江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题

江苏省如皋中学2019-2020学年高一下学期阶段考试四一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列{}n a 中，26a =-，公差2d =，则12a =（）A ．10B ．12C ．14D ．162.若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +=（）A ．3B ．-17C ．2D ．3或-173.对于平面α和共面的直线m ，n ，下列结论正确的是（） A ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若m α⊂，//n α，则//m n4.已知点(2,3)A ，(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P )且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．324k ≤≤B ．D34k ≥C ．2k ≤D ．34k ≤或2k ≥5.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1221,3,3(1)n n n n a a a a a +===+-，则2n S =（）A ．422n n+- B ．44233n n -+- C ．422n n ++ D ．42n n + 6.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（） A ．23π B ．56π C ．π D ．43π7.设直线())1nx n y n ++=∈*N 与两坐标轴围成的三角形面积为nS ，则1220192020S S S S ++⋅⋅⋅++的值为（）A ．20172018B ．20182019C ．20192020D ．202020218.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（） A1 B．1 C．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试数 学 Ⅰ 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知(1i)z 1i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 2． 已知集合{}{}212,A B a a ==，-，，若{}1AB =,则实数a 的值为 ▲ ．3． 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 ▲ 名学生．4． 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 ▲ ．5． 某程序框图如右图所示，当输入7x =时，输出的y = ▲ ．6． 已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7． 已知变量,x y 满足约束条件0,02x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，则2y x -的最大值为 ▲ ．8． 已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则sin α= ▲ ．9． 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ▲ ． 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知圆22420C x y x y +--=：，过点(6,0)P 的直线l 与圆C 在x 轴上方交于,A B 两点，且3PA PB =，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除则直线l 的斜率为 ▲ ．12．若2,0x y >>，且211x y +=，则1121x y +--最小值为 ▲ ． 13．已知ABC ∆中，2,1AB AC ==，平面ABC 上一点D 满足3BC AD ⋅=-，则()BC BD CD ⋅+= ▲ ．14．已知32()3f x x a x a =--，若存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()(2),0,62g x f x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形． （1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．FEPDCBA收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除过椭圆22182x y+=上一点(2,1)P --作两条直线12,l l 与椭圆另交于,A B 点，设它们的斜率分别为12,k k ．（1）若121,1k k ==-，求PAB ∆的面积PAB S ∆； （2）若,OA OB PA PB ==，求直线AB 的方程．18． (本小题满分16分)从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。

江苏省如皋市2019—2020学年高三第二学期4月模拟卷（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．设全集U ＝Z ，集合A ＝{0，2，3}，B ＝{}22x Z x x ∈-<，A I (U B ð)＝． 2．若复数z 满足2ii iz ++=，其中i 为虚数单位，则z ＝ ． 3．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中， 其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是 ．4．某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 ． 5．执行右边的伪代码后，输出的结果是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，设过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若△F 1AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为 ． 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(ω＞0)，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ．9．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥平面PAC ，PC ＝AB ＝2AC ＝2，PA接球O 的表面积为 ．10．已知实数x ，y 满足条件05040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式233128mx y x y ≤+恒成立，则实数m的最大值是 ．11．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，且O 是AC 的中点，若AD AB CD CB 2⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：22(2)4x y -+=上运动，且MN＝若直线l ：30kx y -+=上的任意一点P 都满足22PM PN +≥14，则实数k 的取值范围是 ．13．已知函数2220()103x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD＝CA ，则cos A cos Bb a +的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．16．（本小题满分14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ； （2）求证：AB ⊥B 1C ．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M 在边OB上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．（1）求S(θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域；（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大?18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点(﹣1，2)，过左焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于点A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OA，OB，AB的斜率之和为0，求直线l的方程；（3）设弦AB的垂直平分线分别与直线l，椭圆C的右准线m交于点M，N，求MN AB的最小值．19．（本小题满分16分）已知函数1()ln 1f x a x x=+-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若a ＝l ，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数1()()xg x e f x x=+-在区间(0，a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设2nn n a b =． （1）若4121n nS n a -=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．①求证：数列{}n a 为等差数列；②若不等式n nT a λ+≥3对任意的n N *∈都成立，求实数λ的最小值；（2）若n a ＞0，且112n n S a ++≥，是否存在正整数k ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{}n a 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 11 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 10 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵C ，使得AC ＝B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求直线6πθ=(ρ∈R)被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，m )到准线的距离与到原点O 的距离相等．（1）求抛物线的方程；（2）过不在y 轴上的点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若OP ⊥AB ，求证：直线AB 过定点． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的首项11a >，且211n n n a a a +=-，n N *∈．（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nk k a n n =>+-∑．。

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学下学期教学质量调研试题（二）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ） A.321nn + B. 321n n - C. 323n n -D.323nn +【答案】B 【解析】 【分析】把数列3，2，95，127，53，…，化简31，63，95，127，159，…，结合规律，即可求解.【详解】由题意，数列3，2，95，127，53，…，可化为31，63，95，127，159，…，可得数列的一个通项公式n a =321nn -.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据数列的前几项归纳数列的通项公式，其中解答中合理找出数列中数字的变化规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使//βα，这样的β（ ） A. 恰能作一个 B. 至多作一个C. 至少作一个D. 不存在【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合面面平行的性质即可得解.【详解】若存在过直线l 的平面β，使得//βα，则直线l 与平面α无公共点，与直线l 是平面α的斜线矛盾，不合题意， 所以这样的平面β不存在. 故选：D.【点睛】本题考查了面面平行的性质，考查了空间思维能力，属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ） A. 4 B. 5C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出nS n可解出d ，将等差数列前n 项和公式和二次函数的性质相结合可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴822n S d dn n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值， 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.4.空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别为AB ，CD 的中点，EF =面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A. 120︒ B. 90︒C. 60︒D. 45︒【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ，利用三角形中位线定理可得： 112EG BC ==，112FG AD ==,在EFG 中，由余弦定理可得cos EGF ∠，即可得结果. 【详解】解：如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ， 因为,E F 分别为AB ，CD 的中点，所以112EGBC==，112EG BC==，在EFG中，由余弦定理得，2221131cos22112EG FG EFEGFEG FG+-+-∠===-⋅⨯⨯,因为(0,180)EGF∠∈︒︒，所以120EGF∠=︒，所以异面直线AD与BC所成的角为60︒，故选：C【点睛】此题考查了异面直线所成的角、余弦定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5.设等比数列{}n a的前n项和为12nnS m+=+，则na=（）A. 2nB. 132n-⋅ C. 152n-⋅ D. 32n⋅【答案】A【解析】【分析】根据公式11(2)(1)n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当2n≥时，()()11122222n n n n nn n na S S m m++-=-=+-+=-=；当1n=时，21124a S m m==+=+所以11222nnnnaqa++===；所以221224aqa m===+，解得2m=-，所以12a =，满足2(2)nn a n =≥.所以2nn a =.故选：A.【点睛】本题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.6.在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50︒，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A. θ的最大值为40︒B. θ的最小值为40︒C. θ的最大值为50︒D. θ的最小值为50︒【答案】C 【解析】 【分析】过A 作平面BCD 的垂线，找出二面角A BC D --的平面角和直线PA 与平面BCD 所成的角θ，根据正切值可求θ的最大值为50︒.【详解】解：作AE ⊥平面BCD 于E ，在平面BCD 内作EF BC ⊥于F ，连结AF ，由三垂线定理知，AF BC ⊥，则AFE ∠就是二面角A BC D --的平面角，连结AP ，APE ∠就是直线PA 与平面BCD 所成的角θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦点P 为直线BC 上的动点，所以,,AE AEEF PE EF PE≤≥即tan50tan tan APE θ︒≥∠=，所以50θ，故θ的最大值为50︒，故选：C【点睛】考查线面角和面面角的求法以及大小比较，基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A. 直线1BB B. 直线CDC. 直线AHD. 直线GH【答案】C 【解析】 【分析】连接FH ，则可得四边形AEFH 为梯形，所以可得直线EF 与直线AH 相交. 【详解】解：如图，连接FH , 因为,F H 分别为11B C ，BC 的中点， 所以FH ∥1BB ，1FH BB =， 因为E 为1AA 的中点，所以111122AE AA BB ==，AE ∥1BB ， 所以AE ∥FH ，12AE FH =, 所以四边形AEFH 为梯形， 所以直线EF 与直线AH 相交. 故选：C【点睛】此题考查空直线的位置关系，属于基础题.8.数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式求出21nn c d d =+-，利用分组求和求出7S ，再解不等式即可.【详解】∵{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，2nn b =，∴()212121n n n nn b c a a d d d ===+-=+-，∴()()7721271247712d S d d -=+-=+-，即2477800d +<，解得793247d <，故d 的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，利用分组求和求数列的前n 项和，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9.已知α是一个平面，,m n 是两条直线，有下列四个结论，正确的是（ ） A. 如果//m α，//m n ，那么//n α． B. 如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．C. 若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m α⊥．D. 如果m α⊥，//m n ，那么n α⊥． 【答案】BD 【解析】 【分析】由//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，可判定A 不正确；根据线面垂直的性质，可判定B 是正确的；根据线面垂直的定义，可判定C 不正确；根据平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判定D 是正确的．【详解】对于A 中，如果//m α，//m n ，那么//n α或n ⊂α，所以不正确；对于B 中，根据线面垂直的性质，可得若m α⊥，//n α，那么m n ⊥，所以是正确的； 对于C 中，根据线面垂直的定义，直线m 垂直于平面α内的任意直线，则m α⊥，而直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m 与α不一定垂直，所以不正确；对于D 中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若m α⊥，//m n ，那么n α⊥，所以是正确的． 故选：BD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A. 13n n S -=B. {}n S 为等比数列C. 123n n a -=⋅D. 21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列中n a 和n S 的关系式，求得数列的通项公式，可判定D 正确；再利用题设条件，求得n S 的表达式，可判定A 正确，最后结合等比数列的定义，可判定B 正确. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.四棱柱1111A B C D ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，11A A AC AB ==，,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，下列结论正确的是（ ） A. 1C C //平面OMNB. 平面1//A CD 平面OMNC. 直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒D. 1OM D D ⊥【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ，假设1C C //平面OMN ，可推出矛盾结论； 对于B ，按照证明两个平面平行的判断定理易证；对于C ，假设直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，则可推出不确定的结论；对于D ，1OM D D ⊥转化为证明11AC A A ⊥，易证. 【详解】解：对于A ，若1C C //平面OMN ，因为11//C C A A ，则1A A //平面OMN ，或1A A ⊂平面OMN ，而1A A 和平面OMN 相交，故A 错；对于B ，因为,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，所以////MN AB CD ，MN ⊄平面1A CD ，CD ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD ，因为,O N 分别为线段BD ，1A B 的中点，所以1ON A D //，ON ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//ON 平面1A CD ，MN ON N =，MN ⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面1//A CD 平面OMN ，故B 正确；对于C ，若直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，11A A A C AB a ===，由////MN AB CD ，则1=90ACD ∠︒，1A D =，显然22211D A A A A D +=，则1AD A A ⊥，而1A A 和AD 不一定垂直，故C 错误.对于D ，设11A A A C AB a ===，则AC =，显然22211A A AC AC +=，11AC A A ⊥ 由1//MO A C ，所以1MO A A ⊥，而11//D D A A ，所以1OM D D ⊥ 直线1A C 与直线1A A 所成的角为90︒， 故D 正确. 故选：BD【点睛】考查线面平行、面面平行的判断与证明，考查异面直线垂直的判断与证明，基础题. 12.已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，*12,,,r n n n N ∈，*12,,,t m m m N ∈，*,r t N ∈且r t ≠，若1212r t n n n m m m +++=+++，则下列结论正确的是（ ）A. 若1a d =，则1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+．B. 若1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则1a d =．C. 若1b q =，则1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．D. 若1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则1b q =． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可； 【详解】解：对于A ，()()()1211121111r n n n r a a a a n d a n d a n d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212r r ra n n n r d n n n d =++++-=+++()()()1211121111t m m m t a a a a m d a m d a m d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212t t ta m m m r d m m m d =++++-=+++所以1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，A 正确； 对于B ，因为1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()()()()()()1112111121111111r t a n d a n d a n d a m d a m d a m d+-++-+++-=+-++-+++-()()112112r t ra n n n r d ta m m m t d ++++-=++++-()()10r t a d --=，由r t ≠，所以1a d =，B 正确.对于C ，若1b q =，121212121111111r r rr n n n n n n rn n n r n n n b b b b q b q b q b q q ---+++-+++⋅⋅⋅⋅=⋅==121212121111111t t tt m m m m tm m m m m t m m m b b b b q b q b q b q q -+++-+++--⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，C 正确. 对于D ，1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅12111111r n n n b q b q b q ---⋅=12111111t m m m b q b q b q ---⋅121r n n n rr b q +++-121t m m m tt b q +++-=，11r tb q -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为*,r t N ∈且r t ≠，当r t -是偶数时，111,b b q q=-=-，故D 错误.故选：ABC【点睛】考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n S是正项等比数列{}n a的前n和，318a=，326S=，则1a=______．公比q=______．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，解得首项和公比即可.【详解】当1q=时，333S a≠，不满足题意，故1q≠；当1q≠时，有()2131181261a qa qq⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123aq=⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15.下列结论中，正确的序号是_____．①如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；③如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．【答案】②③【解析】【分析】①中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; ②中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; ③中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; ④中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.【详解】对于①, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;对于②, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;对于③,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;对于④,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误; 故答案为: ②③【点睛】本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点、线、面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.16.已知数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n的前n项和为n S，若关于()*n n N∈的不等式2n nm S S+≥有且仅有一解，则实数m的取值范围是________．【答案】17, 212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n ≥++++++有且只有一个解，令111()12f n n n n n=++++++，可知{}()f n 为递增数列，根据单调性可得结果. 【详解】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n≥++++++有且只有一个解， 令111()12f n n n n n=++++++， 则111111(1)()()()232212f n f n n n n n n n n+-=+++-+++++++++ 11122211n n n =+-+++ 112122n n =-++0>， 所以{}()f n 为递增数列， 因为11(1)112f ==+，117(2)3412f =+=， 所以17212m ≤<. 故答案为：17,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了数列不等式有解问题，考查了数列的单调性，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与C ，D 不重合）分别在棱CD ，BD 上，且EF BD ⊥．求证：（1）//EF 平面ABC ；（2）AD AC ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）易得//EF BC ，由线面平行判定定理即可得结果；（2）由面面垂直性质定理可得BC ⊥平面ABD ，再由线面垂直判定定理得到AD ⊥面ABC ，进而可得结论.【详解】（1）BC BD ⊥，EF BD ⊥，,,BC EF BD ⊂平面BCD ，//EF BC ∴．EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．（2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，BC ∴⊥平面ABD ．AD ⊂平面ABD ，BC AD ∴⊥， AB AD ⊥，BCAB B =，∴AD ⊥面ABC ， AD AC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用，通过线面垂直得到线线垂直，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+．（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）32n n a =-【解析】【分析】（1）构造123(2)n n a a ++=+即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）123(2)n n a a ++=+首项123a +=则{}2n a +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）23n n a +=，故32n n a =-【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.19.如图，在长方体1111A B C D ABCD -中，2AB BC ==，13B B =，M 为AC 与BD 的交点．（1）证明：平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）求直线1D M 与平面1B AC 所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得AC BD ⊥，由1B B ⊥平面ABCD ，得1B B AC ⊥，从而得AC ⊥平面11D DBB 进而可证平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足为H ，可得1D H ⊥平面1B AC ，则1D MH ∠为1D M 与平面1B AC 所成的角，再由已知的数据可得到11MB D 为正三角形，从而得160D MH ︒∠=.【详解】（1）长方体1AC 中，四边形ABCD 为矩形，且AB BC =，∴四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，长方体1AC 中，1B B ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，1B B AC ∴⊥．1,BD B B ⊂平面11D DBB ，1BD B B B ⋂=，AC ∴⊥平面11D DBB ．AC ⊂平面1B AC ，∴平面11D DBB ⊥平面1B AC ．（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足H ，平面11D DBB ⊥平面1B AC ，平面11D DBB ⋂平面11B AC MB =，1D H ⊂平面11D DBB ，1D H ∴⊥平面1B AC ，1D M ∴在平面1B AC 上的射影为MH ，1D M ∴与平面1B AC 所成的角为1D MH ∠．在1Rt B BM 中，112MB BD ===，1B B =，12MB ∴==．同理，12MD =，112B D BD ==，11MB D ∴为正三角形，160D MH ︒∴∠=，∴直线1D M 与平面1B AC 所成的角为60︒．【点睛】此题考查了证明面面垂直，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查了运算能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，310a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 是公比0q >的等比数列，且11b a =，582b a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-；2n n b =；（2）2(23)212n n T n +=-⋅+．【解析】【分析】（1）利用等差中项及310a =可知1+210a d =，进而通过125,,a a a 成等比数列计算可知()()21114a d a a d +=⋅+，由此可求得42n a n =-，利用11b a =，582b a =+求出12,2b q ==进而计算可得{}n a ，{}n b 的通项公式（2）通过（1）可知(42)2n n n a b n =-⋅，进而利用错位相减法计算即得．【详解】（1）310a =，1210a d ∴+=，①125,,a a a 成等比数列，2215a a a ∴=⋅即()()21114a d a a d +=⋅+，②由①②得：142d a =⎧⎨=⎩或1010d a =⎧⎨=⎩，0d ≠，14,2,d a =⎧∴⎨=⎩42n a n ∴=-． 11582,232,b a b a ==⎧⎨=+=⎩44512b q b ∴==，0q >，2q ∴=， 1222-∴=⋅=n n n b ．（2）1122n n n T a b a b a b =+++1212262(46)2(42)2n n n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅，23122262(46)2(42)2n n n T n n +∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， ()23144222(42)2n n n T n +∴-=+⋅+++--⋅ ()21121244(42)212n n n -+⋅-=+⋅--⋅-，2(32)212n n +=-⋅-，2(23)212n n T n +∴=-⋅+．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21.在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD =，,,E F M 分别为棱SA ，SB ，AD 上的点，且(0)SE SF DM t t EA FB MA===>．（1）求证：平面//MEF 平面SCD ；（2）若1t =，求二面角A EM B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）233． 【解析】【分析】（1）由(0)SE SF DM t t EA FB MA===>可得//EF AB ，//EM SD ，而由//AB CD 得//EF CD ，从而由线面平行的判定定理可得//EF 平面SCD ，//EM 平面SCD ，所以可证得平面//MEF 平面SCD ；（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ，由已知条件可推出EM HB ⊥，所以AHB ∠为二面角A EM B --的平面角，然后在Rt BAH △中可求出AHB ∠的正切值.【详解】（1）SESFEA FB =，//EF AB ∴．四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，//EF CD ∴．EF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，//EF ∴平面SCD ．SE DMEA DA =，//EM SD ∴．EM ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，//EM ∴平面SCD ．EFIEM E =，,EF EM ⊂平面MEF ，∴平面//MEF 平面SCD ．（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ．四边形ABCD 是矩形，AB AD ∴⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面SAD ．EM ⊂平面SAD ，AB EM ∴⊥，AH EM ⊥，AB AH A ⋂=，AB ，AH ⊂平面ABH ，EM ∴⊥平面ABH ，HB ⊂平面ABH ，EM HB ∴⊥．AHB ∴∠为二面角A EM B --的平面角．1t =，,E M ∴分别为棱SA ，AD 的中点， SAD △是等边三角形，2AD =，EAM ∴是等边三角形，1AM =，2AH ∴= 在Rt BAH △中，2AH =，1AB =，tan AB AHB AH ∠== ∴二面角A EM B --【点睛】此题考查了证明面面平行，求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.数列{}n a 中，13a =，26a =，其前n 项和为n S ，且()11(2)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥．（1）求证：数列{}n S 是等比数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）设()()1211n n n n S b S S +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）证明见解析；3n n S =；（2）111231+=--n n T ． 【解析】【分析】- 21 - （1）由()11n n n n n a a S a a ++-⋅=⋅，化简得211n n n S S S -+=⋅，结合等比数列的性质，证得数列{}n S 是等比数列，进而求得其通项公式．（2）由（1），化简()()1211n n n n S b S S +=--1113131n n +=---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由题意，因为()11(2,)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥，所以()()()()1111n n n n n n n n n S S S S S S S S S +--+---⋅=-⋅-⎡⎤⎣⎦，可得211(2),n n n S S S n -+=⋅≥， 因为1130S a ==≠，21290S a a =+=≠，所以0n S ≠， 所以11,(2)n n n nS S n S S +-=≥，所以数列{}n S 是等比数列． 则公比213S q S ==，所以数列{}n S 通项公式为1333n n n S -=⋅=． （2）由（1）可得()()1211n n n n S b S S +=--()()1233131n n n +⋅=-⋅-1113131n n +=---， 所以12231111111313131313131n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111231n +=--． 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习一一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. 3√3B. 4√3C. ．√3D. 2√32.若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足()A. a//β，且b//β.B. a⊂β，且b//β．C. a⊥β，且b⊥β.D. a⊂β，且b⊥β．3.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是()A. −2B. −12C. 2 D. 124.在数列{a n}中，若a1=1,a2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，则该数列的通项为()A. a n=1n B. a n=2n+1C. a n=2n+2D. a n=3n5.已知x>0，y>0，x+3y=1，则1x +13y的最小值是()A. 2√2B. 2C. 4D. 2√36.给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β，γ是空间中不同的平面)：①若a//b，b⊂α，则a//α；②若a⊥b，b⊥α，则a//α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α.其中正确的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A. 32√3πB. 48πC. 24πD. 16π8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx−y+4=0与直线l2：x+ky−3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x−3y+10=0的距离的最大值为()A. 2B. 92C. 112D. 74二、多项选择题（本题20分）9.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3= 12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列{lga n}是公差为2的等差数列10.已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n； ②m//n，m//α⇒n//α； ③m//n，m⊥α⇒n⊥α； ④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是()A. 恒有BM//平面A1DEB. B与M两点间的距离恒为定值C. 三棱锥A1−DEM的体积的最大值为D. 存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD12.设数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和;若数列{b n}满足：b n=(2−n)(a n−1)，且对任意的正整数n，都有b n+14t⩽t2成立，则有以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}的最大项为b3或b4C. t的取值范围为[−14,1 2 ]D. S n>n−1对任意的n∈N∗恒成立三、填空题（本大题20分）13.若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b9=90，则b4+b6=．14.已知实数a>0，b>0，且1a +1b=1，则3a−1+2b−1的最小值为______．15.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______16.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1+a n1−a n，则a1a2a3…a14=________；设b n=(−1)n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则6S2020=________．三、解答题。

江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习一一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. 3√3B. 4√3C. ．√3D. 2√32.若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足()A. a//β，且b//β.B. a⊂β，且b//β．C. a⊥β，且b⊥β.D. a⊂β，且b⊥β．3.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是()A. −2B. −12C. 2 D. 124.在数列{a n}中，若a1=1,a2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，则该数列的通项为()A. a n=1n B. a n=2n+1C. a n=2n+2D. a n=3n5.已知x>0，y>0，x+3y=1，则1x +13y的最小值是()A. 2√2B. 2C. 4D. 2√36.给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β，γ是空间中不同的平面)：①若a//b，b⊂α，则a//α；②若a⊥b，b⊥α，则a//α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α.其中正确的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A. 32√3πB. 48πC. 24πD. 16π8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx−y+4=0与直线l2：x+ky−3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x−3y+10=0的距离的最大值为()A. 2B. 92C. 112D. 74二、多项选择题（本题20分）9.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列{lga n}是公差为2的等差数列10.已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n； ②m//n，m//α⇒n//α； ③m//n，m⊥α⇒n⊥α； ④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是()A. 恒有BM//平面A1DEB. B与M两点间的距离恒为定值C. 三棱锥A1−DEM的体积的最大值为D. 存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD12.设数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和;若数列{b n}满足：b n=(2−n)(a n−1)，且对任意的正整数n，都有b n+14t⩽t2成立，则有以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}的最大项为b3或b4C. t的取值范围为[−14,1 2 ]D. S n>n−1对任意的n∈N∗恒成立三、填空题（本大题20分）13.若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b9=90，则b4+b6=．14.已知实数a>0，b>0，且1a +1b=1，则3a−1+2b−1的最小值为______．15.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C 相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______16.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1+a n，则a1a2a3…a14=________；设b n=(−1)n a n，数列1−a n{b n}前n项的和为S n，则6S2020=________．三、解答题。

2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线10x +-=的倾斜角为( ) A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解. 【详解】10x -=化为33y x =-+，直线的斜率为0150. 故选:D. 【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题. 2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，510a =，则（ ） A ．515n a n =- B ．35n a n =- C ．228n S n n =- D ．24n S n n =-【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ．40S =，510a =， 1460a d ∴+=，1410a d +=，解得：16a =-，4d =， 64(1)410n a n n ∴=-+-=-．2(6410)282n n n S n n -+-==-．故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．过点()2,3-作圆224x y +=的切线，则切线的方程为（ ） A ．5+12260x y -=B ．512460x y -+=C ．5+12260x y -=或2x =-D ．5+12260x y -=或3y =【答案】C【解析】首先，圆224x y +=的圆心为原点，半径为2，然后讨论：当过点(2,3)-的直线斜率不存在时，方程是2x =-，通过验证圆心到直线的距离，得到2x =符合题意；当过点(2,3)-的直线斜率存在时，设直线方程为3(2)y k x -=+，根据圆心到直线的距离等于半径2，建立关于k 的方程，解之得k ，进而得到直线的方程．最后综合可得答案． 【详解】圆224x y +=的圆心为原点，半径为2． （1）当过点(2,3)-的直线垂直于x 轴时， 此时直线斜率不存在，方程是2x =-，因为圆心(0,0)O 到直线的距离为2d r ==，所以直线2x =-符合题意； （2）当过点(2,3)-的直线不垂直于x 轴时，设直线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=．直线230kx y k -++=是圆224x y +=的切线∴点(0,0)O 到直线的距离为2d ==，解之得512k =-．此时直线方程为53(2)12y x -=-+，即512260x y +-=． ∴切线方程为512260x y +-=或2x =-．故选：C ． 【点睛】本题考查圆的切线方程，借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点． 4．下列说法正确的是（ ）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α不存在与l 平行的直线B ．如果直线//l 平面α，平面//α平面β，那么直线//l 平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面//α平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥面γ，那么平面//α平面β 【答案】C【解析】对于A ，当l α⊂时，平面α内存在与l 平行的直线；对于B ，直线//l 平面β或直线l ⊂平面β；对于C ，由面面平行的性质得直线l 与平面β也相交；对于D ，平面α与平面β相交或平行． 【详解】解：对于A ，如果直线l 不平行于平面α，那么当l α⊂时，平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；对于B ，如果直线//l 平面α，平面//α平面β，那么直线//l 平面β或直线l ⊂平面β，故B 错误；对于C ，如果直线l 与平面α相交，平面//α平面β，那么由面面平行的性质得直线l 与平面β也相交，故C 正确；对于D ，如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α与平面β相交或平行，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属于中档题．5．在数列{}n a 中，12a =，23a =，26n na a +=-，则2020a =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】B【解析】利用已知条件，求出数列的周期，然后求解即可． 【详解】解：数列{}n a 中，12a =，23a =，26n na a +=-，可得42666n n n na a a a ++=-=-=-，所以数列{}n a 的周期为4， 42a =-，则20205044442a a a ⨯+===-， 故选：B ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键，属于基础题．6．关于x 的不等式()22140x m x m -++≤的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．151,,322⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 【答案】B【解析】不等式化为(2)(2)0x x m --，讨论22m 和22m >时，求出不等式的解集，从而求得m 的取值范围． 【详解】原不等式可化为(2)(2)0x x m --， 若1m ，则不等式的解是[2m ，2]， 不等式的解集中不可能有4个正整数， 所以1m ，不等式的解是[2，2]m ；所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5； 令526m <，解得532m <； 所以m 的取值范围是5[2，3)．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（） A ．15 B ．155C ．5 D ．5 【答案】A【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值． 【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ===． ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8．设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值【答案】B【解析】0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12a a a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】0a >，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a---+=+=+-=+-+-=++-+---- 12111a a a-+=-，当且仅当1a =-，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ． 【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．二、多选题9．若0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A ．11a a b>- B ．b a a b> C ．2211a b> D ．22a ab b >>【答案】AD【解析】利用特殊值及不等式的性质计算可得； 【详解】解：根据0a b <<，取2a =-，1b =-，则可排除BC ．0a b <<所以2a ab >，且2ab b >，即22a ab b >>0b ->所以0a b a >->，所以11a a b>- 故选：AD 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊥，m β⊥，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//αβ，则//l m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//m α，则αβ⊥ D ．若l m ⊥，则αβ⊥【答案】ABCD【解析】直接利用直线与平面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果． 【详解】解：已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊥，m β⊥， 故直线l 和直线m 相当于平面α和β的法线．故：当//αβ时，且l α⊥，m β⊥，则//l m ，正确． 当αβ⊥，且l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，正确． 当//m α，且l α⊥，m β⊥，则αβ⊥，正确． 当l m ⊥，且l α⊥，m β⊥，则αβ⊥，正确． 故选：ABCD ． 【点睛】本题考查的知识要点：直线与平面的平行和垂直的判定和性质的应用，法向量的应用，主要考查学生对理论知识的运用，属于基础题．11．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ） A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【答案】AC【解析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．12．已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与圆22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合，直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=．下列说法正确的是（ ） A ．若两圆相交，则l 是两圆的公共弦所在直线 B ．直线l 过线段MN 的中点C ．过直线l 上一点P （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =D ．直线l 与直线MN 相互垂直 【答案】ACD【解析】A.直接利用两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；B. 表示出线段MN 的中点判断是否在直线l 上即可；C.由切线长定理判断；D. 利用直线的斜率判断. 【详解】A. 联立两圆方程得：111222D x E y F D x E y F ++=++整理得：()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，为两圆的公共弦所在直线，故正确；B. 设圆M 的半径为1r ，圆N 的半径为2r ，11,22DE M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22,22D E N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，线段MN 的中点为1212,44D D E E ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()()121212121244D D E E D D E E F F ++⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222212121244D DE EF F --=--+-，222222222111224444D E F D E F r r +-+-=-=-，所以当两圆半径相等时成立，故错误；C.设()00,P x y ，则()()120120120D D x E E y F F -+-+-=，由切线长定理得：22222211100101014||||4D E F PA PM x y D x E y F +-=-=++++，22222222200202024||||4D E F PB PN x y D x E y F =+--=++++，所以22||0PA PB -=，即PA PB =，故正确； D. 因为11,22D E M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,22DE N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率21121E E k D D -=-，直线l 的斜率为21221D D kE E -=-，则121k k =-，所以l 直线MN 相互垂直，故正确； 故选：ACD 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线长定理，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为2，则该棱锥的的外接球的表面积为________ 【答案】3π【解析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求棱锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，用球的表面积公式求出表面积. 【详解】如图，正三棱柱S ABC -中，侧棱长1SA SB SC ===， 底面边长2AB AC BC ===，过点S 做SE ⊥平面ABC 于点E ，E 即为底面ABC 的外心，记球心为O ， 因为在正三棱柱S ABC -2，侧棱长为1，23623BE =⨯=， 2223133SE SB BE ∴=-=-=因为球心O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱柱外接球的半径R ，OB R ∴=，33OE R ∴=- 在Rt OBE 中，222OB BE OE =+ 即2223)33R R =+-，解得3R ， 外接球的表面积为243S R ππ==， 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查正三棱柱的外接球与正三棱柱之间的关系，球表面积以及计算能力. 14．若圆()()()222:440M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r的取值范围是________ 【答案】()4,6【解析】根据题意，设圆N ，其圆心为(1,0)N ，半径1R =；分析圆M 的圆心与半径，由圆与圆的位置关系分析可得圆M 与圆N 相交，必有1||1r MN r -<<+，解可得r 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设圆N ，其圆心为(1,0)N ，半径1R =； 圆222:(4)(4)M x y r -+-=，圆心(4,4)M ，半径为r ，若圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>上恰有两点到点(1,0)N 的距离为1，则圆M 与圆N 相交，必有1||1r MN r -<<+，即151r r -<<+，解可得46r <<， 即r 的取值范围为(4,6)； 故答案为：(4,6) 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为圆与圆相交的问题，属于基础题．15．函数()()432390x x x f x x x+++=>的最小值为________【答案】6+【解析】对解析式进行变形得2293()f x x x x x=+++，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】2293()f x x x x x=+++2926⋅+=+等号成立，当且仅当x =故答案为：6+. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.16．对于任意一个偶数m ，都存在奇数n 及正整数t ，使得2t m n =⋅，我们把n 称为m 的“奇因子”．若数列{}n a 的通项公式为2222n n n a n +=⋅-，则该数列的前n 项的“奇因子”的倒数之和为________ 【答案】21nn + 【解析】将2222n n n a n +=⋅-化简整理为()22222241n n n n a n n +=⋅-=-，可得奇因子为241n -，然后用裂项求和法求2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和. 【详解】 因为()22222241n n n n a n n +=⋅-=-，所以奇因子为241n -， 所以奇因子”的倒数为2141n -，即11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭其前n 项和为111111*********212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 故答案为：21nn + 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和，读懂题意最关键，属于基础题.四、解答题17．在长方体1111A B C D ABCD -中，ACBD O =，E 为棱1C C 的中点．（1）求证：1//AC 平面BDE ；（2）若四边形ABCD 为正方形，求证：BD ⊥平面11A ACC ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结OE ，推导出1//OE AC ，由此能证明1//AC 平面BDE ．（2）推导出1CC BD ⊥，BD AC ⊥，由此能证明BD ⊥平面11A ACC ． 【详解】证明：（1）连结OE ，在长方体1111A B C D ABCD -中， 四边形ABCD 为矩形，O ∴是AC 中点，E 为棱1C C 的中点，1//OE AC ∴，OE ⊂平面BDE ，1AC ⊂平面BDE ， 1//AC ∴平面BDE ．（2）解：在长方体1111A B C D ABCD -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =，BD ∴⊥平面11A ACC ．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，属于中档题．18．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2-，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BD 所在的直线方程为220x y +-=．求直线BC 的方程．【答案】94260x y --=．【解析】根据直线BD 的方程设出点(,22)B b b -，可得AB 的中点M 的坐标，再把点M 的坐标代入CM 所在的直线方程求出b 的值，可得B 的坐标，再用两点式求得BC 的方程．【详解】解：因为AC 边上的高线BD 所在直线方程为220x y +-=， 所以直线AC 的斜率为12，又直线AC 过点()4,2A - 所以直线AC 的方程为280x y -+=． 联立直线AC 与MC 的方程：28010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得67x y =⎧⎨=⎩ 所以C 的坐标为()6,7因为B 为直线220x y +-=上一点，所以设()00,22B x x - 又M 为AB 的中点，所以004,22x M x -⎛⎫-⎪⎝⎭因为M 点在直线10x y -+=上，所以02x =，即()2,2B - 所以直线BC 的方程为94260x y --=． 【点睛】本题主要考查两条直线垂直的性质，用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足123n n S a a =-，且12333a a a -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使得492985n T ≤成立的n 的最大值．【答案】（1）3nn a =；（2）6.【解析】（1）根据123n n S a a =-，可得{}n a 是等比数列，根据12333a a a -+=，可得1a 的值，即可得数列{}n a 的通项公式. （2）由{}n a 的通项公式，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用等比数列求和得n T ，令492985n T ≤，解得n 的范围，即可得n 的最大值. 【详解】（1）由已知123n n S a a =-，有()111232n n S a a n --=-≥， 两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即323a a =，又因为12333a a a -+=，所以130a =≠， 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为3nn a =.（2）由（1）得，113n n a =，所以21111111133113332313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪⎝⎭-， 因为492985n T ≤，所以198413985n -≤即3985n ≤， 解得16n ≤≤，所以使得不等式成立的n 的最大值为6． 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，解指数不等式，属于中档题. 20．已知函数()()101k a f x x x =<<与()()()21011k ag x x x-=<<-，其中1k ，2k ，a 均为常数，且()0,1a ∈，2338a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，314g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求1k ，2k 的值； （2）若()()920f xg x +>对于任意()0,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）114k =；214k =；（2）14,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）分别根据2338a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，314g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．代入求值，求出1k ，2k 的值即可；（2）问题转化为1915a a x x -+>-恒成立，根据基本不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：（1）因为()()101k af x x x =<<且2338a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以114k =；又因为()()2(1)011k a g x x x -=<<-且314g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以214k =． （2）因为()()920f x g x +>对于任意()0,1x ∈恒成立，即1915a a x x -+>-恒成立 又因为()0,1x ∈()0,1a ∈，所以()()()()1111112111a x a x a a x x a a x x x x ---⎛⎫++-=++≥+- ⎪--⎝⎭即()91215a a +->解得1455a <<，所以实数a 的取值范围为14,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了函数代入求值问题，考查函数恒成立以及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．21．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=，2PA AD ==，E 为AD 的中点．（1）求证：平面PCE ⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面PAD 所成的角的正切值； （3）求二面角A PD C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（215；（3）427. 【解析】（1）推导出DA DC =，CE AD ⊥，CE PA ⊥，从而EC ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCE ⊥平面PAD ．（2）斜线PC 在平面内的射影为PE ，CPE ∠是PC 与平面PAD 所成角的平面角，推导出PA AD ⊥，EC PE ⊥，由此能求出PC 与平面PAD 所成角的正切值． （3）过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，推导出EC PD ⊥，PD ⊥平面EMC ，PD CM ⊥，EMC ∠是二面角A PD C --的平面角，由此能求出二面角A PD C --的正弦值．【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以DA DC =．又60ADC ∠=︒，所以ADC 为等边三角形，即有CA CD =， 又在ADC 中，因为E 的AD 中点，所以CE AD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以CE PA ⊥．又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以EC ⊥平面PAD 又CE ⊂平面PCE 所以平面PCE ⊥平面PAD（2）因为EC ⊥平面PAD ，所以斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠为PC 与平面PAD 所成的角的平面角．因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥在Rt PAE 中，PE ==在Rt CED 中，CE ==因为EC ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，所以EC PE ⊥在Rt CEP △中，有tan CE CPE PE ∠==所以PC 与平面PAD ． （3）在平面PAD 中，过E 点作EM PD ⊥，垂足为M ，连接CM 因为EC ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以EC PD ⊥ 又EMCM M =，EM ⊂平面EMC ，CM ⊂平面EMC所以PD ⊥平面EMC 又CM ⊂平面EMC所以PD CM ⊥，即EMC ∠为二面角A PD C --的平面角在Rt EMD △中，1ED =，45ADP ∠=︒，所以2EM MD ==在Rt CMD中，2MD =，2CD =，所以2CM ==在EMC △中，EC =，由余弦定理222173cos 2ME MC EC EMC ME MC +-+-∠===⋅所以二面角A PD C --的正弦值为7【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属于中档题． 22．已知：()A，)B，点C 在x 轴上方，且60ACB ∠=，ABC 的外接圆的圆心为M ．设()00,P x y 为圆221:4O x y +=上的动点，且点P 在第一象限，圆O 在点P 处的切线交圆M 于()11,E x y ，()22,F x y 两点． （1）求ABC 的外接圆M 的方程； （2）求EF 的长度的取值范围； （3）求()1202x x x +-的最小值． 【答案】（1）()2214x y +-=；（2）EF ⎤∈⎦；（3）-1. 【解析】（1）由A ，B 的坐标可得ABC 的外接圆的圆心在线段AB 的中垂线上，即圆心M 在y 轴上，因为C 在x 轴的上方，所以M 在y 轴的正半轴上，由60ACB ∠=︒，所以120AMB ∠=︒，所以可得60OMA OMB ∠=∠=︒，在直角三角形中求出OM ，MB 的值，进而求出圆M 的方程；（2）由OP EF ⊥可得，由P 的坐标可得直线OP 的斜率，进而求出直线EF 的斜率，因为P 为切点，求出直线EF 的方程，过M 作MHEF ⊥ 可得，H 为EF 的中点，由点到直线的公式，求出MH的值，所以EF =P 的纵坐标的范围求出EF 的范围；（3）由（2）可得H 为EF 的中点可得H 的坐标与E ，F 坐标的关系，将直线EF ，MH的方程联立求出H 的横坐标，进而可得E ，F 的横坐标之和，也P 在圆2214x y +=上，由均值不等式可得00x y 的范围，进而可得120()2x x x +-的最小值． 【详解】（1）在圆M 中，因为60ACB ∠=︒，所以120AMB ∠=︒因为圆M 过点A 、B ，点C 在x 轴上方，所以圆心M 在y 轴的正半轴上， 即60MOA MOB ∠=∠=︒又在直角三角形MOB 中，因为OB =1OM =，2MB = 所以ABC 的外接圆M 的方程为()2214x y +-=（2）设()00,P x y ，00x >，00y >，则220014x y +=，0OP y k x =又因为OP EF ⊥，所以0EF x k y =-又直线EF 过点P ，所以直线EF 的方程为00104x x y y +-= 过M 点MHEF ⊥，垂足为H ，则0124MH y =-所以EF ==因为0102y <<，所以EF ⎤∈⎦（3）EF 中点H 的横坐标为122x x + 因为//OP MH ，所以0MH y K x =，即直线MH 的方程为0000y x x y x -+= 又直线EF 的方程为00104x x y y +-=，联立方程组0004H x x x y =- 1200028x x x x y +=-因为220000124x y x y +=≥（当且仅当00x y ==0018x y ≤ 所以()12000281x x x x y +-=-≥-，即()1202x x x +-的最小值为1-．【点睛】本题考查求圆的方程及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．。

江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知ABC 中，4a =，b =30A︒=，则B 等于（ ）． A. 60︒或120︒B. 30︒C. 60︒D. 30︒或150︒ 【答案】A【解析】【分析】 应用正弦定理，得到sin sin b A B a=，再由边角关系，即可判断B 的值.【详解】解：∵4a =，b =，30A ︒=，∴由sin sin a b A B =得1sin 2sin 4b A B a ===,a b A B <∴<，∴B ＝60︒或120︒.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.2. 已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ）A. 22a b <B. 2a ab <C. 11a b <D. 1b a< 【答案】D【解析】【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项. 【详解】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的. 11a b -=110,.b a ab a b->∴>所以C 选项是错误的.1b a -=0, 1.b a b a a-<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3. 等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则前9项和9S =（ ）A. 1620B. 810C. 900D. 675【答案】B【解析】【分析】由34567450a a a a a ++++=得55450a =，然后利用959S a =算出答案详解】由34567450a a a a a ++++=得55450a =，所以590a =所以959810S a == 故选：B 【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.4. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是（）A. ()(),32,-∞-⋃-+∞B. ()3,2--C ()(),23,-∞+∞ D. ()2,3【答案】D【解析】【分析】由条件求出6,5a b =-=即可【详解】因为不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【.所以11,23--是方程210ax bx --=的两个根 所以由韦达定理得：1123b a --=，11123a ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得6,5a b =-=所以不等式20x bx a --<即为2560x x -+<解得23x <<故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式与一元二次方程的关系及一元二次不等式的解法，较简单. 5. 已知△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c a a b b c +++=1，则B 的大小为（ ） A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】 将条件1c a a b b c+=++化简整理得222c a b ac +=+，再通过余弦定理便可求得角B 的大小． 【详解】解：c a 1a b b c+=++ ()()()()c b c a a b 1a b b c +++∴=++ ()()()()c b c a a b a b b c ∴+++=++222cb c a ab ab b bc ac ∴+++=+++222c a b ac ∴+-=两边同时除以2ac 得cos 222c a b ac 1B 2ac 2ac 2+-∴=== (0,)B π∈3B π∴=，故选B【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题．6. 若0,0x y >>且191x y +=，则x y +的最小值是（ ） A. 6B. 12C. 24D. 16 【答案】D【解析】试题分析：()199101016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当9y x x y =时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A. 281盏B. 9盏C. 6盏D. 3盏 【答案】D【解析】【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，得到数列{}n a 的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项公式，即可求解．【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 的公比为2的等比数列， 所以717(12)38112a S -==-，解得13a =， 即塔的顶层共有3盏灯，故选D ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】B【解析】【分析】设括号里的数为x ，则()()()210111144+91612x a a a a d a d a x d a x d ++=++++-=++，因为()116111115S a a d ==+所以要使得题目中的命题成立，则有1230x +=，然后算出即可.【详解】设括号里的数为x则()()()210111144+91612x a a a a d a d a x d a x d ++=++++-=++因为()116111115S a a d ==+所以要使得题目中的命题成立，则有1230x +=解得18x =故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和的性质，较简单.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（ ）A. 70a =B. 130S =C. 7S 最小D. 58S S =【答案】ABD【解析】【分析】由条件可得70a =，然后逐一判断每个选项即可【详解】因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d +=即160a d +=，即70a =所以137130S a == 67878530a a S S a a -=++==所以正确有ABD故选：ABD【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前n 项和的性质，属于典型题.10. 下列选项中，值为14的是（ ） A. cos72cos36︒︒ B. 5sin sin 1212ππC. 1sin 50+︒D. 212cos 1533-︒ 【答案】AB【解析】【分析】把每个选项中的式子的值算出来即可 【详解】2cos72cos36sin 36cos72sin 722cos72sin 72sin1441cos72cos362sin 362sin 364sin 364sin 364︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====︒︒︒︒，故A 满足 sin 2sin cos 511212sin sin sin cos 121212122246πππππππ====，故B 满足12sin 8041sin 50sin1002︒+===︒︒，故C 不满足 ()221211cos 1512cos 15cos303333-︒=-︒=-︒=D 不满足 故选：AB【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.11. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A. 4x x y e e -=+B. ()4sin 0sin y x x x π=+<<C. 2y =D. ()3log log 811x y x x =+>【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和双勾函数的知识，把每个选项中的式子的最小值算出来即可.【详解】44x x y e e -≥+==当且仅当4x x e e -=，即ln 2x =时等号成立，故A 满足因为(]sin 0,1x ∈，所以根据双勾函数的知识可知当sin 1x =时 ()4sin 0sin y x x xπ=+<<取得最小值5，故B 不满足 2y ==所以根据双勾函数的知识可知当0x =时2y =取得最小值5故C 不满足33log log 81log 4log 34x x y x x =+=+≥=当且仅当3log 4log 3x x =即9x =时等号成立，故D 满足故选：AD【点睛】运用基本不等式求最值时要满足条件“一正二定三相等”12. 在三角形ABC 中，下列命题正确的有（ ）A. 若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解B. 若0tan tan 1A B <⋅<，则ABC ∆一定是钝角三角形C. 若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D. 若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A 错误，由0tan tan 1A B <⋅<可推出cos cos sin sin 0A B A B ->，然后可得B 正确，由()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，然后可推出C 正确，由cos cos a b c B c A -=⋅-⋅可得sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-，然后可推出D 正确.【详解】因为30A =︒，4b =，5a = 所以由正弦定理得sin 2sin 5b A B a ==，b a < 所以B 角只有一个解，故A 错误由0tan tan 1A B <⋅<，即 sin sin 01cos cos A B A B<< 所以cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +> 所以2A B π+<，所以2C A B ππ=-->，故ABC ∆一定是钝角三角形 故B 正确因()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=所以60A B C ===︒，故C 正确因为cos cos a b c B c A -=⋅-⋅所以sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-所以sin sin cos sin sin cos A C B B C A -=-因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以sin cos sin cos B C A C =，所以cos 0C =或sin sin A B = 所以2C π=或A B =，所以ABC ∆的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13. 若实数x 满足4x >-,则函数()94f x x x =++最小值为_________ . 【答案】2【解析】分析：由题意可得x +4＞0，变形可得f （x ）=x +94x +=x+4+94x +﹣4，由基本不等式可得． 详解：＞x＞＞4＞＞x+4＞0＞ ＞f＞x＞=x+94x +=x+4+94x +＞4＞4=2 当且仅当x +4=94x +即x=﹣1时取等号， 故答案为2．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 如图所示，ABCD 为圆内接四边形，若45DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，6CD =，则线段AD =______.【答案】【解析】【分析】由30ABD ACD ∠=∠=︒，45DBC DAC ∠=∠=︒，6CD =及正弦定理即可解出答案【详解】因为30ABD ACD ∠=∠=︒，45DBC DAC ∠=∠=︒，6CD =所以在ADC 中由正弦定理得：sin sin AD CD ACD DAC =∠∠即6sin 30sin 45AD =︒︒，解得AD =故答案为：【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单.15. 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=.则数列的公比q =______.【解析】【分析】分1q =和1q ≠两种情况讨论，当1q ≠时，可得()()()3691111121111a q a q a q q q q---+=---，然后化简解出来即可.【详解】若1q =，则3161913,6,9S a S a S a ===，不满足3692S S S +=所以1q ≠所以()()()3691111121111a q a q a q qq q ---+=--- 整理得：()363210q qq --= 由0q ≠得63210q q --= 即()()332110q q +-=，所以3210q +=解得q =【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单，但要注意讨论1q =的情况不成立. 16. 若＞ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_____．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c +=,所以2a c +=,2222231422cos 22a b a b c C ab ab++-==,由于223142a b ab +≥=,故cos C ≥,所以cos C. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出2231422a b ab +≥=，再算出结果来.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边．(1)若ABC ∆的面积260ABC S c A ︒∆===，，求,a b 的值； (2)若=cos a c B ，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）1a b ==；（2）等腰直角三角形． 【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b 边，1sin 2ABC S bc A ∆==12sin 602b ∴⋅︒=得1b =，再由由余弦定理得：222222cos 12212cos603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=，所以a =（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为cos a c B =，所以由余弦定理得：2222222a c b a c a b c ac+-=⋅⇒+=，所以90C ∠=︒，在Rt ABC ∆中，sin a A c =，所以a b c a c=⋅=，所以ABC ∆是等腰直角三角形.解：（1）1sin 2ABC S bc A ∆==， 2分12sin 6022b ∴⋅︒=，得1b = 3分 由余弦定理得：222222cos 12212cos603a bc bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=， 5分所以a =6分（2）由余弦定理得：2222222a c b a c a b c ac+-=⋅⇒+=，所以90C ∠=︒ 9分 在Rt ABC ∆中，sin a A c =，所以a b c a c=⋅= 11分 所以ABC ∆是等腰直角三角形； 12分考点：正余弦定理18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设,2n n n a a b =求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（＞）n a n =；（＞）11222n n n n T -=--． 【解析】【分析】【详解】（＞）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，＞356,15S S == ＞11133(31)62{155(51)152a d a d +⨯⨯-=+⨯⨯-=即112{23a d a d +=+=，解得111a d =⎧⎨=⎩ ＞{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=（＞）由（＞）得22n n n a n a n b == ＞231123122222n n n n n T --=+++++＞ ＞式两边同乘以12，得234111*********n n n n n T +-=+++++＞ ＞-＞得23111111222222n n n n T +=++++- 111111*********n nn n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=---＞11222n n nn T -=-- 考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式，错位相减法19. 解关于x 的不等式：220ax x ++≤.【答案】见解析【解析】【分析】分0a =、108a <<、18a =、18a >、0a <五种情况讨论即可. 【详解】当0a =时，原不等式等价于20x +≤，所以解为2x -≤，当0a ≠时，18a ∆=-， 当0a >时，令180a ∆=->得108a <<， 所以当108a <<时，0∆>，不等式所对应方程的根为112x a --=或212x a-+=，此时不等式的解为12x x x ≤≤； 当18a =时，0∆=，不等式的解为12x a=-； 当18a >时，∆<0，不等式的解集为∅； 当0a <时，180a ∆=->，原不等式等价于2120x x a a++≥，不等式所对应方程的根112x a --=或212x a-+=（且12x x >）， 所以不等式的解为2x x ≤或1x x ≥.综上可知：当0a =时，解集为{}|2x x ≤-；当108a <<时，不等式的解集为12x a ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭， 当18a =时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；当18a >时，不等式的解集为∅；当0a <时，不等式的解集为x x x ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭. 【点睛】解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小.20. 根据下列条件，求数列{}n a 的通项公式.（1）11a =，12n n n a a +=+；（2）112a =，()1121n n n a a n n --=≥+. （3）18999a =，1101n n a a +=+. 【答案】（1）21n n a =-；（2）()11n a n n =+；（3）11109n n a +=- 【解析】【分析】（1）用累加法求出n a 即可（2）用累乘法求出n a 即可（3）由1101n n a a +=+得111011010999n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，然后可得数列19n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，其中首项为111009a +=，公比为10 【详解】（1）由题意知12n n n a a +-=，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 121222212112nn n n ---=++++==--. （2）因为()1121n n n a a n n --=≥+， 所以当2n ≥时，111n n a n a n --=+， 所以111n n a n a n --=+，122n n a n a n ---=，…，3224a a =，2113a a =， 以上1n -个式子相乘得132******** (143)n n n n a a a a n n a a a a n n -----⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+， 即111211n a a n n=⨯⨯⨯+，所以()11n a n n =+. 当1n =时，111122a ==⨯，也与已知112a =相符， 所以数列{}n a 的通项公式为()11n a n n =+. （3）由1101n n a a +=+，得111011010999n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，即1191019n n a a ++=+. 所以数列19n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，其中首项为111009a +=，公比为10， 所以11110010109n n n a -++=⨯=，即11109n n a +=-. 【点睛】本题考查的是三个常见的求通项公式的方法，较简单.21. 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x 套旧设备.（1）如果10年后该校学生人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ （2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考：【答案】（1）a 32套；（2）16年 【解析】【分析】 （1）10年后学生人数为()101 4.9 1.05b b +=‰，设今年起学校的合格实验设备为数列{}n a ，然后可得数列{}10n a x -是首项为1.111a x -，公比为1.1的等比数列，然后求出10a 即可算出答案.（2）根据（1）中的结果，直接算出即可【详解】（1）今年学生人数为b 人，则10年后学生人数为()101 4.9 1.05b b +=‰，设今年起学校的合格实验设备为数列{}n a则1 1.1a a x =-，1 1.1n n a a x +=-令()1 1.1n n a a λλ++=+，则1 1.10.1n n a a λ+=+所以0.1x λ=-，即10x λ=-所以数列{}10n a x -是首项为1.111a x -，公比为1.1的等比数列所以()110 1.111 1.1n n a x a x --=-⋅，即()110 1.111 1.1n n a x a x -=+-⋅所以()91010 1.111 1.1 2.616a x a x a x =+-⋅≈- 由题意得2.61621.05a x a b b -=⋅，解得32a x =.∴每年应更换的旧设备为a 32套. （2）全部更换旧设备共需116232a a ÷=年. 答：（1）每年应更换的旧设备为a 32套. （2）按此速度全部更换旧设备共需16年.【点睛】本题考查数列模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题. 22. 已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足()2*1122n n n S a a n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1n n b a =+，n T 为数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n m T >对任意n ∈+N 恒成立，求m 范围.【答案】（1）n a n =；（2）512m ≥【解析】【分析】（1）当2n ≥时，21111122n n n S a a ---=+，然后可得11n n a a --=，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列（2）()()21111113213n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，然后算出其前n 项和即可 【详解】解：（1）21122n n n S a a =+，① 当2n ≥时，21111122n n n S a a ---=+，② ①－②得()()1101n n n n a a a a --+--=.由于10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，又当1n =时，21111122a a a =+，所以11a =， 故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =.（2）由（1）知1n b n =+， 即()()21111113213n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 所以1111111111111224354611213n T n n n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪-++++⎝⎭ 151********n n ⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭.因为n m T >对任意n ∈+N 恒成立，所以512m ≥. 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法。