如皋中学2018-2019高一上期末数学试题

2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A 【解析】【分析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得a 的值，进而求得A B È. 【详解】由于{}1A B?，故21,3a a -==，所以{}1,2B =，故{}0,1,2A B ?，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题. 2.【答案】C 【解析】【分析】直接利用扇形面积公式，计算得出结果. 【详解】由扇形面积公式得22112π612π223S R a =?创=.故选C. 【点睛】本小题主要考查扇形的面积公式，考查运算和求解能力，属于基础题. 3.【答案】A 【解析】【分析】利用偶次方根的被开方数为非负数和对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意得2030x x ì+?ïí->ïî，解得23x -?，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查两个集合的交集的求解.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果. 4.【答案】B 【解析】【分析】先求得12a b +与2a kb -，然后利用两个向量平行的坐标表示，列方程，解方程求得k 的值. 【详解】依题意152,22a b 骣琪+=琪桫，()()()22,22,322,23a kb k k k k -=-=--，由于两个向量平行，故()()52232202k k ?-?=，解得1k =-. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，包括加法和减法的坐标表示，考查两个向量平行的坐标表示，还考查了向量数乘的运算，属于基础题.对于两个向量()()1122,,,a x y b x y ==，()1212,a bx x yy ?北，()12,a x x l l l =，若两个向量平行，则有12210x y x y -=，若两个向量垂直，则有12120x x y y +=.5.【答案】D 【解析】【分析】先排除选项中的奇函数，再根据函数在()0,+?的单调性选出正确选项.【详解】A 选项函数是奇函数，首先排除.当0x >时，cos y x =有递增也有递减区间，C 选项不符合题意. 当0x >时，1222x x x y --===为减函数，B 选项不符合题意. 当0x >时，ln ln y x x ==为增函数，符合题意，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性.对于含有绝对值函数的单调性，可先令0x >，去掉绝对值，判断出0x >时的单调性，然后利用奇偶性得到0x <时的单调性. 6.【答案】B 【解析】【分析】直接利用夹角公式计算出两个向量的夹角余弦值，根据这个余弦值求得夹角的大小.【详解】设向量a b +与a b -的夹角为q ，故()()c o s a b a ba b a b q +?=+-22a b a b a b -=+-110a b a b-==+-.故两个向量的夹角为π2，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量,a b 的夹角公式为cos ,a ba b a b×=×，属于基础题.事实上，由于两个向量是单位向量，故以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，而a b +和a b -的几何意义是这个菱形的两条对角线，而菱形的对角线相互垂直，所以它们两者的数量积为零.也即题目给定的“夹角为π3”这个条件可以换成其它的值，结果还是一样的. 7.【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期，求得w 的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图像与性质，对四个选项进行逐一排除.【详解】依题意得2ππT w==，解得2w =，所以()1πsi n 223f x x 骣琪=+琪桫.由于π1ππ1sin 2sin π032332f 骣骣琪琪=?==琪琪桫桫，故π3x =是函数()f x 的零点，所以A 选项错误.当π12x =时，πππsin 2sin 11232骣琪?==琪桫，故π12x =是函数()f x 的对称轴，所以B 选项错误.由上述分析可知，当π12x =时，函数取得最大值，故C 选项错误. 函数()f x 的图像向右平移512p个单位，为15ππ1π1sin 2sin 2cos 22123222x x x 轾骣骣犏琪琪-+=-=-琪琪犏桫桫臌为偶函数，故D 选项正确. 【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图像变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置. 8.【答案】B 【解析】【分析】将22a b +=两边平方，化简后代入已知条件列方程，由此求得b .【详解】将22a b +=两边平方得，22442a a b b +?=，即244c o s 1352bb ++=，22220b b -+=，()220b -=，2b =.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量模的有关运算，考查平面向量数量积模的表示，属于基础题. 9.【答案】A 【解析】【分析】 利用诱导公式化简2πsin 3a 骣琪-琪桫，然后利用同角三角函数关系式求得三角函数的值. 【详解】依题意有2πππππsin sin cos cos 32666a a a a 骣骣骣骣琪琪琪琪-=+-=-=-琪琪琪琪桫桫桫桫，由于π2πa <<，故5ππ11π666a <-<，而π1sin 063a 骣琪-=>琪桫，故5πππ66a <-<，所以πcos 63a 骣琪-=-=-琪桫.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.在已知角的正弦值求余弦值的题目中，要注意根据角终边所在象限确定三角函数值的符号.10.【答案】C 【解析】【分析】 先求得()f g x 轾臌的表达式，根据函数的定义域以及单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知()()112ln 22f g x f x x x骣骣轾琪琪=-=-?琪琪臌桫桫，当2x ³时，12x-是减函数，故31222x ?<，由于ln y x =是单调递增函数，故13ln 2ln ,ln 22x 骣轹琪?-?ê琪?ê桫滕.属于选C. 【点睛】本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查函数的单调性以及值域的求法，属于中档题. 11.【答案】C 【解析】【分析】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故将()20192019,2f f 骣琪琪桫通过周期性转化为0x <内的自变量来求得函数值.【详解】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故()()201932019210041250422f f f f 骣骣琪琪+=?+?琪琪桫桫()312f f 骣琪=+琪桫，根据()()f x f x -=-以及()()11f x f x +=-，可得()312f f 骣琪+琪桫()1112f f骣琪=--++琪桫()1112f f 骣琪=--+-琪桫()112f f 骣琪=--+-琪桫112==.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性.对于有关年份的题目，往往可以利用周期性将较大的数，转化为已知解析式的范围来求解，属于中档题. 12.【答案】A 【解析】【分析】 画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像，同时画出y m =的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值. 【详解】画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像以及y m =的图像如下图所示，令πsin 16x 骣琪+=琪桫，解得π3x =，令πs i n 16x 骣琪+=-琪桫，解得4π3x =.由图像可知关于直线π3x =对称，23,x x 关于直线4π3x =对称，故122π3x x +=，238π3x x +=，所以1232π8π10π2333x x x ++=+=.【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【分析】 利用诱导公式，将330-转化为()0,90内的角来求得三角函数值.【详解】依题意得()()3cos 330cos 36030cos30-=-+==. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 14.【答案】32【解析】【分析】 由于BC AC AB =-，结合题目已知AB AC BC +=可知三角形为直角三角形，根据三角形的边长，求得相应的角度，由此求得题目所求的结果. 【详解】由于BC AC AB =-，故A B A CA C AB +=-，根据向量加法和减法的几何意义可知，以,AB AC为邻边的平行四边形的对角线相等，即这个四边形是矩形.故AB AC ^，根据题意1,3AB AC ==，故π6C?，所以π3cos62CA CB CA CB×=?. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15.【答案】-63p p或【解析】【分析】 将π3j +代入正切函数的对称中心，利用π2j <求得j 的值. 【详解】由于π,03骣琪琪桫是函数的对称中心，故πππ,π3223k k j j +==-，由于π2j <，故取0,1k =时，π6j =或π3j =-符合题意. 【点睛】本小题主要考查正切函数的对称性，属于基础题.正切函数tan y x =的对称中心是π,02k 骣琪琪桫，值的注意的是π,02骣琪琪桫虽然不在函数的图像像上，但它是正切函数的对称中心.16.【答案】()【解析】【分析】令()4f x x =，将问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点问题来解决.当1x £时，解()4f x x =求得函数有一个零点.当1x >时，化简()4f x x =，利用二次函数有两个零点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】令()4f x x =，问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点.当1x £时，由()4f x x =得6514x x -+=，解得35x =.故函数在1x >时，有两个根，由()4f x x =得3294x ax x x -+=，即()250x x ax -+=，由于1x >，故250x ax -+=在区间()1,+?上有两个零点，令()25h x xax =-+，依题意可得()220016002a h a a ìïD=->ïï=->íïï>ïî，解得()a Î.故a的取值范围是(). 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二次函数零点分布的解决方法.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）()2(2)6f x sin x p =-；（2）,33p p 轾-犏犏臌 【解析】【分析】（1）根据函数的最高点求得A 的值，根据图像得到函数的周期，并求得w 的值，代入点,23p骣琪琪桫求得j 的值.由此求得函数的解析式.（2）利用三角函数图像变换的知识求得()g x 的表达式，利用正弦函数的单调区间求得函数()g x 的所有递增区间，然后求得在给定区间5,36p p轾-犏犏臌上的单调增区间. 【详解】（1）依题意，22,4,2312A T p p pp w w 骣琪==-===琪桫，故()()22f x sin x j=+.将点,23p骣琪琪桫的坐标代入函数的解析式可得2sin 13pj 骣琪+=琪桫， 则()26k k Z p j p =-?，πj <又，故=6pj -， 故函数解析式为()226f x sin x p骣琪=-琪桫. （2）()2sin 6g x x p骣琪=+琪桫由22,262k x k k Z p p p p p -+???，得222,33k x k k Z p pp p -+＃+?又5,36x p p 轾?犏犏臌，所以33x pp-＃ 所以函数()g x 在5,36p p轾-犏犏臌上的增区间为,33p p 轾-犏犏臌 【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.利用三角函数图像求三角函数的解析式有三个关键点，一个是通过最值点得到A 的值；二个是通过图像上体现出来的函数的周期，求得w 的值，这个条件可能是两个对称轴间的距离，可能是两个零点的距离，也可能是零点和对称轴间的距离；三个是利用特殊点来求得j 的值. 18.【答案】（1）见解析；（2）2；（3）32【解析】【分析】 （1）由于CP 是三角形的中线，根据平行四边形法则，CP 是以,CA CB 为邻边的平行四边形的对角线的一半.（2）将（1）得到的式子两边平方，化简后可求得BC 的值.（3）利用（1）的结论，将所求式子变为()1•2CA CB CB +，展开后可求得相应的数量积. 【详解】(1) 因为P 是AB 的中点，所以()12CP CA CB =+.(2)因为22242?CP CA CA CB CB =++,21816CB CB =-+,所以2BC =.（3）()21113•••2222CP CB CA CB CB CA CB CB =+=+=. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查利用数量积求模，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）利用换元法，求得函数的解析式，再根据对数的真数大于零，列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）任取()12,2,2x x ?，且12x x <，通过计算()()120f x f x -<证得函数为增函数.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()log 2log 2a a f t t t =+-- 即()()()log 2log 2a a f x x x =+--，由2020x x ì+>ïí->ïî，解得22x -<< 所以()()()log 2log 2a a f x x x =+--，其定义域为()2,2-. （2）当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数. 证明如下：当1a >时，()()()2log 2log 2log 2a a a xf x x x x+=+--=- 设任意的()12,2,2x x ?，且12x x <，则()()()()()()12121212122222log log log 2222a a ax x x x f x f x x x x x +-++-=-=---+ ()()()1221122112124422log log 142222a x x x x x x x x x x x x 骣--+-琪==+琪+---+桫 因为1222x x -<<<，所以120x x -<，120x ->，220x +> 即()()()121241122x x x x -+<-+又因为1a >时，log a y x =在()0,+?上是增函数，所以()()()12124log 1022x x x x骣-琪+<琪-+桫，即()()12f x f x < 所以当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数.【点睛】本小题主要考查利用换元法求函数的解析式，考查函数定义域的求法，考查利用定义法证明函数的单调性.属于中档题. 20.【答案】（1）24sin 2156h t p p骣琪=-+琪桫，0t ³；（2）见解析 【解析】【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据O 距离水面的高度得到0P 点的坐标.利用三角函数来表示P 点的坐标，将角速度代入P 点的纵坐标，在加上2，可求得h 的表达式.（2）令0h >，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.【详解】（1）以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，()02P -则06P Oxp ?，所以以Ox 为始边，为OP 终边的角为6pq -, 故4cos ,4sin 66P p pq q 骣骣骣琪琪琪--琪琪琪桫桫桫点P 在t 秒内所转过的角q =215t p，所以24sin 2156h t p p 骣琪=-+琪桫，0t ³（2）令0h >，得21sin 1562t p p 骣琪->-琪桫，所以2722,61566k t k k Z p p p pp p -+<-<+? 即151015,k t k k Z <<+? 又015t＃，所以010t <<即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P 点离开水面.【点睛】本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 21.【答案】（1）2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z pp =+?；（2）()6,9- 【解析】【分析】（1）当9a =-，利用平方关系化简()f x 表达式后，利用十字相乘法求得函数的零点.（2）利用平方关系化简()f x 为只含sin x 的表达式，利用换元法，将函数变为二次函数，用分类讨论的方法讨论函数的最小值，根据最小值为正数，求得a 的取值范围.【详解】（1）当9a =-时，令()0f x =得22cos 9sin 60x x --+=因为22cos 1sin x x =-，所以22sin 9sin 40x x -+=即()()2sin 1sin 40x x --= 因为1sin 1x -＃，所以1sin 2x =因为x R Î，所以2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z p p =+?. （2）令sin t x =，则1,12t 轾?犏犏臌，函数()224h x t at =++，对称轴4a t =- 讨论①当142a -?即2a ³，()min 102g t g 骣琪=->琪桫得9a <，所以29a ?②当1124a -<-<即42a -<<，令()min 04a g t g 骣琪=->琪桫得a -＃42a -<< ③当14a -?即4a ?，令()()min 10g t g =>得6a >-，所以64a -<? 综上：为实数a 的取值范围为()6,9-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系，考查一元二次方程十字相乘法求零点，还考查了化归与转化的数学思想方法以及分类讨论的思想.在第二问中，现将余弦转化为正弦，然后利用换元法转化为二次函数，在根据二次函数的对称轴进行分类讨论，难度较大.22.【答案】（1）见解析；（2）344b -<?（3）见解析 【解析】【分析】（1）当1a b =-时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得出不等式的解集.（2）当21a b =-时，利用二次函数的对称轴、判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围.（3）当1a b =-时，构造函数设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，通过计算()()120g x g x ?，利用零点的存在性定理可证得方程在区间()12,x x 内有一个实根.【详解】（1）()()()2111f x x bx b x b x =-+-=-+- 当2b =时，x R Î；当2b >时，(][),11,x b ?ト-+?； 当2b <时，(][),11,x b ????.(2) ()221f x x bx b =-+-01因为()()21202010b f f ì-<<ïïïD?íï->ïï>î所以04b <? 02因为()()210f f -?，所以304b -<< 03当34b =-时，235042x x +-=解得125,24x x ==-符合题意 04当0b =时，210x -=解得121,1x x ==-符合题意综上，实数b的取值范围为344b -<? （3）设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，则 ()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=-臌臌， ()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=--臌臌， ()()()()2121229g x g x f x f x 轾?--臌 因为()()12f x f x ¹，所以()()120g x g x ?，又函数()g x 在区间[]12,x x 上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的的判定定理可得：()0g x =在()12,x x 内有一个实数根. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题，考查利用零点存在性定理证明存在零点的方法.属于中档题.。

2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}2,2B a =-，若{}1A B ?，则A B ?（ ）A. {}0,1,2B. {}1C. {}0,1,2,3D. {}1,22.已知扇形的圆心角为23p ，半径为6，则扇形的面积为（ ） A. 24p B. 2p C. 12p D. 4p3.函数2lg(3)y x x =+-的定义域为（ ）A. [2,3)-B. (3,)+?C. [2,3]-D. (,2]-?4.已知向量(1,1)a =v ，(2,3)b =v ，若向量12a b +v v 与2a kb -v v 平行，则实数k 的值为（ ）A. 2B. -1C. -2D. 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+?上单调递增的函数是（ ）A. 3y x =-B. 2x y -=C. cos y x =D. ln y x =6.已知1a b ==v v ，且a v 与b v 夹角为3p ，则向量a b +v v 与a b -v v 的夹角为（ ） A. 4p B. 2p C. p D. 0 7.设函数1()sin()(0)23f x x p w w =+>的最小正周期为p ，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的图像关于直线3x p =对称 B. 函数()f x 的图像关于点(,0)12p 对称 C. 函数()f x 在5(,)1212p p -上单调递减 D. 将函数()f x 的图像向右平移512p 个单位，得到的新函数是偶函数 8.已知向量,a b v v 夹角为0135，1a =v ，22a b +v v ，则b v 为（ ）A. 123 D. 39.若1sin()63p a -=，其中(,2)a p p Î，则2sin()3p a -的值为（ ） A. 223- B. 223 C. 13- D. 1310.已知函数()ln f x x =，1()2g x x=-，则函数[()]y f g x =，[2,)x ??的值域为（ ） A. (,ln 2)-? B. 3[ln ,)2+? C. 3[ln ,ln 2)2 D. 3(0,ln ]2 11.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()21x f x =-；当11x -＃时，()()f x f x -=-；当0x >时，(1)(1)f x f x +=-，则2019(2019)()2f f +的值为（ ） A. 212 B. 12 C. 212 D. 2112.已知函数()sin()6f x x m p=+-，7[0,]3x p Î有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ） A. 103p B. 4p C. 113p D. 不能确定 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.0cos(330)-的值为__________．14.在ABC D 中，若1AB =，3AC =AB AC BC +=u u u v u u u v u u u v ，则·CA CB CB=u u u v u u u v u u u v __________． 15.已知函数()tan()f x x j =+，2p j <的图像的一个对称中心为(,0)3p ，则j 的值为__________． 16.设函数2651,1()(9),1x x f x x x ax x ì-+?ï=í-+>ïî，若存在互不相等的3个实数123,,x x x ，使得312123()()()4f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()sin()f x A x w j =+(0,0,)A w f p >><，它的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移3p 个单位，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =，5[,]36x p p ?的单调递增区间. 18.在ABC D 中，P 是线段AB 的中点，已知322CP =u u u v ，4CA =u u u v ，1cos 8ACB ?-. （1）用向量,CA CB u u u v u u u v 表示向量CP u u u v； （2）求BC u u u v ；（3）求·CP CB u u u v u u u v .19.已知函数()f x 满足(1)log (3)log (1)a a f x x x +=+--，0a >且1a ¹.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）当1a >时，判断函数()f x 的单调性并给予证明.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度h （米）表示为时间t （秒）的函数； （2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？ 21.已知函数2()2cos sin 6f x x a x =-++，a 为常数. （1）当9a =-时，求函数()y f x =的零点； （2）当[,]62x p p ?，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围. 22.已知,a b 为常数，函数2()f x x bx a =-+. （1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x ³的解集； （2）当21a b =-时，若函数()f x 在(2,1)-上存在零点，求实数b 的取值范围； （3）当1a b =-时，对于给定的12,x x R Î，且12x x <，12()()f x f x ¹，证明：关于x 的方程121()[()2()]3f x f x f x =+在区间12(,)x x 内有一个实根.。

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…【解答】解：（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题考试范围：必修4(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分)1.sin(-2 055°)等于( )A.6-242+64C. D.2+642-642.若sin α>0且tan α<0,则的终边在( )α2A.第一象限B.第二象限C.第一象限或第三象限D.第三象限或第四象限3.若sin(π-α)=-,且α∈(π,),则sin(+α)等于( )533π2π2A.- B.5353C.- D.23234.已知D 是△ABC 所在平面内一点,=+,则( )→AD 713→AB 613→AC A.= B.=→BD 713→BC →BD 613→BC C.= D.=→BD 137→BC →BD 136→BC5.已知a 与b 的夹角为,a=(1,1),|b|=1,则b 在a 方向上的投影为( )π3A B..2262C. D.12326.函数f(x)=cos(x+)-cos(x-)是( )π4π4A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数7.已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )A. B. 710C. D.4138.若tan(π-α)=,α是第二象限角,则等于( )341sin π+α2·sin π-α2A. B.5910C. D.101099.已知α是锐角,a=(,sin α),b=(cos α,),且a∥b,则α为( )3413A.15° B.45°C.75°D.15°或75°10.已知函数y=sin (2x+)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+)的图象( )ϕπ6ϕA.关于点(,0)对称π6B.关于点(,0)对称π3C.关于直线x=对称π6D.关于直线x=对称π311.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,-<<)的部分图象如图所示,则ω,的值ϕπ2ϕπ2ϕ分别是( )A.2,-B.2,-π3π6C.4,-D.4,π6π312.将函数f(x)=2cos 2x-2sin xcos x-的图象向左平移t(t>0)个单位,所33得图象对应的函数为奇函数,则t 的最小值为( )A. B.2π3π3C. D. π2π6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知角α的终边过点(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(,π),则cos α=π214.已知向量a=(-2,3),b=(4,m),若(a+2b)∥(a-b),则实数m= . 15.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,π6π2且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称,x 0∈,则x 0= . [0,π2]16.如图,在矩形ABCD 中,AB=,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,2若·=,则·的值是 .→AB →AF 2→AE →BF三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(1)设tan α=-,求的值;121sin 2α-sinαcosα-2cos 2α(2)已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,求cos(15°-α)的值.1318.(本小题满分10分)已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).→OA →OB 3→OC →OA →OB (1)求·,在上的投影;→OA →OB →OA →OB (2)证明A,B,C 三点共线,并在=时,求λ的值;→AB →BC (3)求||的最小值.→OC 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos(2x-)+sin 2x-cos 2x+.π32(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m 的取值范围.π12π3220.(本小题满分12分)已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(,2π),3π2且a⊥b.(1)求tan α的值;(2)求cos(+)的值.α2π321.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)在一个周期内的图象如图所示.ϕϕπ2(1)求函数的解析式;(2)设0<x<π,且方程f(x)=m 有两个不同的实数根,求实数m 的取值范围以及这两个根的和.22.(本小题满分14分)已知向量a=(-sin ,1),b=(1,cos +2),函数f(x)=a·b.3x 2x 232(1)求函数f(x)在x∈[-π,]的单调减区间;5π3(2)当x∈[,π]时,若f(x)=2,求cos 的值.π3x 2。

2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}2,2B a =-，若{}1A B ?，则A B ?（ ）A. {}0,1,2B. {}1C. {}0,1,2,3D. {}1,22.已知扇形的圆心角为23p，半径为6，则扇形的面积为（ ）A. 24pB. 2pC. 12pD. 4p3.函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A. [2,3)-B. (3,)+?C. [2,3]-D. (,2]-?4.已知向量(1,1)a =，(2,3)b =，若向量12a b +与2a kb -平行，则实数k 的值为（） A. 2 B. -1 C. -2 D. 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+?上单调递增的函数是（ ）A. 3y x =-B. 2x y -=C. cos y x =D. ln y x =6.已知1a b ==，且a 与b 夹角为3p，则向量a b +与a b -的夹角为（ ）A. 4pB. 2pC. pD. 07.设函数1()sin()(0)23f x x pw w =+>的最小正周期为p ，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图像关于直线3x p=对称 B. 函数()f x 的图像关于点(,0)12p对称 C. 函数()f x 在5(,)1212p p-上单调递减 D. 将函数()f x 的图像向右平移512p 个单位，得到的新函数是偶函数8.已知向量,a b 夹角为0135，1a =，22a b +=，则b 为（ ）A. 1D. 39.若1sin()63p a -=，其中(,2)a p p Î，则2sin()3p a -的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D. 1310.已知函数()ln f x x =，1()2g x x=-，则函数[()]y f g x =，[2,)x ??的值域为（ ） A. (,ln 2)-? B. 3[ln ,)2+? C. 3[ln ,ln 2)2 D. 3(0,ln ]2 11.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()21x f x =-；当11x -＃时，()()f x f x -=-；当0x >时，(1)(1)f x f x +=-，则2019(2019)()2f f +的值为（ ）A. 12B. 12C. 12D. 112.已知函数()sin()6f x x m p=+-，7[0,]3x p Î有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ） A. 103p B. 4p C. 113p D. 不能确定 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.0cos(330)-的值为__________．14.在ABC D 中，若1AB =，AC =AB AC BC +=，则·CA CBCB =__________．15.已知函数()tan()f x x j =+，2p j <的图像的一个对称中心为(,0)3p ，则j 的值为__________． 16.设函数2651,1()(9),1x x f x x x ax x ì-+?ï=í-+>ïî，若存在互不相等的3个实数123,,x x x ，使得312123()()()4f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()sin()f x A x w j =+(0,0,)A w f p >><，它的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移3p 个单位，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =，5[,]36x p p ?的单调递增区间.18.在ABC D 中，P 是线段AB 的中点，已知32CP =4CA =，1cos 8ACB ?-. （1）用向量,CA CB 表示向量CP ；（2）求BC ；（3）求·CP CB .19.已知函数()f x 满足(1)log (3)log (1)a a f x x x +=+--，0a >且1a ¹.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）当1a >时，判断函数()f x 的单调性并给予证明.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度h （米）表示为时间t （秒）的函数；（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？21.已知函数2()2cos sin 6f x x a x =-++，a 为常数. （1）当9a =-时，求函数()y f x =的零点；（2）当[,]62x p p ?，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围.22.已知,a b 为常数，函数2()f x x bx a =-+. （1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x ³的解集；（2）当21a b =-时，若函数()f x 在(2,1)-上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）当1a b =-时，对于给定的12,x x R Î，且12x x <，12()()f x f x ¹，证明：关于x 的方程121()[()2()]3f x f x f x =+在区间12(,)x x 内有一个实根.。

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）质检数学试卷（三）（12月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{0, 1}，B ＝{a −2, 2}，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝（ ） A.{0, 1, 2} B.{1} C.{0, 1, 2, 3} D.{1, 2}2. 已知扇形的圆心角为2π3，半径为6，则扇形的面积为（ ） A.24π B.2π C.12π D.4π3. 函数y =√x +2+lg (3−x)的定义域为（ ） A.[−2, 3) B.(3, +∞)C.[−2, 3]D.(−∞, −2]4. 已知向量a →=(1, 1)，b →=(2, 3)，若向量a →+12b →与2a →−kb →平行，则实数k 的值为（ ）A.2B.−1C.−2D.15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0, +∞)上单调递增的函数是（ ） A.y ＝−x 3 B.y ＝2−|x|C.y ＝cos xD.y ＝ln |x|6. 已知|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为π3，则向量a →+b →与a →−b →的夹角为（ ） A.π4 B.π2C.πD.07. 设函数f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）A.函数f(x)的图象关于直线x =π3对称B.函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称 C.函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D.将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是偶函数8. 已知向量a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，|2a →+b →|=√2，则|b →|为（ ） A.1 B.√2 C.√3 D.39. 若sin (α−π6)=13，其中α∈(π, 2π)，则sin (2π3−α)的值为（ ）A.−2√23B.2√23C.13 D.−1310. 已知函数f(x)＝ln x ，g(x)=2−1x ，则函数y ＝f[g(x)]，x ∈[2, +∞)的值域为（ ）A.(−∞, ln 2)B.[ln 32,+∞)C.[ln 32,ln 2)D.(0,ln 32]11. 已知函数f(x)的定义域为R ，当x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)；当x >0时，f(x +1)＝f(x −1)，则f(2019)+f(20192)的值为（ ）A.√2+12B.12C.√2−12D.√2−112. 已知函数f(x)=sin (x +π6)−m ，x ∈[0,7π3]有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1+2x 2+x 3的值为（ ） A.10π3B.4πC.11π3D.不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）cos (−330∘)的值为________．在△ABC 中，若AB ＝1，AC =√3，|AB →+AC →|＝|BC →|，则CA →⋅CB →|CB →|=________．已知函数f(x)＝tan (x +φ)，|φ|<π2的图象的一个对称中心为(π3,0)，则φ的值为________．设函数f(x)={|6x −5|+1,x ≤1x(x 2−ax +9),x >1 ，若存在互不相等的3个实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=4，则实数a 的取值范围为________√5<a <6 ．三、解答题（本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |ϕ|<π)，它的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数y ＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)，x ∈[−π3,5π6]的单调递增区间．在△ABC 中，P 是线段AB 的中点，已知|CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18．（1）用向量CA →，CB →表示向量CP →；（2）求|BC →|；（3）求CP →⋅CB →．已知函数f(x)满足f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)，a >0且a ≠1． （1）求函数f(x)的解析式及定义域；（2）当a >1时，判断函数f(x)的单调性并给予证明．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点P 0）开始计算时间．（1）将点P 距离水面的高度ℎ（米）表示为时间t （秒）的函数；（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？已知函数f(x)＝−2cos 2x +a sin x +6，a 为常数． （1）当a ＝−9时，求函数y ＝f(x)的零点；（2）当x ∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0，求实数a 的取值范围．已知a ，b 为常数，函数f(x)＝x 2−bx +a ．（1）当a ＝b −1时，求关于x 的不等式f(x)≥0的解集；（2）当a ＝2b −1时，若函数f(x)在(−2, 1)上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）当a ＝b −1时，对于给定的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明：关于x 的方程f(x)=13[f(x 1)+2f(x 2)]在区间(x 1, x 2)内有一个实根．参考答案与试题解析2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）质检数学试卷（三）（12月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】 并集及其运算 【解析】根据A ∩B ＝{1}即可得出B ＝{1, 2}，然后进行并集的运算即可． 【解答】∵ A ∩B ＝{1}； ∴ 1∈B ； ∴ a −2＝1； ∴ B ＝{1, 2}；∴ A ∪B ＝{0, 1, 2}． 2. 【答案】 C【考点】 扇形面积公式 【解析】利用扇形的弧长、面积公式，即可得出结论． 【解答】∵ 一扇形的圆心角为2π3，半径为6，∴ l =2π3×6＝4π，∴ S =12×4π×6＝12π． 3. 【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【解答】由{x +2≥03−x >0，解得−2≤x <3． ∴ 函数y =√x +2+lg (3−x)的定义域为[−2, 3)． 4.【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】先求出向量a →+12b →与2a →−kb →的坐标，再根据向量a →+12b →与2a →−kb →平行，两个向量共线的性质，求得k 的值． 【解答】∵ 向量a →=(1, 1)，b →=(2, 3)，若向量a →+12b →=(2, 52)，2a →−kb →=( 2−2k, 2−3k)， 又 向量a →+12b →与2a →−kb →平行，∴ 2(2−3k)−52⋅(2−2k)＝0，∴ k ＝−1， 5. 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易看出选项A 的函数为奇函数，选项B ，C 的函数在(0, +∞)上都不单调递增，从而得出选项A ，B ，C 都错误，只能选D ． 【解答】A ．y ＝−x 3是奇函数； ∴ 该选项错误；B ．y ＝2−|x|在(0, +∞)上单调递减； ∴ 该选项错误；C ．y ＝cos x 在(0, +∞)上没有单调性； ∴ 该选项错误；D ．y ＝ln |x|是偶函数，且在(0, +∞)上单调递增； ∴ 该选项正确． 6. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意计算(a →+b →)(a →−b →)＝0，得出a →+b →与a →−b →的夹角为π2． 【解答】由|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为π3， 则(a →+b →)(a →−b →)=a →2−b →2=1−1＝0，所以向量a →+b →与a →−b →的夹角为π2． 7.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，可求ω，然后根据正弦函数法性质即可进行求解． 【解答】∵ f(x)=12sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π， ∴ ω＝2，f(x)=12sin (2x +13π)，由于f(13π)=12sin π=0，根据正弦函数在对称轴处取得最值，故A 错误；由于f(π12)=12sin 12π=12，根据正弦函数对称中心处取得函数值0可知B 错误；令−12π+2kπ≤2x +13π≤12π+2kπ可得，−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ，k ∈Z 可知函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递增，C 错误；将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是g(x)＝sin (2x −12π)=−12cos 2x 为偶函数．D 正确 8. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，对|2a →+b →|=√2两边平方即可得出|b →|2−2√2|b →|+2=0，解出|b →|即可． 【解答】∵ a →，b →夹角为135∘，|a →|＝1，|2a →+b →|=√2；∴ (2a →+b →)2=4a →2+4a →⋅b →+b →2=4−2√2|b →|+|b →|2=2； ∴ |b →|2−2√2|b →|+2=0；∴ |b →|=√2． 9. 【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin (2π3−α)＝cos (α−π6)的值． 【解答】∵ α∈(π, 2π)，∴ α−π6∈(5π6, 11π6)，又 sin (α−π6)=13，∴ α−π6∈(5π6, π)，∴ cos (α−π6)=−√1−sin 2(α−π6)=−2√23．则sin (2π3−α)＝cos (2π3−α−π2)＝cos (α−π6)=−2√23， 10.【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】由x 的范围求得g(x)的范围，再由对数函数的单调性求解． 【解答】∵ x ∈[2, +∞), ∴ 1x∈(0, 12]，则g(x)∈[32, 2)．令t ＝g(x)，则y ＝f[g(x)]＝f(t)＝ln t ，t ∈[32, 2)． ∴ y ∈[ln 32, ln 2)．11.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据xx >0时，f(x +1)＝f(x −1)即可得出f(x +2)＝f(x)，即得出f(x)在(0, +∞)上的周期为2，再根据当x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)即可求出f(2019)=12,f(20192)=√22−1，从而求出答案． 【解答】∴ f(x +2)＝f(x)(1)∴ f(x)在(0, +∞)上的周期为2(2)又x <0时，f(x)＝2x −1；当−1≤x ≤1时，f(−x)＝−f(x)(3)∴ f(2019)＝f(1+1009×2)＝f(1)=−f(−1)=−(2−1−1)=12，f(20192)=f(1009+12)=f(−12+1010)=f(−12)=2−12−1=√22−1(4)∴ f(2019)+f(20192)=12+√22−1=√2−12． 故选：C ．12.【答案】A【考点】三角函数的最值正弦函数的图象【解析】令f(x)=sin(x+π6)−m=0，则sin(x+π6)=m，由条件知函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点，然后根据函数的图象的对称性可得结果．【解答】令f(x)=sin(x+π6)−m=0，则sin(x+π6)=m，∵函数y=sin(x+π6)的对称轴为x=π3+kπ，k∈Z，s∴当x∈[0,7π3]时，x=π3或x=4π3．∵函数f(x)=sin(x+π6)−m，x∈[0,7π3]有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，∴函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点，∴由函数y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上的图象知当y=sin(x+π6)与函数y＝m在[0,7π3]上有三个交点时，x1+x22=π3，x2+x32=4π3，∴x1+2x2+x3=2π3+8π3=10π3．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】√32【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．【解答】cos(−330∘)＝cos(−360∘+30∘)＝cos30∘=√32．【答案】32【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】可知BC→=AC→−AB→，从而得出|AB→+AC→|=|AC→−AB→|，两边平方即可得出AB→⋅AC→=0，这样对|AB→+AC→|= |BC→|两边平方即可得出|CB→|=2，也可求出CA→⋅CB→=CA→⋅(CA→+AB→)=3，从而求出CA→⋅CB→|CB→|=32．【解答】∵BC→=AC→−AB→；∴|AB→+AC→|=|AC→−AB→|；∴(|AB→+AC→|)2=(|AC→−AB→|)2；∴2AB→⋅AC→=−2AB→⋅AC→；∴AB→⋅AC→=0；∴(|AB→+AC→|)2=|BC→|2，且AB=1,AC=√3；∴|BC→|2=4；∴|BC→|=2；又CA→⋅CB→=CA→⋅(CA→+AB→)=CA→2−AB→⋅AC→=3；∴CA→⋅CB→|CB→|=32．【答案】−π3或π6【考点】正切函数的奇偶性与对称性【解析】由题意可得π3+φ=kπ2，k∈Z，结合φ的范围取k值得答案．【解答】∵函数f(x)＝tan(x+φ)的图象的一个对称中心为(π3,0)，∴π3+φ=kπ2，k∈Z，则φ=−π3+kπ2，k∈Z．又|φ|<π2，取k＝0，得φ=−π3；取k＝1，得φ=π6．∴φ的值为−π3或π6．【答案】2【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得f(x)＝4x有3个不同实根，讨论x≤1时，x>1时，由解方程和二次方程实根的分布，解不等式即可得到所求范围．【解答】由题意可得f(x)＝4x有3个不同实根，当x≤1时，|6x−5|+1＝4x，解得x＝0.6（2舍去），当x>1时，x(x2−ax+9)＝4x即x2−ax+5＝0有两个不等的大于1的实根，即有a2−4×5>0，且a2>1，且1−a+5>0，解得2√5<a<6，三、解答题（本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】由图可知，A＝2，T4=π3−π12=π4，则T＝π，∴ω＝2，由2×π12+φ＝0，得φ=−π6．∴f(x)＝2sin(2x−π6)；将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得y＝2sin(x−π6)，再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)＝2sin(x+π6)，由−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z．取k＝0，可得−2π3≤x≤π3，∴函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间为[−π3,π3]．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由图象可得A，T，进一步求得ω，再由五点作图的第一点求φ，则函数解析式可求；（2）利用函数的伸缩变换与平移变换求得y＝g(x)的解析式，再由复合函数的单调性求函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间．【解答】由图可知，A＝2，T4=π3−π12=π4，则T＝π，∴ω＝2，由2×π12+φ＝0，得φ=−π6．∴f(x)＝2sin(2x−π6)；将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得y＝2sin(x−π6)，再将得到的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)＝2sin(x+π6)，由−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z．取k＝0，可得−2π3≤x≤π3，∴函数y＝g(x)在x∈[−π3,5π6]上的单调递增区间为[−π3,π3]．【答案】如图，P是线段AB的中点；∴CP→=12(CA→+CB→)；∵|CP→|=3√22，|CA→|＝4，cos∠ACB=−18；∴CP→2=14(CA→2+2|CA→||CB→|cos∠ACB+CB→2)=14(16−|CB→|+|CB→|2)=92；∴|CB→|2−|CB→|−2=0；解得|CB→|=2或|CB→|=−1（舍去）；CP →⋅CB →=12(CA →+CB →)⋅CB →=12CA →⋅CB →+12CB →2 =1|CA →||CB →|cos ∠ACB +1CB →2 =12×4×2×(−18)+12×4 =32．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据P 是边AB 的中点即可得出CP →=12(CA →+CB →)；（2）根据|CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18对CP →=12(CA →+CB →)两边平方，进行数量积的运算即可求出|BC →|=2；（3）将CP →=12(CA →+CB →)带入CP →⋅CB →并进行数量积的运算即可． 【解答】如图，P 是线段AB 的中点；∴ CP →=12(CA →+CB →)；∵ |CP →|=3√22，|CA →|＝4，cos ∠ACB =−18；∴ CP →2=14(CA →2+2|CA →||CB →|cos ∠ACB +CB →2)=14(16−|CB →|+|CB →|2)=92； ∴ |CB →|2−|CB →|−2=0；解得|CB →|=2或|CB →|=−1（舍去）；CP →⋅CB →=12(CA →+CB →)⋅CB →=12CA →⋅CB →+12CB →2 =12|CA →||CB →|cos ∠ACB +12CB →2 =12×4×2×(−18)+12×4 =32．【答案】∵ f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)； ∴ f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)； 解{x +2>02−x >0得，−2<x <2； ∴ f(x)的定义域为(−2, 2)；a >1时，f(x)是增函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(−2, 2)，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)＝log a (x 1+2)−log a (2−x 1)−log a (x 2+2)+log a (2−x 2) ＝[log a (x 1+2)−log a (x 2+2)]+[log a (2−x 2)−log a (2−x 1)]； ∵ x 1<x 2；∴ x 1+2<x 2+2，2−x 2<2−x 1； 又a >1；∴ log a (x 1+2)<log a (x 2+2)，log a (2−x 2)<log a (2−x 1)； ∴ log a (x 1+2)−log a (x 2+2)<0，log a (2−x 2)<log a (2−x 1)； ∴ f(x 1)<f(x 2)；∴ f(x)在(−2, 2)上是增函数． 【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)，把x 换上x −1即可得出f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)，而解{x +2>02−x >0即可求出f(x)的定义域； （2）根据对数函数的单调性即可判断a >1时，f(x)是增函数，根据增函数的定义证明：在f(x)的定义域上任取x 1，x 2，并设x 1<x 2，然后作差，根据对数函数的单调性说明f(x 1)<f(x 2)即可． 【解答】∵ f(x +1)＝log a (3+x)−log a (1−x)； ∴ f(x)＝log a (x +2)−log a (2−x)； 解{x +2>02−x >0得，−2<x <2； ∴ f(x)的定义域为(−2, 2)；a >1时，f(x)是增函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(−2, 2)，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)＝log a (x 1+2)−log a (2−x 1)−log a (x 2+2)+log a (2−x 2) ＝[log a (x 1+2)−log a (x 2+2)]+[log a (2−x 2)−log a (2−x 1)]； ∵ x 1<x 2；∴ x 1+2<x 2+2，2−x 2<2−x 1；又a>1；∴loga (x1+2)<loga(x2+2)，loga(2−x2)<loga(2−x1)；∴loga (x1+2)−loga(x2+2)<0，loga(2−x2)<loga(2−x1)；∴f(x1)<f(x2)；∴f(x)在(−2, 2)上是增函数．【答案】以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，P0(2√3,−2)则∠P0Ox=π6，所以以Ox为始边，为OP终边的角为θ−π6，故P(4cos(θ−π6),4sin(θ−π6))点P在t秒内所转过的角θ=2π15t，所以ℎ=4sin(2π15t−π6)+2，t≥0令ℎ>0，得sin(2π15t−π6)>−12，所以−π6+2kπ<2π15t−π6<7π6+2kπ,k∈Z即15k<t<10+15k，k∈Z又0≤t≤15，所以0<t<10即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P点离开水面．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系．根据O距离水面的高度得到P0点的坐标．利用三角函数来表示P点的坐标，将角速度代入P点的纵坐标，在加上2，可求得ℎ的表达式．（2）令ℎ>0，通过解三角不等式可求得离开水面的时间．【解答】以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，P0(2√3,−2)则∠P0Ox=π6，所以以Ox为始边，为OP终边的角为θ−π6，故P(4cos(θ−π6),4sin(θ−π6))点P在t秒内所转过的角θ=2π15t，所以ℎ=4sin(2π15t−π6)+2，t≥0令ℎ>0，得sin(2π15t−π6)>−12，所以−π6+2kπ<2π15t−π6<7π6+2kπ,k∈Z即15k<t<10+15k，k∈Z又0≤t≤15，所以0<t<10即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P点离开水面．【答案】f(x)＝−2cos2x+a sin x+6＝2sin2x+a sin x+4，当a＝−9时，f(x)＝2sin2x−9sin x+4＝(2sin x−1)(sin x−4)，令f(x)＝0，则sin x=12或sin x＝4（舍），∴x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ,k∈Z，∴y＝f(x)的零点为π6+2kπ或5π6+2kπ,k∈Z；∵当x∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0等价于f(x)min>0在当x∈[−π6,π2]上成立．令t＝sin x，∵x∈[−π6,π2]，∴t＝sin x∈[−12,1]，∴f(t)＝2t2+at+4，∴f(t)的对称轴为x=−a2，∴当−a2≥1，即a≤−2时，f(x)在[−12,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a+6>0，∴a>−6，∴−6<a≤−2；当−12≥−a2，即a≥1时，f(x)在[−12,1]上单调递增，∴f(x)min=f(−12)=92−a2>0，∴a<9，∴1≤a<9；当−12<−a2<1，即−2<a<1时，f(x)在(−12,−a2)上单调递减，在(−a2,1)上单调递增，∴f(x)min=f(−a2)=4>0恒成立，∴−2<a<1综上，a的取值范围为(−6, 9)．【考点】三角函数的最值【解析】（1）当a＝−9时，f(x)＝2sin2x−9sin x+4＝(2sin x−1)(sin x−4)，然后令f(x)＝0，解出方程即可；（2）令t＝sin x，则f(t)＝2t2+at+4，然后根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】f(x)＝−2cos2x+a sin x+6＝2sin2x+a sin x+4，当a ＝−9时，f(x)＝2sin 2x −9sin x +4＝(2sin x −1)(sin x −4)， 令f(x)＝0，则sin x =12或sin x ＝4（舍）， ∴ x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ,k ∈Z ，∴ y ＝f(x)的零点为π6+2kπ或5π6+2kπ,k ∈Z ；∵ 当x ∈[−π6,π2]，恒有f(x)>0等价于f(x)min >0在当x ∈[−π6,π2]上成立． 令t ＝sin x ，∵ x ∈[−π6,π2]，∴ t ＝sin x ∈[−12,1]， ∴ f(t)＝2t 2+at +4，∴ f(t)的对称轴为x =−a2， ∴ 当−a2≥1，即a ≤−2时，f(x)在[−12,1]上单调递减， ∴ f(x)min ＝f(1)＝a +6>0，∴ a >−6，∴ −6<a ≤−2； 当−12≥−a2，即a ≥1时，f(x)在[−12,1]上单调递增， ∴ f(x)min =f(−12)=92−a2>0，∴ a <9，∴ 1≤a <9；当−12<−a2<1，即−2<a <1时，f(x)在(−12,−a2)上单调递减，在(−a2,1)上单调递增， ∴ f(x)min =f(−a2)=4>0恒成立，∴ −2<a <1综上，a 的取值范围为(−6, 9)．【答案】f(x)＝x 2−bx +b −1＝(x −b +1)(x −1)， 当b ＝2时，x ∈R ；当b >2时，x ∈(−∞, 1]∪[b −1, +∞)； 当b <2时，x ∈(−∞, b −1]∪[1, +∞)； f(x)＝x 2−bx +2b −1，①因为{−2<b2<1△≥0f(−2)>0f(1)>0 ，所以0<b ≤4−2√3； ②因为f(−2)f(1)<0，所以−34<b <0；③当b =−34时，x 2+34x −52=0，解得x 1=54,x 2=−2符合题意； ④当b ＝0时，x 2−1＝0解得x 1＝−1，x 2＝1符合题意； 综上所述，实数b 的取值范围为(−34,4−2√3]；证明：设g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，则g(x 1)=f(x 1)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=23[f(x 1)−f(x 2)]，g(x 2)=f(x 2)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=−13[f(x 1)−f(x 2)]，∴ g(x 1)g(x 2)=−29[f(x 1)−f(x 2)]2，∵ f(x 1)≠f(x 2)，∴ g(x 1)g(x 2)<0，又函数g(x)在区间(x 1, x 2)上为连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得g(x)＝0在区间(x 1, x 2)内有一个实根．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）当a ＝b −1时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得到不等式的解集；（2）当a ＝2b −1时，利用二次函数的对称轴，判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围；（3）当a ＝b −1时，构造函数g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，利用零点的存在性定理可证得方程在区间(x 1, x 2)内有一个实根． 【解答】f(x)＝x 2−bx +b −1＝(x −b +1)(x −1)， 当b ＝2时，x ∈R ；当b >2时，x ∈(−∞, 1]∪[b −1, +∞)； 当b <2时，x ∈(−∞, b −1]∪[1, +∞)； f(x)＝x 2−bx +2b −1，①因为{−2<b2<1△≥0f(−2)>0f(1)>0 ，所以0<b ≤4−2√3； ②因为f(−2)f(1)<0，所以−34<b <0；③当b =−34时，x 2+34x −52=0，解得x 1=54,x 2=−2符合题意； ④当b ＝0时，x 2−1＝0解得x 1＝−1，x 2＝1符合题意； 综上所述，实数b 的取值范围为(−34,4−2√3]；证明：设g(x)=f(x)−13[f(x 1)+2f(x 2)]，则g(x 1)=f(x 1)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=23[f(x 1)−f(x 2)]， g(x 2)=f(x 2)−13[f(x 1)+2f(x 2)]=−13[f(x 1)−f(x 2)]， ∴ g(x 1)g(x 2)=−29[f(x 1)−f(x 2)]2，∵ f(x 1)≠f(x 2)， ∴ g(x 1)g(x 2)<0，又函数g(x)在区间(x 1, x 2)上为连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得g(x)＝0在区间(x 1, x 2)内有一个实根．。

江苏省如皋中学2018--2019高一上数学练习三一、填空题1.已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为___________.2.已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，则集合B= .3.如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是______.4.已知函数()=f x ,则m 的取值范围是_____.5.函数y =的定义域为_____________.6.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x -2x =, 则()x f 在0<x 时的解析式是_____.7.若函数 f (x )=(K -2)x 2+(K -1)x +3是偶函数，则f (x )的递减区间是 .8.已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为_____________.9.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 ____人.10. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是（1）2()1,()1x f x x g x x=-=- （2）()21,()21f x x g x x =-=+ （3）2(),()f x x g x ==（4）0()1,()f x g x x ==11.若函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是____________.12. 在函数22, 1, 122, 2x x y x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()1f x =，则x 的值是______________.13. 已知x ∈[0,1],则函数y =x x --+12的值域是 .14. 若()x f 是奇函数，且在区间()0,∞-上是单调增函数，又0)2(=f ，则()0xf x <的解集为 .二、解答题 15. 已知集合A={}37x x ≤≤，B={x|2<x<10}，C={x | x<a }，全集为实数集R.(1) 求A ∪B ，(C R A)∩B ；(2) 如果A ∩C ≠φ，求a 的取值范围。

2018～2019学年度如皋高三年级第一学期期末教学质量调研数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合 A＝{2＋a2，a}，B＝{0，1，3}，且A⊆B，则实数 a 的值是___．2.已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z的模为___．3.为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为_________.4.执行下边的伪代码，输出的结果是_______．5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则a的值为______．6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率是________.7.设实数x，y满足约束条件则的最大值是________．8.已知是等比数列的前n项和，若成等差数列，且则正整数k的值是_________.9.如图，在正三棱柱中，若,点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为___________.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为_______．11.已知正实数x，y满足，则的最小值是_______．12.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC∥AD，若＝－1，则＝________．13.已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．14.在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求证：AE∥平面PBC．16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，，x∈R，其部分图象如图所示．（1）求函数y＝f(x)的解析式；（2）若，，求cos2α的值．17.一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R分别在圆弧AC，BD上，P，Q 在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．18.如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，，求k2·(k1－) 的值．19.已知函数，其中．（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）设函数．①求函数的单调区间；②若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围．20.已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．。

2018-2019学度南通如皋高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁UA＝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为、7、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为、9、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是、〔〕【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、2016－2017学年江苏省南通市如皋市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁A＝｛2｝、U【解答】解：全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，A＝｛2｝、那么∁U故答案为：｛2｝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝3、【解答】解：由题意可得：最小正周期T＝＝，解得：ω＝3、故答案为：3、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、【解答】解：设幂函数的解析式为y＝xα，其函数图象过点〔2，4〕，那么4＝2α，解得α＝2，所以y＝x2，所以函数y的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、故答案为：〔﹣∞，0〕、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为4、【解答】解：∵f〔x〕＝，∴f〔﹣〕＝2＝2＝2，f【f〔﹣〕】＝f〔2〕＝22＝4、故答案为：4、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、【解答】解：∵⊥，∴•＝sinB＋cosB＝0⇒tanB＝﹣1，∵B∈〔0，π〕，∴B＝、故答案为：、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为0、【解答】解：原式＝log281×log41＝0，故答案为：07、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、【解答】解：图象向左平移得到f〔x＋〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∴g〔x〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∵g〔x〕为偶函数，因此＋φ＝kπ＋，又0《φ《π，故φ＝、故答案为：、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为1、【解答】解：f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，∴，解得m＝1故答案为：19、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、【解答】解：∵sin〔α﹣〕＝，∴sin〔2α＋〕＝cos【﹣〔2α＋〕】＝cos〔2α〕＝cos【2〔α﹣〕】＝1﹣2sin2〔α﹣〕＝1﹣2×〔〕2＝、故答案为：、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为3、【解答】解：∵sin〔α＋β〕＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin〔α﹣β〕＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，那么＝＝＝3，故答案为：3、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、【解答】解：由题意可得，α＋θ＝，tanα＝4，∴tan〔α＋θ〕＝﹣1，即＝﹣1，即＝﹣1，求得tanθ＝，故答案为：、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是0《a《1或1《a《2、【解答】解：由题意，关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么f〔x〕＝a2﹣2a有三个不同的交点，∵f〔x〕＝，∴﹣1《a2﹣2a《0，∴0《a《1或1《a《2，故答案为0《a《1或1《a《2、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝π、【解答】解：由题意，M，N关于点〔，0〕对称，∴｜＋｜＝2×＝π，故答案为π、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是【﹣，】、〔〕【解答】解：设＝，，∴，；那么•＝＋＝，当λ＝0时，f〔λ〕＝最大为，当时，f〔λ〕＝最小为﹣；那么•的取值范围是【﹣，】，故答案为：【﹣，】，【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、【解答】解：〔1〕由f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋可得，x﹣1》0且2﹣x≥0，解得1《x≤2，故A＝｛x｜1《x≤2｝；…〔2分〕假设a＝，那么y＝2x＋，当x≤0时，0《2x≤1，《2x＋≤，故B＝｛y｜《y≤｝；…〔5分〕所以A∪B＝｛x｜1《x≤｝、…〔7分〕〔2〕当x≤0时，0《2x≤1，a《2x＋a≤a＋1，故B＝｛y｜a《y≤a＋1｝，…〔9分〕因为A∩B＝∅，A＝｛x｜1《x≤2｝，所以a≥2或a＋1≤1，…〔12分〕即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0、…〔14分〕16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、【解答】〔此题总分值为14分〕解：〔1〕据函数y＝f〔x〕的解析式及其图象可知A＝2，…〔2分〕且T＝﹣〔﹣〕＝π，其中T为函数y＝f〔x〕的最小正周期，故T＝2π，…〔4分〕所以＝2π，解得ω＝1，所以f〔x〕＝2sin〔x﹣〕、…〔6分〕〔2〕由f〔α＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sinα＝，因为α∈〔0，〕，所以cos＝＝、…〔8分〕由f〔β＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sin〔x＋〕＝，故cosβ＝，因为β∈〔0，〕，所以sin＝，…〔10分〕于是cos〔α＋β〕＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×﹣×＝、…〔12分〕因为α，β∈〔0，〕，所以α＋β∈〔0，π〕，所以α＋β＝、…〔14分〕17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、【解答】解：〔1〕因为｜＋｜＝2，所以｜＋｜2＝4、即以2＋2＋2•＝4、，…〔2分〕又｜｜＝1，｜｜＝m，所以、…〔3分〕由｜＋2｜＝3，所以所以｜＋2｜2＝9、即以2＋42＋4•＝9，所以1＋4×＋4m2＝9，解得m＝±1，…〔6分〕又｜｜≥0，所以m＝1、…〔7分〕〔2〕因为，｜｜＝1，｜｜＝m，所以｜﹣｜2＝2＋2﹣2•＝1﹣2×＋m2＝2m2﹣2，｜﹣｜＝、…〔9分〕又因为＋与﹣的夹角为，所以〔＋〕•〔﹣〕＝以2﹣2＝｜＋｜×｜﹣｜cos即，所以1﹣m2＝2×，解得m＝±，…〔13分〕又｜｜≥0，所以m＝、…〔14分〕18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、【解答】解：〔1〕过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA、在Rt△MAN中，sinθ＝＝，故NA＝2sinθ，在Rt△PND中，∠PND＝θ，sinθ＝＝，cosθ＝＝，故PD＝sinθ，ND＝cosθ、在Rt△PDA中，PA＝＝＝，所以l〔θ〕＝，函数l〔θ〕的定义域为〔0，〕、〔2〕由〔1〕可知，l〔θ〕＝，即l〔θ〕＝＝＝＝＝，又θ∈〔0，〕，故2θ﹣∈〔﹣，〕，所以当2θ﹣＝，即θ＝时，sin〔2θ﹣〕取最大值1，＝＝1＋、l〔θ〕max答：当θ＝时，l〔θ〕有最大值，最大值为1＋、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g 〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、【解答】解：〔1〕因为t＝sinx＋cosx＝，x∈【0，】，所以t ∈【1，】，sinxcosx＝、…〔2分〕所以g〔t〕＝mt﹣4•＝﹣2t2＋mt＋2、…〔5分〕〔2〕因为关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，据〔1〕可知g〔t〕＝﹣2t2＋mt＋2≥0对所有的t∈【1，】恒成立，…〔6分〕所以，得m≥、所以实数m的取值范围是【，＋∞〕、…〔10分〕〔3〕因为关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数解，据〔1〕可知关于t的方程﹣2t2＋mt＋2﹣2m＋4＝0在t∈【1，】上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt＋2m﹣6＝0在t∈【1，】上有实数解，…〔11分〕所以△＝m2﹣16〔m﹣3〕≥0，即m≤4或m≥12、令h〔t〕＝2t2﹣mt＋2m﹣6，开口向上，对称轴t＝，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递减，故，解得m不存在、…〔13分〕②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递增，故，解得2＋≤m≤4、…〔15分〕综上所述，实数m的取值范围是【2＋，4】、…〔16分〕20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、【解答】〔1〕证明：设x1，x2是区间〔0，〕上的任意两个实数，且x1《x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＝2〔x1﹣x2〕＋〔﹣〕＝，因为0《x1《x2《，所以x1﹣x2《0，0《x1x2《，故2x1x2﹣1《0，所以f〔x1〕﹣f〔x2〕》0，即f〔x1〕》f〔x2〕，所以函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，函数f〔x〕的单调递增区间为〔，＋∞〕、〔2〕解：①当a＝4时，4｜x｜＋2•4x＝3，〔ⅰ〕当x≥0时，4x＋2•4x＝3，即4x＝1，所以x＝0；〔ⅱ〕当x《0时，4﹣x＋2•4x＝3，即2•〔4x〕2﹣3•4x＋1＝0，解得：4x＝1或4x＝，所以x＝﹣或0；综上所述，方程g〔x〕＝3的解为x＝0或x＝﹣；②〔ⅰ〕当x≥0时，g〔x〕＝3a x，其中a》1，＝g〔0〕＝3，所以g〔x〕在【0，＋∞〕上单调递增，g〔x〕min所以g〔x〕在【0，＋∞〕上的值域为【3，＋∞〕；〔ⅱ〕当x∈【﹣1，0〕时，g〔x〕＝a﹣x＋2a x，其中a》1，令t＝a x，那么t∈【，1〕，g〔x〕＝2t＋＝f〔t〕，〔ⅰ〕假设1《a≤，那么≥，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，1〕上单调递增，所以f〔〕≤f〔t〕《f〔1〕，且f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，此时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【a＋，3〕；〔ⅱ〕假设a》，那么《，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，〕上单调递减，在〔，1〕上单调递增，＝f〔〕＝2，又f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，所以f〔t〕min当f〔〕≥f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，a＋】，当f〔〕《f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，3〕；综上所述，当1《a≤时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【a＋，＋∞；当a》时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【2，＋∞〕、。

江苏省如皋中学2018-2019学年度第一学期第二次月考高一数学（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题.（本大题共12题，每题5分，共60分.）1．函数()23x f x x =+的零点所在的区间是（ ▲ ）.A ．(﹣2，﹣1)B ．(﹣1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)2．集合,()42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ▲ ）. A B C D3．在[-π,π]上既是增函数,又是奇函数的是（ ▲ ）.A. y=cos x 2B. y=sin x 2C. y=-sin x 4D. y=sin2x 4．已知圆心角为 135的扇形的面积为π6，则该扇形的弧长为（ ▲ ）..A π3 .B π223 .C π23 .D π65．已知幂函数()223(22)n n f x n n x －＝＋－ (n∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为（ ▲ ）.A ．－3B ．1C ．2D ．1或26．已知角α的终边经过点(,22)P m ，且31cos -=α，则)sin()cos(23)2sin()sin(2απααπαπ+--++-的值为（ ▲ ）. A ．222- B ．52322 D. 223- 7．已知函数()cos 3x f x π=，则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++的值为（ ▲ ）. A ．0 B ． 1- C ．12-D ．38．函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ▲ ）. A ． B ． C ． D ．9．已知函数函数．若()g x 存在2个零点，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）.A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ▲ ）年．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ． 2017B ． 2018C ． 2019D ． 202011．设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数h 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x ＋h ∈M ，有f(x ＋h)≥f(x)，则称f(x)为M 上的h 高调函数.现给出下列说法：①函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为R 上的1高调函数； ②函数f(x)＝sin 2x 为R 上的π高调函数；③若函数f(x)＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，＋∞). ④函数f(x)＝lg(|x －2|＋1)上的2高调函数.以上说法正确的有（ ▲ ）.A.①③④B. ②③C. ②③④D. ③④ 12．已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（ ▲ ）. （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ） 5 e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++。

2018～2019学年度如皋高三年级第一学期期末教学质量调研数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合 A＝{2＋a2，a}，B＝{0，1，3}，且A⊆B，则实数 a 的值是___．【答案】1【解析】【分析】根据两集合之间的关系，得出，既而求得a=1.【详解】因为A⊆B，且即，且A⊆B所以a=1故答案为1【点睛】本题主要考查了集合之间的关系，属于基础题.2.已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z的模为___．【答案】【解析】【分析】先根据题意把复数z＝化简得，得出模.【详解】因为z＝化简所以故答案为【点睛】本题考查了复数的四则运算和模长的求法，属于基础题.3.为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为_________.【答案】80【解析】【分析】根据题意利用分层抽样，按比例计算即可得出答案.【详解】利用分层抽样抽的高中学生人数为：故答案为80【点睛】本题主要考查了分成抽样，按比例计算即可，属于基础题.4.执行下边的伪代码，输出的结果是_______．【答案】11【解析】试题分析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则a的值为______．【答案】6【解析】【分析】由题意得出双曲线的左准线和抛物线的准线，直接计算可的结果.【详解】由已知条件可得，故其左准线为：而抛物线的准线为：即解得a=6故答案为6【点睛】本题主要考查了双曲线的准线和抛物线的准线，公式的熟记是解题的关键，属于基础题.6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据题意列出取2个小球的所有可能性，再找出之和为3的倍数的情况，然后求其概率.【详解】从袋中5个小球取出2个小球的所有可能性为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）共10种情况，取出小球之和为3的倍数情况为：（1,2）、（1,5）、（2,4）、（4,5）4种情况，所以取出之和为3的倍数的概率：故答案为【点睛】本题主要考查了古典概型，属于基础题.7.设实数x，y满足约束条件则的最大值是________．【答案】1【解析】【分析】根据题意画出约束条件的可行域，然后求得的交点，在将点带入即可求得答案.【详解】根据实数x，y满足约束条件画出可行域，如图：解得A（0，-1）可知当目标函数经过点A取最大值即故答案为1【点睛】本题考查了简单的性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.8.已知是等比数列的前n项和，若成等差数列，且则正整数k的值是_________.【答案】6【解析】【分析】先根据题意，数列是等比数列，且成等差数列代入公式求得，再利用求和公式求出k的值.【详解】因为数列是等比数列，且成等差数列即2=+所以解得或（舍）等比数列求和所以即故答案是6【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，通项公式以及等比求和的运用，解题的关键是对等比等差数列的性质的掌握，小综合，属于较为基础的题目.9.如图，在正三棱柱中，若,点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为___________.【答案】【解析】【分析】先用等体积法转化：三棱锥的体积相当于三棱锥的体积，然后求得底面积和高，运用体积公式解出即可.【详解】过点A做BC的垂线，垂足为M，因为在正三棱柱中，所以//平面故点E到平面的距离就相当于点A到平面的距离，AM垂直BC，且平面ABC垂直平面，且平面ABC垂直平面=BC故AM就是点A到平面因为故答案为.【点睛】本题考查了立体几何的垂直问题以及求体积的问题，解题关键是能否运用等体积法，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为_______．【答案】8【解析】【分析】根据题意求出点A、B的坐标，然后根据△CMN的面积为4求得MN的长以及高PD的长，再利用面积公式，求得结果.【详解】当y=0时，解得x=-1或x=3，即A（-1,0），B（3,0）圆的标准方程：圆心C（1,2）半径r=△CMN的面积为4即则，即要使△PAB的面积最大，则此时三角形的高PD=2+2=4，AB=3-(-1)=4则△PAB的面积故答案为8【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及面积公式等综合知识，解题的关键是在于能否知道直线与圆的相交关系，属于中档题.11.已知正实数x，y满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】先根据均值不等式求出，然后把原式化简得，再利用函数的单调性易得当xy=时，原式取最小值，求得结果.【详解】因为，所以原式又因为x，y都是正实数，且令t=xy，（）原式=是单调递减的，所以当xy=时，原式取最小值为：故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式以及结合函数的单调性，本题易错答案为，主要是没有考虑到均值不等式的条件：“一正、二定、三相等”，属于中档题.12.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC∥AD，若＝－1，则＝________．【答案】【解析】【分析】先根据题意以及圆的直径所对的圆周角为直角，可得，求得，然后求得OBD为等边三角形，求出，再利用数量积求得结果.【详解】因为＝－1，所以因为AB为直径，BC∥AD，所以，即即，所以可得，又因为AB=2，在直角三角形ABD中，三角形OBD为等边三角形，所以＝故答案为【点睛】本题主要考查了向量的综合应用以及与圆的相关知识，本题易错的向量的数量积的几何意义，这个需要弄明白是解题的关键，属于较难题型.13.已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，即+m=0有两个不同的解，解之得即或因为的导函数，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在递减；f(x)的最大值为，且且f(1)=0；要使函数有3个不同的零点，（1）有两个不同的解，此时有一个解；（2）有两个不同的解，此时有一个解当有两个不同的解，此时有一个解，此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=-m，此时有两个不同的解，此时有一个解此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=，综上：的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.14.在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．【答案】6【解析】【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案. 【详解】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得由正弦定理：即（正弦平方差）整理可得：即设因为为锐角三角形，所以此时即所以=令当，f(x)递增；当，f(x)递减；所以故的最小值是6故答案为6【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及与导函数的应用的综合题目，易错点在于前面的化简会用到正弦差定理，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求证：AE∥平面PBC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据题意，利用线面垂直的判断证明AE⊥平面PCD，然后得证.（2）取CP的中点F，用中位线证明EF∥AB且EF＝AB，四边形AEFB是平行四边形，然后得证.【详解】（1）因为△PAD是正三角形，点E是PD的中点，所以AE⊥PD．又平面P CD⊥面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD，AE⊂平面PAD．所以AE⊥平面PCD．又PC⊂平面PCD，所以AE⊥PC．（2）取PC的中点F，连结EF，在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，所以EF∥CD且CD＝2EF．又AB∥CD，CD＝2AB，所以EF∥AB且EF＝AB，所以四边形AEFB是平行四边形，所以AE∥BF，又AE平面PBC，BF平面PBC，所以AE∥平面PBC．【点睛】本题考查了线面垂直的判断以及线面平行的判断定理，熟练线面关系以及性质判断是解题关键，属于基础题.16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，，x∈R，其部分图象如图所示．（1）求函数y＝f(x)的解析式；（2）若，，求cos2α的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由图像可得A＝2，，求得，再求得得出答案；（2）因为求得，然后求得，再，然后利用公式求得cos2α.【详解】（1）由图可知，A＝2，，所以，所以，．又，所以，即，因为，所以，故，．所以．（2）因为，所以，即，因为，所以．又因为，所以．所以，所以．所以．【点睛】本题主要考查了已知三角函数图像求解析式，以及三角恒等变化的综合题型，解题的关键是在于对于三角恒等变化的公式熟练的运用，学生容易在运用三角恒等变化公式的时候忽略角的范围，属于中档题.17.一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R分别在圆弧AC，BD上，P，Q在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．【答案】（1），定义域为；（2）见解析【解析】【分析】（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t，RQ＝＝，运用面积公式y＝，定义域为（2）对函数进行求导，判断函数的单调性，然后求得最值.【详解】选AP＝t．（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t．在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AQ＝1－t，AR＝1，故RQ＝＝．所以 y＝PQ·RQ＝．显然解得．所以y＝，定义域为．（2）由（1）知，y＝，即y＝，．令，．则．令，得或（舍）或（舍）．列表：t＋0 －单调增极大值单调减所以当时，取最大值，y取最大值．答：面积y取最大值时，AP的长为米．【点睛】本题考查了导函数的实际运用，利用导函数求最值，易错点在于求出函数的解析式而忽略了定义域，属于中档题.18.如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，，求k2·(k1－) 的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由离心率为，右准线方程为求出a＝2，c＝1，故得到答案；（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)，据题意，求得所以，再将点带入方程求得点的坐标，既而求得斜率k；（3）先用点差法，求得与k的关系，以及直线AM，然后联立AM与椭圆求得k1与k的关系，同理求得k2与k的关系，然后进行整理化简可得答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．依题意，，且，解得a＝2，c＝1．故b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的标准方程为．（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．据题意，，即，整理可得，所以．代入坐标，可得即又点M， N在椭圆C上，所以解得所以直线l的斜率．（3）依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，所以两式相减，得，即，所以，即，所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，所以．又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组整理得，所以，得，．所以点M的坐标为．同理，点N的坐标为．又点M，N，F三点共线，所以，整理得，依题意，，，故．由可得，，即．所以．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是在于问题的转化以及计算，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.19.已知函数，其中．（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）设函数．①求函数的单调区间；②若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）①见解析②【解析】【分析】（1）求导，然后求得在x=1处的切线方程，然后利用垂直求出a的值；（2）①求导函数，然后对a进行讨论，然后求得原函数的单调区间；②不等式对任意的实数恒成立，转化为的最小值大于0，由第一问知函数的单调性，对a进行分类，易知成立，当或时，利用单调性，最值以及零点的存在性定理判断出不符合题意，求得a的范围.【详解】（1）因为函数，定义域为，所以，，，所以函数图象在处的切线方程为，即．依题意，，解得．所以实数a的值为1．（2）令，，则．（1）① 若，，故函数在上单调增．② 若，记．若，即，则，函数在上单调增．若，即，令，得，．当时，，在和上单调增；当时，，在上单调减．③ 若，令，得（负舍）．当时，，在上单调增；当时，，在上单调减．综上所述，当时，函数的单调增区间为，减区间为；当时，函数的单调增区间为，无减区间；当时，函数的单调增区间为和，减区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在上单调增，故，所以符合题意；当时，函数在上单调减，在上单调增，故存在，，所以不符题意；当时，在上单调增，在上单调减．下面证明：存在，．首先证明：．要证：，只要证：．因为，所以，故．所以．其次证明：当时，对任意的都成立．令，，则，故在上单调递减，所以，即．所以当时，对任意的都成立．又当时，，与题意矛盾，故不符题意．综上所述，实数a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了导函数的应用的综合知识，难度极强，包含了切线方程、单调性的讨论、最值的应用和零点存在性定理的应用，属于难题.函数单调性的判断方法：（1）根据函数单调性的定义；（2）图像法，画出函数的图像；（3）导函数法；（4）复合函数利用同增异减.20.已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．【答案】（1）；（2）3，9，27；（3）3【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项和求和公式，再利用等差中项得，然后求得公差d=2，求出通项；（2）假设存在，使得，，成等比数列，利用等比数列中项可得法一：利用函数的单调性转化为零点问题求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；（3）根据题意由可知，，然后用累加法和放缩法得，再对n进行讨论，求得k的值.【详解】（1）设等差数列的公差d，则，．又是等差数列，所以，即，解得d＝2．此时，，符合数列是等差数列，所以．（2）假设存在，使得，，成等比数列．则，由（1）可知，，代入上式，得，整理得．（*）法一：令，x≥1．则，所以在上单调增，所以在上至少有一个根．又，故是方程（*）的唯一解．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．法二：，即，所以方程（*）可整理为．因为，所以无解，故．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．（3）由可知，．又，，故，所以．依题意，对任意恒成立，所以，即，故．若，据，可得当，时，．由及可得．所以，当，时，，即．故当，时，，故不合题意．若，据，可得，即．所以，当，时，，当时，，得，所以．当，时，，所以，故．故当时，对任意都成立．所以正整数k的最小值为3．【点睛】本题考查了数列的综合应用，包括与函数的结合，放缩法的运用，这些点都属于难点，综合性很强，属于极难题目.。

如皋市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015222． 已知i 为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．12+B ．12 C. 34 D ．0 4． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4）C ．（0，5]D ．[0，5]5． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）A ．﹣3B ．3C ．D ．±38． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．9． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=﹣x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y=x 对称10．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－5411．设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．2二、填空题13．81()x x-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.14．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．15．若函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，则a= ．16．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．17．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.18．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）期末数学试卷 (4)一．填空题.（每题5分，共70分）1. 已知集合全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则∁U(A∩B)=________．2. 已知函数f(x)=x−1，则函数定义域为________．3. 已知幂函数y=xα过点(2, 4)，则α=________．4. 已知向量a→和向量b→的夹角为135∘，|a→|=2，|b→|=3，则a→⋅b→=________．5. 已知角α的终边经过点P(−3, 4)，则cosα=________．6. 已知tanα=12，则sinα+cosαsinα−cosα=________．7. 已知向量a→=(1, 3)，b→=(−1, 0)，则|a→+2b→|=________．8. 函数f(x)=A sin(ωx−π4)(A>0, ω>0)的最大值为2，相邻两条对称轴的距离为π2，则f(x)=________．9. 已知cos(π+x)=35，x∈(π, 2π)，则tan x=________．10. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．11. 已知函数f(x)=sin(2x+π6)，x∈[0,π2]，则函数f(x)的值域为________．12. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→=xOA→+yOB→，且BP→=2PA→，则x=________，y=________．13. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞)上为增函数，f(1)=0，则不等式f(log2x)>0的解集为________．14. 已知f(x)=a x(4−a2)x+2(x>1)(x≤1)是R上的单调增函数，则实数a的取值范围为________．二．解答题.（共90分，前3题每题14分，后3题每题16分）15. (1)计算：lg22+lg2lg5+lg5；(2)化简：−sin(π+α)+sin(−α)−tan(2π+α)tan(α+π)+cos(−α)+cos(π−α)．16. 已知sinα+cosα=12(0<α<π)(1)求sinαcosα；(2)求sinα−cosα．17. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8．(1)求φ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间．18. 设两个非零向量a→与b→不共线．(1)若AB→=a→+b→，BC→=2a→+8b→，CD→=3(a→−b→)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka→+b→和a→+kb→共线．19. 已知|a→|=4,|b→|=3,(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61(1)求a→与b→的夹角θ；(2)求|a→+b→|．20. 函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)确定函数的解析式；(2)证明函数f(x)在(−1, 1)上是增函数；(3)解不等式f (t −1)+f (t )<0．答案1. 【答案】{1, 4, 5}【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A ={1, 2, 3}，B ={2, 3, 4}，∴A ∩B ={2, 3}，则∁U (A ∩B )={1, 4, 5}，故答案为：{1, 4, 5}；2. 【答案】[1, +∞)【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x −1≥0，即x ≥1，故函数的定义域为[1, +∞)，故答案为：[1, +∞)3. 【答案】2【解析】把点(2, 4)代入函数解析式列出方程求出α的值，即可求出函数的解析式．【解答】解：因为幂函数y =x α过点(2, 4)，所以4=2α，解得α=2，故答案为：2．4. 【答案】−3 2【解析】利用数量积的定义即可得出．【解答】解：∵向量a →和向量b →的夹角为135∘，|a →|=2，|b →|=3，则a →⋅b →=|a →||b →|cos135∘=2×3×(− 22)=−3 2． 故答案为：−3 ．5. 【答案】−35【解析】先求出角α的终边上的点P (−3, 4)到原点的距离为r ，再利用任意角的三角函数的定义cos α=x r 求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P (−3, 4)到原点的距离为r =5，由任意角的三角函数的定义得cos α=x r =−35．故答案为：−35．6. 【答案】−3【解析】将所求关系式sin α+cos αsin α−cos α中的“弦”化“切”，代入计算即可．【解答】解：∵tan α=12，∴sin α+cos αsin α−cos α=tan α+1tan α−1=12+11−1=−3．故答案为：−3．7. 【答案】2【解析】利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵向量a→=(1, 3)，b→=(−1, 0)，∴a→+2b→=(1, 3)+2(−1, 0)=(−1, 3)，∴|a→+2b→|=12+(3)2=2．故答案为：2．8. 【答案】2sin(2x−π4)【解析】由函数的最大值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的最大值为2，可得A=2，再根据函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得12⋅2πω=π2，求得ω=2，∴函数f(x)=2sin(2x−π4)，故答案为：2sin(2x−π4)．9. 【答案】43【解析】先把已知的等式利用诱导公式化简，得到cos x的值，然后根据x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin x的值，进而求出tan x的值．【解答】解：∵cos(π+x)=−cos x=35，∴cos x=−35，又x∈(π, 2π)，∴sin x=− 1−cos2x=−45，则tan x=sin xcos x =−45−35=43．故答案为：43 10. 【答案】6【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，S扇=12lr=2，l=4r，其周长c=l+2r可求．【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴l=4r，∵S扇=12lr=2，∴12⋅4r2=2，∴r2=1，r=1．∴其周长c =l +2r =4r +2r =6r =6．故答案为：6．11. 【答案】[−12, 1]【解析】由x ∈[0,π2]，可得2x +π6∈[π6, 7π6]，由正弦函数的图象可得函数f (x )的值域．【解答】解：∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6, 7π6]∴由正弦函数的图象可得：f (x )=sin(2x +π6)∈[−12, 1]，故答案为：[−12, 1]．12. 【答案】23,13【解析】由BP →=2PA →，利用向量三角形法则可得OP →−OB →=2(OA →−OP →)，再利用向量基本定理即可得出．【解答】解：∵BP →=2PA →，∴OP →−OB →=2(OA →−OP →)，化为OP →=23OA →+13OB →， 与OP →=xOA →+yOB →比较可得：x =23，y =13．故答案分别为：23；13．13. 【答案】(0, 12)∪(2, +∞)【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f (x )在[0, +∞)上为增函数，f (1)=0，∴不等式f (log 2x )>0等价为f (|log 2x |)>f (1)，即|log 2x |>1，即log 2x >1或log 2x <−1，即x >2或0<x <12，故不等式的解集为{x |x >2或0<x <12}，故答案为：(0, 12)∪(2, +∞)14. 【答案】[4, 8)【解析】运用指数函数和一次函数的单调性，结合R上的单调增函数，可得a>1且4−a2>0且a≥4−a2+2，分别解出它们，再求交集即可．【解答】解：由f(x)是R上的单调增函数，则当x>1时，由指数函数的单调性可得a>1，当x≤1时，由一次函数的单调性可得4−a2>0，可得a<8，再由R上递增，则a≥4−a2+2，解得a≥4，综上可得，4≤a<8．故答案为：[4, 8)．15. 【答案】解：(1)lg22+lg2lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1；; (2)原式=sinα−sinα−tanαtanα+cosα−cosα=−tanαtanα=−1．【解析】(1)由lg2+lg5=lg10=1即可化简求值．; (2)由诱导公式化简后即可求值．【解答】解：(1)lg22+lg2lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1；; (2)原式=sinα−sinα−tanαtanα+cosα−cosα=−tanαtanα=−1．16. 【答案】解：(1)平方得1+2sinαcosα=14，∴sinαcosα=−38; (2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，∴π2<α<π∴sinα−cosα>0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=74∴sinα−cosα=72【解析】(1)平方后化简即可得解．; (2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，解得sinα−cosα>0，由(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=74，即可求值．【解答】解：(1)平方得1+2sinαcosα=14，∴sinαcosα=−38; (2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，∴π2<α<π∴sinα−cosα>0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=74∴sinα−cosα=7217. 【答案】解 (1)令2×π8+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=kπ+π4，k ∈Z ，又−π<φ<0，∴k =1，则φ=π4．; (2)由(1)得：f (x )=sin(2x +π4)，令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，可解得−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z ， 因此y =f (x )的单调增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k ∈Z ． 【解析】(1)由条件利用正弦函数的图象的对称性，求出φ的值．; (2)根据函数f (x )的解析式，利用正弦函数的增区间，求出函数y =f (x )的单调增区间．【解答】解 (1)令2×π8+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=kπ+π4，k ∈Z ，又−π<φ<0，∴k =1，则φ=π4．; (2)由(1)得：f (x )=sin(2x +π4)，令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，可解得−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z ，因此y =f (x )的单调增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k ∈Z ． 18. 【答案】解：(1)∵BD →=BC →+CD →=2a →+8b →+3(a →−b →)=5a →+5b →=5AB →，∴BD →与AB →共线两个向量有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．; (2)∵ka →+b →和a →+kb →共线，则存在实数λ，使得ka →+b →=λ(a →+kb →)， 即(k −λ)a →+(1−λk )b →=0→，∵非零向量a →与b →不共线，∴k −λ=0且1−λk =0，∴k =±1．【解析】(1)根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．; (2)两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k 的等式，解出k 的值，有两个结果，这两个结果都合题意．【解答】解：(1)∵BD →=BC →+CD →=2a →+8b →+3(a →−b →) =5a →+5b →=5AB →，∴BD→与AB→共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．; (2)∵ka→+b→和a→+kb→共线，则存在实数λ，使得ka→+b→=λ(a→+kb→)，即(k−λ)a→+(1−λk)b→=0→，∵非零向量a→与b→不共线，∴k−λ=0且1−λk=0，∴k=±1．19. 【答案】解 (1)∵(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61，∴4a→2−4a→⋅b→−3b→2=61．又|a→|=4，|b→|=3，∴64−4a→⋅b→−27=61，∴a→⋅b→=−6．∴cosθ=|a→||b→|=−64×3=−12．又0≤θ≤π，∴θ=2π3．; (2)∵|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=42+32+2×(−6)=13，∴|a→+b→|=13．【解析】(1)利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；; (2)利用数量积运算性质即可得出．【解答】解 (1)∵(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61，∴4a→2−4a→⋅b→−3b→2=61．又|a→|=4，|b→|=3，∴64−4a→⋅b→−27=61，∴a→⋅b→=−6．∴cosθ=|a→||b→|=−64×3=−12．又0≤θ≤π，∴θ=2π3．; (2)∵|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=42+32+2×(−6)=13，∴|a→+b→|=13．20. 【答案】解：(1)因为f(x)为(−1, 1)上的奇函数，所以f(0)=0，即b=0．又f(12)=25，所以12a1+1=25，解得a=1．所以f(x)=x1+x．; (2)设−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，因为−1<x1<x2<1，所以x1−x2<0，1−x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在(−1, 1)上是增函数；; （3）f(t−1)+f(t)<0可化为f(t−1)<−f(t)．又f(x)为奇函数，所以f(t−1)<f(−t)，f(x)为(−1, 1)上的增函数，所以t−1<−t①，且−1<t−1<1②，−1<t<1③；联立①②③解得，0<t<12．所以不等式f(t−1)+f(t)<0的解集为(0,12)．【解析】(1)根据奇函数性质有f(0)=0，可求出b，由f(12)=25可求得a值．; (2)根据函数单调性的定义即可证明；; (3)根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．【解答】解：(1)因为f(x)为(−1, 1)上的奇函数，所以f(0)=0，即b=0．又f(12)=25，所以12a1+1=25，解得a=1．所以f(x)=x1+x2．; (2)设−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，因为−1<x1<x2<1，所以x1−x2<0，1−x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在(−1, 1)上是增函数；; （3）f(t−1)+f(t)<0可化为f(t−1)<−f(t)．又f(x)为奇函数，所以f(t−1)<f(−t)，f(x)为(−1, 1)上的增函数，所以t−1<−t①，且−1<t−1<1②，−1<t<1③；联立①②③解得，0<t<12．所以不等式f(t−1)+f(t)<0的解集为(0,12)．。

江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集2，3，，集合，，则A. B. C. D. 2，【答案】C【解析】解：全集2，3，，，，，．故选：C．先求出，再求出本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数的图象经过点，则A. 16B.C.D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数，，函数图象过点，则，，幂函数，．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出的解析式，再计算的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为．A. B. C. D.【答案】C【解析】解：弧长为的弧所对的圆心角为，半径，这条弧所在的扇形面积为．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量，，则向量与的夹角为A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】解：根据题意得，，向量与的夹角为．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由图象知，函数的周期，即，即，则，由五点对应法得，即，则，故选：B．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，和的值是解决本题的关键．7.若，则A. 10B.C. 2D.【答案】D【解析】解：，，故选：D．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8.已知向量，满足，则A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：；；；；．故选：C．根据条件，对两边平方即可求出，从而可求出的值，进而得出的值．考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9.已知函数，则的零点为A. 0和3B. 2C.D.【答案】C【解析】解：设，解方程得：或，解得：，即，即或，解得：，故选：C．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设，解方程得：或，得：，再分段解方程或，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为，横坐标是，故点A的纵坐标为，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为，则点B的横坐标为，故选：B．设射线OA对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得、，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则函数是奇函数，是增函数，，是减函数，则，是增函数，则不等式得不等式，则，即，得，得，即不等式的解集为，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．12.已知定义在上的函数，若在定义域上有两个不同的解，则a的取值范围为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：已知定义在上的函数，若在定义域上有两个不同的解，等价于直线关于原点对称的直线与函数的图象有两个交点，联立，消y得：，由题意有：此方程有两不等正实数根，即，解得：，故选：A．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：在定义域上有两个不同的解，等价于直线关于原点对称的直线与函数的图象有两个交点，联立，消y得：，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：______．【答案】【解析】解：．故答案为：．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14.已知，则______．【答案】【解析】解：，故答案为：根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知，，，，，则______．【答案】【解析】解：，，，；；，故答案为：由，，得，，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，其图象如图所示，设，为方程的两根则有三个不同的实数解等价于：的图象与直线，的交点和为3，由图可知：，，设，则此函数有两个零点，，当时，解得：，由，解得，满足题意，当时，由二次方程区间根问题可得：，解得：，综合得：实数a的取值范围是，故答案为：．由方程的根与函数的零点问题设，设，为方程的两根则有三个不同的实数解等价于：的图象与直线，的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：，，设，则此函数有两个零点，，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17.设全集，集合，．当时，求；若，求实数m的取值范围．【答案】解：，；时，，且，或；；；，或；，或；实数m的取值范围为，或．【解析】可求出，，时，求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可；根据即可得出，或，解出m的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18.已知，，，均为锐角．求的值；求的值．【答案】解：，为锐角，，．，均为锐角，，，，．【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19.已知向量，，设．将的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象，求的单调增区间；若时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由题意得，，由，，得，，即的增区间为，．当时，可得，，易得的最大值为2，使原不等式恒成立的m的范围为，故实数m的取值范围为．【解析】首先利用数量积把化为三角函数，再利用坐标变换得到，结合余弦函数单调性可得增区间；利用所给范围确定为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20.在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．设，，设，求；求的取值范围；若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求．【答案】解：，，，设，因为在三角形ABC中，，，，，，M，D三点共线，可设，为AB的中点，，又C，M，F三点共线，存在使得，，，解得，【解析】将化成和后，与已知比较得，，可得；设，，将，化成，后，再相乘可得；先根据向量共线和三点共线得到，再与相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21.如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知百米，百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称，现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开设，两道栅栏的总长度．求的函数表达式，并求出函数的定义域；求的最小值及此时的值．【答案】解：点B，E关于MN对称，≌RtEMN，，，，设，则，，，由可得，．由可知．，，，当且仅当即时取等号．当时，取得最小值4．【解析】设，得出x与的关系，求出EM，MN，即可求用表示的l函数表达式；根据基本不等式和的范围得出的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22.若函数，．若函数为奇函数，求m的值；若函数在上是增函数，求实数m的取值范围；若函数在上的最小值为7，求实数m的值．【答案】解：函数为奇函数，，解得；，函数在上是增函数，当时，的对称轴为，由，即在递增；当时，的对称轴为，由，即在递增；当时，在递减，递增；当时，的对称轴为，若，可得在递增；在递减；若，可得在递增，综上可得，m的范围是；由可得时，在递增，可得，解得舍去，当时，在递减，递增，可得，解得，不符合条件，舍去；当，可得在递增；在递减，若，，，当，令，解得，成立；若，可令，解得，不符合条件，舍去；当，可得在递增，令，即，解得，不符合条件，舍去．综上可得m的值为或．【解析】由奇函数的性质可得，解方程可得m；讨论，，，，，，时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；由的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．。