,比较其大小,即可求得答案. 【详解】设线段OP 与圆O 交于点B ,Q 直线l 与圆O 相切,∴ OA AP ⊥ ∴12AOP S OA AP =⋅⋅V 又Q »12AOQ S AQ OA =⋅⋅扇形,»AQ AP = ∴AOP AOQ S S =V 扇形∴ AOP AOQ AOB AOB S S S S -=-V 扇形扇形扇形即12S S = 故选:A. 【点睛】本题考查了求阴影部分的之间关系,解题关键是掌握扇形面积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜0【答案】C【解析】根据分段函数的单调性；首先使各段单调递减a +1≤0、a ＜0，再使整体单调递减32(1)1a ++…，解不等式组即可.【详解】根据题意，若函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+2（a +1）x +4递减，有a +1≤0， 当x ＞1时，f （x ）=a x 为减函数，必有a ＜0，综合可得：10032(1)1a a a +⎧⎪<⎨⎪++⎩„…，解可得﹣2≤a ≤﹣1；故选：C ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意使函数整体单调递减，属于易错题.10．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2⊆D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070【答案】D【解析】根据代数式的结构，探究f （2﹣x ）+f （x ）=-4，得到函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，令12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，再用倒序相加法求解. 【详解】∴f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sin π（2﹣x ）﹣3+x +sin πx ﹣3=2﹣x ﹣sin πx ﹣3+x +sin πx ﹣3=﹣4， ∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称， 设12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ， 则f （40352018）+f （40342018）+…+f （22018）+f （12018）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018）+f （40352018）]=4035×（﹣4）， ∴S =﹣2×4035=﹣8070， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及倒序相加法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.【答案】{1，3}【解析】先根据韦恩图，得到阴影部分表示的集合为U N M I ð再求解. 【详解】因为集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，由韦恩图得，阴影部分表示的集合为U N M I ð所以{}1,3UNM ⋂=ð 故答案为：{1，3} 【点睛】本题主要考查了集合中的韦恩图，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 12．已知,αβ都是锐角，21sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=_____. 【答案】264+ 【解析】试题分析： 因为,αβ都是锐角，221sin cos ,cos(),(0,)2223(0,)sin()22αααβαβππαβαβ=∴=+=+∈∴+∈∴+=Q则cos cos[()]cos()cos sin()sin 12322622224ββααβααβαα=+-=++++=⨯+⨯=进而得到结论为264+ 【考点】本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用．点评：解决该试题的关键是构造角的思想，注意已知中角的范围的限制，对于求解函数值的正负号，有着关键性的作用．13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知向量a r=（2，sinθ），br =（1，cosθ），若a r ⊆br，则221sin cos θθ+的值为______． 【答案】23. 【解析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案 【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==r r ，a b rr ∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15．⊆ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.【答案】52-【解析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =u u u u r（AB AC +u u ur u u u r ），又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，再用数量积公式求解. 【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =u u u u r（AB AC +u u ur u u u r ）， 又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以12AM BC ⋅=u u u u r u u u r （AB AC +u u u r u u u r ）⋅（AC AB -u u u r u u u r ）12=（22AC AB -u u u r u u u r ）52=-，故答案为：52-. 【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ⊆R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 【答案】103π【解析】根据题意，令f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，解得零点为x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∴Z ），易知相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，再根据f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，来确定b ﹣a 的最小值. 【详解】因为函数f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，令f （x ）=0，则2sin （2x 3π-）﹣1=0，所以s in （2x 3π-）12=，解得：x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∴Z ），因为相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π， 所以若f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点， 则b ﹣a 的最小值为21034333πππ⨯+⨯=，故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()RA B ⋂ð；（2）若A B A =I，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<Ið；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()RA B ⋂ð，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：∴、当A =∅时，有123m m ->+，∴当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=， 又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}RA B x x =-<<Ið；（2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆，分2种情况讨论：∴当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ∴当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数()261fx x x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（⊆）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （⊆）求6sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）11,32-；（2）（∴）3；（∴）3226+ . 【解析】（1）令()2610f x x x =+-=，解一元二次不等式即可.（2）由α为锐角，得13sin α=.（∴）利用诱导公式将原式化简再求值. （∴）由两角和的正弦公式求解. 【详解】 （1）令()2610f x x x =+-=，解得13x =或12x =-，所以函数的零点是13 和12- .（2）因为α为锐角， 所以13sin α=. （∴）()()()132tan cos tan cos sin sin sin cos sin πααααπααααπα+⋅-⋅===⋅⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭. （∴） 由α为锐角，所以223α=cos ， 所以13221322632326sin πα+⎛⎫+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭.. 【点睛】本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1-，f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1]. 【解析】（1）根据()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，得到f （x ）是奇函数， 则f （x ）+f （﹣x ）=0，恒成立，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为x 2（a 2﹣1）=0求解.根据a 的值，f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），再利用复合函数的单调性确定单调区间.（2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，转化为k 11x x +=--x ，在[2，3]上有解，再求得g （x ）11x x +=--x ，x ∴[2，3]值域即可. 【详解】（1）因为()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数， 所以f （x ）+f （﹣x ）=0，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以1﹣a 2x 2=1-x 2，即x 2（a 2﹣1）=0，所以a =﹣1或a =1（舍去），所以f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），定义域为（﹣∞，﹣1）U （1，+∞）. 所以f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，即11x x +=-x +k ，得k 11x x +=--x ， 令g （x ）11x x +=--x ，x ∴[2，3]， 则g （x ）=121x +--x 在x ∴[2，3]上单调递减，且f （2）=1，f （3）=﹣1， 所以k 的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围. 【答案】（1）22；（2）[1242-，1242+].【解析】(1)根据题意设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22），表示出向量+u u u r u u u r OC OD 的坐标，再利用模的公式求解.（2）设OC=u u u r（cosα，sinα），E （0，12-），D （12，0），分别表示出向量CE u u u r 与向量DE u u u r 的坐标，由数量积公式得到CE DE ⋅uur uuu r 22=sin （α4π+）14+，再用三角函数的图象和性质求解. 【详解】(1)设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22）， ∴OC OD +=u u u r u u u r （t 22-，22），2+u u u r u u u r OC OD =（t 22-）212+，（0≤t ≤1）， ∴t 22=时，OC OD +u u u r u u u r 的最小值为22. （2）设OC=u u u r（cosα，sinα），0≤α32π≤，E （0，12-），D （12，0），∴CE =u u u r （﹣cosα，12--sinα），DE =uuu r （12-，12-），∴12CE DE ⋅=u u u r u u u r cosα12+sinα1242+=sin （α4π+）14+，∴032πα≤≤， ∴4π≤α744ππ+≤， ∴sin （α4π+）∴[﹣1，1]，∴22sin （α4π+）14+∴[1242-，1242+].∴CE DE ⋅uur uuu r的取值范围是：[1242-，1242+].【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100m ，BC =503m ，欲在这块草屏内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且⊆EOF =90°.（1）设⊆BOE =α，试求⊆OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]；（2）当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（2+1）元.【解析】（1）在Rt∴BOE 中，求得50OE cos α=，在Rt∴AOF 中，求得500F sin α=，再根据∴EOF =90°，利用勾股定理求得2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，然后求得周长.结合图形，当点F 在点D 时，角α最小，点E 在点C 时，角α最大，求得定义域.（2）根据题意，铺路总费用最低，则∴OEF 的周长l 的最小，即求l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∴[6π，3π]，的最小值. 【详解】（1）在Rt∴BOE 中，OB =50，∴B =90°，∴BOE =α∴50OE cos α=， 在Rt∴AOF 中，OA =50，∴A =90°，∴AFO =α，∴500F sin α=， 又∴EOF =90°，∴2222505050()()EFOE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，∴l =OE +OF +EF 505050cos sin cos sin αααα=++， 即l ()501sin cos cos sin αααα++=，当点F 在点D 时，角α最小，此时求得6πα=；当点E 在点C 时，角α最大，此时求得3πα=，故此函数的定义域为[6π，3π]； （2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求∴OEF 的周长l 的最小值即可， 由（1）得，l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∴[6π，3π]， 设si nα+cosα=t ，则212t sin cos αα-⋅=，所以()()2501501100112αααα+++===--sin cos t l t cos sin t ， 因为α∴[6π，3π]，所以5712412πππα≤+≤，所以13sin cos 2sin [,2]42t πααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以311212t -≤-≤-， 从而121311t +≤≤+-， 当4πα=，即BE ＝50时，()10021min l =+，∴当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（2+1）元.【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了建立函数和运算求解的能力，属于中档题. 22．已知a ⊆R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ⊆[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤.【解析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∴f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减，∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立， 令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以g （x ）max =g （25）258=，所以258a ≥. 令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7，所以7a ≤.综上：2578a ≤≤. 【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。

江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集2，3，，集合，，则A. B. C. D. 2，【答案】C【解析】解：全集2，3，，，，，．故选：C．先求出，再求出本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数的图象经过点，则A. 16B.C.D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数，，函数图象过点，则，，幂函数，．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出的解析式，再计算的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为．A. B. C. D.【答案】C【解析】解：弧长为的弧所对的圆心角为，半径，这条弧所在的扇形面积为．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量，，则向量与的夹角为A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】解：根据题意得，，向量与的夹角为．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由图象知，函数的周期，即，即，则，由五点对应法得，即，则，故选：B．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，和的值是解决本题的关键．7.若，则A. 10B.C. 2D.【答案】D【解析】解：，，故选：D．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8.已知向量，满足，则A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：；；；；．故选：C．根据条件，对两边平方即可求出，从而可求出的值，进而得出的值．考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9.已知函数，则的零点为A. 0和3B. 2C.D.【答案】C【解析】解：设，解方程得：或，解得：，即，即或，解得：，故选：C．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设，解方程得：或，得：，再分段解方程或，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为，横坐标是，故点A的纵坐标为，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为，则点B的横坐标为，故选：B．设射线OA对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得、，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则函数是奇函数，是增函数，，是减函数，则，是增函数，则不等式得不等式，则，即，得，得，即不等式的解集为，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．12.已知定义在上的函数，若在定义域上有两个不同的解，则a的取值范围为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：已知定义在上的函数，若在定义域上有两个不同的解，等价于直线关于原点对称的直线与函数的图象有两个交点，联立，消y得：，由题意有：此方程有两不等正实数根，即，解得：，故选：A．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：在定义域上有两个不同的解，等价于直线关于原点对称的直线与函数的图象有两个交点，联立，消y得：，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：______．【答案】【解析】解：．故答案为：．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14.已知，则______．【答案】【解析】解：，故答案为：根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知，，，，，则______．【答案】【解析】解：，，，；；，故答案为：由，，得，，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，其图象如图所示，设，为方程的两根则有三个不同的实数解等价于：的图象与直线，的交点和为3，由图可知：，，设，则此函数有两个零点，，当时，解得：，由，解得，满足题意，当时，由二次方程区间根问题可得：，解得：，综合得：实数a的取值范围是，故答案为：．由方程的根与函数的零点问题设，设，为方程的两根则有三个不同的实数解等价于：的图象与直线，的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：，，设，则此函数有两个零点，，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17.设全集，集合，．当时，求；若，求实数m的取值范围．【答案】解：，；时，，且，或；；；，或；，或；实数m的取值范围为，或．【解析】可求出，，时，求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可；根据即可得出，或，解出m的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18.已知，，，均为锐角．求的值；求的值．【答案】解：，为锐角，，．，均为锐角，，，，．【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19.已知向量，，设．将的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象，求的单调增区间；若时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由题意得，，由，，得，，即的增区间为，．当时，可得，，易得的最大值为2，使原不等式恒成立的m的范围为，故实数m的取值范围为．【解析】首先利用数量积把化为三角函数，再利用坐标变换得到，结合余弦函数单调性可得增区间；利用所给范围确定为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20.在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．设，，设，求；求的取值范围；若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求．【答案】解：，，，设，因为在三角形ABC中，，，，，，M，D三点共线，可设，为AB的中点，，又C，M，F三点共线，存在使得，，，解得，【解析】将化成和后，与已知比较得，，可得；设，，将，化成，后，再相乘可得；先根据向量共线和三点共线得到，再与相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21.如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知百米，百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称，现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开设，两道栅栏的总长度．求的函数表达式，并求出函数的定义域；求的最小值及此时的值．【答案】解：点B，E关于MN对称，≌RtEMN，，，，设，则，，，由可得，．由可知．，，，当且仅当即时取等号．当时，取得最小值4．【解析】设，得出x与的关系，求出EM，MN，即可求用表示的l函数表达式；根据基本不等式和的范围得出的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22.若函数，．若函数为奇函数，求m的值；若函数在上是增函数，求实数m的取值范围；若函数在上的最小值为7，求实数m的值．【答案】解：函数为奇函数，，解得；，函数在上是增函数，当时，的对称轴为，由，即在递增；当时，的对称轴为，由，即在递增；当时，在递减，递增；当时，的对称轴为，若，可得在递增；在递减；若，可得在递增，综上可得，m的范围是；由可得时，在递增，可得，解得舍去，当时，在递减，递增，可得，解得，不符合条件，舍去；当，可得在递增；在递减，若，，，当，令，解得，成立；若，可令，解得，不符合条件，舍去；当，可得在递增，令，即，解得，不符合条件，舍去．综上可得m的值为或．【解析】由奇函数的性质可得，解方程可得m；讨论，，，，，，时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；由的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．。