江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题

江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列{}n a 中，1252,2a a ==，则101a 的值是 ( )A 、49B 、50C 、51D 、522. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 ( ) A. l ∥a B. l 与a 异面 C. l 与a 相交 D. l 与a 没有公共点3. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( ) A.31 B. 31- C. 91 D. 91-4.若a ,b 为异面直线，,,a b l αβαβ⊂⊂=I ，则 （ ）A.l 与a ,b 分别相交B. l 至少与a ,b 中的一条相交C.l 与a ,b 都不相交D.l 至多与a ,b 中的一条相交5.在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是AB 、CD的中点，EF =则异面直线AD 与BC 所成的角为 ( ) A ．120ο B. 90ο C. 60ο D. 45ο6. 在数列{a n }中，已知S n ＝1－4＋7－10＋13－16＋…＋1(1)(32)n n ---， 则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．57B ．46C ．13D ．－577. 如图，△ABC 中，∠ACB=90ο，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离 点A 时，∠PCB 的大小 （ ）A ．不变B ．变小C ．变大D ．有时变大有时变小lPBAB ECFD8. 定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”．若已知正项数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++L 的 值为 ( )A ．111B ．112C ．1011D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

高一数学期末参考答案一、单项选择题：1. D2. C3. C4. C5. B6. B7. A8. B二、多项选择题：9. AD 10. ABCD 11. AC 12. ACD三、填空题:13. π3 14. ()64， 15. 326+ 16.12+n n 四、解答题：17. 证明：（1）连接OE ，在长方体1111A B C D ABCD −中， 有四边形ABCD 为矩形，所以O 的AC 中点. 又E 为棱1C C 的中点，所以在1CAC ∆有1//AC OE .----------2分 又因为BDE OE 平面⊂,BDE AC 平面⊄1所以1AC ∥平面BDE .----------4分(2) 在长方体1111A B C D ABCD −中，有ABCD CC 平面⊥1 又ABCD BD 平面⊂，所以BD CC ⊥1----------6分 因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥----------8分 又1ACC AC 平面⊂,11ACC CC 平面⊂,C CC AC =1I 所以11ACC A BD 平面⊥.----------10分18. 因为AC 边上的高线BD 所在直线方程为022=−+y x ， 所以直线AC 的斜率为2，又直线AC 过点()2,4−A 所以直线AC 的方程为082=+−y x .----------3分 联立直线MC AC 与的方程： ⎩⎨⎧=+−=+−01082y x y x 解得C 的坐标为()76，----------6分因为B 为直线022=−+y x 上一点，所以设()0022,x x B −又M 为AB 的中点，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−−002,24x x M 因为M 点在直线01=+−y x 上，所以20=x ，即()2-,2B ----------9分 所以直线BC 的方程为02649=−−y x .----------12分19. （1）由已知132a a S n n −=，有()232111≥−=−−n a a S n n ，两式相减得13−=n n a a --------3分 即233a a =，又因为33321=+−a a a ，所以031≠=a所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为n n a 3=--------6分（2）由（1）得，n n a 311=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−⎪⎭⎫ ⎝⎛−=+++=n n n n T 31121311311313131312Λ--------8分 因为985492≤n T ，所以985984311≤−n 即9853≤n ，--------10分 解得61≤≤n ，所以使得不等式成立的n 的最大值为6.--------12分20. (1)因为()()101k a f x x x =<<且2338a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以411=k ；----------2分 又因为()()()21011k a g x x x −=<<−且314g a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以412=k .----------4分 （2）因为()()920f xg x +>对于任意()0,1x ∈恒成立，即5911>−−+x a x a 恒成立 又因为()1,0∈x ()0,1a ∈，所以()()()()a a xx a x x a x x x a x a −+≥−−+−+=−+−−+1211111111）（ 即()59121>−+a a ----------10分 解得5451<<a ,所以实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛5451，.----------12分 21. （1）因为四边形ABCD 为菱形，所以DC DA =. 又060=∠ADC ，所以ADC ∆为等边三角形，即有CD CA =， 又在ADC ∆中，因为E 的AD 中点，所以AD CE ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD CE 平面⊂，所以PA CE ⊥.又A AD PA =I ，PAD AD PAD PA 平面平面⊂⊂, 所以PAD EC 平面⊥又PCE CE 平面⊂所以PAD PCE 平面平面⊥..----------4分(2)因为PAD EC 平面⊥，所以斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠为PC 与平面PAD 所成的角的平面角...----------6分 因为ABCD PA 平面⊥，ABCD AD 平面⊂，所以AD PA ⊥ 在PAE Pt ∆中，522=+=AE PA PE 在CED Pt ∆中，322=−=ED CD CE 因为PAD EC 平面⊥，PAD PE 平面⊂，所以PE EC ⊥ 在CEP Pt ∆中，有515tan ==∠PE CE CPE 所以PC 与平面PAD 所成的角的正切值为515....----------8分 (3) 在平面PAD 中，过E 点作PD EM ⊥，垂足为M ，连接CM 因为PAD EC 平面⊥，PAD PD 平面⊂，所以PD EC ⊥ 又M CM EM =I ，EMC EM 平面⊂，EMC CM 平面⊂ 所以EMC PD 平面⊥又EMC CM 平面⊂所以CM PD ⊥，即EMC ∠为二面角A PD C −−的平面角.....----------10分 在EMD Pt ∆中，1=ED ，045=∠ADP ，所以22==MD EM 在CMD Pt ∆中，22=MD ，2=CD ，所以21422=−=MD CD CM 在EMC ∆中，3=EC ，由余弦定理71214222327212cos 222=⨯⨯−+=⋅−+=∠MC ME EC MC ME EMC 所以二面角A PD C −−的正弦值为742......----------12分 22. （1）在圆M 中，因为060=∠ACB ，所以0120=∠AMB 因为圆M 过点A 、B ，点C 在x 轴上方，所以圆心M 在y 轴的正半轴上， 即060=∠=∠MOB MOA又在直角三角形MOB 中，因为3=OB ，所以1=OM ，2=MB所以△ABC 的外接圆M 的方程为()4122=−+y x ----------3分（2）设()00,y x P ，00>x ，00>y ，则412020=+y x ，00x y k OP = 又因为EF OP ⊥，所以00y x k EF −=又直线EF 过点P ，所以直线EF 的方程为04100=−+y y x x 过M 点EF MH ⊥，垂足为H ， 则4120−=y MH 所以2024144242⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=−=y MH EF 因为2100<<y ，所以(]415，∈EF ----------7分 （3）EF 中点H 的横坐标为221x x + 因为MH OP //，所以00x y K MH=，即直线MH 的方程为0000=+−x y x x y 又直线EF 的方程为04100=−+y y x x ，联立方程组0004y x x x H −= 0002182y x x x x −=+----------10分 因为)42(24100002020时取等号当且仅当==≥=+y x y x y x 所以8100≤y x 所以()18200021−≥−=−+y x x x x ，即()0212x x x −+的最小值为-1----------12分。

江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试0407一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2. 若,0<<b a 下列不等式成立的是 （ ） A.22b a < B. ab a <2C. 1<a bD. ba 11<3. 等差数列}{n a 中，若45076543=++++a a a a a ,则前9项和9S = ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6754. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是 A.),2()3,(+∞---∞Y B.)2,3(-- ( ) C.),3()2,(+∞-∞Y D. )3,2(5.已知ABC ∆的三内角C B A ,,的对边为c b a ,,，若1=+++cb ab ac ，则B 的大小为 A.o 30 B. o 60 C. o 120 D. o 150 （ ）6. 若0,0>>y x 且191=+yx ，则y x +的最小值为（ ） A.6 B.12 C. 16 D.247. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：（ ） A ．3盏 B ．6盏 C ． 9盏 D ． 281盏8. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．13BCD3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24B ．22C ．20D ．8-5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20B ．21C ．22D ．236．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n -D ．()1314n-7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5D ．528．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//m α，则αβ⊥10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 14．已知正项数列{}n a 满足2212n naa +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nn S n >-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ； （2）若二面角1A DC A --为45°， ①证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B C D 【答案】C3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π【答案】D4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-【答案】A5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．23【答案】C6．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5 D ．52【答案】A8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】B 二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l β D ．若//m α，则αβ⊥【答案】AD10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 10．ABD11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a > B ．2437d -<<- C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED12．AC 三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或514．已知正项数列{}n a 满足2212n n a a +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】100π16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．【答案】2 四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式． 【详解】（Ⅰ）由题知，1a ＝2，2a ＝2+c ，3a ＝2+3c ， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以（2+c ）2＝2（2+3c ）， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2． （Ⅱ）当n ≥2时，由1n n a a cn +=+ 得2a ﹣1a ＝c ，3a ﹣2a ＝2c ，…1n n a a -- ＝（n ﹣1）c ，以上各式相加，得()()111212n n n a a n c c -⎡⎤-=+++-=⎣⎦L ，又1a ＝2，c ＝2，故()222n a n n n =-+≥，当n ＝1时上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为22n a n n =-+．（n ∈N *）．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nnS n >-. 【详解】解：（1）由122nn n a a -=+，得11122n n n n a a --=+，即11122n n n n a a ---=. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列，∴122n n a n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）1231n n n S a a a a a -=++++L1231135312222222222n n n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 23411353122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 2311122222n n n S n +⎛⎫-=+++-- ⎪⎝⎭L 13322n n +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭. ∴13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3232322n n nS n n =-+>-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 试题解析：（1）解：由11216a S -=得：11216a a -= 解得811=a （1分） 由22216a S -=得：22121)(6a a a -=+ 解得3212=a （3分） （2）解：由n n a S 216-= ①当2≥n 时，有11216---=n n a S ② （4分）①-②得：411=-n n a a （5分） {}n a 数列∴是首项811=a ，公比41=q 的等比数列 12111214181+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==∴n n n n q a a 1221log log 122121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴+n a b n n n（3）证明：由（2）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=2222)2(11161)2()2(1n n n n n c n ， ()()()222222222111111111111632435112n c n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦L ()()22221111115111621626412n n ⎡⎤⎛⎫+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ；（2）若二面角1A DC A --为45°，①证明：平面11AC D ⊥平面1AAD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.【详解】（1）如图所示连接1B C ，在平行四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD =， 在三棱柱111ABC A B C -中，又1111//,=A B AB A B AB ， 所以1111//,A B CD A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，又1A D ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1//A D 平面11BCC B ；（2）①取CD 的中点O ，连接1,AO A O ，因为AC BC =，所以AO CD ⊥，又因为1A A ⊥平面ABC ， 所以1A A CD ⊥，1A A AO A ⋂=， 所以CD ⊥平面1A AO ， 所以1A O CD ⊥， 所以1A OA ∠为二面角1A DC A --的平面角， 在1Rt A OA △中，12OA A A ==，12AO CD =， 所以AC CD ⊥，又因为11,AC A A A A DA A ⊥⋂=， 所以AC ⊥平面1A AD ，又因为111//,AC AC AC ⊂平面11AC D ，所以平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②过A 作1AM A D ⊥，因为平面11AC D ⊥平面1A AD ， 所以AM ⊥平面11AC D ， 所以1A M 是1A A 在平面11AC D 上的射影， 所以1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，在1Rt AA M V 中，12,A A AD ==11tan AD AA M AA ∠==。

2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一（创新班）下学期6月阶段考试数学试题一、单选题1．椭圆22195x y +=的焦点的坐标为（ ）A．( B ．(2,0),(2,0)- C．(0, D ．(0,2),(0,2)-【答案】B【解析】根据椭圆的方程，求出c ，即可得出焦点坐标. 【详解】因为椭圆方程为22195x y +=，所以2c ==，且焦点在x 轴上， 所以焦点坐标为：(2,0),(2,0)-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.2．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2:3:5，现用分层抽样抽取一个容量为200的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14，则该学校学生的总数为（ ） A ．400 B ．800C ．1000D ．2000【答案】B【解析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，结合样本容量为200可求得该学校学生的总数. 【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14， 所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14， 所以，从该学校中抽取一个容量为200的样本时，则该学校学生的总数为20080014=.故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.3．已知数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯的方差是（ ） A ．小于1 B ．1C ．大于1D ．无法确定【答案】C【解析】根据数据的平均值和方差公式计算比较可得答案. 【详解】因为数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2， 所以12102211x x x ++++=L ，所以121020x x x +++=L ，所以1210,,,x x x L 的平均值为2， 数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1 所以222212101[(2)(2)(2)(22)]111x x x -+-++-+-=L ， 所以2221210[(2)(2)(2)]11x x x -+-++-=L ，所以数据1210,,,x x x ⋯的方差是22212101[(2)(2)(2)]10x x x -+-++-L 1110=1>， 故选：C. 【点睛】本题考查了数据的平均值和方差公式，属于基础题.4．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 则点M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．2D ．1【答案】B【解析】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=22y =，故212y x ==，计算得到答案. 【详解】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 到坐标原点O =，解得22y =，故212y x ==.点M到该抛物线焦点的距离为131222px+=+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．假设在元旦假期期间，甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3，且两地是否降雨相互之间没有影响，则在该时段两地中恰有一个地区降雨的概率为（）A．0.06B．0.38C．0.5D．0.56【答案】B【解析】根据甲、乙两地恰有一个地方下雨，包括甲地下雨，乙地不下雨和甲地不下雨，乙地下雨两类情况，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；【详解】解：甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：0.2(10.3)(10.2)0.30.140.240.38P=⨯-+-⨯=+=故选：B【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．6．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】A【解析】根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得答案.【详解】观察图像可知说法① 正确；观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加350万人，故说法② 不正确，排除B ，C ，D ；观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加259万人，2016-2018年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法③ 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了对统计图表的理解和应用，属于基础题.7．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(0,2)A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．42+B ．4(12)+C ．2(26)+D ．632+【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(412 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.8．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）A ．抽得3件正品B ．抽得至少有1件正品C ．抽得至少有1件次品D ．抽得3件正品或2件次品1件正品【答案】A【解析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件; 对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件. 故选:A 【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为（ ）A ．BC ．D ．【答案】C【解析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得． 【详解】解：由2222444120x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，得： 两圆的公共弦所在的直线方程为：20x y -+=，圆221:4C x y +=的圆心(0,0)到直线20x y -+==公共弦长为：=故选：C ． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．10．已知实数0a >，且1a ≠，函数2,1,()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．15a <≤ B ．25a ≤≤C ．1a >D ．5a ≤【答案】B【解析】当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >，当1x ≥时，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+，分析可得答案. 【详解】根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数单调性以及分段函数的应用.首先根据指数函数确定出参数的大范围，然后再利用求导进一步求出参数范围，最后根据单调性来解答临界值的大小，从而得到结论,考查了运算和推论能力，属于中档题.11．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ） A ．)()0,2323,⎡-⋃++∞⎣ B ．[23-,23+]C ．(),0-∞D ．[0∞+，） 【答案】D【解析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2， 则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：221d k =≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．若关于x 的不等式e 2x ﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]【答案】C【解析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m ，可得所求范围． 【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意； 当a ＝0时，e 2x ﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()f x '＝2e 2x a x-， 由于y ＝2e 2x ax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设()f x '＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m ，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()f x '＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()f x '＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m ﹣a ln m ， 由题意可得e 2m ﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ， 化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增. 则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1、2、3、4.若从袋中随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于5的概率为______. 【答案】13【解析】列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，其中，事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件有：()1,2、()1,3，共2种，因此，所求事件的概率为2163=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.14．如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是1.75x y b +=$$,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.【答案】5.95【解析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出b $,然后代入x ＝6,推出结果即可. 【详解】解：由题意可知12342.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==；又线性回归方程是 1.75x y b +=$$,经过样本中心,所以3.5 2.5 1.75b =+$, 解得：0.7b =$, 所以0.7 1.75y x =+$,x ＝6时,y $=0.7×6+1.75＝5.95（百吨）. 预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨. 故答案为：5.95. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题. 15．甲、乙、丙、丁、戊，共5位同学排成一排，若甲、乙都不排在两端，则不同的排法总数为_______. 【答案】18【解析】先排甲、乙，再排没有限制条件的三人，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙都不排在两端，共有233A =种不同的排法， 其余三个位置进行全排列即可，共有336A =种排法，根据分步计数原理，可得共有1863=⨯种不同的排法. 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题，解题时要注意先安排题目中有限制条件的元素，最后再排列没有限制条件的元素，这是解题的常见方法. 16．在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b+=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足2PA PB=，△PAB 面积最大值为163,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______。

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学下学期教学质量调研试题（二）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ） A.321nn + B. 321n n - C. 323n n -D.323nn +【答案】B 【解析】 【分析】把数列3，2，95，127，53，…，化简31，63，95，127，159，…，结合规律，即可求解.【详解】由题意，数列3，2，95，127，53，…，可化为31，63，95，127，159，…，可得数列的一个通项公式n a =321nn -.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据数列的前几项归纳数列的通项公式，其中解答中合理找出数列中数字的变化规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使//βα，这样的β（ ） A. 恰能作一个 B. 至多作一个C. 至少作一个D. 不存在【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合面面平行的性质即可得解.【详解】若存在过直线l 的平面β，使得//βα，则直线l 与平面α无公共点，与直线l 是平面α的斜线矛盾，不合题意， 所以这样的平面β不存在. 故选：D.【点睛】本题考查了面面平行的性质，考查了空间思维能力，属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ） A. 4 B. 5C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出nS n可解出d ，将等差数列前n 项和公式和二次函数的性质相结合可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴822n S d dn n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值， 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.4.空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别为AB ，CD 的中点，EF =面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A. 120︒ B. 90︒C. 60︒D. 45︒【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ，利用三角形中位线定理可得： 112EG BC ==，112FG AD ==,在EFG 中，由余弦定理可得cos EGF ∠，即可得结果. 【详解】解：如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ， 因为,E F 分别为AB ，CD 的中点，所以112EGBC==，112EG BC==，在EFG中，由余弦定理得，2221131cos22112EG FG EFEGFEG FG+-+-∠===-⋅⨯⨯,因为(0,180)EGF∠∈︒︒，所以120EGF∠=︒，所以异面直线AD与BC所成的角为60︒，故选：C【点睛】此题考查了异面直线所成的角、余弦定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5.设等比数列{}n a的前n项和为12nnS m+=+，则na=（）A. 2nB. 132n-⋅ C. 152n-⋅ D. 32n⋅【答案】A【解析】【分析】根据公式11(2)(1)n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当2n≥时，()()11122222n n n n nn n na S S m m++-=-=+-+=-=；当1n=时，21124a S m m==+=+所以11222nnnnaqa++===；所以221224aqa m===+，解得2m=-，所以12a =，满足2(2)nn a n =≥.所以2nn a =.故选：A.【点睛】本题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.6.在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50︒，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A. θ的最大值为40︒B. θ的最小值为40︒C. θ的最大值为50︒D. θ的最小值为50︒【答案】C 【解析】 【分析】过A 作平面BCD 的垂线，找出二面角A BC D --的平面角和直线PA 与平面BCD 所成的角θ，根据正切值可求θ的最大值为50︒.【详解】解：作AE ⊥平面BCD 于E ，在平面BCD 内作EF BC ⊥于F ，连结AF ，由三垂线定理知，AF BC ⊥，则AFE ∠就是二面角A BC D --的平面角，连结AP ，APE ∠就是直线PA 与平面BCD 所成的角θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦点P 为直线BC 上的动点，所以,,AE AEEF PE EF PE≤≥即tan50tan tan APE θ︒≥∠=，所以50θ，故θ的最大值为50︒，故选：C【点睛】考查线面角和面面角的求法以及大小比较，基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A. 直线1BB B. 直线CDC. 直线AHD. 直线GH【答案】C 【解析】 【分析】连接FH ，则可得四边形AEFH 为梯形，所以可得直线EF 与直线AH 相交. 【详解】解：如图，连接FH , 因为,F H 分别为11B C ，BC 的中点， 所以FH ∥1BB ，1FH BB =， 因为E 为1AA 的中点，所以111122AE AA BB ==，AE ∥1BB ， 所以AE ∥FH ，12AE FH =, 所以四边形AEFH 为梯形， 所以直线EF 与直线AH 相交. 故选：C【点睛】此题考查空直线的位置关系，属于基础题.8.数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式求出21nn c d d =+-，利用分组求和求出7S ，再解不等式即可.【详解】∵{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，2nn b =，∴()212121n n n nn b c a a d d d ===+-=+-，∴()()7721271247712d S d d -=+-=+-，即2477800d +<，解得793247d <，故d 的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，利用分组求和求数列的前n 项和，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9.已知α是一个平面，,m n 是两条直线，有下列四个结论，正确的是（ ） A. 如果//m α，//m n ，那么//n α． B. 如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．C. 若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m α⊥．D. 如果m α⊥，//m n ，那么n α⊥． 【答案】BD 【解析】 【分析】由//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，可判定A 不正确；根据线面垂直的性质，可判定B 是正确的；根据线面垂直的定义，可判定C 不正确；根据平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判定D 是正确的．【详解】对于A 中，如果//m α，//m n ，那么//n α或n ⊂α，所以不正确；对于B 中，根据线面垂直的性质，可得若m α⊥，//n α，那么m n ⊥，所以是正确的； 对于C 中，根据线面垂直的定义，直线m 垂直于平面α内的任意直线，则m α⊥，而直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m 与α不一定垂直，所以不正确；对于D 中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若m α⊥，//m n ，那么n α⊥，所以是正确的． 故选：BD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A. 13n n S -=B. {}n S 为等比数列C. 123n n a -=⋅D. 21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列中n a 和n S 的关系式，求得数列的通项公式，可判定D 正确；再利用题设条件，求得n S 的表达式，可判定A 正确，最后结合等比数列的定义，可判定B 正确. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.四棱柱1111A B C D ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，11A A AC AB ==，,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，下列结论正确的是（ ） A. 1C C //平面OMNB. 平面1//A CD 平面OMNC. 直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒D. 1OM D D ⊥【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ，假设1C C //平面OMN ，可推出矛盾结论； 对于B ，按照证明两个平面平行的判断定理易证；对于C ，假设直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，则可推出不确定的结论；对于D ，1OM D D ⊥转化为证明11AC A A ⊥，易证. 【详解】解：对于A ，若1C C //平面OMN ，因为11//C C A A ，则1A A //平面OMN ，或1A A ⊂平面OMN ，而1A A 和平面OMN 相交，故A 错；对于B ，因为,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，所以////MN AB CD ，MN ⊄平面1A CD ，CD ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD ，因为,O N 分别为线段BD ，1A B 的中点，所以1ON A D //，ON ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//ON 平面1A CD ，MN ON N =，MN ⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面1//A CD 平面OMN ，故B 正确；对于C ，若直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，11A A A C AB a ===，由////MN AB CD ，则1=90ACD ∠︒，1A D =，显然22211D A A A A D +=，则1AD A A ⊥，而1A A 和AD 不一定垂直，故C 错误.对于D ，设11A A A C AB a ===，则AC =，显然22211A A AC AC +=，11AC A A ⊥ 由1//MO A C ，所以1MO A A ⊥，而11//D D A A ，所以1OM D D ⊥ 直线1A C 与直线1A A 所成的角为90︒， 故D 正确. 故选：BD【点睛】考查线面平行、面面平行的判断与证明，考查异面直线垂直的判断与证明，基础题. 12.已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，*12,,,r n n n N ∈，*12,,,t m m m N ∈，*,r t N ∈且r t ≠，若1212r t n n n m m m +++=+++，则下列结论正确的是（ ）A. 若1a d =，则1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+．B. 若1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则1a d =．C. 若1b q =，则1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．D. 若1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则1b q =． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可； 【详解】解：对于A ，()()()1211121111r n n n r a a a a n d a n d a n d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212r r ra n n n r d n n n d =++++-=+++()()()1211121111t m m m t a a a a m d a m d a m d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212t t ta m m m r d m m m d =++++-=+++所以1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，A 正确； 对于B ，因为1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()()()()()()1112111121111111r t a n d a n d a n d a m d a m d a m d+-++-+++-=+-++-+++-()()112112r t ra n n n r d ta m m m t d ++++-=++++-()()10r t a d --=，由r t ≠，所以1a d =，B 正确.对于C ，若1b q =，121212121111111r r rr n n n n n n rn n n r n n n b b b b q b q b q b q q ---+++-+++⋅⋅⋅⋅=⋅==121212121111111t t tt m m m m tm m m m m t m m m b b b b q b q b q b q q -+++-+++--⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，C 正确. 对于D ，1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅12111111r n n n b q b q b q ---⋅=12111111t m m m b q b q b q ---⋅121r n n n rr b q +++-121t m m m tt b q +++-=，11r tb q -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为*,r t N ∈且r t ≠，当r t -是偶数时，111,b b q q=-=-，故D 错误.故选：ABC【点睛】考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n S是正项等比数列{}n a的前n和，318a=，326S=，则1a=______．公比q=______．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，解得首项和公比即可.【详解】当1q=时，333S a≠，不满足题意，故1q≠；当1q≠时，有()2131181261a qa qq⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123aq=⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15.下列结论中，正确的序号是_____．①如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；③如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．【答案】②③【解析】【分析】①中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; ②中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; ③中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; ④中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.【详解】对于①, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;对于②, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;对于③,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;对于④,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误; 故答案为: ②③【点睛】本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点、线、面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.16.已知数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n的前n项和为n S，若关于()*n n N∈的不等式2n nm S S+≥有且仅有一解，则实数m的取值范围是________．【答案】17, 212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n ≥++++++有且只有一个解，令111()12f n n n n n=++++++，可知{}()f n 为递增数列，根据单调性可得结果. 【详解】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n≥++++++有且只有一个解， 令111()12f n n n n n=++++++， 则111111(1)()()()232212f n f n n n n n n n n+-=+++-+++++++++ 11122211n n n =+-+++ 112122n n =-++0>， 所以{}()f n 为递增数列， 因为11(1)112f ==+，117(2)3412f =+=， 所以17212m ≤<. 故答案为：17,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了数列不等式有解问题，考查了数列的单调性，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与C ，D 不重合）分别在棱CD ，BD 上，且EF BD ⊥．求证：（1）//EF 平面ABC ；（2）AD AC ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）易得//EF BC ，由线面平行判定定理即可得结果；（2）由面面垂直性质定理可得BC ⊥平面ABD ，再由线面垂直判定定理得到AD ⊥面ABC ，进而可得结论.【详解】（1）BC BD ⊥，EF BD ⊥，,,BC EF BD ⊂平面BCD ，//EF BC ∴．EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．（2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，BC ∴⊥平面ABD ．AD ⊂平面ABD ，BC AD ∴⊥， AB AD ⊥，BCAB B =，∴AD ⊥面ABC ， AD AC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用，通过线面垂直得到线线垂直，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+．（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）32n n a =-【解析】【分析】（1）构造123(2)n n a a ++=+即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）123(2)n n a a ++=+首项123a +=则{}2n a +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）23n n a +=，故32n n a =-【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.19.如图，在长方体1111A B C D ABCD -中，2AB BC ==，13B B =，M 为AC 与BD 的交点．（1）证明：平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）求直线1D M 与平面1B AC 所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得AC BD ⊥，由1B B ⊥平面ABCD ，得1B B AC ⊥，从而得AC ⊥平面11D DBB 进而可证平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足为H ，可得1D H ⊥平面1B AC ，则1D MH ∠为1D M 与平面1B AC 所成的角，再由已知的数据可得到11MB D 为正三角形，从而得160D MH ︒∠=.【详解】（1）长方体1AC 中，四边形ABCD 为矩形，且AB BC =，∴四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，长方体1AC 中，1B B ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，1B B AC ∴⊥．1,BD B B ⊂平面11D DBB ，1BD B B B ⋂=，AC ∴⊥平面11D DBB ．AC ⊂平面1B AC ，∴平面11D DBB ⊥平面1B AC ．（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足H ，平面11D DBB ⊥平面1B AC ，平面11D DBB ⋂平面11B AC MB =，1D H ⊂平面11D DBB ，1D H ∴⊥平面1B AC ，1D M ∴在平面1B AC 上的射影为MH ，1D M ∴与平面1B AC 所成的角为1D MH ∠．在1Rt B BM 中，112MB BD ===，1B B =，12MB ∴==．同理，12MD =，112B D BD ==，11MB D ∴为正三角形，160D MH ︒∴∠=，∴直线1D M 与平面1B AC 所成的角为60︒．【点睛】此题考查了证明面面垂直，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查了运算能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，310a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 是公比0q >的等比数列，且11b a =，582b a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-；2n n b =；（2）2(23)212n n T n +=-⋅+．【解析】【分析】（1）利用等差中项及310a =可知1+210a d =，进而通过125,,a a a 成等比数列计算可知()()21114a d a a d +=⋅+，由此可求得42n a n =-，利用11b a =，582b a =+求出12,2b q ==进而计算可得{}n a ，{}n b 的通项公式（2）通过（1）可知(42)2n n n a b n =-⋅，进而利用错位相减法计算即得．【详解】（1）310a =，1210a d ∴+=，①125,,a a a 成等比数列，2215a a a ∴=⋅即()()21114a d a a d +=⋅+，②由①②得：142d a =⎧⎨=⎩或1010d a =⎧⎨=⎩，0d ≠，14,2,d a =⎧∴⎨=⎩42n a n ∴=-． 11582,232,b a b a ==⎧⎨=+=⎩44512b q b ∴==，0q >，2q ∴=， 1222-∴=⋅=n n n b ．（2）1122n n n T a b a b a b =+++1212262(46)2(42)2n n n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅，23122262(46)2(42)2n n n T n n +∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， ()23144222(42)2n n n T n +∴-=+⋅+++--⋅ ()21121244(42)212n n n -+⋅-=+⋅--⋅-，2(32)212n n +=-⋅-，2(23)212n n T n +∴=-⋅+．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21.在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD =，,,E F M 分别为棱SA ，SB ，AD 上的点，且(0)SE SF DM t t EA FB MA===>．（1）求证：平面//MEF 平面SCD ；（2）若1t =，求二面角A EM B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）233． 【解析】【分析】（1）由(0)SE SF DM t t EA FB MA===>可得//EF AB ，//EM SD ，而由//AB CD 得//EF CD ，从而由线面平行的判定定理可得//EF 平面SCD ，//EM 平面SCD ，所以可证得平面//MEF 平面SCD ；（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ，由已知条件可推出EM HB ⊥，所以AHB ∠为二面角A EM B --的平面角，然后在Rt BAH △中可求出AHB ∠的正切值.【详解】（1）SESFEA FB =，//EF AB ∴．四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，//EF CD ∴．EF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，//EF ∴平面SCD ．SE DMEA DA =，//EM SD ∴．EM ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，//EM ∴平面SCD ．EFIEM E =，,EF EM ⊂平面MEF ，∴平面//MEF 平面SCD ．（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ．四边形ABCD 是矩形，AB AD ∴⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面SAD ．EM ⊂平面SAD ，AB EM ∴⊥，AH EM ⊥，AB AH A ⋂=，AB ，AH ⊂平面ABH ，EM ∴⊥平面ABH ，HB ⊂平面ABH ，EM HB ∴⊥．AHB ∴∠为二面角A EM B --的平面角．1t =，,E M ∴分别为棱SA ，AD 的中点， SAD △是等边三角形，2AD =，EAM ∴是等边三角形，1AM =，2AH ∴= 在Rt BAH △中，2AH =，1AB =，tan AB AHB AH ∠== ∴二面角A EM B --【点睛】此题考查了证明面面平行，求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.数列{}n a 中，13a =，26a =，其前n 项和为n S ，且()11(2)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥．（1）求证：数列{}n S 是等比数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）设()()1211n n n n S b S S +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）证明见解析；3n n S =；（2）111231+=--n n T ． 【解析】【分析】- 21 - （1）由()11n n n n n a a S a a ++-⋅=⋅，化简得211n n n S S S -+=⋅，结合等比数列的性质，证得数列{}n S 是等比数列，进而求得其通项公式．（2）由（1），化简()()1211n n n n S b S S +=--1113131n n +=---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由题意，因为()11(2,)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥，所以()()()()1111n n n n n n n n n S S S S S S S S S +--+---⋅=-⋅-⎡⎤⎣⎦，可得211(2),n n n S S S n -+=⋅≥， 因为1130S a ==≠，21290S a a =+=≠，所以0n S ≠， 所以11,(2)n n n nS S n S S +-=≥，所以数列{}n S 是等比数列． 则公比213S q S ==，所以数列{}n S 通项公式为1333n n n S -=⋅=． （2）由（1）可得()()1211n n n n S b S S +=--()()1233131n n n +⋅=-⋅-1113131n n +=---， 所以12231111111313131313131n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111231n +=--． 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习一一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. 3√3B. 4√3C. ．√3D. 2√32.若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足()A. a//β，且b//β.B. a⊂β，且b//β．C. a⊥β，且b⊥β.D. a⊂β，且b⊥β．3.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是()A. −2B. −12C. 2 D. 124.在数列{a n}中，若a1=1,a2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，则该数列的通项为()A. a n=1n B. a n=2n+1C. a n=2n+2D. a n=3n5.已知x>0，y>0，x+3y=1，则1x +13y的最小值是()A. 2√2B. 2C. 4D. 2√36.给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β，γ是空间中不同的平面)：①若a//b，b⊂α，则a//α；②若a⊥b，b⊥α，则a//α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α.其中正确的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A. 32√3πB. 48πC. 24πD. 16π8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx−y+4=0与直线l2：x+ky−3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x−3y+10=0的距离的最大值为()A. 2B. 92C. 112D. 74二、多项选择题（本题20分）9.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列{lga n}是公差为2的等差数列10.已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n； ②m//n，m//α⇒n//α； ③m//n，m⊥α⇒n⊥α； ④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是()A. 恒有BM//平面A1DEB. B与M两点间的距离恒为定值C. 三棱锥A1−DEM的体积的最大值为D. 存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD12.设数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和;若数列{b n}满足：b n=(2−n)(a n−1)，且对任意的正整数n，都有b n+14t⩽t2成立，则有以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}的最大项为b3或b4C. t的取值范围为[−14,1 2 ]D. S n>n−1对任意的n∈N∗恒成立三、填空题（本大题20分）13.若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b9=90，则b4+b6=．14.已知实数a>0，b>0，且1a +1b=1，则3a−1+2b−1的最小值为______．15.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C 相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______16.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1+a n，则a1a2a3…a14=________；设b n=(−1)n a n，数列1−a n{b n}前n项的和为S n，则6S2020=________．三、解答题。

江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习一一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. 3√3B. 4√3C. ．√3D. 2√32.若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足()A. a//β，且b//β.B. a⊂β，且b//β．C. a⊥β，且b⊥β.D. a⊂β，且b⊥β．3.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是()A. −2B. −12C. 2 D. 124.在数列{a n}中，若a1=1,a2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，则该数列的通项为()A. a n=1n B. a n=2n+1C. a n=2n+2D. a n=3n5.已知x>0，y>0，x+3y=1，则1x +13y的最小值是()A. 2√2B. 2C. 4D. 2√36.给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β，γ是空间中不同的平面)：①若a//b，b⊂α，则a//α；②若a⊥b，b⊥α，则a//α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α.其中正确的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A. 32√3πB. 48πC. 24πD. 16π8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx−y+4=0与直线l2：x+ky−3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x−3y+10=0的距离的最大值为()A. 2B. 92C. 112D. 74二、多项选择题（本题20分）9.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3= 12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列{lga n}是公差为2的等差数列10.已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n； ②m//n，m//α⇒n//α； ③m//n，m⊥α⇒n⊥α； ④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是()A. 恒有BM//平面A1DEB. B与M两点间的距离恒为定值C. 三棱锥A1−DEM的体积的最大值为D. 存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD12.设数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和;若数列{b n}满足：b n=(2−n)(a n−1)，且对任意的正整数n，都有b n+14t⩽t2成立，则有以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}的最大项为b3或b4C. t的取值范围为[−14,1 2 ]D. S n>n−1对任意的n∈N∗恒成立三、填空题（本大题20分）13.若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b9=90，则b4+b6=．14.已知实数a>0，b>0，且1a +1b=1，则3a−1+2b−1的最小值为______．15.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______16.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1+a n1−a n，则a1a2a3…a14=________；设b n=(−1)n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则6S2020=________．三、解答题。